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浙江省绍兴一中08-09学年高一数学下学期期中考试


2008学年 绍兴一中 第 二 学 期 高一数学期中 试卷
温馨提示:本试卷满分 100 分,考试时间 100 分钟。请不要在考试过程中使用计算器! 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) . 1.在 ?ABC 中, 已知
0 A. 30

C. 4 ? 1<

br />n

1 n (4 ? 1) D. 3
?x ? 3 ? ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ?

6. 在坐标平面上,不等式组

所表示的平面区域的面积为(

) )

a ? 4, b ? 4 3, B ? 600 ,则角 A 的度数为(
B. 45
0


0

A.6 B.9 C .3 D.12 7.已知一个几何体的三视图如下图所示,则此几何体的表面积为( A. 4?a
2

C. 60

0

D. 90 )项

B. 3?a

2

2.已知数列 A. 19

5 , 11 , 17 , 23 , 29 ,? ,
B.20
2

则 5 5 是它的第(

2 C. (5 ? 2 )? a

2 D. (3 ? 2 )a

C. 21

D .22 )

3.若对于任何实数,二次函数 y ? ax ? x ? c 的值恒为负,那么 a 、 c 应满足(

8.用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为

? ,则球的体积为(
8? A. 3
8 2? 3 B.



1 A.a>0 且 ac≤ 4 1 C.a<0 且 ac> 4
4. 下列结论正确的是( A.当 x ? 0 且 x ? 1 时, )

1 B.a<0 且 ac< 4

D.a<0 且 ac<0

C. 8 2?

32? D. 3

lg x ?

1 ?2 lg x

B.当 x ? 0 时,

x?

1 x

?2

C.当 x ? 2 时,

x?

1 x 的最小值为 2

D.当 0 ? x ? 2 时,

x?

1 x 无最大值


9.有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点 是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为 2,且该塔形的表面积 ( 含 最 底层正方体的底面面积)超过 39,则该塔形中正方体的个数至少 是( ) A. 4 B.5 C.6 D.7
2 10 .若不等式 x ? ax ? 1 ? 0 对一切

n 2 2 2 2 5. 若数列 {a n } 前 n 项和为 S n ? 2 ? 1,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? (

1 x ? (0 , ] 2 成立 , 则 a 的最小值为

A. (2 ? 1)
n

2

1 n (2 ? 1) 2 3 B.

( A. 0

) B. ? 2

C.

?

5 2

D. ? 3

用心

爱心

专心

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) .
2 11. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a, b, c 成等比数列,且 a , b , c 成等差

2

2

18.(12 分) 某公司今年年初用 25 万元引进一种新的设备,投入设备后每年收益为 21 万元。该 公司第 n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用 (Ⅰ)求

数列,则 cos B ? __________.www.ks5u 12. 一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60 ,行驶4h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15 ,这时船与灯塔的距离为 13. 已知一个组合体是由一个正四棱锥和一个正方体拼接而成如图所示, 下部正方体的棱长为 1,上部正四棱锥的侧棱长为 1,则该组合体 的体积 V = 14. 在平面直角坐标系中,点 A, B, C 的坐标分别为
? ?

an 的信息如下图。

an ; (Ⅱ)引进这种设备后,第几年后该公司开始获利;

(Ⅲ)这种设备使用多少年,该公司的年平均获利最大?



(?5,0), (3,?3), (0,2) .如果 ( x,y ) 是 ?ABC 围成
的区域(含边界)内的点,则 z ? x ? y 的最小值是 ;最大值是 .

?1,x ? 0; f ( x) ? ? ?? 1,x ? 0 ,则不等式 x ? ?x ? 2? ? f ( x ? 2) ? 5 的解集是__________. 15. 已知

a n ?1

?a ? 16.数列 n 满足

1 ? 2a n , 0 ? an ? ? ? 2 ?? 3 ?2 a ? 1 , 1 ? a ? 1 a1 ? n n ? 2 ? 5 ,则数列的第 2009 项为 ,若

19.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,三内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,其中 c=10,

cos A b ? 且 cos B a 且 4 a ? 3b
(I)求证: ?ABC 是直角三角形 (II)若 ?ABC 外接圆为⊙O,点 P 位于劣弧 AC 上,

__________. 三、解答题(本大题共 4 小题,满分 46 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) .
2 x ?1? x ? 2 17. (本小题满分 8 分) 若不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 ,求不等式

?

