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§4 向量的内积


第三章 向量与向量空间
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积

§4 向量的内积
一、向量内积的概念与基本性质 二、标准正交基与正交矩阵

§4 向量的内积

一、向量内积的概念与基本性质
定义1.设有n维向


? ? ? x1 , x2 ,? , xn ? , ? ? ? y1 , y2 ,? , yn ?
T T



[? , ? ] ? x1 y1 ? x2 y2 ? ? ? xn yn

称 [? , ? ] 为内积.
注:内积可用矩阵乘积表示为

[? , ? ] ? ? T ? .
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内积的基本性质
1) [? , ? ] ? [ ? ,? ]; 2) [k? , ? ] ? k[? , ? ]; 3) [? ? ? , ? ] ? [? , ? ] ? [ ? , ? ]; 4) [? ,? ] ? 0,当且仅当 ? ? 0 时, [? ,? ] ? 0.

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向量的长度
定义2
?? ? ( x1 , x2 ,? , xn ) ,
T

? ? [? ,? ] ? x1 ? x2 ? ? ? xn ,
2 2 2

称为向量 ? 的长度. 特别地,当 ? ? 1时,称 ? 为单位向量.
1) 2)

? ? 0, ? ? 0 ? ? ? 0;
k? ? k ? ;

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3) 柯西-布涅亚柯夫斯基不等式
[? , ? ] ? ? ? ?

4) 三角不等式

??? ? ? ? ?
5)非零向量 ? 的单位化:
1

?

?.

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向量的夹角

定义3:设 ? ,? 为任意两非零向量,
? , ? 的夹角定义为
[? , ? ] ? ? arc cos ? ? ?

? 0?? ?? ?

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定义4: ?、? 为任意两个向量,若内积 设
[? , ? ] ? 0

则称 ? 与 ? 正交或互相垂直,记作 ? ? ? .

注:
① 零向量与任意向量正交. ② ???

??

?
2

, 即 cos? ? 0 .

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例1. 证明勾股定理
???
证: ?

???
2

2

? ? ? ?
2

2

???

? [? ? ? ,? ? ? ]

? [? ,? ] ? 2[? , ? ] ? [ ? , ? ]

?

???

2

? ? ? ?
2

2

[? , ? ] ? 0

??? .

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例2. 已知 ? ? ? 2,1,3,2 ? , ? ? ?1,2, ?2,1?
T

T

试求 ? ,[? , ? ], ?? , ? ? , ? ? ? .

? ? [? ,? ] ? 22 ? 12 ? 32 ? 22 ? 18 ? 3 2 解:
[? , ? ] ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ?2 ? ? 2 ? 1 ? 0 ? ?? , ? ? ?

?
2

又 ? ? ? ? ? 1, ?1,5,1?

T

?

? ? ? ? 1 ? ? ?1? ? 52 ? 12 ? 28 ? 2 7
2 2

通常称 ? ? ? 为 ? 与 ? 的距离,记作 d (? , ? ).
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定义5: 若非零向量 ?1 ,? 2 ,? ,? m 两两正交,则称
之为正交向量组. 若正交向量组中每个向量都是单位向量,则称 之为标准正交向量组. 若 ? ? 0, 则 ? 是正交向量组.

定理1:正交向量组必是线性无关向量组.
证: 设非零向量 ?1 ,? 2 ,? ,? m 两两正交.
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k1?1 ? k2? 2 ? ? ? km? m ? 0, ki ? R,

[? i , ? k j? j ] ? ? k j [? i ,? j ] ? ki [? i ,? i ] ? 0
j ?1 j ?1

m

m

由 ? i ? 0 知 [? i ,? i ] ? 0,

? ki ? 0, i ? 1,2,?, m.
故 ?1 ,? 2 ,?,? m 线性无关. 注.向量空间中正交向量组所含向量个数不超过向量 空间的维数.
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二、标准正交基和正交矩阵
1. 标准正交基的定义
定义6. 设 ?1 ,? 2 ,? ,? m 是向量空间V的一个基 ① 若 ?1 ,? 2 ,? ,? m 是正交向量组,则称 ?1 ,? 2 ,? ,? m 是V的一组正交基. ②若?1 ,? 2 ,? ,? m 是标准正交向量组,则称 ?1 ,? 2 ,? ,? m

