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2012上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷


201 上海市高中数学竞赛(新知杯) 2012 上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷
【说明】解答本试卷不得使用计算器 填空题(本题满分 60 分,前 4 题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 一、填空题 1.如图,正六边形 A1 B1C1 D1 E1 F1 的边长为 1,它的 6 条对角线又围成一个正六边 形 A2 B2C2 D2 E2 F2 ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 2.已知正整数 a1 , a2 ,L , a10 满足: .

3 > ,1 ≤ i < j ≤ 10 ,则 a10 的最小可能值是 . ai 2 17 4 3.若 tan α + tan β + tan γ = , cot α + cot β + cot γ = ? , cot α cot β + cot β cot γ + cot γ cot α 6 5 17 = ? ,则 tan (α + β + γ ) = . 5 4.已知关于 x 的方程 lg ( kx ) = 2 lg ( x + 1) 仅有一个实数解,则实数 k 的取值

aj

范围是 . 5.如图, ?AEF 是边长为 x 的正方形 ABCD 的内接三角形,已知 ∠AEF = 90° , AE = a, EF = b, a > b ,则 x = . 6.方程 2 ? 3 ? 3
m n n +1

+ 2m = 13 的非负整数解 ( m, n ) =



7.一个口袋里有 5 个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一个是黑色的,依次从中摸 出 5 个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 . (用数字作答) 8.数列 {an } 定义如下: a1 = 1, a2 = 2, an + 2 =

2 ( n + 1)

n+2

an +1 ?

n 2011 an , n = 1, 2,L .若 am > 2 + ,则正 n+2 2012
D C

整数 m 的最小值为 . 二、解答题 9. (本题满分 14 分)如图,在平行四边形 ABCD 中, AB = x , BC = 1 , 对角线 AC 与 BD 的夹角 ∠BOC = 45° ,记直线 AB 与 CD 的距离为 h( x ) . 求 h( x ) 的表达式,并写出 x 的取值范围.
A

O B

10. (本题满分 14 分)给定实数 a > 1 ,求函数 f ( x ) =

(a + sin x)(4 + sin x) 的最小值. 1 + sin x

11. (本题满分 16 分)正实数 x, y , z 满足 9 xyz + xy + yz + zx = 4 ; 求证: (1) xy + yz + zx ≥

4 ; (2) x + y + z ≥ 2 . 3

12. (本题满分 16 分)给定整数 n(≥ 3) ,记 f ( n) 为集合 1, 2,L , 2n ? 1 的满足如下两个条件的子集 A 的 元素个数的最小值:① 1 ∈ A, 2 ? 1 ∈ A ;②A 中的元素(除 1 外)均为 A 中的另两个(可以相同)元素 的和. (1)求 f (3) 的值;
n

{

}

(2)求证: f (100) ≤ 108 .
1

2012 上海市高中数学竞赛(新知杯) 2012 上海市高中数学竞赛(新知杯)参考答案
1、 5、

9 3 4

2、92

3、11

4、 ( ?∞, 0 ) U {4} 7、

a2 a 2 + ( a ? b) 2
OB 2 + OC 2 =

6、 ( 3, 0 ) ,

( 2, 2 )

2 5

8、4025

9.解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得 解

1 1 ( AB 2 + BC 2 ) = ( x 2 + 1) . ① …………………(2 分) 2 2 2 2 2 在△OBC 中,由余弦定理 BC = OB + OC ? 2OB ? OC cos ∠BOC , 所以 OB 2 + OC 2 ? 2OB ? OC = 1 , ② 2 x ?1 OB ? OC = 由①,②得 . ③ …………………(5 分) 2 2 1 x2 ? 1 所以: S ABCD = 4 S ?OBC = 4 ? OB ? OC sin ∠BOC = 2OB ? OC = , 2 2 x2 ? 1 x2 ? 1 故 : AB ? h( x ) = , 所以 : h( x ) = . …………………(10 分) 2 2x 2 由③可得, x ? 1 > 0 ,故 x > 1 . 1 2 x2 ? 1 2 2 因为 OB + OC ≥ 2OB ? OC ,结合②,③可得: ( x + 1) ≥ 2 ? , 2 2 2 解得(结合 x > 1 ) 1 < x ≤ 2 +1 . 2 x ?1 综上所述, h( x ) = ,1 < x ≤ 2 + 1 . …………………(14 分) 2x (a + sin x)(4 + sin x) 3(a ? 1) 10.解 f ( x ) = = 1 + sin x + +a+2. 解 1 + sin x 1 + sin x 7 3(a ? 1) 当 1 < a ≤ 时, 0 < 3( a ? 1) ≤ 2 ,此时: f ( x ) = 1 + sin x + + a + 2 ≥ 2 3(a ? 1) + a + 2 , 3 1 + sin x 且当 sin x = 3( a ? 1) ? 1 (∈ ( ?1,1]) 时不等式等号成立,故 f min ( x ) = 2 3(a ? 1) + a + 2 . ………(6 分)
当a >

