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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2 综合法和分析法(一)


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2.2.1(一)

2.2.1
【学习要求】
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综合法和分析法(一)

1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法. 2.理解综合法和分析法的思考过程、特点,会用综合法和 分析法证明数学问题. 【学法指导】 综合法和

分析法是直接证明中最基本的两种证明方法, 要结合实例了解两种证法的思考过程、特点.

填一填· 知识要点、记下疑难点

2.2.1(一)

综合法和分析法 1.______________是直接证明中最基本的两种证明方法,
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也是解决数学问题时常用的思维方式.

已知条件 2.一般地,利用__________和某些数学定义、公理、定理
等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的

结论 综合法 ______成立,这种证明方法叫做________.
结论 3.分析法是从要证明的______出发,逐步寻求使它成立的 充分条件 __________,直至最后,把要证明的结论归结为判定一
个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为 止.

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2.2.1(一)

[课堂导语]
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证明对我们来说并不陌生,我们在上一节学习的合情推 理,所得的结论的正确性就是要证明的,并且我们在以前 的学习中,积累了较多的证明数学问题的经验,但这些经 验是零散的、不系统的,这一节我们将通过熟悉的数学实 例,对证明数学问题的方法形成较完整的认识.

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探究点一 点?

综合法

问题1 请同学们证明下面的问题,总结证明方法有什么特
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已知a,b>0,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
证明 因为b2+c2≥2bc,a>0,所以a(b2+c2)≥2abc.

又因为c2+a2≥2ac,b>0,所以b(c2+a2)≥2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.

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小结 综合法的定义:一般地,利用已知条件和某些数学定
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义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所 要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.

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问题2 综合法又叫由因导果法,其推理过程是合情推理还 是演绎推理?
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答 因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理,因此 所得到的每一个结论都是正确的,不同于合情推理中的 “猜想”,所以综合法是演绎推理.

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例1 在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b, c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,求证: △ABC为等边三角形.
证明
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由A,B,C成等差数列,有2B=A+C,


② ③ ④

由A,B,C为△ABC的三个内角,所以A+B+C=π. π 由①②,得B=3, 由a,b,c成等比数列,有b2=ac,

由余弦定理及③,可得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,

再由④,得a2+c2-ac=ac,即(a-c)2=0, 从而a=c,所以A=C. π 由②③⑤,得A=B=C= ,所以△ABC为等边三角形. 3 ⑤

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小结 综合法的证明步骤如下:
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(1)分析条件,选择方向:确定已知条件和结论间的联系, 合理选择相关定义、定理等; (2)转化条件,组织过程:将条件合理转化,书写出严密的 证明过程.

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AC cos B 跟踪训练1 在△ABC中,AB= ,证明:B=C. cos C sin B cos B 证明 在△ABC中,由正弦定理及已知得sin C=cos C.
于是sin Bcos C-cos Bsin C=0,即sin(B-C)=0, 因为-π<B-C<π,从而B-C=0,所以B=C.

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探究点二

分析法

a+b 问题1 回顾一下:基本不等式 ≥ ab (a>0,b>0)是怎 2 样证明的? a+b 答 要证 ≥ ab, 2
只需证a+b≥2 ab, 只需证a+b-2 ab≥0, 只需证( a- b)2≥0, 因为( a- b)2≥0显然成立,所以原不等式成立.

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问题2 证明过程有何特点?
答 从结论出发开始证明,寻找使证明结论成立的条件,
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最终把要证明的结论变成一个显然成立的条件.

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小结 分析法定义:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻
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求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为 判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为 止,这种证明方法叫做分析法.

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问题3 综合法和分析法的区别是什么?
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答 综合法是从已知条件出发,逐步推向未知,每步寻 找的是必要条件;
分析法是从待求结论出发,逐步靠拢已知,每步寻找的是充 分条件.

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例2

求证: 3+ 7<2 5.
因为 3 + 7 和2 5 都是正数,所以要证 3 + 7

证明
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<2 5, 只需证( 3+ 7)2<(2 5)2, 展开得10+2 21<20,只需证 21<5,只需证21<25, 因为21<25成立,所以 3+ 7<2 5成立.

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小结 当已知条件和结论联系不够明显、直接,证明中需要
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用哪些知识不太明确具体时,往往采用从结论出发,结合已 知条件,用结论反推的方法.

