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抛物线中的切线问题


抛物线中的切线问题

例题: (山东高考)如图,设抛物线方程为

x ? 2 py( p ? 0) , M 为直线 y ? ?2 p 上任意
2

一点,过 M 引抛物线的切线,切点分别为 A,B . 求证: A,M ,B 三点的横坐标成等差数列

变式 1:如图,设抛物线方程为 x ? 2 py( p ? 0) ,
2

M 为抛物线外任意一点,过 M 引抛物线的切线, 切
点分别为 A,B .设 A(x1,y1).试用 x1,y1 表示过 A 的切线方程
2 x x 2 解: x ? 2 py 得 y ? ,得 y? ? p 2p

?y

'

x ? x1

x ? p

x ? x1

x1 ? p

x1 ? 过A( x1 , y1 )的切线方程为:y-y1 ? ( x ? x1 ) p

即: py ? py1 ? x1x ? x ? x1x ? 2 py1
2 1

变式 1:如图,设抛物线方程为 x ? 2 py( p ? 0) ,
2

M(x0,y0)为抛物线外任意一点,过 M 引抛物线的切
线,切点分别为 A,B .设 A(x1,y1).试用 x1,y1 表 示过 A 点的切线方程为 : xx1 =p(y+y1 )

问 1:设 B(x2,y2),过 B 的切线方程?

xx2 =p(y+y2 )
问2:你能得到一般的结 论吗?

结论1:
P( x0 , y0 )是抛物线x =2py(p>0)上一点,过P点 作抛物线的切线,则切线方程为:x0 x=p(y+y0 )
2

类比拓展: 1. 过圆 x2 ? y2 ? r 2上一点 M (x0 , y0 )

的切线方程:

x2 y 2 2. 设P( x0 , y0 )为椭圆 a 2 ? b2 ? 1上的点,则过该点的切线方程为:

xx0 ? yy0 ? r
xx0 yy0 ? 2 ?1 2 a b

2

x2 y 2 3. 设P( x0 , y0 )为双曲线 a 2 ? b2 ? 1上的点,则过该点的切线方程为:

2 设 P ( x , y ) 为抛物线 y ? 2 px上的点,则过该点的切线方程为: 0 0 4.

xx0 yy0 ? 2 ?1 2 a b

yy0 ? p( x ? x0 )

例题: (山东高考)如图,设抛物线方程为

x ? 2 py( p ? 0) , M 为直线 y ? ?2 p 上任意
2

一点,过 M 引抛物线的切线,切点分别为 A,B . 求证: A,M ,B 三点的横坐标成等差数列




x12 x2 2 证明:由题意设A(x1 , )、B (x 2 , )、 2p 2p M (x0, ? 2 p )???? 由结论1可得: x12 过A点的切线方程为:x1 x ? p ( ? y) 2p x2 2 过B点的切线方程为:x 2 x ? p ( ? y) 2p

? x x ? p ( x12 -2 p ) ? 1 0 2p 又过A、B切线的方程过M点, ?? x22 x2 x0 ? p ( -2 p ) 2p . ? ? . x1 +x2 整理得x0 = 2 ? A、M、B三点的横坐标成等差数列

变式 2 如图,设抛物线方程为 x ? 2 py( p ? 0) ,
2

M(x0,y0) 为 x ? 2 py 外任意一点 ,过 M 引抛物线
2

的切线,切点分别为 A,B . 问: A,M ,B 三点的横坐标是否仍成等差数列?

刚才上一题证明 中有何发现?

解 :由结论1可知过A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )的切线 方程分别为:x1 x ? p( y1 ? y), x2 x ? p( y2 ? y)
2 两切线过点M ( x0 , y0 )? x1 x1 x0 ? p ( ? y0 ) ? ? x1 x0 ? p ( y1 ? y0 ) 2p ? ?? ?? ? 2 x x ? p ( y ? y ) 2 0 ? 2 0 ? x x ? p ( x2 ? y ) 2 0 0 ? 2p ? 整理可得 : 2 x0 ? x1 ? x2

? A、M、B三点的横坐标成等差数列

变式 3 如图,设抛物线方程为 x2 ? 2 py( p ? 0) ,

M(x0,y0) 为 x ? 2 py 外任意一点 ,过 M 引抛物线
2

的两条切线,切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2).求 过 A, B 两点的直线方程。 (直线 AB 用 x0、y0 的形 式表示)

.

