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【名校使用】2014高考(文)复习资料:2-2函数的单调性与最值


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第2课时 函数的单调性与最值

1. 理解函数的单调性, 会讨论和证明一些简单的函数的单调性. 2.理解函数的最大(小)值及其几何意义,并能求出一些简单的 函数的最大(小)值.

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【知识梳理】 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数
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一般地,设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1,x2,当 x1< 定义 x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 函数 f(x)在区间 D 上是 增函数 f(x1)>f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数

(2)单调性、单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数, 则称函数 f(x)在这一 区间上具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 f(x)的单调区间.

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2.函数的最值 前提 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 (1)对于任意 x∈I,都有 (1)对于任意 x∈I,都 条件 f(x)≤M; (2)存在 x0∈I,有 f(x)≥M;(2)存在 x0 使得 f(x0)=M 结论 M 为最大值 ∈I,使得 f(x0)=M M 为最小值
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【基础自测】 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上不是增函数的是( A.y=2x+1 2 C.y=x B.y=3x2+1 D.y=|x| )
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解析:由函数单调性定义知选 C. 答案:C

1 2.(2013· 郑州质检)函数 y=1- ( x-1 A.在(-1,+∞)上单调递增 B.在(-1,+∞)上单调递减 C.在(1,+∞)上单调递增 D.在(1,+∞)上单调递减 答案:C

)
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3.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f(|x|)<f(1)的实数 x 的取值范围是( A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1) ) B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
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解析:∵f(x)为 R 上的减函数,且 f(|x|)<f(1), ∴|x|>1,∴x<-1 或 x>1. 答案:D

4 . ( 教 材 改 编 )f(x) = x2 - 2x(x ∈ [ - 2,4]) 的 单 调 增 区 间 为 __________;f(x)max=________. 解析:f(x)=x2-2x,关于 x=1 对称,开口向上递增区间[1,4]. 当 x=4 或-2 时,f(x)为最大 f(4)=8. 答案:[1,4] 8

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2x 5.(教材改编)函数 f(x)= 在[1,2]的最大值和最小值分别是 x+1 ________. 2?x+1?-2 2 解析:f(x)= =2- 在(-∞,-1),(-1,+∞) x+1 x+1 上为增函数. 4 fmin=f(1)=1,fmax=f(2)= . 3 4 答案: 3 1,
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1.函数的单调性是局部性质 函数的单调性,从定义上看,是指函数在定义域的某个子区间 上的单调性,是局部的特征.在某个区间上单调,在整个定义域上 不一定单调.如 y=x2 在(-∞,+∞)上不具有单调性 . 2.f(x)在区间[a,b]上单调递增与函数 f(x)的单调递增区间为[a, b]的含义不同.
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3.函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单 调区间,必须先求出函数的定义域. 4.单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有 多个单调区间应分别写, 不能用并集符号 “∪” 联结, 也不能用 “或” 1 联结.如函数 y= 的单调减区间为(-∞,0)∪(0,+∞)是错误的. x

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考向一 减区间为( )

确定函数的单调性或单调区间 (1)(2013· 山西高考训练)函数 f(x)=||2x-1|-2x|的单调递

A.(-1,0) C.(-∞,0)
x

B.(-∞,-1) D.(-1,+∞)

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x-2 (2)已知函数 f(x)=a + (a>1), x+1 证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; 【审题视点】 (1)去掉绝对值,化简函数,结合 y=2x 的单调性 判断. (2)利用单调性定义证明.

1 【解析】 (1)当|2 -1|>2 ,即 2 -1<-2 ,x<-1 时,2 < 2
x x x x x

<1,则 f(x)=|2x-1|-2x=1-2x 1 在(-∞,-1)上是减函数;当|2x 1 - 1|≤2 , 即 x≥ - 1 时 , 2 ≥ , f(x) = 2x - |2x - 1| = 2
x x
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?2x+1-1,-1≤x≤0 ? ? ?1,x>0 ?

,易知 f(x)在(-1,0)上是增函数.结合各选项

知,选 B. (2)任取 x1,x2∈(-1,+∞), 不妨设 x1<x2,则 x2-x1>0,ax2-x1>1 且 ax1>0, ∴ax2-ax1=ax1(xx2-x1-1)>0, 又∵x1+1>0,x2+1>0,

x2-2 x1-2 ?x2-2??x1+1?-?x1-2??x2+1? ∴ - = = x2+1 x1+1 ?x1+1??x2+1? 3?x2-x1? >0, ?x1+1??x2+1? x2-2 x1-2 于是 f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+ - >0, x2+1 x1+1 故函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. 【答案】 (1)B
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【方法总结】

确定函数单调性及单调区间方法:
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(1)能画出图象的函数,用图象法. (2)能作差变形的用定义法. (3)能求导的函数用导数法. (4)由基本初等函数通过加、减运算或复合运算构成的函数,用 转化法.

1.(2013· 豫东、豫北十校)已知函数 该函数是( )

?1-2-x,x≥0 ? f(x)=? x ?2 -1,x<0 ?

