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2011年北京市东城区高三二模数学(理)试题及答案


北京市东城区 北京市东城区 2011 年高三二模试卷 东城 数学(理科) 数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题
要求的一项。 要求的一项。 1 若复数 z = A 0 2 共 40 分) 2011.5

小题, 在每小题列出的四个选项中, 一 本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

x + ( x 2 ? x)i ( x ∈ R )为纯虚数,则 x 等于( i
B 1 C -1 D 0或1



给出下列三个命题: ① ?x ∈ R , x > 0 ;
2

② ?x0 ∈ R ,使得 x0 ≤ x0 成立;
2

③对于集合 M , N ,若 x ∈ M I N ,则 x ∈ M 且 x ∈ N . 其中真命题的个数是( A 0 3 B 1 ) C 2 D 3 )

沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几何体的左视图为(

A 4

B

C

D )

极坐标方程 sin 2θ = 0 ( ρ ≥ 0 )表示的图形是( A 两条直线 C 圆 B 两条射线

D 一条直线和一条射线
2 2 2

5

已知正项数列 {a n } 中,a1 = 1 ,a 2 = 2 ,2an = an +1 + an ?1 ( n ≥ 2) , a6 等于 则 ( A 16 B 8 C



2 2

D 4

6

已知双曲线

x2 y2 ? = 1 (a > 0, b > 0) ,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 a2 b2


M , N 两点, O 为坐标原点.若 OM ⊥ ON ,则双曲线的离心率为(
A 7

?1 + 5 1+ 5 D 2 2 uuu uuu uuur r r uuu uuu r r △ ABC 外接圆的半径为 1 ,圆心为 O ,且 2OA + AB + AC = 0 , | OA |=| AB | ,则 uuu uuu r r CA ? CB 等于( )
B C

?1 + 3 2

1+ 3 2

1

A

3 2

B

3

C

3

D

2 3


8

已知函数 f ( x) = ? A 4

x ≤ 0, ? x + 1, 则函数 y = f [ f ( x )] + 1 的零点个数是( ?log 2 x , x > 0,
C 2 D 1

B 3

第Ⅱ卷(共 110 分)
二 填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 填空题: 小题, 9 10

1 ( x 2 + )5 的展开式中, x 4 的系数为 x

. (用数字作答)

某地为了调查职业满意度,决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群 体的相关人员中,抽取若干人组成调查小组,有关数据见下表,则调查小组的总人数 为 ; 若从调查小组中的公务员和教师中随机选 2 人撰写调查报告, 则其中恰 . 相关人员数 公务员 教师 自由职业者 32 48 64 抽取人数

好有 1 人来自公务员的概率为

x
y
4

11 在△ ABC 中,若 ∠B = 12

π , b = 2a ,则 ∠C = 4



如图, BC 是半径为 2 的圆 O 的直径,点 P 在 BC 的延长线上, PA 是圆 O 的切线, 点 A 在 直 径 BC 上 的 射 影 是 OC 的 中 点 , 则 ∠ABP = ;

PB ? PC =



A

B

O

C

P

13

已知点 P (2, t ) 在不等式组 ?

? x ? y ? 4 ≤ 0, 表示的平面区域内,则点 P (2, t ) 到直线 ?x + y ? 3 ≤ 0

3 x + 4 y + 10 = 0 距离的最大值为____________.
14 对 任 意 x ∈ R , 函 数 f ( x) 满 足 f ( x + 1) =

f ( x) ? [ f ( x)]2 +

1 , 设 2
2

a n = [ f (n)] 2 ? f (n) ,数列 {a n } 的前 15 项的和为 ?

31 ,则 f (15) = 16



解答题: 小题, 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 三 解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15 (本小题共 13 分) 已知 sin( A +

π
4

)=

7 2 π π , A∈ ( , ) . 10 4 2

(Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) = cos 2 x +

5 sin A sin x 的值域. 2

16

(本小题共 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB = AC = 5 , D , E 分别为 BC , BB1 的 中点,四边形 B1 BCC1 是边长为 6 的正方形. (Ⅰ)求证: A1 B ∥平面 AC1 D ; (Ⅱ)求证: CE ⊥ 平面 AC1 D ; (Ⅲ)求二面角 C ? AC1 ? D 的余弦值.

