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【优化方案】2014届高考数学3.1 数列的概念 课时闯关(含答案解析)


一、选择题 1.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,则 a8 的值为( ) A.15 B.16 C.49 D.64 2 解析:选 A.由于 Sn=n ,∴a1=S1=1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1. ∴an=2n-1, ∴a8=2×8-1=15. 2.(2013· 河南郑州五校联考)已知数列{an}对任意 p,q∈N*,都有 ap+q=ap+aq,若 a2 =4,则 a9=( ) A.6 B.9 C.18 D.20 解析:选 C.法一:∵a2=a1+1=a1+a1, ∴a1=2,a9=a8+1=a8+a1=2a4+a1=4a2+a1=18. 法二:∵a2=a1+1=a1+a1,∴a1=2,令 p=n,q=1,所以 an+1=an+a1,即 an+1-an =2,∴{an}是等差数列,且首项为 2,公差为 2,故 a9=2+(9-1)×2=18. 3.(2013· 福建厦门模拟)如图,坐标纸上的每个单元格的边长为 1,由下往上的六个点: 1,2,3,4,5,6 的横、 纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前 12 项(如下表所示), 按如此规律下去, 则 a2 011+a2 012+a2 013=( )

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6 A.1 004 B.1 005 C.1 006 D.1 007 解析:选 C.a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4,?,这个 数列的规律是奇数项为 1,-1,2,-2,3,-3,?,偶数项为 1,2,3,?,故 a2 011+a2 013 =0,a2 012=1 006,故 a2 011+a2 012+a2 013=1 006. 4.(2013· 潍坊调研)某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方 1 可投入生产.已知该生产线连续生产 n 年的累计产量为 f(n)= n(n+1)(2n+1)吨,但如果年 2 产量超过 150 吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最 长的生产期限是( ) A.5 年 B.6 年 C.7 年 D.8 年 解析:选 C.本题以实际应用题为背景考查数列中 Sn 与 an 的关系.由已知可得第 n 年的 产量 an=f(n)-f(n-1)=3n2,当 n=1 时也适合,据题意令 an≥150?n≥5 2,即数列从第 8 项开始超过 150,即这条生产线最多生产 7 年. 5.(2013· 西安八校联考)观察下列三角形数表: 1 2 3 4 ? 97 98 99 100 3 5 7 ? ? 195 197 199 8 12 ? ? ? 392 396 20 ? ? ? ? 788

?????? ??? ?? ? 其中从第 2 行起, 每行的每一个数为其“肩膀”上两数之和, 则该数表的最后一行的数 为( ) A.101×298 B.101×299 C.99×299 D.100×299 解析:选 A.该数表共 100 行, 第 2 行的第 1 个数为 3=3×20, 第 3 行的第 1 个数为 8=4×21, 第 4 行的第 1 个数为 20=5×22, 第 5 行的第 1 个数为 48=6×23, ∴第 100 行的第 1 个数为 101×298,故选 A. 二、填空题 3 1 1 3 1 4 1 1 6. (2013· 福建漳州模拟)给出下列等式: × =1- 2, × + × =1- , 2 1×2 2 2×3 22 1×2 2 3×22 3 1 4 1 5 1 1 × + × 2+ × 3=1- , ?由以上等式推测出一个一般结论: 对于 n∈N*, 1×2 2 2×3 2 3×4 2 4×23 n+2 3 1 4 1 1 × + × 2+?+ × n=________. 1×2 2 2×3 2 n?n+1? 2 解析:根据 n=1,2,3 时等式右边的表达式归纳即得. 1 答案:1- ?n+1?·n 2 7.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2(an-1),则 a7=__________. 解析:Sn=2(an-1),Sn+1=2(an+1-1),相减得 an+1=2(an+1-an),an+1=2an,又 S1= a1=2(a1-1),a1=2,则数列{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,a7=128,故填 128. 答案:128 1 8.(2012· 高考上海卷)已知 f(x)= ,各项均为正数的数列{an}满足 a1=1,an + 2= 1+x f(an).若 a2 010=a2 012,则 a20+a11 的值是________. 1 解析:由 an+2=f(an)= 及 a1=1, 1+an 1 1 1 1 2 ∴a3= = ,a = = = , 1 3 1+a1 2 5 1+a3 1+ 2 1 1 3 1 1 5 a7= = = ,a = = = , 2 5 9 1+a7 3 8 1+a5 1+ 1+ 3 5 1 1 8 a11= = = . 5 13 1+a9 1+ 8 1 ∵a2 012= =a , 1+a2 010 2 010 ∴a2 010+a2 010-1=0. 2 5-1 ∵an>0,n∈N*,解上述方程得 a2 010= , 2 5-1 1 又 a2 010= = , 2 1+a2 008 5-1 解得 a2 008= , 2

5-1 5-1 8 13 5+3 ,∴a20+a11= + = . 2 2 13 26 13 5+3 答案: 26 三、解答题 10 9.已知数列{an}的通项 an=(n+1)?11?n(n∈N*),试问该数列{an}有没有最大项?若有, ? ? 求最大项的项数;若没有,说明理由. 10 + 10 解:∵an+1-an=(n+2)?11?n 1-(n+1)?11?n ? ? ? ? 10 9-n =?11?n· . ? ? 11 当 n<9 时,an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n=9 时,an+1-an=0,即 an+1=an; 当 n>9 时,an+1-an<0,即 an+1<an. 故 a1<a2<a3<?<a9=a10>a11>a12>?, 所以数列中有最大项,最大项为第 9、10 项. 10.已知数列{an}的通项公式为 an=n2-n-30. (1)求数列的前三项,60 是此数列的第几项? (2)n 为何值时,an=0,an>0,an<0? (3)该数列前 n 项和 Sn 是否存在最值?说明理由. 解:(1)由 an=n2-n-30,得 a1=1-1-30=-30, a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24. 设 an=60,则 60=n2-n-30. 解之得 n=10 或 n=-9(舍去). ∴60 是此数列的第 10 项. (2)令 n2-n-30=0,解得 n=6 或 n=-5(舍去). ∴a6=0. 令 n2-n-30>0,解得 n>6 或 n<-5(舍去). ∴当 n>6(n∈N*)时,an>0. 令 n2-n-30<0,解得-5<n<6. 又 n∈N*,∴0<n<6. ∴当 0<n<6(n∈N*)时,an<0. 1 1 (3)由 an=n2-n-30=(n- )2-30 ,n∈N*, 2 4 知{an}是递增数列, 且 a1<a2<?<a5<a6=0<a7<a8<a9<?, 故 Sn 存在最小值 S5=S6,Sn 不存在最大值. n?n+1? 1 11.(探究选做)已知 a1= 且数列{an}的前 n 项和 Sn= an,求{an}的通项公式. 6 2 n?n+1? n?n-1? 解:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= an- an-1, 2 2 an n ∴an(n2+n-2)=an-1(n-1)n,即 = , an-1 n+2 an-1 n-1 a2 2 故 = ,?, = , a1 4 an-2 n+1 an an an-1 a3 a2 ∴ = · · ?· · a1 an-1 an-2 a2 a1 n n-1 3 2 6 = · · ·= ?· , 5 4 ?n+2??n+1? n+2 n+1 ∴a20=

1 ∴an= (n≥2). ?n+2??n+1? 1 又∵a1= 也适合上式, 6 1 ∴an= (n∈N*). ?n+2??n+1?


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