,则

A.偶函数,且单调递增 C.奇函数,且单调递增

B.偶函数,且单调递减 D.奇函数,且单调递减
- -

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解析:当 x>0 时,-x<0,f(-x)+f(x)=(2 x-1)+(1-2 x)= 0;当 x<0 时,-x>0,f(-x)+f(x)=(1-2x)+(2x-1)=0;易知 f(0) =0.因此, 对任意 x∈R, 均有 f(-x)+f(x)=0, 即函数 f(x)是奇函数. 当 x>0 时,函数 f(x)是增函数,因此函数 f(x)单调递增,选 C. 答案:C

考向二

函数单调性的应用 (1)(2013· 山东济宁二模)定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0, +
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?1? ∞)上递增,f?3?=0,则满足 ? ?

1 f(log x)>0 的 x 的取值范围是( 8
? 1? ?0, ?∪(2,+∞) B. 2? ? ? 1? D.?0,2? ? ?

)

A.(0,+∞)
? ? 1? ?1 C.?0,8?∪?2,2? ? ? ? ?

(2)(2013· 江南十校联考)已知定义在 R 上 的函数 f(x),其导函数 f′(x)的大致图象如图 所示,则下列叙述正确的是( A.f(b)>f(c)>f(d) B.f(b)>f(a)>f(e) C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(e)>f(d) 【审题视点】 (1)根据单调性剥去“f”符号转化为对数不等式. )
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(2)根据导数确定单调性后比较大小.

?1? 1 1 【解析】 (1)由 f(x)=f(-x)=f(|x|)得 f(|log x|)>f?3?,于是|log 8 8 ? ?

1 x|> ,解出答案,可知选 B. 3 (2)依题意得, x∈(-∞, 当 c)时, f′(x)>0; x∈(c, 当 e)时, f′(x) <0;当 x∈(e,+∞)时,f′(x)>0.因此,函数 f(x)在(-∞,c)上是 增函数,在(c,e)上是减函数,在(e,+∞)上是增函数,又 a<b<c, 所以 f(c)>f(b)>f(a),选 C. 【答案】 (1)B (2)C

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【方法总结】

根据函数 y=f(x)的单调性,由 x1、x2 的大小,

可比较 f(x1)与 f(x2)的大小. 反之知 f(x1)与 f(x2)的大小,可得 x1 与 x2 的大小,即剥去“f”符 号解不等式.

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2.(2013· 枣庄市一模)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:对?x1, x2∈[0,+∞),且 x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则( A.f(3)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3) B.f(1)<f(-2)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) )
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解析:x∈[0,+∞)时,f(x)为增函数. ∴f(3)>f(2)>f(1). 答案:B

考向三

求函数的最值

(2013· 东城区高三综合练习改编)函数 f(x)=x-(a+1)lnx a - (a∈R).当 x∈[1,e]时,f(x)的最小值. x 【审题视点】 【解】 求导,确定单调性求其最值.
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(1)依题意得,f(x)的定义域为(0,+∞),

?x-1??x-a? ∵f′(x)= (a∈R), x2 ∴①当 a≤1 时,x∈[1,e],f′(x)≥0,f(x)为增函数, f(x)min=f(1)=1-a.

②当 1<a<e 时,x∈[1,a],f′(x)≤0,f(x)为减函数,x∈[a, e],f′(x)≥0,f(x)为增函数,f(x)min=f(a)=a-(a+1)· lna-1. ③当 a≥e 时,x∈[1,e],f′(x)≤0,f(x)为减函数, a f(x)min=f(e)=e-(a+1)- . e 综上,当 a≤1 时,f(x)min=1-a; 当 1<a<e 时,f(x)min=a-(a+1)lna-1; a 当 a≥e 时,f(x)min=e-(a+1)- . e
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【方法总结】

求函数最值的常用方法

(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值; (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求 出最值; (3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相 等”的条件后用基本不等式求出最值; (4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合 端点值,求出最值; (5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数, 再用相应的方法求最值.
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3.(2012· 高考安徽卷改编)设定义在(0,+∞)上的函数 f(x)=ax 1 +ax+b(a>0). 求 f(x)的最小值 1 解:方法一:由题设和均值不等式可知,f(x)<ax+ +b≥2+ ax 1 b(其中等号成立当且仅当 ax=1,即当 x=a时,f(x)取最小值为 2+ b.)
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2 2 1 a x -1 方法二:f(x)的导数 f′(x)=a- 2= , ax ax2

?1 ? 1 ? ,+∞?上递增; 当 x> 时,f′(x)>0,f(x)在 a a ? ? ? 1? 1 当 0<x< 时,f′(x)<0,f(x)在?0,a?上递减; a ? ?

