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2.5等比数列的前n项和


等差数列

等比数列
an ? q(q为常数 an ?1 n≥2)

定义
通项公式

an-an-1=d(d为常
数,n≥2)

an=a1+(n-1)d

an=a1· qn-1(q≠0)
G=

等差(等比) a?b A= 中项 2

? ab

等距性

若m+n=p+q,则 am+an=ap+aq
( a1 ? an ) n Sn= 2 n( n ? 1) S n ? na1 ? d 2

若m+n=p+q, 则aman=apaq

前n项和公 式



2.5

等比数列的前n项和

新课讲授
问题: 从前,一个穷人到富人那里去借钱,原以 为富人不愿意,哪知富人一口答应了下来,但 提出了如下条件:在 30 天中,富人第一天借给 穷人 1 万元,第二天借给穷人 2 万元,以后每 天所借的钱数都比上一天多一万;但借钱第一 天,穷人还 1 分钱,第二天还 2 分钱,以后每 天所还的钱数都是上一天的两倍,30 天后互不 相欠。穷人听后觉得挺划算,但怕上当受骗, 所以很为难。请在座的同学思考一下,帮穷人出 个主意.

(二)问题探究
问题1:这个月,富人一共要借给穷人多少钱? 1+2+3+4+……+30=465万元 问题2:这个月,穷人一共要给富人多少钱?

1? , 2,?2 22, ? ? ,? 2 2. 分 共1 2,? ?
22 33 29 29

问题3:这是什么数列求和?求前多少项的和? 求等比数列的前30项的和。

(二)问题探究
总数为:

S30 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 3

29

问题4:如何求出这个和?用计算器怎么样? 时间很长,太麻烦了。
问题5:能否类比等差数列前n项和公式的求法?

(三)方法回顾 等差数列求和公式的推导

数列{an }为等差数列,其前n项和为Sn Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ① Sn ? an ? an?1 ? ? ? a2 ? a1


根据①式,如何构造另一个式子②? 把这两个式子怎么样? ① + ② 得:

2Sn ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? ? ? (an?1 ? a2 ) ? (an ? a1 )
n(a1 ? an ) ? 2Sn ? n(a1 ? an ) Sn ? 2 倒序相加 的目的:出现相等的项,从而化简

(四)类比探究 等比数列的前n项和公式
已知数列{an }为等比数列,请推导其前n项和公式 2 n?2 n ?1 S n ? a1 ? a1q ? a1q ? ? ? a1q ? a1q ①

qS n ? a1q ? a1q ? a1q ? ? ? a1q
2 3

n ?1

? a1q

n



问题1:观察求和的式子①,相邻两项有什么特征?

后项=前项×公比 问题2:如何构造式子②? 将式子①的两边都乘以 q
问题3:为了消项,接下来将这两个式子怎么样?相减

(四)类比探究 等比数列的前n项和公式

S n ? a1 ? a1q ? a1q ? ? ? a1q
2

n?2

? a1q

n ?1



qS n ? a1q ? a1q ? a1q ? ? ? a1q
2 3

n ?1

? a1q
n

n



① - ② 得:

?1 ? q ?Sn ? a1 ? a1q

问题 7:要求出 ,是否可以把上式两边同除以1 ? q? Sq 当 1? q ? 0,即 n ? 1 时,除以 1 ? q 得:

当 1 ? q ? 0,即q ? 1 时, Snn ? ?a ?1 S

注意:分类讨论是一种常用的数学思想方法!

? a2 ? ? ? an ? a1 ? a1 ? ? ? a1 ? na1

(四)类比探究 等比数列的前n项和公式

探究成果:

设等比数列{an }的前n项和为 S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an


当q≠1时, 当 q=1 时, S n ? na1



(五)公式的应用 例1.求下列等比数列前8项的和.
1 1 1 (1) , , ? 2 4 8

1 ( 2) a1 ? 27, a9 ? , q ? 0. 243

(五)公式的应用 变式1 判断正误:
① 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? (?2)
n?1

1 ? (1 ? 2 ) ? 1? 2

n

× ×

n 1 ? ( 1 ? 2 ) 2 3 n ② 1? 2 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 1? 2

×

③ 1? a ? a

2

??? a

n ?1

1? (1 ? a ) ? 1? a
n

反思总结:
用公式前,先弄清楚数列的首项 、公比 、项数n

(五)公式的应用 填空:
第1题 第2题

a1 q n a n S n
3 8 2 0.5 -4 1 -2 6 96 189 0.5 15.5 96 76.5 1.5 4.5 -96 -66

5
4 3 5

第3题 -1.5 第4题 1.5 第5题 -6

反思总结:如果不能用公式直接求出某个量,就 要建立方程组来求解。

(九)课堂小结 这节课我们主要学到了什么?

q ?1
1. 一个公式: 错位相减 2. 两种方法: 解方程 类比 3. 三种数学思想: 方程 分类讨论

q ?1

例2

某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年 的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从 今起,大约几年可使总销售量达到30000台(结 果保留到个位)?
第2年销售量为 5000×(1+10%)=5000×1.1台 第3年销售量为 5000×(1+10%) ×(1+10%)

分析:第1年销售量为 5000台

……
则n年内的总销售量为:

? 5000 ?1.12台

n ?1 5000 ? 1 . 1 台 第n年销售量为

5000 ? 5000 ?1.1 ? 5000 ?1.12 ? ? ? 5000 ?1.1n ?1

例2

某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比 上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售 量达到30000台(结果保留到个位)?

解: 由题意可知,这个商场从今年起,平均每年的销售量组成 一个等比数列, 记为 an

? a1 ? 5, q ? 1 ? 10% ? 1.1, Sn ? 30
5(1 ? 1.1n ) ? 30. 1 ? 1.1

? ?

于是得到

a1 (1 ? q ) Sn ? 1? q
n
n

整理后,得

1.1 ? 1.6
n

lg 1.6 0.2041 n? ? ?5 lg 1.1 0.0414
答:5年内可以使总产量达到30万吨.

? lg1.1 ? lg1.6 ? n lg1.1 ? lg1.6

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