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上海交通大学附属中学10-11学年度高一上学期期末试卷(数学)答案和详细解答


上海交通大学附属中学 2010-2011 学年度第一学期 高一数学期终考试卷
本试卷共有 22 道试题,满分 100 分,考试时间 90 分钟。 请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷 写在答题卷上 写在答题卷 命题:杨逸峰 审核:杨逸峰

(本试卷允许使用计算器,凡属用计算器所得之值,如无特别说明,请精确到小数点后 3 位 ) 精确到小数点后

一、填空题(本大题满分 42 分)本大题共有 14 题,只要求直接填写结果,每个空格 填空题( 只要求直接填写结果,
否则一律得零分。 填对得 3 分,否则一律得零分。

1、 已知集合 A={x∣|x-1|>1},则 ?R A = ____________。 解: ?R A = {x∣|x-1|≤1}=[0,2]。▋

2、 不等式 lg( x ? 1) < 1 的解集是_________。 (用区间表示) 解: lg( x ? 1) < 1 ? 0 < x ? 1 < 10 。∴解集是(1,11)。▋

3、 过点 P(4,2)的幂函数是________函数。 (填“奇函数”“偶函数”“非奇非偶函数” 、 、 、 “既奇又偶函数” ) 解:过点 P(4,2)的幂函数是 y = x 2 ,它是非奇非偶函数。▋
1

4、 若函数 y = 8 ? 2 x ? x 2 的定义域为 A,值域为 B,则 A∩B=____________。 解:令 8 ? 2 x ? x 2 ≥ 0 ,∴ x 2 + 2 x ? 8 = ( x ? 2)( x + 4) ≥ 0 ,解得定义域 A=[-4,2];
y = 8 ? 2 x ? x 2 = 9 ? ( x + 1) 2 ,∴值域 B=[0,3]。∴A∩B=[0,2]。▋

若 (m, n∈R+)则 f ?1 ( m) + f ?1 ( n) , 5、 已知函数 f ( x) = 2 x +3 ,f ?1 ( x) 是 f ( x) 的反函数, mn = 16

的值为______________。 解: f ?1 ( x) = log 2 x ? 3 ,∴ f ?1 ( m) + f ?1 ( n) = log 2 mn ? 6 = 4 ? 6 = ?2 。▋

6、 函数 y = lg(8 + 2 x ? x 2 ) 的单调递增区间是__________。 解: 8 + 2 x ? x 2 > 0 ,∴x∈( ?2 ,4),∴单调递增区间是( ?2 ,1)。▋ ★单调递增区间是( ?2 ,1]也正确。

7、 给出函数 f ( x) = e x + e1? x ,若 f ( x) ≥ f ( x0 ) 对一切 x ∈ R 成立,则 x0 = ________。 解:此即函数 f ( x) = e x + e1? x 在 x0 处取到最小值,令 e x = e1? x ,∴ x0 =
1 。▋ 2

8、 设 f ( x) = lg

x 2+ x 2 ,则 f ( ) + f ( ) 的定义域为_________。 2 x 2?x 2+ x 的定义域为(-2,2), 2?x

解: f ( x) = lg

x x ∴ f ( ) 定义域满足为 ?2 < < 2 ,∴x∈(-4,4), 2 2 2 2 f ( ) 定义域满足为 ?2 < < 2 ,∴x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)。 x x x 2 ∴ f ( ) + f ( ) 的定义域为(-4,-1)∪(1,4)。▋ 2 x

9、 若函数 f ( x) (x∈R)的图像关于点 M(1,2)中心对称,且 f ( x) 存在反函数 f ?1 ( x) ,若
f (4) = 0 ,则 f ?1 (4) =___________。

解:函数 f ( x) (x∈R)的图像关于点 M(1,2)中心对称。
f (4) = 0 ,即点 A(4,0)在函数图像上,

∴A 关于 M 的对称点 A'(-2,4)也在函数图像上。即 f (?2) = 4 , ∴ f ?1 (4) = ?2 。▋

10、

(精确到 0.1) 用二分法求得函数 f(x)=x3+2x2+3x+4 在(-2,-1)内的零点是_______。

解: x = ?1.7 。▋

已知函数 y = x 2 ? 2 x + 3 在区间[0,m]上的最大值为 3,最小值为 2,则实数 m 的取值范围是 ______________。 解: y = x 2 ? 2 x + 3 = ( x ? 1) 2 + 2 ? f ( x) ,∴ f (0) = 3 , f (1) = 2 , ∴实数 m 的取值范围是[1,2]。▋

11、

设 x,y∈R,a>1,b>1,若 a x = b y = 3 , a + b = 2 3 ,则

1 1 + 的最大值为______。 x y

解:因为 a x = b y = 3 , x = log a 3 , y = log b 3 , 当且仅当 a=b= 3 ,x=y=2 时,等号成立,∴

1 1 a+b 2 + = log 3 ab ≤ log 3 ( ) =1 x y 2

1 1 + 的最大值为 1。▋ x y

12、

?(3 ? a) x ? 4a 已知 f ( x) = ? ?log a x

x <1 x ≥1

是 R 上的增函数,那么 a 的取值范围是_______。

? ?a < 3 ?3 ? a > 0 ? ? 解: ? a > 1 ,∴ ? a > 1 ,∴ 1 < a < 3 。▋ ?(3 ? a ) ? 1 ? 4a < log 1 ? 3 ? a ?a > 5 ?

