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湖北荆州、黄冈、襄阳、十堰、宜昌、孝感、恩施七市2013届高三4月联考数学(理)试题(word版有答案)


2013 年湖北荆州、黄冈、襄阳、十堰、宜昌、孝感、恩施七市(州) 高三联合考试数学(理工类)
一 、 选 择 题 : 本 大 题 共 10小 题 , 每 小 题 5分 , 共 50分 . 在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有 一项是符合题目要求的. 1.设复数 z =

a+ i ,其中a为实数,若z的实部为2,则z的虚部为 1+ i

A.-i B.i C.-1 D.1 2.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b,则a+b= A.(-2,-1) B.(2,1) C.(3,-1) D.(-3,1) 3.下列说法中不正确的个数是 ①命题“ ? x∈R, x 3 ? x 2 ? 1 ≤0”的否定是“ ? x 0 ∈R, x0 ? x0 ? 1 >0”;
2 3

②若“p ? q”为假命题,则p、q均为假命题; ③“三个数a,b,c成等比数列”是“b= ac ”的既不充分也不必要条件 A.O B.1 C.2 D.3 4.函数f(x)=2x-sinx的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 5.一个几何体的三视图如下左图所示,则此几何体的体积是 A.112 B.80 C.72 D.64

6. 已知全集U=Z, Z为整数集, 如上右图程序框图所示, 集合A={x|框图中输出的x值}, B={y| 框图中输出的y值};当x=-1时,(CuA) ? B= A.{-3,-1,5} B.{-3,-1,5,7} C.{-3,-1,7} D.{-3,-1,7,9} 7. 我国第一艘航母 “辽宁舰” 在某次舰载机起降飞行训练中, 有5架舰载机 准备着舰. 如果甲、 乙两机必须相邻着舰, 而丙、 丁不能相邻着舰, 那么不同的着舰方法有 A.12种 B.18种 C.24种 D.48种 8.如右图,矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)=sinx(x∈(0,? ))及直线x=a(a∈(0,? )) 与x轴围成,向矩形OABC内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为 A.

3 ,则a的值为 16

[来源:学科网ZXXK]

7 ? 12

B. ?

2 3

C. ? D. ?

3 4

5 6

9. 如右图, 一单位正方体形积木, 平放于桌面上, 并且在其上方放置若干个小正 方体形积木摆成塔形, 其中上面正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中 上底面各边的中点, 如果所有正方体暴露在外面部分的面积之和超过8.8,则正

方体的个数至少是 A.6 8.7 C.8 D. 10 10.已知直线l:y=ax+1-a(a∈R).若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点, 且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|, 则称此 曲 线 为 直 线 l的 绝 对 曲 线 ” 下 “ . 面 给 出 四 条 曲 线 方 程 : ① y=-2 |x-1|; ② y= x 2 ;③(x-1) +(y-1) =1;④x +3y =4; 则其中直线l的“绝对曲线”有 A.①④ B.②③ C.②④ D.②③④ 二 、填 空 题 :本 大 题 共 6 小 题 ,考 生 共 需 作 答 5 小 题 ,每 小 题 5 分 ,共 2 5 分 .请 将 答 案 填 在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清.模棱两可均不得分. (一)必考题:(11-14题)
2 2 2 2

1 1 1 , ? ∈(0, ? ),则sin(2 ? + ? )= . 2 4 4 ?x ? 0 ? 12. 点P(x, y)在不等式组 ? x ? y ? 3 表示的平面区域内, 若点P(x, y)到 直线y=kx-1(k>0) ?y ? x ?1 ?
11.若tan ? = 的最大距离为2 2 ,则k= . 2 13. 已知抛物线y =4x的焦点为F, 过点P(2, 0)的直线交抛物线于A(x1, 1)和B(x2, 2)两点. y y 则: (I) y1 y2= ;(Ⅱ)三角形ABF面积的最小值是 . 14. 挪威数学家阿贝尔, 曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如下图), 利用它们的面积关 系发现了一个重要的恒等式一阿贝尔公式: a1b1+a2b2+a3b3+?+anbn=a1(b1-b2)+L2(b2-b3)+L3(b3-b4)+?+Ln-1(bn-1-bn) +Lnbn

