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(2010年)南昌市高中数学竞赛试题3 已修改 解答.doc0620205003706


南昌市高中数学竞赛试题 3

答案

一、填空题(共 8 题,每题 10 分,合计 8 0 分) 1 、十二个互不相同的 正整数之和为 2010 ,则这些正整数的最大公约数的最大值 是 . 答案: 15 . 解:设最大公约数为 d , 12 个数分别为 a1 d , a 2 d , ? , a1 2 d ,其中 ( a1 , a 2 , ?

, a1 2 ) ? 1 , 记S ?

?a
i ?1

12

i

,则 2010 ? Sd ,欲使 d 最大,当使 S 取最小,由于 a1 , a 2 , ? , a1 2 互异,则

S ? 1 ? 2 ? ? ? 12 ? 78 ,因 S 2 0 1 0 ,但 2010 ? 2 ?3 ?5 ?67 ,其大于 6 7 的最小正因数是 2 ? 67 ? 134 , 所以 d ? 1 5 , d ? 15 可以取到, 且 只需令 ( a1 , a 2 , ? , a11 , a12 ) ? (1, 2, ? ,1 1, 6 8)

即可.
2 、函数 f ( x ) ? a x ?
2

2 (a ? 0 ) ,若 f ( f ( 2 )) ? ? 2 ,则 a ?



答案:

2 2

.

解:由 a a ( 2 ) ?
2

?

2

?

2

?

2 ? ?

2 ,即 a 2 a ?

?

2

?

2

? 0 ,所以 a ?

2 2

3 、设 a n ?

1? 2 ?

2 ?3 ?? ?

? 2a ? n ? ( n ? 1) ,则 ? n ? ? ? n ?



答案: n ? 1 解:因 k ?
k ( k ? 1) ? k ? 1 2
? 2an ? ? ? n ?1. ? n ?

,所以 ? k ? a n ?
k ?1

n

? (k ?
k ?1

n

1 2

) ,即

n ( n ? 1) 2

? an ?

n(n ? 2) 2



所以 ?

4 、设 A ? ? 2, 4, 7 , 8,1 3,1 5? .如果非空集合 M 满足 M 的各元素加 4 后成为 A 的一个子集,

M 的各元素减 4 后也成为 A 的一个子集,则 M= 答案: M ? ?1 1? 解:取 A1 ? ? x x ? a ? 4, a ? A ? ? ? ? 2, 0, 3, 4, 9,1 1? ,
A2 ? ? x x ? a ? 4, a ? A ? ? ? 6,1 0,1 1,1 2,1 7 ,1 9 ? ,



M ? A1 ? A 2 ? ?1 1? ,因 M 非空, M ? ?1 1? .
5 、若 x ? [0, ? ) ,则函数 y ?

sin x co s x 1 ? sin x ? co s x

的值域是



答案: ? ? 1,
?

?

2 ?1? ? 2 ?

解:令 t ? sin x ? cos x ,则 sin x cos x ?

t ?1
2

,于是 y ?

t ?1 2

,又 t ?

2 sin( x ?

?

2

) ,因 4

?
4

? x?

?
4

?

5? 4

,则 sin ( x ?

?
4

) ? (?

2 2

,1 ? ,即 t ? ( ? 1,

2 ] ,因此 y ? ( ? 1,

2 ?1 2

].

6 、设函数 f ( x ) : R ? R ,且满足对任意的 x , y ? R ,
f ( x ) f ( y ) ? f (2 xy ? 3) ? 3 f ( x ? y ) ? 3 f ( x ) ? 6 x . 则 f ( x ) ? _____________________.

答案: f ( x ) ? 2 x ? 3 解:交换 x , y 得 ? 3 f ( x ) ? 6 x ? ? 3 f ( y ) ? 6 y ,故 f ( x ) ? 2 x 为常数.
) 设 f ( x ) ? 2 x ? a ,由 (2 x ? a )(2 y ? a ) ? 2(2 xy ?3) ? a ?3(2 x ?2 y ? a) ?3(2 x ? a ?6 x ,

得 2( x ? y )(3 ? a ) ? a ? a ? 6 ? ( a ? 3)( a ? 2) ,即 ( a ? 3)( x ? y ?
2

a 2

? 1) ? 0 ,上式对任何

实数 x , y 皆成立.故 a ? 3 ,则 f ( x ) ? 2 x ? 3 .
7 、数列 ? a n ? 满足: a1 ? 1, a n ? a n ? 1 ? ? n ,则 a 1 5 ?
2



答案: ? 1 0 4 .
2 解:条件 a n ? a n ? 1 ? ? n 可改写为 ( a n ?

n

2

?

n 2

2

) ? ( a n ?1 ?

( n ? 1) 2

2

?

n ?1 2

) ? 0 ,若令

bn ? a n ?

n

2

?

n 2

2

,则 b1 ? 1 ,且 b n ? 1 ? ? b n ,所以 b 2 k ?1 ? 1, b2 k ? ? 1 , k ? 1, 2, ? ,于是
2

b1 5 ? 1 ,即有 a 1 5 ? 1 ?

15 2

?

15 2

? ?104 .

