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《2014挑战中考数学压轴题》3.2 几何证明及通过几何计算进行说理问题


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3.2 几何证明及通过几何计算进行说理问题

例 1 2013 年上海市黄浦区中考模拟第 24 题
已知二次函数 y=-x2+bx+c 的图像经过点 P(0, 1)与 Q(2, -3). (1)求此二次函数的解析式; (2)若点 A 是第一象限内该二次函数图像上一点,过点 A 作 x 轴的平行线交

二次函数图 像于点 B,分别过点 B、A 作 x 轴的垂线,垂足分别为 C、D,且所得四边形 ABCD 恰为正方 形. ①求正方形的 ABCD 的面积; ②联结 PA、PD,PD 交 AB 于点 E,求证:△ PAD∽△PEA.

动感体验
请打开几何画板文件名“13 黄浦 24”,拖动点 A 在第一象限内的抛物线上运动,可以体验 到,∠PAE 与∠PDA 总保持相等,△ PAD 与△ PEA 保持相似. 请打开超级画板文件名“13 黄浦 24”,拖动点 A 在第一象限内的抛物线上运动,可以体验 到,∠PAE 与∠PDA 总保持相等,△ PAD 与△ PEA 保持相似.

思路点拨
1.数形结合,用抛物线的解析式表示点 A 的坐标,用点 A 的坐标表示 AD、AB 的长,当 四边形 ABCD 是正方形时,AD=AB. 2 .通 过计 算∠PAE 与 ∠DPO 的正 切值, 得到 ∠PAE= ∠DPO=∠PDA ,从 而证明 △ PAD∽△PEA.

满分解答
(1)将点 P(0, 1)、Q(2, -3)分别代入 y=-x2+bx+c,得

?c ? 1, ? ??4 ? 2b ? 1 ? ?3.

解得 ?

?b ? 0, ?c ? 1.

所以该二次函数的解析式为 y=-x2+1. (2)①如图 1,设点 A 的坐标为(x, -x2+1),当四边形 ABCD 恰为正方形时,AD=AB. 此时 yA=2xA. 解方程-x2+1=2x,得 x ? ?1 ? 2 . 所以点 A 的横坐标为 2 ? 1 .
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因此正方形 ABCD 的面积等于 [2( 2 ? 1)]2 ? 12 ? 8 2 . ②设 OP 与 AB 交于点 F,那么 PF ? OP ? OF ? 1 ? 2( 2 ? 1) ? 3 ? 2 2 ? ( 2 ? 1) 2 . 所以 tan ?PAE ?

PF ( 2 ? 1) 2 ? ? 2 ?1 . AF 2 ?1

又因为 tan ?PDA ? tan ?DPO ?

OD ? 2 ?1, OP

所以∠PAE=∠PDA. 又因为∠P 公用,所以△ PAD∽△PEA.

图1

图2

考点伸展
事实上,对于矩形 ABCD,总有结论△ PAD∽△PEA.证明如下: 如图 2,设点 A 的坐标为(x, -x2+1),那么 PF=OP-OF=1-(-x2+1)=x2. 所以 tan ?PAE ?

PF x 2 ? ? x. AF x

又因为 tan ?PDA ? tan ?DPO ?

OD ? x, OP

所以∠PAE=∠PDA.因此△ PAD∽△PEA.

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例 2 2013 年江西省中考第 24 题
某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程: (1)操作发现: 在等腰△ ABC 中,AB=AC,分别以 AB、AC 为斜边, 向△ ABC 的外侧作等腰直角三角形, 如图 1 所示,其中 DF⊥AB 于点 F,EG⊥AC 于点 G,M 是 BC 的中点,连结 MD 和 ME,则 下列结论正确的是__________(填序号即可) . ①AF=AG=

1 AB ;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④MD⊥ME. 2

(2)数学思考: 在任意△ ABC 中,分别以 AB、AC 为斜边,向△ ABC 的外侧作等腰直角三角形,如图 2 所示, 是 BC 的中点, M 连结 MD 和 ME, MD 与 ME 有怎样的数量关系?请给出证明过程; 则 (3)类比探究: 在任意△ ABC 中,仍分别以 AB、AC 为斜边,向△ ABC 的内侧作等腰直角三角形,如图 3 所示,M 是 BC 的中点,连结 MD 和 ME,试判断△ MDE 的形状.答:_________.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“13 江西 24”,拖动点 A 可以改变△ ABC 的形状,可以体验到, △ DFM≌△MGE 保持不变,∠DME=∠DFA=∠EGA 保持不变. 请打开超级画板文件名“13 江西 24”,拖动点 A 可以改变△ ABC 的形状,可以体验到, △ DFM≌△MGE 保持不变,∠DME=∠DFA=∠EGA 保持不变.

思路点拨
1.本题图形中的线条错综复杂,怎样寻找数量关系和位置关系?最好的建议是按照题意 把图形规范、准确地重新画一遍. 2.三个中点 M、F、G 的作用重大,既能产生中位线,又是直角三角形斜边上的中线. 3. 两组中位线构成了平行四边形, 由此相等的角都标注出来, 还能组合出那些相等的角?

满分解答
(1)填写序号①②③④.
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(2)如图 4,作 DF⊥AB,EG⊥AC,垂足分别为 F、G. 因为 DF、EG 分别是等腰直角三角形 ABD 和等腰直角三角形 ACE 斜边上的高, 所以 F、G 分别是 AB、AC 的中点. 又已知 M 是 BC 的中点,所以 MF、MG 是△ ABC 的中位线. 所以 MF ?

1 1 AC , MG ? AB ,MF//AC,MG//AB. 2 2

所以∠BFM=∠BAC,∠MGC=∠BAC. 所以∠BFM=∠MGC.所以∠DFM=∠MGE. 因为 DF、EG 分别是直角三角形 ABD 和直角三角形 ACE 斜边上的中线, 所以 EG ?

1 1 AC , DF ? AB . 2 2

所以 MF=EG,DF=NG. 所以△ DFM≌△MGE.所以 DM=ME. (3)△ MDE 是等腰直角三角形.

图4

图5

考点伸展
第 (2) 题和第 (3) 题证明△ DFM≌△MGE 的思路是相同的, 不同的是证明∠DFM=∠MGE 的过程有一些不同. 如图 4,如图 5,∠BFM=∠BAC=∠MGC. 如图 4,∠DFM=90° +∠BFM,∠MGE=90° +∠MGC,所以∠DFM=∠MGE. 如图 5,∠DFM=90° -∠BFM,∠MGE=90° -∠MGC,所以∠DFM=∠MGE.

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