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14.1.3《反证法》课件


路边苦李
王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动.
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.

王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法?

假设李子不是苦的,即李子是甜的, 那么这长在人来人

往的大路边的李子会不会被 过路人摘去解渴呢? 那么,树上的李子还会这么多吗? 这与事实矛盾。说明 李子是甜的这个假设是错 的还是对的? 所以,李子是苦的

假设李子是甜的

那么李子会被过路人摘 去解渴,树上的李子会 很少。

事实上树上的李子很多, 这与事实相矛盾。

造成矛盾的原因是:假设李子是甜 的,这个假设是错误的,说明原来 的结论:路边的李子是苦的是正确 的。

一、复习引入
A

如图,在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b, 如果∠C=90°,a、b、c三边有何关系?为 什么?

解析: 由∠C=90°可知是直角三角 形,根据勾股定理可知 a2 +b2 =c2 .

b

c

C

a

C

二、探究
若将上面的条件改为“在 △ABC中,AB=c,BC=a, AC=b,∠C≠90°”,请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗?请说明理由。

问题:

A

b
C

c
a
C

探究:假设a2 +b2 =c2,由勾股定理
可知三角形ABC是直角三角形,且 ∠C=90°,这与已知条件∠C≠90°矛 盾。假设不成立,从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。

发现知识:
这种证明方法与前面的证明方法不同,它是首先假设结论 的反面成立,然后经过正确的;逻辑推理得出与已知、定理、 公理矛盾的结论,从而得到原结论的正确。象这样的证明方法 叫做反证法。

发现新知
这种证明方法与前面的证明方法不同,它是先 假设命题结论反面成立,从假设出发,经过推理得

出和已知条件(定义、公理、定理等)矛盾,从而
得出假设命题不成立,即所求证的命题正确。像这 种证明方法叫做反证法。

反证法的一般步骤 结 论 归谬

反 设

三、应用新知
例1在△ABC中,AB≠AC,求证:∠B
≠∠

尝试解决问题
C
A

感 受 反 证 法:

证明:假设 ∠B = ∠ C, 则 这与 AB=AC ( 等角对等边 已知AB≠AC 矛盾. )
B

C

假设不成立. ∴ ∠B ≠ ∠ C .

小结:
反证法的步骤:假设结论的反面成立→逻辑推理得 出矛盾→肯定原结论正确

例2

求证:两条直线相交只有一个交点。 已知:如图两条相交直线a、b。

求证:a与b只有一个交点。 证明:假设a与b不止一个交点, 不妨假设有两个交点A和A’。 因为两点确定一条直线,即 a 经过点A和A’的直线有且只有一条, ● A 这与与已知两条直线矛盾,假设 不成立。 b 所以两条直线相交只有一个交 点。 小结:根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外,还可以与我们学过的定理、 公理矛盾



A,

已知:如图有a、b、c三条直线, 且a//c,b//c. 求证:a//b

例3

证明:假设a与b不平行,则 可设它们相交于点A。 那么过点A 就有两条直 线a、b与直线c平行,这与 “过直线外一点有且只有一 条直线与已知直线平行矛盾, 假设不成立。 ∴a//b.

a b c A

小结:根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外,还可以与我们学过的定理、 公理矛盾

例4

求证:在一个三角形中,至少有一个内角小于 或等于60°。 已知:△ABC 求证:△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明:假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60°, ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° 则 。 ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° , 即 ∠A+∠B+∠C>180° 。 这与 三角形的内角和为180度 矛盾.假设不成立. ∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. .

点拨:至少的反面是没有!

求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平 行线中的一条相交,那么和另一条也相交. 已知: 直线l1, l2, l3在同一平面内,且l1∥l2, l3与l1相 l3 交于点P. l1 求证: l3与l2相交. P l3与l2 不相交. 证明: 假设____________, l2 那么_________. l3∥l2 因为已知_________, l1∥l2 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行, 经过直线外一点,有且只有一条直 这与“_______________________ 线平行于已知直线 _____________”矛盾. 所以假设不成立,即求证的命题正确.

例6、用反证法证明:等腰三角形的底 角必定是锐角. 分析:解题的关键是反证法的第一步否定结 论,需要分类讨论. 已知:在△ABC中,AB=AC. 求证:∠B、∠C为锐角. 证明:假设等腰三角形的底角不是锐角,那 么只有两种情况:

(1)两个底角都是直角; (2)两个底角都是钝角;

(1)由∠A=∠B=90° 则∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°>180°, 这与三角形内角和定理矛盾, ∴∠A=∠B=90°这个假设不成立. (2)由90°<∠B<180°, 90°<∠C<180°, 则 ∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理矛盾

.∴两个底角都是钝角这个假设也不成立. 故原命题正确 ∴等腰三角形的底角必定是锐角. 说明:本例中“是锐角(小于90°)”的反面有两种情况, 这时,必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能 成立,最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证 法的进一步理解.

回顾与归纳
公 假 得理 设 结 出、 论 推理论证 矛 定 的 盾理 反 (等 面 ) 已 正 知 确 命 假题 设成 得出结论 不 立 成 立 , 原 .

反设



归谬

结论

反证法的一般步骤:
假设命题结 论反面成立 什么时候运用反证法呢? 所证命题 成立 与已知条 件矛盾

假设

假设命题结 论不成立

推理得出 的结论

与定理,定义, 公理矛盾

假设不 成立

直接证法 证明真命题 的方法 间接证法 反证法

万事开头难,让我们走好第一步!
写出下列各结论的反面: (1)a//b; (2)a≥0; (3)b是正数; (4)a⊥b a∥b a<0 b是0或负数 a不垂直于b

四、巩固新知
1、试说出下列命题的反面: (1)a是实数。 a不是实数 (2)a大于2。a小于或等于2 没有两个 a大于或等于2 (3)a小于2。 (4)至少有 2个 (5)最多有一个 一个也没有 (6)两条直线平行。 两直线相交 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=b。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角,那么 这个三角形不是等腰三角形”的第一步 假设这个三角形是等腰三角形 。

五、拓展应用
1、已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠APB≠∠APC。 求证:PB≠PC 证明:假设PB=PC。 在△ABP与△ACP中 AB=AC(已知) AP=AP(公共边) PB=PC(已知) ∴△ABP≌△ACP(S.S.S) ∴∠APB=∠APC(全等三角形对应 B 边相等) 这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾, 假设不成立. ∴PB≠PC
A

P C

六、全课总结
1、知识小结: 反证法证明的思路:假设命题不成立→正确的推 理,得出矛盾→肯定待定命题的结论

2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出 命题结论的反面。至少的反面是没有,最多的反面是不 止。

课时作业设计
? 用反证法证明下列命题: ? 1.求证:三角形内角中至多有一个内角是钝 角。


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