则其中:(I)L3= ;(Ⅱ)Ln= . (二)选考题: 请考生在第15、 16两题中任选一题作答. 如果全选, 则按第15题作答结果计分. 1 5 . ( 几 何 证 明 选 讲 ) 如 右 图 , A B 是 ⊙ O 的 直 径 , P 是 A B 延 长线上的一 点, 过P作⊙ O 的切线,切点为C,PC=2 3 ,若∠CAP=30°,则⊙ O 的直径AB= . 1 6 .( 坐 标 系 与 参 数 方 程 ) 在 直 角 坐 标 平 面 内 ,以 坐 标 原 点 0 为 极 点 ,x轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 已 知 点 M的 极 坐 标 为 (4

2,

1 ? ), 曲 线 C的 参 数 方 程 为 4

? x ? 1 ? 2 cos? ? ( ? 为参数),则点M到曲线C上的点的距离的 ? ? y ? 2 sin ? ?
最小值为 . 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知向量 m =( 3 sin2x+2,cosx),n =(1,2cosx),设函数

f(x)= m · n . (I)求f(x)的最小正周期与单调递增区间; (Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a= 3 ,f(A)=4,求b+c的最 大值.

18. (本小题满分12分)数列{an}是公 比为

1 的等比数列, 且1-a2是a1与1+a3的等比中项,前n 2

项和为Sn;数列{bn}是等差数列,b1=8,其前n项和Tn满足Tn=n ? ·bn+1( ? 为常数,且 ? ≠1). (I)求数列{an}的通项公式及 ? 的值; (Ⅱ)比较

1 1 1 1 1 + + +?+ 与了 Sn的大小. Tn T1 T2 T3 2

19.(本小题满分12分)如图,矩形A1A2A′2A′1,满足B、C在A1A2上,B1、C1在A′1A′2上,且 BB1∥CC1∥A1A′1,A1B=CA2=2,BC=2 2 ,A1A′1= ? ,沿BB1、CC1将矩形A1A2A′2A′1折起成为 一个直三棱柱, 1与A2、 1与A′2重合后分别记为D、1, 使A A′ D 在直三棱柱DBC-D1B1C1中,点M、N分 别为D1B和B1C1的中点. (I)证明:MN∥平面DD1C1C; (Ⅱ)若二面角D1-MN-C为直二面角,求 ? 的值.

20.(本小题满分12分)2013年2月20日,针对房价过高,国务院常务会议确定五条措施(简称 “国五条” 为此, ). 记者对某城市的工薪阶层关于 “国五条” 态度进行了调查, 随机抽取了60 人, 作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图), 同时得到了他们的月收入情况与“国五 条”赞成人数统计表(如下表): 月收入(百元) [15,25) [25,35) [35,45)
[来源:学科网ZXXK]

赞成人数 8 7 10 6 2 1

[来源:学,科,网]

[45,55) [55,65) [65,75) (I)试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入;

(Ⅱ)若从月收入(单位:百元)在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取3人进行追 踪调查, 记选中的6人中不赞成 “国五条” 的人数为X, 求随机变量X的分布列及数学期望.

21.(本小题满分13分)在矩形ABCD中,|AB|=2 3 ,|AD|=2,E、F、G、H分别为矩形四条 边的中点,以HF、GE所在直线分别为x,y轴建立直角坐标系(如图所 示 ). 若 R、 R′分 别 在 线 段 0F、 CF上 , 且

| OR | | CR' | 1 = = . | OF | | OF | n

(Ⅰ)求证:直线ER与GR′的交点P在椭圆 ? :

x2 2 + y =1上; 3

(Ⅱ)若M、 N 为椭圆 ? 上的两点, 且直线GM与直线GN的斜率之积为 并求△GMN面积的最大值.

2 , 求证: 直线MN过定点; 3

22.(本小题满分14分)已知函数f(x)=lnx,g(x)=k·

x ?1 . x ?1

(I)求函数F(x)= f(x)- g(x)的单调区间; (Ⅱ)当x>1时, 函数f(x)> g(x)恒成立, 求实数k的取 值范围; (Ⅲ)设正实数a1, 2, 3, an满足a1+a2+a3+?+an=1, a a ?, 求证:ln(1+

2n 2 1 1 1 )+ln(1+ 2 )+?+ln(1+ 2 )> . 2 n?2 a1 a2 an

2013 年七市联考数学试题(理工类)(B 卷) 参考答案
一、选择题: CABAB DCBAD 二、填空题:11.

