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圆的标准方程课件2


圆的标准方程

圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r

y

M(x,y) O x

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

C

圆的标准方 程 若圆心为O(0,0),则圆的方程为:

>
x ?y ?1 r
2 2

2

单位圆

1、求以点C(2,1)为圆心,并且与 Y轴相切的圆的方程。

? x ? 2?

解:依图知:圆C的半径为2,Y 则所求圆的标准方程:
2

? ? y ? 1? ? 4
2

问:若此圆C的圆心为(2, 1),且与X轴相切,它的方程 0 是什么??

C(2,1) C(2,1)

X

? x ? 2?

2

? ? y ? 1? ? 1
2

X

例1 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2), 且圆心C在直线上l:x -y +1=0,求圆心为C的圆的标 准方程.
y A(1,1) O C 弦AB的垂 直平分线

D

x B(2,-2)

l : x ? y ?1 ? 0
圆心:两条直线的交点 半径:圆心到圆上一点

典型例题
例2 ?ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7, -3),C(2, -8),求它的外接圆的方程.

y
A(5,1) O C E C(2,-8) D

x
B(7,-3)

圆心:两条弦的中垂线的交点

半径:圆心到圆上一点

典型例题
例2 ?ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7, -3),C(2, -8),求它的外接圆的方程.

解:设所求圆的方程是 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (1)
因为A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) 都在圆上,所以 它们的坐标都满足方程(1).于是

?(5 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ? (7 ? a) 2 ? (?3 ? b) 2 ? r 2 ? ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ?
所求圆的方程为

?a?2 ? ? ?b ? ? 3 ? r ?5 ?
待定系数法

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25
2 2

1.圆心
①两条直线的交点 (弦的垂直平分线) ②直径的中点

y

A

2.半径
①圆心到圆上一点 ②圆心到切线的距离
O C C B

x

例:以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆. y
解: 设所求圆的半径为r 则:

r?

| 3 ? 1- 4 ? 3 - 7 | 3 ?4
2
2 2

16 = 5

C
M

O

x

∴所求圆的方程为:

196 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 25
2

圆心:已知

半径:圆心到切线的距离

已知圆的方程是 2 ? y 2 ? r 2 , 求经过圆上一点 x 例2 M ( x0 , y0 )的切线方程 .

y 解: 如图, 设切线方程为 ? y0 ? k ( x ? x0 )
半径OM的斜率为kOM

x0 因OM垂直于圆的切线 所以k ? ? , y0 x0 切线方程为y ? y0 ? ? ( x ? x0 ) y0

y0 ? x0 ,

Y
M ( x0 , y0 )

整理得, x0 x ? y0 y ? x ? y
2 0

2 0

?x ? y ? r ,
2 0 2 0 2

0
2

X

?所求圆的切线方程为 0 x ? y0 y ? r x

1.已知直线x-y+b=0与圆x 2+y2=8相切, 则b= .
2.求圆心在C(2,-1)且截直线y=x-1所得的弦长为

2 2 的圆的方程。


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