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跟踪训练2 求证: a- a-1< a-2- a-3(a≥3). 证明 方法一 要证 a- a-1< a-2- a-3, 只需证 a+ a-3< a-2+ a-1,
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只需证( a+ a-3)2<( a-2+ a-1)2, 只需证2a-3+2 a2-3a<2a-3+2 a2-3a+2, 只需证 a2-3a< a2-3a+2, 只需证0<2, 而0<2显然成立,所以 a- a-1< a-2- a-3(a≥3).

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方法二
1

∵ a+ a-1> a-2+ a-3,

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1 ∴ < , a+ a-1 a-2+ a-3 ∴ a- a-1< a-2- a-3.

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探究点三
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综合法和分析法的综合应用

问题 在实际证题中,怎样选用综合法或分析法?
答 对思路清楚,方向明确的题目,可直接使用综合法;

对于复杂的题目,常把分析法和综合法结合起来,先用分 析法去转化结论,得到中间结论Q;再根据结构的特点去 转化条件,得到中间结论P.若P?Q,则结论得证.

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例3

π 已知α,β≠kπ+ (k∈Z),且 2 ① ②

sin θ+cos θ=2sin α,
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sin θ· θ=sin2β. cos 1-tan2α 1-tan2β 求证: 2 = 2 . 1+tan α 2?1+tan β?
证明 因为(sin θ+cos θ)2-2sin θcos θ=1,

所以将①②代入,可得 4sin2α-2sin2β=1. 1-tan2α 1-tan2β 另一方面,要证 = , 1+tan2α 2?1+tan2β? ③

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sin2α sin2β 1- 2 1- 2 cos α cos β 即证 2 = 2 , sin α sin β 1+ 2 2?1+ 2 ? cos α cos β
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1 即证cos α-sin α=2(cos2β-sin2β), 1 2 即证1-2sin α= (1-2sin2β), 2
2 2

即证4sin2α-2sin2β=1. 由于上式与③相同,于是问题得证.

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小结 用P表示已知条件、定义、定理、公理等,用Q表示 要证明的结论,则综合法和分析法的综合应用可用框图表
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示为:

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跟踪训练3

若tan(α+β)=2tan α,

求证:3sin β=sin(2α+β). 证明 由tan(α+β)=2tan α
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sin?α+β? 2sin α 得 = , cos?α+β? cos α 即sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α. 要证3sin β=sin(2α+β),
即证3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],



即证3[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α] =sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α, 化简得sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α. 这就是①式.所以,命题成立.

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1.下列表述:
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①综合法是由因导果法; ②综合法是顺推法; ③分析法是执果索因法; ④分析法是间接证明法; ⑤分析法是逆推法. 其中正确的语句有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
解析 ①②③⑤正确.

( C )

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2.欲证 2- 3< 6- 7成立,只需证 A.( 2- 3)2<( 6- 7)2
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( C )

B.( 2- 6)2<( 3- 7)2 C.( 2+ 7)2<( 3+ 6)2 D.( 2- 3- 6)2<(- 7)2
解析 根据不等式性质,a>b>0时,才有a2>b2,

∴只需证: 2+ 7< 6+ 3,
只需证:( 2+ 7)2<( 3+ 6)2.

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1 2 3 3.求证: + + <2. log519 log319 log219
1 解 因为log a=logab, b
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所以左边=log195+2log193+3log192
=log195+log1932+log1923
=log19(5×32×23)=log19360. 因为 log19360<log19361=2, 1 2 3 所以 + + <2. log519 log319 log219

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1-tan α 4.已知 =1,求证:cos α-sin α=3(cos α+sin α). 2+tan α
证明
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要证 cos α-sin α=3(cos α+sin α),

cos α-sin α 只需证 =3, cos α+sin α 1-tan α 只需证 =3, 1+tan α

1 只需证 1-tan α=3(1+tan α),只需证 tan α=-2, 1-tan α ∵ =1,∴1-tan α=2+tan α,即 2tan α=-1. 2+tan α 1 ∴tan α=-2显然成立,∴结论得证.

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1.综合法证题是从条件出发,由因导果;分析法是从结论出
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发,执果索因. 2. 分析法证题时, 一定要恰当地运用“要证”、 “只需证”、 “即证”等词语. 3.在解题时,往往把综合法和分析法结合起来使用.


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