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2016届《创新设计》数学一轮(文科)北师大版配套作业 2-5 指数与指数函数


第5讲

指数与指数函数

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 1.若 x=log43,则(2x-2-x)2= 9 A.4 10 C. 3 解析 5 B.4 4 D.3 3 由 x=log43,得 4x=3,即 2x= 3,2-x= 3 , ( )

?2 3?2 4 ? = . 所以(2x-2-x)2=? ? 3 ? 3 答案 D ( )

2.函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)的图像可能是

解析

当 x=1 时,y=0,故函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)的图像必过点(1,0), C 3 ,c=ln 2,则 a,b,c 的大小关系是( B.b>c>a )

显然只有 C 符合. 答案

3.(2014· 西安模拟)设 a=( 2)1.4,b= A.a>b>c

-1-

C.c>a>b 解析 答案 3 c=ln 2<1=( 2)0<a=( 2)1.4< D

D.b>a>c <b= ,故选 D.

4.(2014· 东北三校联考)函数 f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的图像恒过点 A,下列函数中 图像不经过点 A 的是 A.y= 1-x C.y=2x-1 解析


( B.y=|x-2| D.y=log2(2x)

)

f(x)=ax 1(a>0,a≠1)的图像恒过点(1,1),又由 0= 1-1知(1,1)不在

函数 y= 1-x的图像上. 答案 A )

1 5.若函数 f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1),满足 f(1)=9,则 f(x)的单调递减区间是( A.(-∞,2] C.[-2,+∞) 解析 1 1 由 f(1)=9得 a2=9, B.[2,+∞) D.(-∞,-2]

1 1 ?1?|2x-4| ∴a=3或 a=-3(舍去),即 f(x)=?3? . ? ? 由于 y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增, 所以 f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.故选 B. 答案 B

二、填空题 6. a3 a· a 5
4

(a>0)的值是________.

解析

a3 5 a· a4

答案

-2-

a 7. 函数 f(x)=ax(a>0, a≠1)在[1, 2]中的最大值比最小值大2, 则 a 的值为________. 解析 a 当 0<a<1 时,a-a2=2,

1 a ∴a=2或 a=0(舍去).当 a>1 时,a2-a=2, 3 1 3 ∴a=2或 a=0(舍去).综上所述,a=2或2. 答案 1 3 2或2

8. 已知函数 f(x)=a-x(a>0, 且 a≠1), 且 f(-2)>f(-3), 则 a 的取值范围是________. 解析 ?1?x 因为 f(x)=a-x=?a? ,且 f(-2)>f(-3),所以函数 f(x)在定义域上单调递 ? ?

1 增,所以a>1,解得 0<a<1. 答案 (0,1)

三、解答题 9.求下列函数的定义域、值域及单调性. ?1 (1)y=?2 ? 解 ?6+x-2x ?2?-|x| ? ;(2)y=?3? . ? ? ?
2

(1)函数的定义域为 R,

?1?u 令 u=6+x-2x2,则 y=?2? . ? ? ? 1?2 49 ∵二次函数 u=6+x-2x2=-2?x-4? + 8 , ? ? 49? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ∴函数的值域为 y?y≥? ? 8 ?. ? ? ? ?2? ? ? 1 ?1 ? 又∵二次函数 u=6+x-2x2 的对称轴为 x=4,在?4,+∞?上 u=6+x-2x2 是 ? ? 1? ? ?1?u 减函数,在?-∞,4?上是增函数,又函数 y=?2? 是减函数, ? ? ? ? 1? ?1?6+x-2x ?1 ? ? ∴y=?2? 在?4,+∞?上是增函数,在?-∞,4?上是减函数. ? ? ? ? ? ? (2)定义域为 x∈R.
2

-3-

?2?-|x| ?3?|x| ?3?0 ∵|x|≥0,∴y=?3? =?2? ≥?2? =1. ? ? ? ? ? ? ?2?-|x| 故 y=?3? 的值域为{y|y≥1}. ? ? ?2?-|x| 又∵y=?3? 是偶函数, ? ? ?3?x ? ? ? ?2?-|x| ??2? 且 y=?3? =? ? ? ?2?x ? ? ?? ?3? (x≥0), (x<0).

