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家教补习二:指数与指数函数


指数与指数函数
【基础知识回顾】
1.根式的概念 ①定义:若一个数的 n 次方等于 a(n ? 1, 且n ? N ? ) ,则这个数称为 a 的 n 次方根.即 若 x ? a ,则 x 称为 a 的 n 次方根( n ? 1且n ? N ) .
n ?

1)当 n 为奇数时, a的n 次方根记作

n

r />
a;

2)当 n 为偶数时,负数 a 没有 n 次方根,而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反数,记 作

? n a (a ? 0) .
②性质:1) (n a ) n ? a ; 2)当 n 为奇数时, n a n ? a ;

3)当 n 为偶数时, n a n ?| a |? ? 2.幂的有关概念

?a(a ? 0) ?? a(a ? 0)

①规定:1) a ? a ? a ? ?? a(n ? N ) ;2) a ? 1(a ? 0) ,
n 0
?p

?

3) a

?

1 ( p ?Q) 4) a n ? n a m (a ? 0, m 、 n ? N ? ,且 n ? 1) ap
r s r ?s

m

②性质:1) a ? a ? a
r r r

(a ? 0, r 、 s ?Q) 2) (a r ) s ? a r?s (a ? 0, r 、 s ?

3) (a ? b) ? a ? b (a ? 0, b ? 0, r ? Q)

3. 指数函数 (1)定义:形如 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 的函数叫做指数函数.
x

(2)图象与性质:
a ?1 0 ? a ?1

-1-





图 像 特 征

图像分布在一、二象限,与轴相交,落在轴的上方. 都过点(0,1) 第一象限的点的纵坐标都大于 1; 第一象限的点的纵坐标都大于 0 且小

第二象限的点的纵坐标都大于 0 且小 于 1; 于 1. 从左向右图像逐渐上升. (1)定义域:R 第二象限的点的纵坐标都大于 1. 从左向右图像逐渐下降.



(2)值域: (0,+∞) (3)过定点(0,1) ,即 x=0 时,y=1.



(4)x>0 时,y>1;x<0 时,0<y<1 (5)在 R 上是增函数

x>0 时,0<y<1;x<0 时,y>1. 在 R 上是减函数

【例题精讲】
[例 1]解答下述问题 (1)计算: [(3 )
4 3

3 8

?

2 3

2 1 1 ? ? 4 0.25 ? (5 )0.5 ? (0.008) 3 ? (0.02) 2 ? (0.32) 2 ] ? 0.0625) ( 9

(2)化简:

a ? 8a b 4b ? 2 ab ? a
3 2 3 2 3

1 3

? (a

?

2 3

?

23 b a ? 3 a2 )? . 5 3 a a? a

-2-

又例:化简 ( A. a 16

3 6

a 9 ) 4 ? (6

3

a 9 ) 4 的结果为(
C. a 4

) D. a 2

B. a 8

再例:若 a

2x

a 3 x ? a ?3 x 等于( ? 2 ? 1 ,则 x a ? a ?x
B.2-2 2



A.2 2 -1

C.2 2 +1

D.

2 +1

[例 2] 设 0≤ x ≤2,求函数 y = 4

x?

1 2

? a ? 2x ?

a2 ? 1 的最大值和最小值. 2

-3-

又例:设关于 x 的方程 4 ? 2
x

x ?1

? b ? 0 有实数解,求实数 b 的取值范围.

[例 3]求函数 y=3

? x 2 ? 2 x ?3

的定义域、值域和单调区间.

2 [例 4] 在下列图象中, 二次函数 y ? ax ? bx ? c 与函数 y ? ( ) 的图象可能是 (
x

b a



-4-

[例 5] 设 y1 ? 4

0.9

1 , y 2 ? 8 0.44 , y 3 ? ( ) ?1.5 ,则( 2



A. y3 > y1 > y 2 C. y1 > y 2 > y3 又例:下列各式中正确的是( )

B. y 2 > y1 > y3 D. y1 > y3 > y 2

1 2 1 2 1 1 A. ( ) 3 < ( ) 3 < ( ) 3 2 5 2 2 1 1 3 1 3 1 2 C. ( ) < ( ) < ( ) 3 5 2 2

1 1 1 2 1 2 B. ( ) 3 < ( ) 3 < ( ) 3 2 2 5 2 2 1 3 1 3 1 1 D. ( ) < ( ) < ( ) 3 5 2 2

【课后自我检测题】
1.若 a ?

1 2 ( ,则化简 4 2a ? 1) 的结果是( 2
1 a



A. 2a-1 B.- 2a-1 C. 1-2a D.- 1-2a
2.若 ?1 ? a ? 0 ,则式子 3

, a 3 , a 3 的大小关系是(
1 3 a a


1 3

A、 3 ? a ? a 3
a 3

1

B、 a ? 3 ? a 3
1 3 1 5

C、 3 ? a 3 ? a

D、 a ? a 3 ? 3
3

1

a

1 (a b )(?3a b ) ? ( a 6 b 6 ) 3 3.化简 的结果
A. 6 a B. ? a C. ? 9a

2 3

1 2

1 2

( D. 9a


2

-5-

4.函数 y ? a 在[0,1]上的最大值与最小值的差为 3,则 a 的值为(
x



A.

1 2

B.2

C.4 )

D.

1 4
1

5.下列函数中是指数函数的个数为 (

①y= ( A. 1
6.已知

1 x ) 2

②y=-2x
B. 2

③y=3-x
C. 3

④y= (

1 x ) 10

D. 4 )

f ( x) ? a ? x (a ? 0且a ? 1) ,且 f (?2) ? f (?3) ,则 a 的取值范围是(
B. a ? 1 )
1 2

A. a ? 0
3

C. a ? 1

D. 0 ? a ? 1

7.化简 a a 的结果是(

A. a
8.已知

B. a

C. a

2

D. a

1 3

有 f ( x) ? a x (a ? 1), g ( x) ? b x (b ? 1) ,当 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 2 时, x1 ? x 2 ,则 a, b 的大 ) B. a ? b C. a ? b D. a ? b

小关系是( A. a ? b
9.函数

f ( x) ? a x?b 的图象如图,其中 a , b 为常数,则下列结论正确的
) B a ? 1, b ? 0 D a ? 1, b ? 0

是(

A 0 ? a ? 1, b ? 0 C 0 ? a ? 1, b ? 0
10.函数

y ? a x ? a ? 0且a ? 1? 在 ??? ?? 上的最大值比最小值大
1 2
=
2

a ,则 2

a 为( )
A
11. e

B

3 2

C

1 3 或 2 2

D

1 4

ln 7?log7 6 logi ?

12. log 1
2

4 ? (?8) 3 ?

.

-6-

13.已知 a

?

5 ?1 ,函数 f ( x) ? a x ,若实数 m,n 满足 f(m)>f(n),则 m,n 的大小关系 为 2
x-2

14.当 a>0 且 a≠1 时,函数 f (x)=a 16.点(2,1)与(1,2)在函数

-3 必过定点

f ? x ? ? 2ax?b 的图象上,求 f ? x ? 的解析式

-7-


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