3

17

(本小题共 13 分) 甲,乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一 人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 p ( p > 负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)设 ξ 表示比赛停止时比赛的局数,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望 Eξ .

1 ) ,且各局胜 2

5 . 9

18

(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) = x 2 ? a ln x ( a ∈ R ). (Ⅰ)若 a = 2 ,求证: f ( x ) 在 (1, +∞) 上是增函数; (Ⅱ)求 f ( x ) 在[1,e]上的最小值.

4

19

(本小题共 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到定点 F (0, ) 的距离比点 P 到 x 轴的距离大

1 4

1 , 设动点 P 的轨迹为曲线 C , 直线 l : y = kx + 1 交曲线 C 于 A, B 两点, 是线段 AB M 4
的中点,过点 M 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 N . (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)证明:曲线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (Ⅲ)若曲线 C 上存在关于直线 l 对称的两点,求 k 的取值范围.

20

(本小题共 14 分) 在单调递增数列 {a n } 中, a1 = 2 ,不等式 ( n + 1) a n ≥ na 2 n 对任意 n ∈ N 都成立.
*

(Ⅰ)求 a 2 的取值范围; (Ⅱ)判断数列 {a n } 能否为等比数列?说明理由; (Ⅲ)设 bn = (1 + 1)(1 + ) L (1 + 求证:对任意的 n ∈ N ,
*

1 2

1 1 ) , c n = 6(1 ? n ) , n 2 2

bn ? c n ≥ 0. a n ? 12

5

北京市东 年高三二 北京市东城区 2011 年高三二模试卷 参考答案及评分标准 数学(理科) 数学(理科)
选择题: 小题, 一 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 A 5 D 6 D 7 C 8 A 2011.5

填空题: 小题, 二 填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 题号 答案 9 10 10 9; 11 12 13 4 14

3 5

7π 12

30o ; 12

3 4

解答题: 三 解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15 (共 13 分) 解 (Ⅰ)因为

π π π 7 2 < A < ,且 sin( A + ) = , 4 2 4 10

所以

π π 3π π 2 < A+ < , cos( A + ) = ? . 2 4 4 4 10 π π π π π π ) ? ] = cos( A + ) cos + sin( A + )sin 4 4 4 4 4 4

因为 cos A = cos[( A +

=?
所以 cos A =

2 2 7 2 2 3 ? + ? = . 10 2 10 2 5
……………………6 分

3 . 5 4 . 5 5 sin A sin x 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin A = 所以 f ( x ) = cos 2 x +

= 1 ? 2sin 2 x + 2sin x

1 3 = ?2(sin x ? ) 2 + , x ∈ R . 2 2

6

因为 sin x ∈ [ ?1,1] ,所以,当 sin x =

1 3 时, f ( x ) 取最大值 ; 2 2

当 sin x = ?1 时, f ( x ) 取最小值 ?3 . 所以函数 f ( x ) 的值域为 [ ?3, ] .

3 2

……………………13 分

16 (共 14 分) (Ⅰ)证明:连结 A1C ,与 AC1 交于 O 点,连结 OD . 因为 O , D 分别为 AC1 和 BC 的中点, 所以 OD ∥ A1 B .

A1 O C1

A

C D

B1

E

B

又 OD ? 平面 AC1 D , A1 B ? 平面 AC1 D , 所以 A1 B ∥平面 AC1 D . (Ⅱ)证明:在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ……………………4 分

BB1 ⊥ 平面 ABC ,又 AD ? 平面 ABC ,
所以 BB1 ⊥ AD . 因为 AB = AC , D 为 BC 中点, 所以 AD ⊥ BC .又 BC I BB1 = B , 所以 AD ⊥ 平面 B1 BCC1 . 所以 AD ⊥ CE . 因为四边形 B1 BCC1 为正方形, D , E 分别为 BC , BB1 的中点, 所以 Rt △ CBE ≌ Rt △ C1CD , ∠CC1 D = ∠BCE . 所以 ∠BCE + ∠C1 DC = 90 .
o