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1 所以当 x= 时,f(x)取最小值为 2+b. a

求函数在闭区间上的最值和单调性求字母参数 1-x (2013· 郑州市高中毕业第二次质检)已知函数 f(x)= ax +ln x. 1 (1)当 a= 时,求 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; 2 1 (2)若函数 g(x)=f(x)- x 在[1,e]上为增函数,求正实数 a 的取 4 值范围. 【解题指南】 (1)利用求导法求极值再与 f(1), f(e)比较得最值. (2)g(x)在[1,e]上递增可转化为 g′(x)≥0 在[1,e]上恒成立,求 解 a.
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【解】

2?1-x? 1 (1)当 a= 时,f(x)= x +ln x, 2

x-2 f′(x)= 2 ,令 f′(x)=0,得 x=2, x ∴当 x∈[1,2)时,f′(x)<0,故 f(x)在[1,2)上单调递减; 当 x∈(2,e]时,f′(x)>0,故 f(x)在(2,e]上单调递增, ∴f(x)在区间[1,e]上有唯一的极小值点, 故 f(x)min=f(x)极小值=f(2)=ln 2-1.3 分 2-e 又∵f(1)=0,f(e)= <0. e ∴f(x)在区间[1,e]上的最大值 f(x)max=f(1)=0.5 分 综上可知,函数 f(x)在[1,e]上的最大值是 0,最小值是 ln 2- 1.6 分
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1-x -ax2+4ax-4 1 1 (2)∵g(x)=f(x)- x= ax +ln x- x, ∴g′(x)= 4 4 4ax2 (a>0), 设 φ(x)=-ax +4ax-4,由题意知,只需 φ(x)≥0 在[1,e]上恒 成立即可满足题意.9 分 ∵a>0,函数 φ(x)的图象的对称轴为 x=2, 4 ∴只需 φ(1)=3a-4≥0,即 a≥ 即可.故正实数 a 的取值范围 3
?4 ? 为?3,+∞?.12 ? ?
2
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【思维流程】 1 a= 时,化简 f(x). 2 求导,并求出 f′(x)=0 的根. 判断单调性,确定极值点. 求极值,并确定最值. 确定 g(x)并求导. 转化题意,求解 g′(x)≥0 恒成立问题. 利用二次函数求 a 的范围.
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阅卷点评

“函数的单调性常与导数结合,研究函数的其它内
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容,求函数最值时,根据函数的单调性也是较常用的方法. 答题模板 这类问题的基本解答步骤: 1.确定定义域、并求导; 2.令导数为 0,求解极值(点),确定单调性; 3.转化题意,解方程或解不等式(组); 4.确定答案,并检验.

备考建议

1.熟悉常见函数的求导公式和求导法则.

2.理解透数学概念,如本题的极值与最值. 3.正确转化题意,如本题(2)中转化为 g′(x)≥0 恒成立时求 a 的范围.切记不能去掉“=”号. 4.加强解答步骤的规范性练习.

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1.(2012· 高考广东卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数 的是( ) B.y=- x+1 1 D.y=x+ x
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A.y=ln(x+2)
?1?x C.y=?2? ? ?

解析:采用验证法,易知函数 y=ln(x+2)在(-2,+∞)上是增 函数,因此在(0,+∞)上是增函数,故选 A. 答案:A

2.(2011· 高考辽宁卷)函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任 意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为( A.(-1,1) C.(-∞,-1) +6, 则由 4x+6>2x+4,得 x>-1,选 B. 解法二:设 g(x)=f(x)-2x-4,则 g(-1)=f(-1)-2×(-1)-4 =0,g′(x)=f′(x)-2>0,g(x)在 R 上为增函数. 由 g(x)>0,即 g(x)>g(-1). ∴x>-1,选 B. 答案:B B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞)
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)

解析:解法一:由 x∈R,f(-1)=2,f′(x)>2,可设 f(x)=4x

3.(2012· 高考山东卷)函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最 大值为 4,最小值为 m,且函数 g(x)=(1-4m) x在[0,+∞)上是增 函数,则 a=________. 解析:讨论字母的取值,从而确定函数的最大值与最小值.若 a 1 >1,有 a =4,a =m,此时 a=2,m= ,此时 g(x)=- x为减函 2
2
-1
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1 1 数,不合题意.若 0<a<1,有 a-1=4,a2=m,故 a= ,m= , 4 16 检验知符合题意. 答案: 1 4

4.(2013· 银川模拟)已知 a>0,函数 f(x)=x3-ax 是区间[1,+ ∞)上的单调递增函数,求实数 a 的取值范围. 解:方法一:任取 x1,x2∈[1,+∞),且 x1<x2, 则 x2-x1>0. f(x2)-f(x1)=(x3-ax2)-(x3-ax1) 2 1 =(x2-x1)(x2+x1x2+x2-a). 1 2 ∵1≤x1<x2,∴x2+x1x2+x2>3. 1 2 ∴要使 f(x)在[1,+∞)上是增函数, 则必有 x2+x1x2+x2-a>0 恒成立, 1 2 即 x2+x1x2+x2>a 恒成立, 1 2 故只需 a≤3,∴a 的取值范围是(-∞,3].
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方法二:∵f′(x)=3x2-a, ∴要使 f(x)在[1,∞)上是单调增函数,则只需要 f′(x)=3x2- a≥0 在[1,+∞)上恒成立, 即 a≤3x2,而 3x2≥3, 故 a≤3,∴a 的取值范围是(-∞,3].
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