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广东省实验中学2015届高三第一次阶段考试数学(理) Word版含答案


广东实验中学 2015 届高三阶段考试(一)

理 科 数 学
一.选择题(5*8=40 分) x2 y2 1.设集合 A={(x,y)| + =1},B={(x,y)|y=3x},则 A∩B 的子集的个数是( 4 16 A.4 B.3 C.2 D.1 2. log 2 sin A .-2 )

?

12

? log 2 cos

?

B .–l

12 1 C. 2

的值为( ) D .1

3.已知 x , y ? R ,则“ x ? y ? 1 ”是“ xy ? A.充分不必要条件 C.充要条件 4.已知函数 f ( x) ?

1 ”的( 4



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) 对称 B. 函数 f ( x) 的图像关关于点 ( ,0) 对称

cos 2 x ? 1 ,则有( sin 2 x

A.函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? C.函数 f ( x) 的最小正周期为 5.已知 0<a<b<l.则( A. )

?
2

?

2

?
2

D.函数 f ( x) 在区间 (0, ? ) 内单调递减

1 1 ? b a

B.

1 1 ( ) a ? ( )b 2 2

C.

(lg a)2 ? (lg b)2

D.

1 1 ? lg a lg b

2 6.已知函数 f ( x) ? x ? 2cos x ,若 f '( x) 是 f ( x ) 的导函数,则函数 f '( x) 在原点附

近的图象大致是(



A

B

C

D

? ? x 2 ? x, x ? 1 3 ? 2 7.已知函数 f ( x) ? ?log x, x ? 1 ,若对任意的 x ? R ,不等式 f ( x) ? m ? m 恒成立, 1 4 ? ? 3
则实数 m 的取值范围是( )

1 1 A. (??, ? ] B. (??, ? ] [1, ??) C.[1, ??) 4 4

1 D.[ ? , 1] 4

8.已知关于 x 的方程

cos x ? k 在 (0, ??) 有且仅有两根,记为 ? , ? (? ? ? ) ,则下列的四 x

2

个命题正确的是(

A. sin 2? ? 2? cos ? C. sin 2? ? ?2? sin 2 ?

B. cos 2? ? 2? sin ?
2

D. cos 2? ? ?2? sin 2 ?

二.填空题(6*5=30 分) (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答。 9.已知 2 ? 3, log 4
x

8 ? y, 则x ? 2 y 的值为______________. 3
5? ) 在一个周期内的图象,则阴影 6
?

y
? 12

10.如图是函数 y ? cos(2 x ? 部分的面积是__________. 11.若 ? ? (0,

O

? 6

x O

?
2

) ,则

sin 2? 的最大值为 sin ? ? 4 cos 2 ?
2



2 2 12.已知函数 f ( x) ? x ? sin x ( x ? R) ,且 f ( y ? 2 y ? 3) ? f ( x ? 4x ? 1) ? 0 ,则当 y ? l

时,

y 的取值范围是_______________. x ?1
5

1 ? ? 2 13. 已知 ? x ? ? 的展开式中的常数项为 T , f ( x) 是以 T 为周期的偶函数,且当 5 x3 ? ?
x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ,若在区间 [ ?1, 3] 内,函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? k 有 4 个零点,则实
数 k 的取值范围是 .

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计前一题的得 分。 14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,倾斜角为

? 的直线 l 与曲线 4

? x ? 2 ? cos ? C: , ( ? 为参数)交于 A 、 B 两点,且 AB ? 2 ,以坐标原点 O 为极点, x ? ? y ? 1 ? sin ?
轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线 l 的极坐标方程是________. 15. (几何证明选讲选做题) 已知⊙ O1 和⊙ O2 交于点 C 和 D, ⊙ O1 上的点 P 处的切线交⊙ O2 于 A、 B 点,交直线 CD 于点 E,M 是⊙ O2 上的一点,若 PE=2,EA=1, ?AMB ? 45 ,那么⊙ O2 的半 径为 . B E A P C O1 D O2 M

三.解答或证明题 16. (12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x ?
2

1 , x?R . 2

(Ⅰ) 求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期;

、 C 的对 边分别 为 a、b、c ,且 c ? 3, f (C )? 0, 若向 量 (Ⅱ) 已知 ?ABC 内 角 A、 B

m ? (1,sin A) 与 n ? (2,sin B) 共线,求 a、b 的值.