又 CE ? 平面 B1 BCC1 ,

所以 C1 D ⊥ CE . 又 AD I C1 D = D , 所以 CE ⊥ 平面 AC1 D . ……………………9 分

(Ⅲ)解:如图,以 B1C1 的中点 G 为原点,建立空间直角坐标系. 则 A(0, 6, 4), E (3,3, 0), C ( ?3, 6, 0), C1 ( ?3, 0, 0) . 由(Ⅱ)知 CE ⊥ 平面 AC1 D ,所以 CE = (6, ?3, 0) 为平面 AC1 D 的一个法 向量.

uuu r

7

设 n = ( x, y , z ) 为平面 ACC1 的一个法向量,

uuuu r uuur AC = (?3, 0, ?4) , CC1 = (0, ?6, 0) . uuur ?n ? AC = 0, ??3 x ? 4 z = 0, ? 由 ? uuuu 可得 ? r ??6 y = 0. ?n ? CC1 = 0. ?
令 x = 1 ,则 y = 0, z = ? 所以 n = (1, 0, ? ) .
x

z A1 A

3 . 4
B1

C1 G E B D

C y

3 4

uuu r uuu r CE ? n 8 r 从而 cos < CE , n >= uuu = 5. | CE | ? | n | 25
因为二面角 C ? AC1 ? D 为锐角, 所以二面角 C ? AC1 ? D 的余弦值为

8 5 .……………………14 分 25

17 (共 13 分) 解 (Ⅰ)当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时,第二局比赛结束时比赛停止, 故 p + (1 ? p ) =
2 2

5 , 9

解得 p = 又p>

1 2 或p= . 3 3
…………………6 分

1 2 ,所以 p = . 2 3

(Ⅱ)依题意知 ξ 的所有可能取值为 2,4,6.

5 P (ξ = 2) = , 9 5 5 20 P (ξ = 4) = (1 ? ) × = , 9 9 81 5 20 16 P (ξ = 6) = 1 ? ? = , 9 81 81
所以随机变量 ξ 的分布列为:

ξ

2

4

6

8

P

5 9

20 81

16 81

所以 ξ 的数学期望 Eξ = 2 ×

5 20 16 266 + 4× + 6× = .………………13 分 9 81 81 81

18 (共 13 分) (Ⅰ)证明:当 a = 2 时, f ( x) = x 2 ? 2 ln x , 当 x ∈ (1,+∞) 时, f ′( x) =

2( x 2 ? 1) >0, x
………………5 分

所以 f (x) 在 (1,+∞) 上是增函数. (Ⅱ)解: f ′( x) =

2x 2 ? a ( x > 0) ,当 x ∈ [1, e] , 2 x 2 ? a ∈ [2 ? a, 2e 2 ? a ] . x

若 a ≤ 2 ,则当 x ∈ [1, e] 时, f ′( x ) ≥ 0 , 所以 f (x) 在 [1, e] 上是增函数, 又 f (1) = 1 ,故函数 f (x) 在 [1, e] 上的最小值为 1 . 若 a ≥ 2e ,则当 x ∈ [1, e] 时, f ′( x ) ≤ 0 ,
2

所以 f (x) 在 [1, e] 上是减函数, 又 f (e) = e ? a ,所以 f (x) 在 [1, e] 上的最小值为 e ? a .
2 2

若 2 < a < 2e ,则当 1 ≤ x <
2

a 时, f ′( x) < 0 ,此时 f (x) 是减函数; 2



a < x ≤ e 时, f ′( x) > 0 ,此时 f (x) 是增函数. 2 a a a a ) = ? ln , 2 2 2 2
a a a ? ln . 2 2 2

又 f(

所以 f (x) 在 [1, e] 上的最小值为

综上可知,当 a ≤ 2 时, f (x) 在 [1, e] 上的最小值为 1; 当 2 < a < 2e 时, f (x) 在 [1, e] 上的最小值为
2 2 2

a a a ? ln ; 2 2 2

当 a ≥ 2e 时, f (x) 在 [1, e] 上的最小值为 e ? a .………………13 分

19 (共 13 分)
9

(Ⅰ) 解: 由已知, 动点 P 到定点 F (0, ) 的距离与动点 P 到直线 y = ?

