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高中数学选修4-2(人教A版)第一讲线性变换与二阶矩阵2.3知识点总结含同步练习及答案


高中数学选修4-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一讲 线性变换与二阶矩阵 三 线性变换的基本性质

一、知识清单
线性变换与二阶矩阵

二、知识讲解
1.线性变换与二阶矩阵 描述: 旋转变换 平面上的图形绕原点旋转α可以看成一个变换(transtormation),称为旋转变换,它建立了平

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? ? → x′ OP ′ 的坐标,排成一列( ′ ) 的形式,称为列向量(columnvector). y 一般地,如果变换T :P (x, y) ? P ′ (x′ , y ′ )前后坐标之间的关系具有如下的形式: ′ { x′ = ax + by, 也就是x′ ,y ′ 都是x,y 的常数项为0 的一次函数,就将这样的变换T 称为线性变 y = cx + dy. a b x x′ 换(linear transformation),此时可以将变换表达式写成( ) = ( ) ( )的形式 .不 ′ c d y y 同的线性变换差别仅仅在于一次函数表达式中的4 个系数a ,b ,c ,d 的不同.因此这4 个数排成的 a b 2 行2 列的数表( ) 决定了平面上的线性变换.我们将这样由4 个数排成的2 行2 列的数表称为 c d 2 行2 列的矩阵(matrix),也称为2 × 2 矩阵.

′ 面上的每个点P (x, y) 到P ′ (x ′ , y ′ )的对应关系{ x′ = x cos α ? y sin α, y = x sin α + y cos α. 用一个字母T 来表示这个旋转变换.为了表示点P 对应P ′ ,写成P ′ = T (P ) ,称P ′ 是P 在变换 T 作用下的像(image).并且用箭头来表示P 与P ′ 的这种关系:变换 T :P ? P ′ 或 T : P ? T (P ′ ).在平面上建立了直角坐标系之后,变换T 也建立了这两个点的坐标之间的对应:变 换T :(x, y) ? (x ′ , y ′ ).P 与P ′ 对应关系式左边的x′ ,y ′ 组成点P ′ 的坐标(x ′ , y ′ ),可以看成向量

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