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函数的性质
学会判断函数的奇偶性、单调性、周期性。 教 学 重 难 点

运用函数的性质解决相关问题。
教 学 过 程

(内容可附后)

知识归纳: 1、单调性:
(1)定义:一般地,设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任 意两个自变量的值 x1,x2,当 x1〈x2 时: 若都有 f(x1)<f(x2) ,那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数; 若都有 f(x1)>f(x2) ,那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数; 注意: ①单调性是一个区间概念, 反映的是在某个区间上函数值随自变量变化而变化的趋势 ②说一个函数是单调函数,必须指明单调区间③在某一点处研究函数的单调性无意义 (2)用定义法证明函数单调性的步骤: 第一步:设元(任意性,区间性,顺序性) :设任意的 x1,x2∈D,且 x1〈x2; 第二步:作差:f(x2)-f(x1) ; 第三步:变形 ?

?方法:配方、因式分解、有理化、提取公因式、通分等 目标:常数或几个因式连乘积的形式 ?

第四步:判号:判断 f(x2)-f(x1)的符号; 第五步:下结论 (3)函数单调性的判断方法: ①定义法:同上 ②图象法:从左到右看,图象上升为单调递增函数,图象下降为单调递减函数 ③公式法:增+增=增;减+减=减; f(x)与- f(x)单调性相反 ?

?增 ? 减 ? 增 ?减 ? 增 ? 减

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f(x)与

1 (f(x)≠0)单调性相反 f ?x ?
f ?x ? (
-1

f(x)与

f ?x ? ≥0)单调性相同

f(x)与 f (x)单调性相同 两个恒大于 0 的增函数相乘仍为增函数;两个恒小于 0 的增函数相乘为减函数 ④复合函数的单调性:同增异减

(5)单调函数的性质:单调函数必有反函数,且反函数与原函数有相同的单调性;

2、奇偶性:
(1)定义:一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函 数 f(x)就叫做偶函数; 一般地, 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=-f(x), 那么函数 f(x)就叫做奇函数; 注: 函数具有奇偶性的前提条件是定义域必须关于原点对称, 因此判断函数的奇偶性必须先 看定义域是否关于原点对称,否则为非奇非偶函数。 (2)判断方法: ①定义:f(-x) =±f(x);f(-x) ±f(x)=0(对数函数奇偶性的判断); 数奇偶性的判断) ②图象:f(x)为奇函数 ? f(x)的图象关于原点对称 f(x)为偶函数 ? f(x)的图象关于 y 轴对称 f(x)为非奇非偶函数 ? f(x)的图象既不关于原点对称,也不关于 y 轴对称 f(x)为既奇且偶函数 ? f(x)的图象既关于原点对称,又关于 y 轴对称即:y=f(x)=0,定义 域可以各式各样(必须关于原点对称) ,不是唯一的 ③公式:两个偶函数的和、差、积、商仍为偶函数; 两个奇函数的和、差仍为奇函数,积、商为偶函数; 一奇与一偶的积、商为奇函数 f(x)与 kf(x)、

f (? x) =±1(幂、指函 f ( x)

1 (f(x)≠0)的奇偶性相同 f ( x)

④复合函数:内层函数为偶函数,则复合函数为偶函数;内层函数为奇函数,则复合函数的 奇偶性与外层函数一致;即:同奇为奇,一偶则偶

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(3)奇偶函数的性质: ①偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性, 奇函数在关于原点对称的两个区 间上具有一致的单调性; ②若一个奇函数在原点处有定义,那么必有 f(0)=0; ③若一个奇函数有反函数, 则它的反函数必为奇函数, 定义域为非单元素集的偶函数不存在 反函数; ④任意一个定义域关于原点对称的函数都可以写成一个奇函数与一个偶函数的和的形式: 设 h(x)=

f ( x) ? f (? x) f ( x) ? f (? x) 为偶函数,设 g(x)= 为奇函数,则 f(x)=h(x)+g(x); 2 2

⑤若一个函数为偶函数,则其解析式中未知数的奇次方的系数为零;若一个函数为奇函数, 则其解析式中未知数的偶次方的系数和常数项为零; ⑥若函数 y=f(x)的定义域关于原点对称, F 则 (x) =f(x)+f(-x)为偶函数,(x) Q =f(x)-f(-x) 为奇函数,H(x)=f(x).f(-x)为偶函数, ⑦若 f(a+x)为偶函数,即 f(a+x)= f(a-x),则 f(x)的图象关于直线 x=a 对称;若 f(a+x)为 奇函数,即 f(a+x)= -f(a-x),则 f(x)的图象关点(a,0)对称;