7 3(a ? 1) 时, 3( a ? 1) > 2 ,此时“耐克”函数 y = t + 在 0, 3( a ? 1) ? 内是递减, ? 3 t 3(a ? 1) 5(a + 1) 故此时 f min ( x ) = f (1) = 2 + +a+2= . 2 2

(

7 ? ? 2 3(a ? 1) + a + 2, 1 < a ≤ 3 ; 综上所述, f min ( x ) = ? ? 7 ? 5( a + 1) , a> . ? 2 3 ?
11.证 (1)记 t = 证

…………………(14 分)

xy + yz + zx ,由平均不等式: xyz = 3
3 2

(

3

( xy )( yz )( zx)

)

3 2

? xy + yz + zx ? 2 ≤? ? . 3 ? ?

3

…………………(4 分) 于是 所以
2

4 = 9 xyz + xy + yz + zx ≤ 9t + 3t ,

( 3t ? 2 ) ( 3t 2 + 3t + 2 ) ≥ 0 ,

而 3t + 3t + 2 > 0 ,所以 3t ? 2 ≥ 0 ,即 t ≥

2 4 ,从而 xy + yz + zx ≥ . 3 3
2

…………………(10 分)

(2)又因为: ( x + y + z ) ≥ 3( xy + yz + zx) ,
2

所以 故

12. (1) 解 设集合 A ? 1, 2,L , 2 ? 1 , A 满足 且 (a) b) 则 1 ∈ A, 7 ∈ A . , . ( 由于 {1, m, 7} ( m = 2,3,L , 6 )
3

{

( x + y + z)2 ≥ 4 , x+ y+ z ≥ 2.

…………………(16 分)

}

不满足(b) ,故 A > 3 . ,故 {1, 4,5, 7} , {1, 4, 6, 7} , {1,5, 6, 7} 都不满足 (b) A > 4 . 而集合 {1, 2, 4, 6, 7} 满足(a)(b) , ,所以 f (3) = 5 . (2)首先证明: f ( n + 1) ≤ f ( n) + 2, n = 3, 4,L . 令 B = AU 2 又 {1, 2,3, 7} , {1, 2, 4, 7} , {1, 2,5, 7} , {1, 2, 6, 7} , {1,3, 4, 7} , {1,3,5, 7} , {1,3, 6, 7} ,

…………………(6 分) ①

, ,且 A 的元素个数为 f ( n) . 事实上,若 A ? 1, 2,L , 2 ? 1 ,满足(a)(b)
n

{

{

n +1

? 2, 2 n +1 ? 1} ,由于 2n +1 ? 2 > 2n ? 1 ,故 B = f (n) + 2 .

}

又 2n +1 ? 2 = 2(2n ? 1), 2n +1 ? 1 = 1 + (2n +1 ? 2) ,所以,集合 B ? 1, 2,L , 2n +1 ? 1 ,且 B 满足(a) , (b) .从而: f ( n + 1) ≤ B = f ( n) + 2 . …………………(10 分) ② 其次证明: f (2n) ≤ f ( n) + n + 1, n = 3, 4,L . 令 B = A U 2(2 ? 1), 2 (2 ? 1),L , 2 n (2n ? 1), 2 2 n ? 1 ,
n
2

{

}

n , ,且 A 的元素个数为 f ( n) . 事实上,设 A ? 1, 2,L , 2 ? 1 满足(a)(b)

{

{

}

n

}

由于

所以 B ? 1, 2,L , 22 n ? 1 ,且 B = f ( n) + n + 1 . 而 2k +1 (2n ? 1) = 2k (2n ? 1) + 2 k (2 n ? 1), k = 0,1,L , n ? 1 ,

{

2(2n ? 1) < 22 (2n ? 1) <L < 2n (2 n ? 1) < 2 2 n ? 1 ,

}

22 n ? 1 = 2 n (2n ? 1) + (2n ? 1) ,

从而 B 满足(a)(b) , ,于是: f (2n) ≤ B = f ( n) + n + 1 . …………………(14 分)

f (2n + 1) ≤ f (n) + n + 3 . ③ 反复利用②,③可得 f (100) ≤ f (50) + 50 + 1 ≤ f (25) + 25 + 1 + 51 ≤ f (12) + 12 + 3 + 77 ≤ f (6) + 6 + 1 + 92 ≤ f (3) + 3 + 1 + 99 = 108 . …………………(16 分)
由①,②得

3


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