7 2 12. 1 13.(Ⅰ) ?8 10 14.(Ⅰ) a1 ? a2 ? a3 (Ⅱ) a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 15. 4

(Ⅱ) 2 2 16. 5 ?

2

(注:填空题中有两个空的,第一个空 2 分,第二个空 3 分) 三、解答题
2 17.解:(Ⅰ) f ( x) ? m? n ? 3 sin 2 x ? 2 ? 2 cos x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 ? ?

? 2sin(2 x ? ) ? 3 6
∴ f ( x) 的最小正周期 T ? 由 2 k? ?

?

……………3 分

?
2

? 2x ?

?
6

2? ?? 2

……………4 分

? 2k? ?
? ?

?

2

, k ? Z 得 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

,k ?Z
……………6 分

∴ f ( x) 的单调递增区间为 ? k? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

(k ? Z )

(Ⅱ)由 f ( A) ? 4 得 2 sin? 2 A ? ∵0 ? A??

?B ? C ?


2? 3

?? 1 ? ? ? 3 ? 4 , sin? 2 A ? ? ? 6? 6? 2 ? ? ? ? 13? ? 5? ∴ ? 2A ? ? ∴ 2A ? ? ,A? 3 6 6 6 6 6
? ?

??

……………8 分







? b ? c ? 2(sin B ? sin C ) ? 2[sin B ? sin( ? B)] 3 ? 2 3 sin( B ? ) ? 2 3 6
时,b ? c 最大为 2 3 3 法二: a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 即 ∴当 B ?

?

a b c ? ? sin A sin B sin c



?

?

……………12 分

3 ? b 2 ? c 2 ? bc ? (b ? c) 2 ? 3bc ? (b ? c) 2 ? 3(
分 18.解:(Ⅰ)由题意 (1 ? a 2 ) 2 ? a1 (a 3 ? 1) ,即 (1 ? 解得 a1 ? 分
?T1 ? ?b2 ?8 ? ? (8 ? d ) 又? , ? 即 ?16 ? d ? 2? (8 ? 2d ) ?T2 ? 2?b3
1 1 ,∴ a n ? ( ) n 2 2

b?c 2 ) 2
……………12

(b ? c) 2 ? 12, b ? c ? 2 3 ;当且仅当 b ? c 时等号成立。
1 1 a1 ) 2 ? a1 ( a1 ? 1) 2 4

……………2

……………4 分

1 ? ?? ? 解得 ? 2 ?d ? 8 ?

?? ? 1 1 或? (舍)∴ ? ? 2 ?d ? 0

……………6 分

1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 S n ? 1 ? ( ) n 2 1 1 1 n ?1 1 ∴ Sn ? ? ( ) ? ① ……………8 分 2 2 2 4 1 1 1 1 1 又 Tn ? 4 n 2 ? 4 n , ? ? ( ? ) Tn 4n(n ? 1) 4 n n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ ? ②…11 分 ??? ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? )? T1 T2 Tn 4 2 2 3 n n ?1 4 n ?1 4 1 1 1 1 ??? ? Sn 由①②可知 ? ……………12 分 T1 T2 Tn 2 19.解:(Ⅰ)证:连结 DB1 、DC1 ∵四边形 DBB1D1 为矩形,M 为 D1B 的中点 ……2 分 ∴M 是 DB1 与 D1B 的交点,且 M 为 DB1 的中点 ∴MN∥DC1,∴MN∥平面 DD1C1C ……………4 分 (Ⅱ)解:四边形 A1 A2 A2? A1? 为矩形,B.C 在 A1A2 上,B1.C1 在 A1?A2? 上,

且 BB1∥CC1∥ A1 A1 ' ,A1B = CA2 = 2, BC ? 2 2 , ∴∠BDC = 90° ……………6 分 以 DB、DC、DD1 所在直线分别为 x.y.z 轴建立直角坐标系,则 D(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,? ), B1(2,0, ? ),C1(0,2, ? ) 点 M 、 N 分 别 为 D1B 和 B1C1 的 中 点 , ? ∴ M (1, , ) , (1,, ) 0 N 1 ? 2 设平面 D1MN 的法向量为 m = (x,y,z),则
[来源:学科网]

? ?z ? ? , ?0 ?( x,y,z ) ? (1 ? 2, ) ? 0 ?x ? 2 y ? ?? , 2 2 ? ?( x,y,z ) ? (1 ? 1 ? ) ? 0 ? x ? y ? ?z ? 0 , , ? ?
令 x = 1 得: y ? ?1, ? z
2

?