.

变式 3 如图,设抛物线方程为 x ? 2 py( p ? 0) ,
2

M(x0,y0) 为 x2 ? 2 py 外任意一点 ,过 M 引抛物线
的两条切线,切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2).求 过 A, B 两点的直线方程 为: x0 x ?

p( y ? y0 )

解 :由结论1可知过A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )的切线 方程分别为:x1 x ? p( y1 ? y), x2 x ? p( y2 ? y)
两切线过点P( x0 , y0 ) ? x1 x0 ? p ( y1 ? y0 ) ?? ? x2 x0 ? p ( y2 ? y0 )

? A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )都是直线x0 x ? p( y ? y0 )上的点

?直线AB方程为: x0 x ? p( y ? y0 )
.

.

结论2:

1.P( x0 , y0 )是抛物线x =2py外一点,过P点作抛物 线的两条切线,切点分别为A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 直线AB的方程为:

2

x0 x=p(y+y0 )

拓展:圆锥曲线的切点弦方程:
2 2 2 1. 设P( x0 , y0 )为圆x ? y ? r 外一点,则切点弦的方程为: xx0 ? yy0 ? r 2

2.

x2 y 2 设P( x0 , y0 )为椭圆 2 ? 2 ? 1外一点,过该点作椭圆的两条切线, a b xx0 yy0 切点为A,B则弦AB的方程为: 2 ? 2 ? 1

a

b

x2 y 2 3. 过P( x0 , y0 )为双曲线 2 ? 2 ? 1的两支作两条切线,则切点弦方程为: a b

xx0 yy0 ? 2 ?1 2 a b

4. 设P( x0 , y0 )为抛物线y2 ? 2 px开口外一点,则切点弦的方程为:

yy0 ? p( x ? x0 )

变式4:设抛物线方程为 x ? 2 py( p ? 0) ,若
2

p M(x0, ? )是抛物线准线L上任意一点,焦点为F, 2 过 M 引抛物线的切线,切点分别为 A,B
问:A,B,F三点是否共线?

解:由结论2:过切点分别为A ( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )的 p 直线AB的方程为:x0 x =p(y- ), 2 p 抛物线x =2py的焦点F的坐标为(0, ), 2 p p 显然F(0, )满足直线的方程x0 x=p(y- ) 2 2 ? A、F、B三点共线
2

变式5 6 : 如图,设抛物线方程为x2 =2py(p>0), p 若M (x 0 , ? )是抛物线准线L上任意一点, 2 焦点为F, 过M引抛物线的切线,切点分别为A、B. p 问 : 若以点M (x 0 , ? )为圆心的圆E与直线AB相切, 2 求圆E面积的最小值?

略解: p 过A、B的切点弦为x0 x ? p ( y ? ) 2 p2 即x0 x-py ? ? 0,设圆E的圆心到直线AB的距离为r 2 2 p p x0 2 ? P ? ( ? ) ? 2 2 x ? p 2 2 0 则r ? ? ? x0 2 ? p 2 x0 2 ? p 2 x0 2 ? p 2

当x0 =0时,rmin ? p SE ? ? p
2

2013 年广东高考第 20 题.
已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0?
3 2 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 2 .设 P 为直线 l 上的点,

过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线
【解析】(Ⅰ)
2 x ? 4cy , 依题意,设抛物线 C 的方程为

AB 的方程;

0?c?2


2
解得

3 2 ? 2 结合

c ? 0,

c ? 1.

2 x ? 4y 所以抛物线 C 的方程为

2013 年广东高考第 20 题.
已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0?
3 2 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 2 .设 P 为直线 l 上的点,

过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程;
2

x ? 4y
2

(Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线

1 2 1 y ? x ? y ? x (Ⅱ)解:抛物线 C 的方程为 x ? 4 y ,即 , 求导得 4 2

AB 的方程;