8 、如果四位数 n 的四个数位中至多含有两个不同的数码,则称 n 为“简单四位数” ;例如 5 5 5 5 和 3 3 1 3 等等,那么,简单四位数的个数是



答案: 5 7 6 . 解:如果四位数的四个数码都相同,则这种四位数有 9 个; 如果四位数的四个数码有两个值, 首位数 a ? {1, 2, ? , 9} 有 9 种取法, 当首位数 a 填好后,

再任取 b ? {0,1, 2, ? , 9} ,且 b ? a ,选取 b 的方法有 9 种;后三个数位中,每一位置都可 填 a 或 b ,但是不能后三位全填 a ,有 2 ? 1 ? 7 种填法,即四个数码有两个值的情况有
3

9 ? 9 ? 7 ? 567 种;

因此简单四位数共有 9 ? 567 ? 576 个. 二、解答题(共 3 题,合计 4 4 分)
9 、 2 0 分) M 是正三角形 A 1 A 2 A 3 的中心, N 是其所在平面上的任意一点,以 M N (

为直径的圆分别交直线 M A i 于 B i , i ? 1, 2, 3 ; 证明: M B1 ? M B 2 ? M B 3 ? N B1 ? N B 2 ? N B 3 .
2 2 2 2 2 2

A1
B2 B1 M N

A3
B3

A2

证:由 M , B1 , B 2 , N , B 3 五点共圆, ? B1 M B 3 ? 1 2 0 ,可知 ? B1 B 2 B 3 ? 6 0 ,
0 0

? B1 B 3 B 2 ? ? B1 M B 2 ? ? A 1 M B 2 ? 6 0 ,所以 ? B1 B 2 B 3 为正三角形;设其边长为 a ,
0

先证引理: P 是正三角形 ? A B C 外接圆上的任一点,则
A

P A ? P B ? P C 为定值.
2 2 2

事实上,设 ? A B C 的边长为 a , P A ? x , P B ? y , P C ? z ,则有
x ? y ? z ,因此

B P

C

x ? y ? z ? ( y ? z ) ? y ? z ? 2 ( y ? z ? yz ) ? 2 B C
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2

2

? 2 a ,故引理成立.
2

由引理立得, M B1 ? M B 2 ? M B 3 ? 2 a ? N B1 ? N B 2 ? N B 3 .
2

10 、 2 5 分)设 x i ? 0, i ? 1, 2, ? , n ,约定 x n ? 1 ? x1 ,证明: (

?

n

1 ( x k ? 1)
2

?

x k ?1 ( x k ? 1 ? 1)
2

2

?

n 2


?
2
2

k ?1

证:因 x i ? 0, i ? 1, 2, ? , n ,令 x k ? tan ? k , ? k ? [0,
2

), k ? 1, 2, ? n , 约定 ? n ? 1 ? ? 1 ,
2 2



1 ( x k ? 1)
2
2

?

x k ?1 ( x k ? 1 ? 1)
2
2

2

?

co s ? k ? sin ? k ? 1 ?
4 4

(co s ? k ? sin ? k ? 1 ) 2

?

co s ? k ? sin ? k ? 1 2



所以 ?

n

1 ( x k ? 1)
2

?

x k ?1 ( x k ? 1 ? 1)
2

2

?

k ?1

?

n

co s ? k ? sin ? k ? 1
2 2

?

n 2

k ?1

2

( 1 1 、 2 5 分)一次足球邀请赛共安排了 n 支球队参加,每支球队预定的比赛场数分别是
m 1 , m 2 , ? , m n ,如果任两支球队之间至多安排了一场比赛,则称 ( m 1 , m 2 , ? , m n ) 是一个有

效安排;证明:如果 ( m 1 , m 2 , ? , m n ) 是一个有效安排,且 m 1 ? m 2 ? ? ? m n ,则可取掉一 支球队, 并重新调整各队之间的对局情况, 使得 ( m 2 ? 1, m 3 ? 1, ? , m m 是一个有效安排. 证:设预定比赛 m i 场的队为 A i , i ? 1, 2, ? , n ; (1 ) 、如果 A 1 的 m 1 场比赛,其对手恰好就是 A2 , A3 , ? , A m
0
1 ?1
1 ?1

? 1, m m

1?2

,? , m n ) 也

,那么,直接去掉 A 1 (当

然 A 1 所参与的所有比赛也就被取消了) ,则剩下的队 A 2 , A 3 , ? , A n 之间的比赛,以
( m 2 ? 1, m 3 ? 1, ? , m m
0
1 ?1

? 1, m m

1?2

, ? , m n ) 为有效安排.
1 ?1

( 2 ) 如果球队 A 2 , A 3 , ? , A n 中, 、 有些队并未安排与 A 1 比赛, 设在 A 2 , A 3 , ? , A m

中,

自左至右, 第一个未安排与 A 1 比赛的队是 A j , 由于 A 1 要赛 m 1 场, 那么在 A 2 , A 3 , ? , A m 之外必有一个队安排了与 A 1 比赛,设为 A k , ( m 1 ? 1 ? k ? n ) ,

1 ?1

由于 m j ? m k ,故必有一个队 A s ,它被安排了与 A j 比赛而未安排与 A k 比赛,如图所示. 今对原安排作如下调整: 取消 A 1 , A k 两队间、 A j , A s 两队间的比赛, 改为 A 1 , A j 两队间, A s , A k 两队间进行比赛, 其它比赛安排不变; 经过这一次调整之后, 所有球队的比赛场数不变, 且是一个有效安排. 而第一个不与 A 1 比 赛的队的序号,至少后移了一个位置;故经有限次这样的调整之后,就化成了情形( 1 ) , 因此结论得证.
0

A1

Aj

A1

Aj

As

Ak

As

Ak


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