17.(13 分) 一个袋子中装有 6 个红球和 4 个白球,假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的。 (Ⅰ)从袋子中任意摸出 3 个球,求摸出的球均为白球的概率; (Ⅱ)一次从袋子中任意摸出 3 个球,若其中红球的个数多于白球的个数,则称“摸球成功” (每次操作完成后将球放回),某人连续摸了 3 次,记“摸球成功”的次数为 ? ,求 ? 的分布 列和数学期望。

18. (13 分) 如图 1, AD 是直角△ ABC 斜边上的高,沿 AD 把△ ABC 的两部分折成直二面角
F A ? C (如图 2) ,D

于F .

(Ⅰ)证明: BF ? AC ; (Ⅱ)设 ?DCF ? ? , AB 与平面 BDF 所成的角为 ? ,二面角 B ? FA ? D 的大小为 ? , 试用 tan ? ,

cos ? 表示 tan? ;

(Ⅲ)设 AB ? AC , E 为 AB 的中点,在线段 DC 上是否存在一点 P ,使得 DE ∥平面

PBF ? 若存在,求
B

DP 的值;若不存在,请说明理由. PC
B

E D A A F 图2

D P C 图1 C

x2 y2 19. (14 分)如图, 点 P(0, ?1)是椭圆 C1: C1 的长轴是圆 C2: x2+y2=4 a2+b2=1(a>b>0)的一个顶点, 的直径.l1,l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2 交椭圆 C1 于另一点 D. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程. y
l1 D O P A l2 B x

20. (14 分) 如图 ,实线 部分的月牙形公园是由圆 P 上的一段优弧和圆 Q 上的一段劣弧围成, 圆 P 和圆 Q 的半径都是 2km , 点 P 在圆 Q 上, 现要在公园内建一块顶点都在圆 P 上的多边 形活动场地. (1)如图甲,要建的活动场地为△ RST ,求活动场地的最大面积; (2)如图乙,要建的活动场地为等腰梯形 ABCD ,求活动场地的最大面积;

21. (14 分)已知 ? ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ)当 ? ? 2 时,求 f ( x) 的最小值;

? ( x ? 1) ,其中 x ?[1, ??) . x ? ? ?1

(Ⅱ)在函数 y ? ln x 的图像上取点 Pn (n, ln n) (n ? N ? ) ,记线段 PnPn+1 的斜率为 kn ,

Sn ?

1 1 ? ? k1 k2

?

1 .对任意正整数 n,试证明: kn
(ⅱ) Sn ?

(ⅰ) Sn ?

n(n ? 2) ; 2

n(3n ? 5) . 6

班别__________________ 姓名__________________ 学号 密 封 线 内 不 要 答 题 ○???????○???????○???????○???????○???????○???????○??????○??????○??????○??????○ ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9. 14. 答案 题号 1 ; ; 2 ; 15. 10. 13. 。 ; ; 11. ; 3 4 5 6 7 8 12. (二)选做题: (一)必做题: 三、解答(6 题,共 80 分) 二、填空(每题 5 分,共 30 分) 一、选择(每题 5 分,共 40 分) 16.(12 分)

??????????????????????????????????????????????????????????????????

广东实验中学 2015 届高三阶段考试(一) 理科数学答卷

17.(13 分)

18.(13 分)
B

B

D

A

E

D
C 图1

A F 图2

P C

19.(14 分)

y l1 D O P A l2 B x

班别__________________ 姓名__________________ 学号 密 封 线 内 不 要 答 题 ???????○???????○???????○???????○???????○???????○??????○??????○??????○??????○ ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 20.(14 分)

?????????????????????????????????????????????????????????????????