3、周期性:
(1) 定义: 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T, 使得当 x 取定义域内的每一个值时, 都有 f(x+T)=f(x)成立,那么函数 y=f(x)叫做周期函数,T 叫做 f(x)的周期。 (2)判断方法: Ⅰ、对于函数 y=f(x),若关于 T 的方程 f(x+T)-f(x)=0 有与 x 无关的非零 * * 常数解 T ,则 y=f(x)为周期函数,且 T 是它的一个周期; Ⅱ、若函数 y=f(x)(x∈R)的图象 关于直线 x=a 与 x=b(b>a)都对称, f(x)是周期函数, 2|b-a|是它的一个周期;[特别地, 则 且 如果一个偶函数的图象关于直线 x=a (a≠0) f(x)必是周期函数, 2a 是它的一个周期; ,则 且 如果一个奇函数的图象关于直线 x=a a≠0) f(x)必是周期函数, 4a 是它的一个周期;] ( ,则 且 Ⅲ、设 f(x)是定义在 R 上的函数,a 是不为零的常数:①若满足 f(x+a)=f(x-a), 则 f(x) 是周期函数,且 2a 是它的一个周期;②若满足 f(x+a)=-f(x), 则 f(x)是周期函数,且 2a 是它的一个周期;③若满足 f(x+a)= ±

1 , 则 f(x)是周期函数, 2a 是它的一个周期; 且 f ( x)

④若满足 f(x)=f(x-a), 则 f(x)是周期函数,且 a 是它的一个周期; Ⅳ、若函数 y=f(x) (x ∈R)满足 f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a>0 的常数), 则 f(x)是周期函数,且 6a 是它的一个周期; (3)周期函数的性质: Ⅰ、若 T 为函数的一个周期,那么 kT(k∈Z)都是函数的周期; Ⅱ、 设 y=f(x)是实数集 M 上的周期函数, ①kf(x)+c(k,c 为常数)是 M 上的周期函数; 则: ②|f(x)| 是 M 上的周期函数;③

1 (f(x)≠0) 是 M 上的周期函数;④f(ax+b)是{x/ax+b,x∈M} f ( x)

上的周期函数;周期函数不存在反函数。

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一、选择题: 1.下面说法正确的选项 A.函数的单调区间可以是函数的定义域 B.函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C.具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2.在区间 (??,0) 上为增函数的是 A. y ? 1 C. y ? ? x ? 2 x ? 1
2 2









x ?2 1? x 2 D. y ? 1 ? x
B. y ? ( ) ) ) )

3.函数 y ? x ? bx ? c ( x ? (??,1)) 是单调函数时, b 的取值范围

A. b ? ?2 B. b ? ?2 C . b ? ?2 D. b ? ?2 4.如果偶函数在 [a, b] 具有最大值,那么该函数在 [?b,?a] 有 ( A.最大值 B.最小值 C .没有最大值 D. 没有最小值 5.函数 y ? x | x | ? px , x ? R 是 ( A.偶函数 B.奇函数 C.不具有奇偶函数 D.与 p 有关 6. 函数 f (x) 在 (a, b) 和 (c, d ) 都是增函数, x1 ? (a, b), x2 ? (c, d ) , x1 ? x2 那么 若 且 ( A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) A. [3,8] B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D.无法确定 (

7.函数 f (x) 在区间 [?2,3] 是增函数,则 y ? f ( x ? 5) 的递增区间是 B. [?7,?2] C. [0,5] D. [?2,3] 8.函数 y ? (2k ? 1) x ? b 在实数集上是增函数,则 A. k ? ?



