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高中数学必修4(人教A版)第一章三角函数1.6知识点总结含同步练习及答案


高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用

一、学习任务 会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 二、知识清单
三角函数模型的应用

三、知识讲解
1.三角函数模型的应用 描述: 如果某种变化着的现象具有

周期性,那么就可以借助三角函数来描述,建立某种三角函数的模 型. 例题: 设 y = f (t) 是某港口水的深度 y (米)关于时间 t (时)的函数,其中 0 ? t ? 24 . 下表是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系:

t y

0 11

3 6 14.1 11.1

9 12 8.1 10.9

15 13.9

18 10.9

21 24 7.9 11.1

经长期观察,函数 y = f (t) 的图象可以近似地看成函数 y = k + A sin (ωt + φ) 的图象. 下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( ) A. y = 11 + 3 sin (

π π t + ) , t ∈ [0, 24] 12 2 π B. y = 11 + 3 sin ( t + π) , t ∈ [0, 24] 6 π C. y = 11 + 3 sin t , t ∈ [0, 24] 6 π D. y = 11 + 3 sin t , t ∈ [0, 24] 12

解:C. 由于 y = f (t) 可以近似看成 y = k + A sin(ωt + φ) 的图象,根据港口某一天从 0 时至 24 时 记录的时间 t 与水深 y 的关系,可得函数的周期 T = 12 可排除 A、D,将 (3, 14) 代入B, C,可排除 B,而 C 满足.故选 C.

四、课后作业
y = f ( t)

1. 设 y = f (t) 是某港口水的深度 y (米)关于时间 t (时)的函数,其中 0 ? t ? 24 .下表是该港口某一 天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系:

t y

0 11

3 6 14.1 11.1

9 12 8.1 10.9

15 13.9

18 10.9

21 24 7.9 11.1

经长期观察,函数 y = f (t) 的图象可以近似地看成函数 y = k + A sin (ωt + φ) 的图象.下面的函数 中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 ( A.y = 11 + 3 sin (

)

π π t + ) , t ∈ [0, 24] 12 2 π B.y = 11 + 3 sin ( t + π) , t ∈ [0, 24] 6 π C.y = 11 + 3 sin t , t ∈ [0, 24] 12 π D.y = 11 + 3 sin t , t ∈ [0, 24] 6
答案: D

2. 动点 A (x, y) 在圆 x 2 + y 2 = 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转, 12 秒旋转一周.已知时间

t = 0 时,点 A 的坐标是 (
A.[0, 1]

秒)的函数的单调递增区间是 ( C.[7, 12]
答案: D 解析:

1 √3 , ) ,则当 0 ? t ? 12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t (单位: 2 2 )
B.[1, 7]

D.[0, 1] 和 [7, 12]

2π π π 弧度,从而经过 t 秒转了 = t 弧度. 12 6 6 1 √3 π 而 t = 0 时, 点 A ( , .经过 t 秒后点 A 的纵坐标为 ) ,则 ∠xOA = 2 2 3
由于 A 点 12 秒旋转一周,则点 A 每秒转过

y = sin (


π π t + ) (t ∈ [0, 12]) , 6 3

?

π π π π + 2kπ ? t + ? + 2kπ, k ∈ Z 2 6 3 2

时,函数 y 为关于 t 的增函数,此时

?5 + 12k ? t ? 1 + 12k, k ∈ Z,
结合 0 ? t ? 12 得

k = 0 时, 0 ? t ? 1; k = 1 时, 7 ? t ? 12.
3. 某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y = a + A cos

π (x ? 6) ( 6

x = 1, 2, 3, ? , 12 ) 来表示,已知 6 月份的月平均气温最高,为 28? C , 12 月份的月平均气温最
低,为 18? C ,则 10 月份的平均气温值为
答案: 解析: 化简函数的解析式,得
?C



20.5

y = a ? A cos
由题意,得

πx , 6

{ a + A = 28, a ? A = 23,
解得 a = 23, A = 5, 从而函数的解析式为

y = 23 ? 5 cos
当 x = 10 时,

πx , 6

y = 23 ? 5 cos (

π × 10) = 20.5. 6

4. 如图所示,某游乐园内摩天轮的中心 O 点距地面的高度为 50 m,摩天轮做匀速运动.摩天轮上的一 点 P 自最低点 A 点起,经过 t min 后,点 P 的高度 h = 40 sin (

π π t ? ) + 50 (单位:m ),那 6 2 么在摩天轮转动一圈的过程中,点 P 的高度在距地面 70 m 以上的时间将持续 min .

答案:

解析: 根据题意,

4 min

40 sin (
解得

πt π ? ) + 50 ? 70, 6 2

sin (


πt π 1 ? )? , 6 2 2

π πt π 5π ? ? ? , 6 6 2 6
解得

4 ? t ? 8.

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