21.(14 分)

广东实验中学第一次阶段性考试理科数学参考答案及评分标准
一.选择题:AAAB DABC 二.填空题 9..3; 10.

5 ; 4

11.

1 ; 2

12. [

1 3 , ] 4 4



13. ? 0, ? ; 4

? ?

1? ?

14.

?( c o ? s ? s i? n? ); 1

15.

3 2 . 2

三.解答或证明题 16.(12 分)解:(Ⅰ)

f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

1 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2 2

? sin(2 x ? ) ? 1 6

?

????????????????3 ??????5

∴ f ( x ) 的最小值为 ?2 ,最小正周期为 ? . (Ⅱ)∵ ∵ ∵

f (C ) ? sin(2C ? ) ? 1 ? 0 , 即 sin(2C ? ) ? 1 ????6 6 6 ? ? 11? ? ? ? 0 ? C ? ? , ? ? 2C ? ? ,∴ 2C ? ? ,∴ C ? . ??8 6 6 6 6 2 3

?

?

m与n 共线,∴ sin B ? 2sin A ? 0 .
a b ? , 得 b ? 2a, sin A sin B

?????9 ???????10

由正弦定理

2 2 ∵ c ? 3 ,由余弦定理,得 9 ? a ? b ? 2ab cos

?
3

, 故 a ? 3, b ? 2 3

??12

17.(13 分) (Ⅰ)设从袋子中任意摸出 3 个球, 摸出的球均为白球的概率是 P

P=

3 C4 3 C10

=

1 . 30
3 2 1 C6 + C6 C4 2 = . 3 3 C10

?4 分

(Ⅱ)由一次”摸球成功”的概率 P =

?8 分

2 随机变量 ? 服从二项分布 B( 3, ) ,分布列如下 3 0 1 ?

?12 分
2 3

P
E? ? 2

1 27

6 27

12 27

8 27
?13 分

18. (13 分) (Ⅰ)∵ AD ? DB, AD ? DC ,∴ ?BDC 是二面角 B ? DA ? C 的平面角.又∵二

面角 B ? DA ? C 是直二面角,∴ BD ? DC ,∴ BD ? 平面 ADC ,∴ BD ? AC ,又 DF ? AC , ∴ AC ? 平面 BDF ,∴ BF ? AC .?????????????4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) B

?ABF ? ? ? tan ? ?


AF DF , ?BFD ? ? ? cos ? ? . BF BF
, ∴ D M

E A n

AF ?ADF ? ?DCF ? ? ? tan ? ? DF

AF 8 分o ? n ? .??????? c s BF (Ⅲ)连接 CE 交 BF 于点 M ,连接 PM ,则 PM ∥ DE . ∵ AB ? AC ,∴ AD ? DC ,∴ F 为 AC 的中点, 而 E 为 AB 的中点, ∴M 为 ?ABC 的重心, t ?

?a ?

tP
C

a F



EM 1 DP 1 ? ,∴ ? .即在线段 DC 上是否存在一点 P ,使得 DE ∥ PBF , MC 2 PC 2

DP 1 ? .????????????????13 分(也可建系完成) PC 2 19.(14 分)
此时 (Ⅰ)由题意得:
?b=1, ? ?a=2. y

……………..2
D B O P A l2

l1

椭圆 C 的方程为:

x 2 4 +y =1. ………………………..4 (Ⅱ)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线 l1 的斜率存在, 不妨设其为 k,则直线 l1 的方程为 y=kx?1. ……………………….5 2 2 又圆 C2:x +y =4,故点 O 到直线 l1 的距离 1 d= 2 , …………………6 k +1 所以 4k2+3 |AB|=2 4?d2=2 k2+1 .……………7 又 l1?l2,故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0. 由 ky+k=0, ? ?x+2 x ? 2 ? 4 +y =1. ? 消去 y,整理得 (4+k2)x2+8kx=0 故 8k x0=? 4+k2. 所以 8 k2+1 |PD|= 4+k2 . …………………..10