( D. b ? 0



9. 定义在 R 上的偶函数 f (x) , 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) , 且在区间 [?1,0] 上为递增, ( 则 A. f (3) ? f ( 2 ) ? f (2) C. f (3) ? f (2) ? f ( 2 ) A. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] C. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] 二、填空题:请把答案填在题中横线上. 11 . 函 数 f (x) 在 R 上 为 奇 函 数 , 且 f ( x) ? . 12.函数 y ? ? x ? | x | ,单调递减区间为
2

1 2

B. k ? ?

1 2

C. b ? 0



B. f (2) ? f (3) ? f ( 2 ) D. f ( 2 ) ? f (2) ? f (3) ( ) B. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) D. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b)

10.已知 f (x) 在实数集上是减函数,若 a ? b ? 0 ,则下列正确的是

x ? 1, x ? 0 , 则 当 x ? 0 , f (x) ?
,最大值和最小值的情况为 .

13. 定义在 R 上的函数 s (x )(已知) 可用 f ( x), g ( x) 的=和来表示, f (x) 为奇函数,g (x) 且 为偶函数,则 f (x) = . 14.构造一个满足下面三个条件的函数实例, ①函数在 (??,?1) 上递减;②函数具有奇偶性;③函数有最小值为;

.

三、解答题

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15.已知 f ( x) ? ( x ? 2) , x ? [?1,3] ,求函数 f ( x ? 1) 得单调递减区间.
2

16.判断下列函数的奇偶性 ① y ? x3 ?

1 ; x

②y?

2x ? 1 ? 1 ? 2x ;

③ y ? x ? x;
4

? x 2 ? 2( x ? 0) ? ④ y ? ?0( x ? 0) 。 ? 2 ?? x ? 2( x ? 0)
b ? 8 , f (?2) ? 10 ,求 f (2) . x

17.已知 f ( x) ? x 2005 ? ax3 ?

18.函数 f ( x), g ( x) 在区间 [a, b] 上都有意义,且在此区间上 ① f (x) 为增函数, f ( x) ? 0 ; ② g (x) 为减函数, g ( x) ? 0 . 判断 f ( x) g ( x) 在 [a, b] 的单调性,并给出证明.

19. 已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的周期函数, 周期 T ? 5 , 函数 y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是 奇函数 又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数,在 [1, 4] 上是二次函数,且在 x ? 2 时函数取得
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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最小值 ?5 。 ①证明: f (1) ? f (4) ? 0 ; ②求 y ? f ( x), x ?[1, 4] 的解析式; ③求 y ? f ( x) 在 [4,9] 上的解析式。

20.已知函数 f ( x) ? x ? 1 ,且 g ( x) ? f [ f ( x)] , G( x) ? g ( x) ? ?f ( x) ,试问,是否存
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在实数 ? ,使得 G (x) 在 (??,?1] 上为减函数,并且在 (?1,0) 上为增函数.

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A级

基础演练(时间:30 分钟 满分:55 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.(2013· 长沙一模)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)内单调递减的函数是 ( A.y=x2 C.y=-lg|x| B.y=|x|+1 D.y=2|x| ).

2. (2011· 辽宁)函数 f(x)的定义域为 R, f(-1)=2, 对任意 x∈R, f′(x)>2, f(x)>2x 则 +4 的解集为 A.(-1,1) C.(-∞,-1) B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞) ( ). ( ).

3.(2012· 浙江)设 a>0,b>0. A.若 2a+2a=2b+3b,则 a>b B.若 2a+2a=2b+3b,则 a<b C.若 2a-2a=2b-3b,则 a>b D.若 2a-2a=2b-3b,则 a<b

?1,x>0, 4. (2013· 苏州调研)设函数 f(x)=?0,x=0, ?-1,x<0,
减区间是 A.(-∞,0] C.[1,+∞) B.[0,1) D.[-1,0]

g(x)=x2f(x-1), 则函数 g(x)的递

(

).

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.设函数 y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为 g(a),则 g(a)=________. 6.奇函数 f(x)(x∈R)满足:f(-4)=0,且在区间[0,3]与[3,+∞)上分别递减和递 增,则不等式(x2-4)f(x)<0 的解集为________.

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三、解答题(共 25 分) 7.(12 分)设函数 f(x)对任意的 a,b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当 x>0 时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是 R 上的增函数; (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)<3.

a 8.(13 分)已知函数 f(x)=x2+ x(x≠0,a∈R). (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围.

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B级

能力突破(时间:30 分钟 满分:45 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x, y∈R), f(1)=2, f(- 则 3)等于 A.2 B.3 C.6 D.9 ( ).

