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20题 高考数学第20题:圆锥曲线知识点大全


高考数学第 20 题:圆锥曲线
考试内容: 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 考试要求: (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用.

圆锥曲线方程
一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义:
PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为椭圆, PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹, PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2为端点的线段

知识要点

⑴①椭圆的标准方程: i. 中心在原点,焦点在 x 轴上:
y2 a
2

x2 a
2

?

y2 b2

? 1( a ? b ? 0) .

ii. 中心在原点,焦点在 y 轴上:

?

x2 b2

? 1(a ? b ? 0) .

②一般方程: Ax2 ? By 2 ? 1( A ? 0, B ? 0) . ③椭圆的标准参数方程:

x2 a2

?

y2 b2

? 1 的参数方程为

? x ? a cos? ? (一象限 ? 应是属于 0 ? ? ? ). ? y ? b sin ? 2 ? ⑵①顶点: (? a,0)(0,?b) 或 (0,? a)(?b,0) .②轴:对称轴:x 轴, y 轴;长轴长 2a ,短轴长 2b .③

焦 点 : (?c,0)(c,0) 或 (0,?c)(0, c) .④ 焦 距 : F 1F 2 ? 2c, c ? a 2 ?b 2 .⑤ 准 线 : x ? ?
y??
c a2 .⑥离心率: e ? (0 ? e ? 1) .⑦焦点半径: a c
x2 a2 x2 b2 ? y2 b2 y2 a2

a2 或 c

i. 设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆

PF1 ? a ? ex0 , PF 2 ? a ? ex 0 ? ? 1( a ? b ? 0) 上的一点, F 1, F 2 为左、右焦点,则

由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆
?
PF1 ? a ? ey0, PF2 ? a ? ey0? ? 1( a ? b ? 0) 上的一点, F 1, F 2 为上、下焦点,则

由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知: pF1 ? e( x0 ? a ) ? a ? ex0 ( x0 ? 0), pF2 ? e( a ?x0 ) ? ex0 ?a( x0 ? 0) 归结起来为
c c
2 2

“左加右减”. 注意:椭圆参数方程的推导:得 N (a cos? , b sin? ) ? 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标: d ?
2b 2 a2 ( ? c, b2 b2 ) 和 (c, ) a a

⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆 程
x2 a2 ? y2 b2

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a ? b ? 0) 的离心率是 e ?

c (c ? a 2 ?b 2 ) ,方 a

? t (t 是大于 0 的参数,a ? b ? 0) 的离心率也是 e ?

c 我们称此方程为共离心率的 a

椭圆系方程. ⑸若 P 是椭圆:
b 2 tan
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 上的点 . F 1, F 2 为焦点,若 ?F 1PF 2 ? ? ,则 ?PF1F 2 的面积为

?
2

(用余弦定理与 PF1 ? PF 2 ? 2a 可得). 若是双曲线,则面积为 b 2 ? cot
▲y

?
2

.

二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义:
PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为双曲线 PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹 PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2 的一个端点的一条射线

( bcos? , bsin? ) ( acos? , asin? ) Nx

N的轨迹是椭圆

⑴① 双 曲 线 标 准 方 程 :
Ax2 ?Cy 2 ? 1( AC ? 0) .

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a, b ? 0),

y2 a2

?

x2 b2

? 1(a, b ? 0) . 一 般 方 程 :

⑵①i. 焦点在 x 轴上: 顶点: (a,0), (?a,0)
x2 a2 ? y2 b2 ?0

焦点: (c,0), (?c,0)

准线方程 x ? ?

a2 c

渐近线方程:

x y ? ?0或 a b

ii. 焦点在 y 轴上:顶点: (0,?a), (0, a) . 焦点: (0, c), (0,?c) . 准线方程: y ? ? 方程:
? x ? a sec? ? x ? b tan ? y2 x2 y x 或? . ? ? 0 或 2 ? 2 ? 0 ,参数方程: ? y ? b tan ? a b a b ? ? y ? a sec?

a2 . c

渐近线

②轴 x, y 为对称轴,实轴长为 2a, 虚轴长为 2b,焦距 2c. ③离心率 e ? (两准线的距离);通径 线方程
x2 a2 ? y2 b2

c . a

④准线距

2a 2 c

2b 2 . a

⑤参数关系 c 2 ?a 2 ?b 2 , e ?

c . a

⑥焦点半径公式:对于双曲

? 1 ( F 1, F 2 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)

“长加短减”原则:
MF 1 ? ex 0 ? a MF 2 ? ex 0 ?a

构成满足 MF1 ? MF 2 ? 2a

M ?F 1 ? ?ex 0 ?a M ?F 2 ? ?ex 0 ? a

(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半

径要带符号计算,而双曲线不带符号)