2 即 m ? (1, 1, ) ……………8 分 ? ? 设平面 MNC 的法向量为 n = (x,y,z),则 ? ?z ? ? 3? ? y z ? ?0 ?( x , , ) ? (1, 1, ) ? 0 ?x ? 2 y ? , ?? y ,令 z = 1 得: x ? ? ? ? ? 2 2 2 2 ?( x , , ) ? (1, 1, ) ? 0 ?x ? y ? ? z ? 0 y z ? ? ? ?

即 n ? (?

3? ? , , ? 1) 2 2

……………10 分 ∴m⊥n,故 m ? n ? ?
3? ? 2 ? ? ? 0 ,解得: ? ? 2 2 2 ?

∵二面角 D1-MN-C 为直二面角

∴二面角 D1-MN-C 为直二面角时, ? ? 2 .

……………12 分

20.解:(Ⅰ)这 60 人的月平均收入为 (20 ? 0.015 ? 30 ? 0.015 ? 40 ? 0.025 ? 50 ? 0.02 ……………4 ?60 ? 0.015 ? 70 ? 0.01) ?10 ? 43.5 (百元) 分 (Ⅱ)根据频率分布直方图可知

?15, 25 ? 的人数为10 ? 0.015 ? 60 ? 9 人 ? 25,35 ? 的人数为10 ? 0.015 ? 60 ? 9 人
X 的所有取值可能为 0,1, 2,3

……………6 分

P( X ? 0) ?

3 C83 C7 C 2 C 3 C 3 C1C 2 17 5 ? 3? P( X ? 1) ? 83 ? 7 ? 83 ? 2 3 7 ? 3 3 C9 C9 18 C9 C9 C9 C9 36 1 1 C82 C2C72 C83 C2C72 2 ? 3 ? 3? 3 ? 3 C9 C9 C9 C9 9 1 2 C82 C7C2 1 ? 3 ? 3 C9 C9 36

P( X ? 2) ? P( X ? 3) ?

…… ……10 分

∴ X 的分布列为

0 3 1 2 5 17 2 1 P 9 18 36 36 5 17 2 1 ∴ EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 1 18 36 9 36
X
21.解:(Ⅰ)∵ 分 又 G (0,1) 又 E (0, ?1) 由①②得 P ( 则直线 GR? 的方程为 y ? ? 则直线 ER 的方程为 y ?

……………12 分

OR OF

?

CR? CF

?

1 3 n ?1 , 0) , R?( 3, ) ,∴ R ( n n n

……………1

1 x ?1 3n

① ……………2 分 ②

n x ?1 3

2 3n n 2 ? 1 , ) n2 ? 1 n2 ? 1

2 3n 2 ) 2 2 2 2 n 2 ? 1 ? ( n ? 1) 2 ? 4n ? (n ? 1) ? 1 ∵ 3 n2 ? 1 (n 2 ? 1) 2 (
∴直线 ER 与 GR? 的交点 P 在椭圆 ? :

x2 ? y 2 ? 1上 3

……………4 分

(Ⅱ)①当直线 MN 的斜率不存在时,设 MN : x ? t (? 3 ? t ? 3)

t2 t2 不妨取 M (t , 1 ? ), N (t , ? 1 ? ) 3 3

∴ k GM ? k GN ?

1 ,不合题意……………5 分 3
M ( x , y ) , N (x , y ) 1 1 2 2

②当直线 MN 的斜率存在时,设 MN : y ? kx ? b

? y ? kx ? b ? 联立方程 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?3



(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kbx ? 3b2 ? 3 ? 0
则 ? ? 12(3k ? b ? 1) ? 0
2 2

x1 ? x 2 ?

? 6kb 3b 2 ?3 ,x1 ? x 2 ? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

…………7 分
2

又 k GM ? k GN ?

y1 ? 1 y 2 ? 1 k 2 x1 x 2 ? k ?b ? 1?? x1 ? x 2 ? ? ?b ? 1? 2 ? ? ? x1 x2 x1 x 2 3

即 (3k 2 ? 2) x1 x2 ? 3k (b ? 1)( x1 ? x2 ) ? 3(b ? 1) 2 ? 0 将 x1 ? x 2 ?