?

ax 2 ? 3x ? b ? 0 的解集。

?PAB ? 60? ,求四边形 ABCP 的面积。

用心

爱心

专心

20.(本小题满分 14 分) 在数列 (Ⅰ)证明数列 (Ⅱ)求数列

?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1 , n ? N

*



? 1? a ? b ? 0 ?a ? ?1 ? ? 4 ? 2a ? b ? 0 ,解得 ?b ? ?2 所以 ?
2 x | x ? 1或x ? 2 ∴ ? x ? 3x ? 2 ? 0 ,解得解集为 .

……4 分

?an ? n? 是等比数列;

?

?

……8 分

?an ? 的前 n 项和 S n ;www.ks5u
*

18.解: (1)由题意知,每年的费用是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,求得:

an ? a1 ? 2(n ? 1) ? 2n
(2)设纯收入与年数 n 的关系为 f(n),则:

(Ⅲ)证明不等式 S n?1 ? 4S n ,对任意 n ? N 皆成立.

…………2 分

f ( n) ? 21n ? [2n ?

n( n ? 1) ? 2] ? 25 ? 20n ? n2 ? 25 2
解得10 ? 5 3 ? n ? 10 ? 5 3

…………4 分 …………6 分 …………8 分

由 f(n)>0 得 n2-20n+25<0

又因为 n ? N ,所以 n=2,3,4,……18.即从第 2 年该公司开始获利

25 f (n) (n ? ) ? 20 ? 2 ? 5 ? 10 n (3)年平均收入为 n =20收 益 最 大 . 所 以 这 种 设 备 使 用 大。 绍兴一中期中考试答案 选择题: 题号 答案 题号 答案 1 A 11 2 C 3 C 12 4 B 13 5 D 6 B 14 7 C 8 B 15 9 C 16 10 C 因 为 0 ? A ? ? , 0? B ? ? ,所 以 5

当且仅当 n=5 时,年平均

年 , 该 公 司 的 年 平 均 获 利 最 …………12 分

cos A sin B ? cos B sin A 。 19. 证明: (I) 根据正弦定理得, 整理为 sin A cos A ? sin B cos B,即sin 2 A ? sin 2 B , A? B 或者 A? B ?

?
2 。 由 于 3b ? 4 a 所 以

A ? B. A ? B ?

?

填空题:

, 2 即

1 2

30 2 km

1?

2 . 6

6,-5

3? ? ? ? ?, ? 2? ?

3 5

C?

?

. 2 ?ABC 是直角三角形。……6 分

三、解答题(本大题共 4 小题,满分 46 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) .

3 4 ? ( II ) 由( I ) 可得 a=6,b=8. 在 ?ABC 中 , sin ∠ CAB= 5 ,cos ∠ CAB= 5 .sin ∠ PAC=sin( 60 - ∠

?x | ?1 ? x ? 2? 17.解:17.解:由不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为
2

3 4 1 3 1 ? ? ? ? (4 3 ? 3) CAB)=sin 60 cos ∠ CAB- cos 60 sin ∠ CAB= 2 5 2 5 10 . 连 结 PA,PC, 在
? ?

用心

爱心

专心

Rt ?APB



,AP=AB

cos



PAB=5,











ABCP







所以不等式

Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N* 皆成立.…………14 分

1 1 1 1 S ABCP ? S?ABC ? S?PAC ? ab ? AP?AC? sin PAC ? 24 ? ? 5 ? 8 ? (4 3 ? 3) ? 18 ? 8 3 2 2 2 10
……12 分

20.解(Ⅰ)证明:由题 得



an?1 ? 4an ? 3n ? 1,

an?1 ? (n ? 1) ? 4(an ? n) , n ? N* .


a1 ? 1 ? 1,所以数列 ?an ? n? 是首项为 1 ,且公比为 4 的等比数列.…………4 分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知

an ? n ? 4n?1 ,于是数列 ?an ? 的通项公式为

an ? 4n?1 ? n .

所以数列

?an ? 的前 n 项和

Sn ?
*

4n ? 1 n(n ? 1) ? 3 2 .…………9 分

(Ⅲ)证明:对任意的 n ? N ,

Sn ?1 ? 4Sn ?

? 4n ? 1 n(n ? 1) ? 4n ?1 ? 1 (n ? 1)(n ? 2) ? ? 4? ? ? 3 2 3 2 ? ?

1 ? ? (3n 2 ? n ? 4) ≤ 0 2 .

用心

爱心

专心


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