2.(2013· 太原质检)设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数 K, ?f?x?,f?x?≤K, 1 定义函数 fK(x)=? 取函数 f(x)=2-|x|,当 K=2时,函数 fK(x) ?K,f?x?>K, 的单调递增区间 为 A.(-∞,0) C.(-∞,-1) B.(0,+∞) D.(1,+∞) ( ).

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],若当 x∈[0,5] 时,f(x)的图象如右图,则不等式 f(x)<0 的解 集是________.
x ?e -2,x≤0, 4.已知函数 f(x)=? (a 是常数且 ?2ax-1,x>0


a>0).对于下列命题: ①函数 f(x)的最小值是-1; ②函数 f(x)在 R 上是单调函数; ?1 ? ③若 f(x)>0 在?2,+∞?上恒成立,则 a 的取值范围是 a>1; ? ? ④对任意的 x1<0,x2<0 且 x1≠x2,恒有 ?x1+x2? f?x1?+f?x2? ?< f? . 2 ? 2 ? 其中正确命题的序号是____________.

三、解答题(共 25 分)

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5.(12 分)(2011· 上海)已知函数 f(x)=a·x+b·x,其中常数 a,b 满足 ab≠0. 2 3 (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时的 x 的取值范围.

?1? 6.(13 分)(2012· 潍坊一模)已知函数 f(x)在(-1,1)上有定义,f?2?=-1,当且仅当 ? ? ? x+y ? ?,试证明: 0<x<1 时,f(x)<0,且对任意 x、y∈(-1,1)都有 f(x)+f(y)=f? ?1+xy? (1)f(x)为奇函数; (2)f(x)在(-1,1)上单调递减.

A级

基础演练(时间:30 分钟 满分:55 分)
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一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=f(x),又当 x∈(0,1)时,f(x)=2x 1 -1,则 f(log26)等于 A.-5 B.-6 5 C.-6 1 D.-2 ( ).

2.(2011· 安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1) 等于 A.-3 B.-1 C.1 D.3 ( ).

3.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则 下列不等式一定成立的是 2π? ? 2π? ? A.f?cos 3 ?>f?sin 3 ? ? ? ? ? ? C.f?sin ? π? ? π? 6?<f?cos 6? ? ? ? B.f(sin 1)<f(cos 1) D.f(cos 2)>f(sin 2) ( ).

-x ?1-2 ,x≥0, 4.(2013· 连云港一模)已知函数 f(x)=? x 则该函数是 ?2 -1,x<0,

(

).

A.偶函数,且单调递增 C.奇函数,且单调递增 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)

B.偶函数,且单调递减 D.奇函数,且单调递减

5.(2011· 浙江)若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 6.(2012· 上海)已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1) =________. 三、解答题(共 25 分) 7.(12 分)已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对任意 x,y,f(x)都满足 f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求 f(1),f(-1)的值; (2)判断函数 f(x)的奇偶性. 8.(13 分)设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[-2,0]上单调递减,若 f(1- m)<f(m),求实数 m 的取值范围.

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B级

能力突破(时间:30 分钟 满分:45 分)
( ).

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则 A.f(x)是偶函数 C.f(x)=f(x+2) B.f(x)是奇函数 D.f(x+3)是奇函数 ( ).

?1,x为有理数, 2.(2012· 福建)设函数 D(x)=? 则下列结论错误的是 ?0,x为无理数, A.D(x)的值域为{0,1} C.D(x)不是周期函数 B.D(x)是偶函数 D.D(x)不是单调函数

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.f(x)=2x+sin x 为定义在(-1,1)上的函数,则不等式 f(1-a)+f(1-2a)<0 的解 集是 ________. 4.若定义域为 R 的奇函数 f(x)满足 f(1+x)=-f(x),则下列结论:①f(x)的图象 1 ?1 ? 关于点?2,0?对称;②f(x)的图象关于直线 x=2对称;③f(x)是周期函数,且 2 是 ? ? 它的一个周期;④f(x)在区间(-1,1)上是单调函数.其中所有正确的序号是 ________.

三、解答题(共 25 分) a 5.(12 分)已知函数 f(x)=x2+ x(x≠0,常数 a∈R). (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数.求实数 a 的取值范围.

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6.(13 分)已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x). (1)求证:f(x)是周期函数; 1 1 (2)若 f(x)为奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x)=2x,求使 f(x)=-2在[0,2 014]上 的所有 x 的个数.

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