?2?-|x| 所以函数 y=?3? 在(-∞,0]上是减函数, ? ? 在[0,+∞)上是增函数.(此题可借助图像思考) 10.已知 f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x∈(0,1)时,f(x)= (1)求函数 f(x)在(-1,1)上的解析式; (2)判断 f(x)在(0,1)上的单调性. 解 (1)∵f(x)是 x∈R 上的奇函数,∴f(0)=0. 设 x∈(-1,0),则-x∈(0,1). 2-x 2x 2x f(-x)= -x = x =-f(x),∴f(x)=- x , 4 +1 4 +1 4 +1 2x . 4 +1
x

? ? ∴f(x)=?0,x=0, 2 ? ?4 +1,x∈(0,1).
x x

2x - x ,x∈(-1,0), 4 +1

(2)设 0<x1<x2<1, f(x1)-f(x2)= (2x1-2x2)+(2x1+2x2-2x2+2x1) (4x1+1)(4x2+1)



(2x1-2x2)(1-2x1+x2) , (4x1+1)(4x2+1)

∵0<x1<x2<1,∴2x1<2x2,2x1+x2>20=1, ∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)在(0,1)上为减函数.
-4-

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
11.函数 y=ax-b(a>0 且 a≠1)的图像经过第二、三、四象限,则 ab 的取值范围 为 A.(1,+∞) C.(0,1) 解析 B.(0,+∞) D.无法确定 ( )

函数经过第二、三、四象限,所以函数单调递减且图像与 y 轴的交点在

?0<a<1, ?0<a<1, 负半轴上. 而当 x=0 时, y=a0-b=1-b, 由题意得? 解得? ?1-b<0, ?b>1, 所以 ab∈(0,1). 答案 C

12.若关于 x 的方程|ax-1|=2a(a>0 且 a≠1)有两个不等实根,则 a 的取值范围是 ( A.(0,1)∪(1,+∞) C.(1,+∞) 解析 B.(0,1) 1? ? D.?0,2? ? ? )

方程|ax-1|=2a(a>0 且 a≠1)有两个实数根转化为函数 y=|ax-1|与

y=2a 有两个交点. 1 ①当 0<a<1 时,如图(1),∴0<2a<1,即 0<a<2. ②当 a>1 时,如图(2),而 y=2a>1 不符合要求.

1 综上,0<a<2. 答案 D 13.当 x∈[-2,2]时,ax<2(a>0,且 a≠1),则实数 a 的范围是________.
-5-

解析

x∈[-2,2]时,ax<2(a>0,且 a≠1),

若 a>1,y=ax 是一个增函数,则有 a2<2,可得 a< 2, 故有 1<a< 2; 2 2 若 0<a<1,y=ax 是一个减函数,则有 a-2<2,可得 a> 2 ,故有 2 <a<1.综上知 ? 2 ? a∈? ,1?∪(1, 2). ?2 ? ? 2 ? 答案 ? ,1?∪(1, 2) 2 ? ? 14.设 a>0 且 a≠1,函数 y=a2x+2ax-1 在[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值. 解 令 t=ax(a>0 且 a≠1),

则原函数化为 y=(t+1)2-2(t>0). 1? ? ①当 0<a<1 时,x∈[-1,1],t=ax∈?a,a?, ? ? 1? ? 此时 f(t)在?a,a?上为增函数. ? ? ?1? ?1 ?2 所以 f(t)max=f ?a?=?a+1? -2=14. ? ? ? ? 1 1 ?1 ?2 所以?a+1? =16,所以 a=-5或 a=3. ? ? 1 又因为 a>0,所以 a=3. ?1 ? ②当 a>1 时,x∈[-1,1],t=ax∈?a,a?, ? ? ?1 ? 此时 f(t)在?a,a?上是增函数. ? ? 所以 f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14, 1 解得 a=3(a=-5 舍去).综上得 a=3或 3.

-6-


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