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【智博教育原创专题】高考边缘热点问题之凹凸函数


高考边缘热点问题之凹凸函数 教学目的: ①了解函数的凹凸性,掌握增量法解决凹凸曲线问题。 ②培养学生探索创新能力,鼓励学生进行研究型学习。 教学重点:掌握增量法解决凹凸曲线问题 教学难点:函数的凹凸性定义及图像特征 函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型. 这种题情景新颖、 背景公平, 能考查学生的创新能力和潜在的数学素质, 体现“高考命题范围遵循教学大纲, 又不拘泥于 教学大纲”的改革精神. 但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义, 又没有 作专门的研究, 因此, 就多数学生而言, 对这类凹凸性曲线问题往往束手无策; 而教师的“导 数”理解又不能被学生所接受.所以,对这类非常规性问题作一探索,并引导学生去得到一 般性的解法, 无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现 此类的试题都是十分重要的。 ★凹凸函数定义及几何特征 ⑴引出凹凸函数的定义: 如图 3 根据单调函数的图像特征可知: 函数 f1 ( x) 与 f 2 ( x) 都是增函数, 但是 f1 ( x) 与 f 2 ( x) 递 增方式不同。不同在哪儿?把形如 f1 ( x) 的增长方式的函数称为凹函数,而形如 f 2 ( x) 的增 长方式的函数称为凸函数。 【分析】 ⑵凹凸函数定义: 设函数 f ( x) 为定义在区间 I 上的函数,若对 (a, b) 上任意两点 x1 , x2 ,恒有: x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称 f ( x) 为 (a, b) 上的凹函数; )? 2 2 x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ② f( 1 ,则称 f ( x) 为 (a, b) 上的凸函数。 )? 2 2 这个定义从几何上看就是: 在函数 f ( x) 的图像上任意两点,如果函数图像在这两点之是的部分总在连接这两点的线段的 下方,那么这个函数就是凹函数;直观上看,凸函数就是图像向上突出来的,比如: y ? ? x 2 , y ? ln x 。如果函数 f ( x) 在区间上二阶可导,则 f ( x) 在区间上是凹函数的充要条件 是 f ''( x) ? 0 ;函数 f ( x) 在区间上是凸函数的充要条件是 f ''( x) ? 0 。 ① f( ⑶凹凸函数的几何特征: 几何特征 1(形状特征) 1 x1 , f (x 1) 如图, 设 A1 , A2 是凹函数 y ? f ( x) 曲线上两点, 它们对应的横坐标 x1 ? x2 , 则 A1 ( x1 ? x2 作 ox 轴的垂线交函数于 A ,交 A1 A2 于 B , 2 凹函数的形状特征是:其函数曲线任意两点 A1 与 A2 之间的部分位于弦 A1 A2 的下方; 凸函数的形状特征是:其函数曲线任意两点 A1 与 A2 之间的部分位于弦 A1 A2 的上方。 A2 ( x2 , f ( x2 )) ,过点 简记为:形状凹下凸上。 几何特征 2(切线斜率特征) , 设 A1 , A2 是函数 y ? f ( x) 曲线上两点,函数曲线 A1 与 A2 之间任一点 A 处切线的斜率: 凹函数的切线斜率特征是:切线的斜率 y ? f ( x) 随 x 增大而增大; 凸函数的切线斜率特征是:切线的斜率 y ? f ( x) 随 x 增大而减小; 简记为:斜率凹增凸减。 几何特征 3(增量特征) 2 设函数 g ( x) 为凹函数,函数 f ( x) 为凸函数,其函数图象如图 8,9 所示,由图 10,11 可知,当 自变

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