? 6kb 3b 2 ?3 2 代入上式得 b ? 2b ? 3 ? 0 ,x1 ? x 2 ? 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k

解得 b ? ?3 或 b ? 1 (舍) ∴直线过定点 T (0, ?3)
2

……………10 分

∴ | MN |? 1 ? k | x1 ? x 2 | ,点 G 到直线 MN 的距离为 d ?

4 1? k 2

∴ S△GMN

1 3k 2 ? 8 2 ? | MN | ?d ? 2 | x1 ? x 2 |? 2 ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 4 3 ? 2 1 ? 3k 2
2

2 由 b ? ?3 及 ? ? 0 知: 3k ? 8 ? 0 ,令 3k ? 8 ? t (t ? 0) 即 3k 2 ? t 2 ? 8

3k 2 ? 8 t 1 1 2 3 ? 2 ? ? 当且仅当 t ? 3 时, ?S ?GMN ?max ? ∴ ……13 分 2 1 ? 3k t ?9 t ? 9 6 3 t 1 2 x 2 ? 2(1 ? k ) x ? 1 x ?1 F ( x) ? ? k ? ? 22、解:(Ⅰ) F ( x) ? ln x ? k ? x ( x ? 1)2 x( x ? 1) 2 x ?1
1分 由 x ? 2(1 ? k ) x ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4(1 ? k ) ? 4 ? 4(k ? 2k )
2 2 2

---

①当 ? ? 0 即 k ? ? 0, 2? 时, F ?( x) ? 0 恒成立,则 F ( x) 在 (0, ??) 单调递增 ②当 k ? 0 时, F ?( x) ? 0 在 (0, ??) 恒成立, 则 F ( x) 在 (0, ??) 单调递增
2

……2 分 ……3 分
2

2 ③当 k ? 2 时,方程 x ? 2(1 ? k ) x ? 1 ? 0 的两正根为 k ? 1 ? k ? 2k , k ? 1 ? k ? 2k

则 F ( x) 在 (0, k ? 1 ? k ? 2k ) 单调递增, (k ? 1 ? k ? 2k , k ? 1 ? k ? 2k ) 单调递减,
2 2 2

(k ? 1 ? k 2 ? 2k , ??) 单调递增 综上,当 k ? 2 时,只有单调递增区间 (0, ??)
当 k ? 2 时,单调递增区间为 (0, k ? 1 ? k ? 2k ) , (k ? 1 ? k ? 2k , ??)
2 2

单调递减区间为 (k ? 1 ? k ? 2k , k ? 1 ? k ? 2k ) …… 5 分
2 2

(Ⅱ)即 x ? 1 时, F ( x) ? 0 恒成立 当 k ? 2 时, F ( x) 在 (0, ??) 单调递增 ∴当 x ? 1 时, F ( x) ? F (1) ? 0 满足条件 …7 分 当 k ? 2 时, F ( x) 在 (k ? 1 ? k ? 2k , k ? 1 ? k ? 2k ) 单调递减
2 2

则 F ( x) 在 (1, k ? 1 ? k ? 2k ) 单调递减
2

此时 F ( x) ? F (1) ? 0 不满足条件 故实数 k 的取值范围为 ? ??, 2 ? (Ⅲ)由(2)知, ln x ? 2 ? …… 9 分

令 x ? 1?

1 则 an 2

x ?1 在 (1, ??) 恒成立 x ?1 1 an 2 1 2 2 ln(1 ? 2 ) ? 2 ? ? ? 2 1 an 2 ? 2 2an ? 1 2an ? 1 an

…… 10 分

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

1 1 1 ? ??? ) …… 11 分 2a1 ? 1 2a2 ? 1 2an ? 1 i ?1 i 1 1 1 又( ? ?? ? ) ? (2a1 ? 1) ? (2a2 ? 1) ? ? ? (2an ? 1) ? ? n 2 2a1 ? 1 2a2 ? 1 2an ? 1


? ln(1 ? a

n

1

2

) ? 2(

∴ 2(
n

1 1 1 2n 2 ? ?? ? )? 2a1 ? 1 2a2 ? 1 2an ? 1 n ? 2 1 2n 2 )? ai 2 n?2

……13 分



? ln(1 ?
i ?1

…… 14 分

注:解答题中,若有不同解法,只要思路清晰,解法正确,请酌情给分。


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