1 4

1 的距离相等. 4 1 为准线 4

由抛物线定义可知,动点 P 的轨迹为以 (0, ) 为焦点,直线 y = ? 的抛物线. 所以曲线 C 的方程为 y = x 2 . (Ⅱ)证明:设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) . 由? ………………3 分

1 4

? y = x2 , ? y = kx + 1,

得 x ? kx ? 1 = 0 .
2

所以 x1 + x2 = k , x1 x2 = ?1 . 设 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 = 因为 MN ⊥ x 轴, 所以 N 点的横坐标为

k . 2

k . 2

由 y = x 2 ,可得 y ' = 2 x 所以当 x =

k 时, y ' = k . 2

所以曲线 C 在点 N 处的切线斜率为 k ,与直线 AB 平行.…………8 分 (Ⅲ)解:由已知, k ≠ 0 . 设直线 l 的垂线为 l ' : y = ? 代入 y = x 2 ,可得 x +
2

1 x+b. k
(*)

1 x?b = 0 k

若存在两点 D ( x3 , y3 ), E ( x4 , y4 ) 关于直线 l 对称, 则

x3 + x4 y + y4 1 1 =? , 3 = 2 +b 2 2k 2 2k x3 + x4 y3 + y4 , ) 在 l 上, 2 2
1 1 1 1 + b = k (? ) + 1 , b = ? 2 . 2 2k 2k 2 2k

又(

所以

由方程(*)有两个不等实根 所以 ? = ( ) + 4b > 0 ,即
2

1 k

1 2 +2? 2 > 0 2 k k
10

所以

1 2 2 < 2 ,解得 k < ? 或k > . 2 k 2 2

………………13 分

20 (共 14 分) (Ⅰ)解:因为 {a n } 是单调递增数列, 所以 a 2 > a1 , a 2 > 2 . 令 n = 1 , 2a1 ≥ a 2 , a 2 ≤ 4 , 所以 a 2 ∈ (2, 4] . (Ⅱ)证明:数列 {a n } 不能为等比数列. 用反证法证明: 假设数列 {a n } 是公比为 q 的等比数列, a1 = 2 > 0 , a n = 2q 因为 {a n } 单调递增,所以 q > 1 . 因为 n ∈ N , ( n + 1) a n ≥ na 2 n 都成立.
*

………………4 分

n ?1

.

所以 n ∈ N , 1 +
*

1 ≥ qn n
*



因为 q > 1 ,所以 ?n0 ∈ N ,使得当 n ≥ n0 时, q n > 2 . 因为 1 +

1 ≤ 2 (n ∈ N* ) . n
*

所以 ?n0 ∈ N ,当 n ≥ n0 时, q > 1 +
n

1 ,与①矛盾,故假设不成立. n
………………9 分

(Ⅲ)证明:观察: b1 = c1 = 3 , b2 = 想: bn ≤ c n . 用数学归纳法证明:

15 9 135 21 < c 2 = , b3 = < c3 = ,…,猜 4 2 32 4

(1)当 n = 1 时, b1 = 3 ≤ c1 = 3 成立; (2)假设当 n = k 时, bk ≤ c k 成立; 当时,

bk +1 = bk (1 +

1 2
k +1

) ≤ c k (1 +

1 2
k +1

) = 6(1 ?

1 1 ) (1 + k +1 ) k 2 2

= 6(1 +

1 2
k +1

?

1 1 1 1 ? 2 k +1 ) = 6(1 ? k +1 ? 2 k +1 ) k 2 2 2 2
11

< 6(1 ?

1 2 k +1

)

所以 bk +1 ≤ c k +1 . 根据(1) (2)可知,对任意 n ∈ N ,都有 bn ≤ c n ,即 bn ? c n ≤ 0 .
*

由已知得, a 2 n ≤ (1 + 所以 a

1 )a n . n

2n

≤ (1 +

1 1 1 )a n ?1 ≤ L ≤ (1 + n ?1 ) L (1 + )(1 + 1)a1 . n ?1 2 2 2 2
2n

所以当 n ≥ 2 时, a 因为 a 2 < a 4 < 12 .

≤ 2bn ?1 ≤ 2c n ?1 = 12(1 ?

1 2 n ?1

) < 12 .

所以对任意 n ∈ N , a
* *

2n

< 12 .
*

对任意 n ∈ N ,存在 m ∈ N ,使得 n < 2 ,
m

因为数列{ a n }单调递增, 所以 a n < a
2m

< 12 , a n ? 12 < 0 .

因为 bn ? c n ≤ 0 , 所以

bn ? c n ≥ 0. a n ? 12

………………14 分

12


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