B x , y A x , y ? ? ? 2 2? 1 1 设 ,

x12 x2 2 (其中 y1 ? 4 , y2 ? 4

),

1 1 x 则切线 PA, PB 的斜率分别为 2 1 , 2 x2 ,

2 x1 x x y ? y1 ? ? x ? x1 ? y ? 1 x ? 1 ? y1 所以切线 PA 的方程为 ,即 , 2 2 2



x1 x ? 2 y ? 2 y1 ? 0

x x ? 2 y ? 2 y ? 0 PB 2 2 同理可得切线 的方程为
P x , y ? PA , PB 0 0? , 因为切线 均过点

x x ? 2 y ? 2 y ? 0 x x ? 2 y ? 2 y ? 0 2 0 0 2 1 0 0 1 所以 ,
x x ? 2 y ? 2 y ? 0 x , y , x , y ? ? ? ? 0 0 1 1 2 2 所以 为方程 的两组解.

x x ? 2 y ? 2 y ? 0 AB 0 0 所以直线 的方程为 .

小结: 1.我们从一道山东高考题出发,挖掘了抛物线 与其切线的内在联系,运用从特殊到一般的数 学归纳思想,得到了切线公式,切点弦公式。对 抛物线的切线问题进行深入研究,数形结合, 合理猜想,探究了切线与相交弦之间的关系, 加深对抛物线中切线应用的理解,最终比较轻 松的解决2013年广东解析几何第二问。 2.坐标法是解析几何最重要的思想方法,是 解决直线与圆锥曲线的综合问题的有效方法 3.在解题的探索过程,培养了学生发现能力, 钻研能力.

课后探究:2013 年广东高考第 20 题.
已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0?
3 2 l x ? y ? 2 ? 0 到直线 : 的距离为 2 .设 P 为直线 l 上的点,

过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. (Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

探究:如图, 设抛物线方程为 x2 ? 2 py( p ? 0) , 若

p M(x0 , ? )是抛物线准线L上任意一点,焦点为F, 2 过 M 引抛物线的切线, 切点分别为 A,B . 问: 直
线AM,BM是否会垂直?

2 x 解:由x2 ? 2 py得y ? , 2p x1 x2 x , , , ?y ? , ?y ? ? ,同理可得y ? ? x ? x1 x ? x2 p p p

? k AM ?

x12 P ? x1 2 p 2 ? ,即x12 -2x0 x1 -p 2 ? 0 p x1 ? x0

k BM ?

x2 2 P ? x2 2 p 2 ? , 即x2 2 -2x0 x2 -p 2 ? 0 p x 2 ? x0
2

? x1、x2是方程x2 -2x0x-p 2 =0的两根, x1x2 ? x1x2 =-p ? k AM k BM = 2 =-1? 直线AM 、BM 互相垂直 p

小结: 1.我们从一道山东高考题出发,挖掘了抛物线 与其切线的内在联系,运用从特殊到一般的数 学归纳思想,得到了切线公式,切点弦公式。对 抛物线的切线问题进行深入研究,数形结合, 合理猜想,探究了切线与相交弦之间的关系, 加深对抛物线中切线应用的理解,最终比较轻 松的解决2013年广东解析几何第二问。 2.坐标法是解析几何最重要的思想方法,是 解决直线与圆锥曲线的综合问题的有效方法 3.在解题的探索过程,培养了学生发现能力, 钻研能力.

课后探究:2013 年广东高考第 20 题.
已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0?
3 2 l x ? y ? 2 ? 0 到直线 : 的距离为 2 .设 P 为直线 l 上的点,

过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. (Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

(Ⅲ) 由抛物线定义可知 AF ? y1 ?1, BF ? y2 ? 1 , 所以 AF ? BF ? ? y1 ?1?? y2 ?1? ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ?1 联立方程
? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ? 2 ?x ? 4 y

,消去 x 整理得 y ? ? 2 y
2

0

? x0 2 ? y ? y0 2 ? 0

由一元二次方程根与系数的关系可得
y1 ? y2 ? x02 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0
2
2 2 AF ? BF ? y y ? y ? y ? 1 ? y ? x ? ? 所以 1 2 1 2 0 0 ? 2 y0 ? 1

又点 P ? x , y ? 在直线 l 上,所以 x0 ? y0 ? 2 ,
0 0

1? 9 ? 2 2 2 y ? x ? 2 y ? 1 ? 2 y ? 2 y ? 5 ? 2 y ? 0 0 0 ? 0 ? ? 所以 0 0 2? 2 ?

2

所以当

1 y0 ? ? 2

时,

9 AF ? BF 取得最小值,且最小值为 2

.


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