MF 1 ? ey 0 ?a MF 2 ? ey 0 ? a ? M ?F 1 ? ?ey 0 ? a ? M ?F 2 ? ?ey 0 ? a
F1 M'



y



y F1 M

M

x F2 M' F2

x

⑶等轴双曲线: 双曲线 x 2 ? y 2 ? ?a 2 称为等轴双曲线, 其渐近线方程为 y ? ? x , 离心率 e ? 2 . ⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭 x2 y2 x2 y2 x2 y2 双曲线. 2 ? 2 ? ? 与 2 ? 2 ? ?? 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: 2 ? 2 ? 0 . a b a b a b ⑸共渐近线的双曲线系方程:
x2 a2 ? y2 b2 ? ? (? ? 0) 的渐近线方程为 x2 a2 ? y2 b2 ? 0 如果双曲线的


x2 y2 x y 渐近线为 ? ? 0 时,它的双曲线方程可设为 2 ? 2 ? ? (? ? 0) . a b a b

y

4

3

2 1
F2 x

1 1 例如:若双曲线一条渐近线为 y ? x 且过 p(3,? ) ,求双曲线的方程? 2 2

F1

53 3

解:令双曲线的方程为:

x2 y2 1 x2 ? ? 1. ? y 2 ? ? (? ? 0) ,代入 (3,? ) 得 8 2 2 4

⑹直线与双曲线的位置关系: 区域①:无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域②:即定点在双曲线上,1 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 3 条; 区域③:2 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条; 区域④:即定点在渐近线上且非原点,1 条切线,1 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线. 小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条. (2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入 法与渐 “?” 近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若 P 在双曲线 离比为 m︰n.
PF 1 d1 ? e 简证: d2 PF 2 e
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 ,则常用结论 1:P 到焦点的距离为 m = n,则 P 到两准线的距

=

m . n

常用结论 2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b.

三、抛物线方程. 3. 设 p ? 0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
y 2 ? 2 px
y 2 ? ?2 px


x 2 ? 2 py
y


x 2 ? ?2 py


图形



y

y

y

x O

x O

x O

x O

焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦点

F(

p ,0) 2

F (? x?

p ,0) 2

F (0,

p ) 2

F (0,?
y?

p ) 2

x??

p 2 x ? 0, y ? R

p 2 x ? 0, y ? R

p 2 x ? R, y ? 0 y??

p 2 x ? R, y ? 0

x轴

y轴

(0,0)
e ?1
PF ? p ? x1 2 PF ? p ? x1 2 PF ? p ? y1 2 PF ? p ? y1 2

注:① ay 2 ?by ? c ? x 顶点 (

4ac ?b 2 b ? ). 4a 2a
2 2

② y 2 ? 2 px( p ? 0) 则焦点半径 PF ? x ? P ; x 2 ? 2 py( p ? 0) 则焦点半径为 PF ? y ? P . ③通径为 2p,这是过焦点的所有弦中最短的. ④ y 2 ? 2 px (或 x 2 ? 2 py )的参数方程为 ?
? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(或 ?

? x ? 2 pt ? y ? 2 pt
2

)( t 为参数).

四、圆锥曲线的统一定义.. 4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹. 当 0 ? e ? 1时,轨迹为椭圆; 当 e ? 1 时,轨迹为抛物线; 当 e ? 1 时,轨迹为双曲线; c 当 e ? 0 时,轨迹为圆( e ? ,当 c ? 0, a ? b 时). a 5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如: 椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关 于原点对称的. 因为具有对称性,所以欲证 AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可.

注:椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

椭圆 定义 1. 到两定点 F1,F2 的距离 之和为定值 2a(2a>|F1F2|) 的点的轨迹 2.与定点和直线的距离 之比为定值 e 的点的轨 迹.(0<e<1) 图形

双曲线 1.到两定点 F1,F2 的距 离之差的绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|)的点的 轨迹 2. 与定点和直线的距离 之比为定值 e 的点的轨 迹.(e>1)

抛物线

与定点和直线的距离相等 的点的轨迹.


y

x O



标准 方程 参数 方程 范围 中心 顶点

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b >0) a2 b2

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2

y2=2px



? x ? a cos? ? y ? b sin ? ? (参数?为离心角)
─a?x?a,─b?y?b 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b F1(c,0), F2(─c,0) 2c (c= a 2 ? b 2 )

? x ? a sec? ? y ? b tan? ? (参数?为离心角)
|x| ? a,y?R 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0)

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt (t 为参数) ?
x?0 (0,0) x轴

对称轴 焦点 焦距 离心率 准线

x 轴,y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. F1(c,0), F2(─c,0) 2c (c= a 2 ? b 2 )

p F ( ,0 ) 2

e?

c (0 ? e ? 1) a

e?

c (e ? 1) a

e=1

a2 x= ? c

a2 x= ? c
y=±

x??

p 2

渐近线 焦半径 通径

b x a

r ? a ? ex

r ? ?(ex ? a)

r ? x?