2

x

1 8 4k2+3 设△ABD 的面积为 S,则 S=2|AB|?|PD|= 4+k2 , 所以 32 32 16 13 S= ? = 13 , ………………12 13 13 4k2+3+ 4k2+3 ? 4k2+3 2 4k2+3 10 当且仅当 k=± 2 时取等号 10 所以所求直线 l1 的方程为 y=± 2 x?1 20.(14 分) 解: (Ⅰ)过 S 作 SH ? RT 于 H , S ?RST ? ………………..13 ……………………………..14

1 SH ? RT . 2

由题意, ?RST 在月牙形公园里, RT 与圆 Q 只能相切或相离;

RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形,则有 RT ? 4, SH ? 2 ,
当且仅当 RT 切圆 Q 于 P 时,上面两个不等式中等号同时成立。 此时,场地面积的最大值为 S ?RST ? (4 分) ?(5 分)

1 ? 4 ? 2 ? 4 (km2) 2

(Ⅱ) AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形,以 AD 为直径向左边作半圆,此半圆 包含弓形,半圆的内接等腰梯形的面积的最
R

M
B

A

大值不小于弓形内接等腰梯形的面积的最大 值, 要求场地面积的最大值, 只需考虑 AD 切 圆 Q 于 P 时的情形, ?? (7 分)
S

M

P

Q
C

P

Q

T

N

D

N

设 ?BPA ? ? ,则有 S四边形ABCD =

1 1 ? 2 ? 2 ? sin ? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? sin(? ? 2? ) 2 2

? 4(sin ? ? sin ? cos ? )(0 ? ? ?

?

2

). ?? (10 分)

21. (14 分) 解: (Ⅰ) ? =2 时, f ( x) ? ln x ?

2( x ? 1) ( x ? 1) ,求导可得 x ?1
?????3 分

f ?( x) ?

1 2( x ? 1) ? 2( x ? 1) ( x ? 1)2 ? ? ?0 x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2

所以, f ( x) 在 (1, ??) 单调递增,故 f ( x) 的最小值是 f (1) ? 0 .????5 分 (Ⅱ)依题意, kn ?

ln(n ? 1) ? ln n 1 ? ln(1 ? ) . n ?1? n n

?????6 分

(ⅰ)由(Ⅰ)可知,若取 ? ? 2 ,则当 x ? 1 时 f ( x) ? 0 ,即 ln x ?

2( x ? 1) . x ?1

1 2(1 ? ? 1) 1 2 1 2n ? 1 n ? 于是 ln(1 ? ) ? ,即知 ? .????8 分 1 n 2n ? 1 kn 2 1? ?1 n
所以 Sn ? ?
i ?1 n n 1 2i ? 1 n(n ? 2) ?? ? . ki i ?1 2 2

?????9 分

(ⅱ)取 ? ? 3 ,则 f ( x) ? ln x ?

3( x ? 1) ( x ? 1) ,求导可得 x?2
1 3( x ? 2) ? 3( x ? 1) ( x ? 1)( x ? 4) ? ? x ( x ? 2)2 x( x ? 2) 2

f ?( x) ?

当 x ? (1, 2) 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (1, 2) 单调递减. 所以, x ? (1, 2] 时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 ln x ? 注意到,对任意正整数 n , 1 ?

3( x ? 1) .?????12 分 x?2

1 ? (1,2] ,于是 n

1 3(1 ? ? 1) 1 3 1 3n ? 1 n kn ? ln(1 ? ) ? ? ,即知 ? . ?????13 分 1 n 3 n ? 1 k 3 n 1? ? 2 n
所以

Sn ? ?
i ?1

n

n 1 3i ? 1 n(3n ? 5) ?? ? . ki i ?1 3 6

?????14 分


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