是V的一组标准正交基.
注:由正交基的每个向量单位化,得到标准正交基.
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2. 标准正交基的作用
设 e1 ,? , er 为V的一个标准正交基,则 (i) 设 ? ? x1e1 ? x2e2 ? ? ? xr er ?V 有

? ? [? , e1 ]e1 ? [? , e2 ]e2 ? ? ? [? , er ]er
r

(ii) [? , ? ] ? x1 y1 ? x2 y2 ? ? ? xr yr ? ? xi yi 这里

? ? x1e1 ? x2e2 ? ? ? xr er,
? ? y1e1 ? y2e2 ? ? ? yr er .

i ?1

(iii) ? ? x12 ? ? ? xr 2
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3. 标准正交基的构造 ─施密特(Schimidt)正交化过程
1? 先把V的基 ?1 ,? ,? r 化成正交基 ?1 , ? 2 ,? , ? r .

? 1 ? ?1 ,

[? 2 , ? 1 ] ?2 ? ?2 ? ?1 , [?1 , ?1 ] j ?1 [? j , ? i ] ?j ??j ?? ? i , j ? 2,3,? , r; i ?1 [ ? i , ? i ]

2? 再单位化得标准正交基 e1 , e2 ,? , er .

ei ?

1

?i

? i , i ? 1,2,? , r

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?1 ? (1,1,1,1)T ,? 2 ? (3,3, ?1, ?1)T ,? 3 ? ( ?2,0,6,8)T 例3. 把
化成单位正交的向量组. 解:令 ?1 ? ?1 ? (1,1,1,1)
T

正交化

[? 2 , ? 1 ] ?2 ? ?2 ? ? 1 ? (2,2, ?2, ?2)T [? 1 , ? 1 ]

[? 3 , ? 1 ] [? 3 , ? 2 ] ?3 ? ?3 ? ?1 ? ? 2 ? (?1,1, ?1,1)T [? 1 , ? 1 ] [? 2 , ? 2 ]

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再单位化

e1 ? e2 ? e3 ?

1

?1
1

? 1 ? 1 (1,1,1,1)T
2

?2
1

?2

1 ? (1,1, ?1, ?1)T 2

? 3 ? 1 ( ?1,1, ?1,1)T ?3 2

e1 , e2 , e3 即为所求.

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*4. 标准正交基间的基变换
设?1 ,? 2 ,? ,? n与 ?1 , ? 2 ,? , ? n 是 n 维向量空间Rn的 两个标准正交基,它们之间过渡矩阵是 A ? (ai j )n?n , 即 ( ?1 , ? 2 ,? , ? n ) ? (?1 ,? 2 ,? ,? n ) A 或 ? i ? a1i?1 ? a2 i? 2 ? ? ? ani? n , i ? 1,2,? , n

由于 ?1 , ? 2 ,? , ? n是标准正交基,所以
1 i? j , [? i , ? j ] ? 0 i? j
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?

i , j ? 1,2,? , n

因此有

1 i? j , [ ? i , ? j ] ? a1i a1 j ? a2 i a2 j ? ? ? ani anj ? 0 i? j
把A按列分块为 A ? ? A1 , A2 ,?, An ? 可得

?

? A1T ? ?AT? T A A ? ? 2 ? ? A1 , A2 ,? , An ? ? En ? ? T? ? An ?
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5. 正交矩阵
定义7. 设 A ? (aij ) ? R , 若A满足 AT A ? E
则称A为正交矩阵. 注:由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交 矩阵.
n?n

定理2.正交矩阵具有以下性质
1)A为正交矩阵 ? A ? ?1.
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2) A 为正交矩阵 3) A 为正交矩阵 4)A 为正交矩阵

A的列向量组是标准正交向量组.
A?1 ? AT .

A的行向量组是标准正交向量组.

5)A为正交矩阵 ? A?1 , AT 也是正交矩阵. 6)A,B 为正交矩阵 ? AB 也是正交矩阵.

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例4. 判别下列矩阵是否为正交矩阵
? ? 0 ? 2 (1) ? ? 6 ? ? 1 ? ? 3 1 1 ? ? ? 2 2? 1 1 ?; 6 6 ? 1 1 ? ? 3 3 ? 1 1? ? ? 1 ?2 3 ? ? 1 1? (2) ? ? 1 ?. ? 12 1 2 ? ? ?1 ? ? 3 2 ?

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作业
作业1:习题21 作业2:习题22,1)

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