p 2

2b 2 a
a2 c

2b 2 a
a2 c

2p

焦参数

P

附加常用结论:
一、圆锥曲线的统一定义(第二定义): 若平面内一个动点 M 到一个定点 F 和一条定直线 l 的距离之比等于一个常数 e(e ? 0) , 则动点的轨迹为圆锥曲线。其中定点 F 为焦点,定直线 l 为准线, e 为离心率。 当 0 ? e ? 1 时,轨迹为椭圆;当 e ? 1 时,轨迹为抛物线;当 e ? 1 时,轨迹为双曲线。 1.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): ( 1 ) 椭圆 :由 x
2

,y

2

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 如 已知方程

3 x2 y2 ( ?? ,?1) ? (1, ) ) 则 m 的取值范围是__ (答: ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 2 m ?1 2 ? m
(2)双曲线:由 x , y 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 特别提醒: (1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 F 1 ,F 2 的位置,是椭 圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数 a , b , 确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先 要判断开口方向; (2)在椭圆中, a 最大, a ? b ? c ,在双曲线中, c 最大, c ? a ? b 。
2 2 2 2 2 2
2 2

2、焦点三角形问题(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形):常利用第一定义和正弦、余
弦定理求解。

S, 设椭圆或双曲线上的一点 P( x0 , y0 ) 到两焦点 F1 , F2 的距离分别为 r 1, r 2 ,焦点 ?F 1 PF2 的面积为
(1)在椭圆

x2 y2 ? ? 1 中, a2 b2 b2 ? c2 a2

① ? = arccos(

2b 2 ? 1) ,且当 r1 ? r2 即 P 为短轴端点时, ? r1r2

最大

为?

max = arccos

;② S

? b 2 tan

?
2

? c | y0 | ,当 | y0 |? b 即 P 为短轴端点时, S max 的

最大值为 bc;

( 2 ) 对 于 双 曲 线

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

的 焦 点 三 角 形 有 : ①

? 2b 2 ? ? ? ? arccos ?1 ? r r ? ? 1 2 ? ?



②S

?

1 ? r1 r2 sin ? ? b 2 cot 。 2 2

3.你了解下列结论吗? 2 2 2 2 (1)双曲线 x ? y ? 1的渐近线方程为 x ? y ? 0 ; 2 2 2 2 a b a b 2 2 2 2 b y x (2) 以 y ? ? x 为渐近线 (即与双曲线 共渐近线) 的双曲线方程为 x ? y ? ? (? ? ? 1 a a2 b2 a2 b2 为参数, ? ≠0)。若 ? ? 0 ,焦点在 x 轴上,若 ? ? 0 ,焦点在 y 轴上。

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx2 ? ny 2 ? 1 ; (4)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (5)若 OA、OB 是过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒经 过定点 (2 p, 0) (6)等轴双曲线:实轴长与虚轴长相等,即 a=b, 从而离心率 e= 2 . (7)抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,过 F 的焦点弦 AB 的倾斜角为 ? ,则 | AB |? 以上述焦点弦 AB 为直径的圆与其准线相切。
2p sin2?

.

二、 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、 压轴题出现, 主要涉及位置 关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等. 1。直线与圆锥曲线的交点: 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题, 实际上是研究它们的方程组成的方 程是否有实数解或实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法. 2。直线与圆锥曲线的位置关系: 判断直线 l 与圆锥曲线 r 的位置关系时,通常将直线 l 的方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)代入圆锥曲线的 r 的方程:F(x,y)=0,消去 y 得到一个关于 x 的一元方程。 即?
? Ax ? By ? c ? 0, ,消去 y 得 ax ? by ? c ? 0 ? F ( x, y ) ? 0

(1) 当 a ? 0,则有 ? >0,直线 l 与圆锥曲线相交;当 ? =0 时,直线与曲线 r 相切; ? <0 时, 直线 r 与曲线 r 相离。 (2) 当 a=0,即得到一个一次方程,则直线 l 与曲线 r 相交,此时,若 r 是双曲线,则直线 l 与双曲线 r 的渐近线平行; r 是抛物线,则直线 r 与抛物线的对称轴位置关系是:平行或重合。 注意:开放型曲线(双曲线和抛物线)的特殊性: ①相交: ? ? 0 ? 直线与椭圆(圆)相交 ? ?0 ? 直线与双曲线相交 ? ? 0 ? 直线与抛物线相交 ②相切: ? ? 0 ? 直线与椭圆(圆)相切 ? 直线与椭圆(圆)只有一个公共点; ? ? 0 ? 直线与双曲线相切 ? 直线与双曲线只有一个公共点; ? ? 0 ? 直线与抛物线相切 ? 直线与抛物线只有一个公共点;

3.直线与圆锥曲线相交的弦长公式: 直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。 若该弦通过了圆锥曲线的焦点, 此时得到的 弦也叫焦点弦。当直线的斜率存在时, 弦长 l ?

( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

当斜率 K 存在且非零时,

l ? 1?
.

1 y1 ? y2 k2

? 1?

1 1 2 ? y1 ? y2 ? 1 ? 2 ? (y1 ? y2) ? 4 y1 y2 2 k k


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