13、

定义:区间[m,n]、(m,n]、[m,n)、(m,n)(n>m)的区间长度为 n ? m ;若某

个不等式的解集由若干个无交集的区间的并表示, 则各区间的长度之和称为解集的总长 度。已知 y = f ( x) 是偶函数, y = g ( x) 是奇函数,它们的定义域均为[?3,3],则不等式
f ( x) ? g ( x) < 0 解集的总长度的取值范围是_________。

解:∵ y = f ( x) 是偶函数, y = g ( x) 是奇函数,∴若 x0 ∈ D ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) < 0 ,则
f (? x0 ) ? g ( ? x0 ) = ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) > 0 ,

∴ f ( x) ? g ( x) < 0 解集的总长度至多为

3 ? ( ?3) = 3 ,例如 f ( x) = x 2 , g ( x) = x 。 2

如果函数 f ( x) ? g ( x) = 0 的解集总长度不为 0,则 f ( x) ? g ( x) < 0 解集的总长度相应减少, 直至为 0。∴解集的总长度的取值范围是[0,3]。▋

每题都给出代号为(A)、 、 、 二、选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 、(B)、(C)、 选择题( (D)的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在对应的空格内,选 的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在对应的空格内, 的四个结论 不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在空格内),一律得零分。 ),一律得零分 对得 4 分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在空格内),一律得零分。

14、

给出命题:若函数 y = f ( x) 是幂函数,则函数 y = f ( x) 的图象不经过第四象限。在 ( )

它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是 (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

解:仅逆否命题为真命题。∴选(C)。▋

15、

函数 f(x)和 g(x)的定义域均为 R, “f(x),g(x)都是奇函数”是“f(x)与 g(x)的积是偶函 ( (B) 必要但非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件 )

数”的 (A) 充分但非必要条件 (C) 充分必要条件 解:选(A)。▋

16、

给出函数 f ( x) =| x3 + 1| + | x3 ? 1| ,则下列坐标表示的点一定在函数 y=f(x)的图象上 ( (B) (a, f (?a ) ) (C) (-a, ? f (a ) ) (D) (-a, ? f (? a) ) )

的是 (A) (a, ? f (a ) )

解:∵f(x)为偶函数,∴ f (?a ) = f (a) , ∴(a, f (?a ) )一定在 y=f(x)的图象上。∴选(B)。▋ 17、 已知 f ( x) = ax 2 + bx + c(a≠0) 且方程 f ( x) = x 无实根。 , 现有四个命题①若 a > 0 ,

则 不 等 式 f [ f ( x)] > x 对 一 切 x ∈ R 成 立 ; ② 若 a < 0 , 则 必 存 在 实 数 x0 使 不 等 式
f [ f ( x0 )] > x0 成立;③方程 f [ f ( x)] = x 一定没有实数根;④若 a + b + c = 0 ,则不等式 f [ f ( x)] < x 对一切 x ∈ R 成立。其中真命题的个数是

( (D) 4 个

)

(A) 1 个

(B) 2 个

(C) 3 个

解:方程 f ( x) = x 无实根,∴ f ( x) ? x > 0 或 f ( x) ? x < 0 。∵ a > 0 ,∴ f ( x) ? x > 0 对一 切 x ∈ R 成立,∴ f ( x) > x ,用 f ( x) 代入,∴ f [ f ( x)] > f ( x) > x ,∴命题①正确; 同理若 a < 0 ,则有 f [ f ( x)] < x ,∴命题②错误;命题③正确;

∵ a + b + c = 0 ,∴ f (1) ? 1 < 0 ,∴必然归为 a < 0 ,有 f [ f ( x)] < x ,∴命题④正确。 综上,选(C)。▋

小题, 三、解答题(本大题满分 42 分)本大题共有 5 小题,解答下列各题必须写出必要的步 解答题( 骤。

18、

(本题满分 8 分)
2x ? 1 < 1 }。若 A ? B ,求实数 a 的取值范围。 x+4

集合 A={x∣ | x ? a |≤ 3 ,x∈R},B={x∣ 解:

2x ? 1 x?5 <1 ? < 0 ? ( x ? 5)( x + 4) < 0 ,∴B=(-4,5); x+4 x+4

…3 分 …2 分 …3 分

| x ? a |≤ 3 ? ?3 ≤ x ? a ≤ 3 ,∴A=[ a ? 3 , a + 3 ],
? ?4 < a ? 3 ∵ A ? B ,∴ ? ,∴ ?1 < a < 2 。▋ ?a + 3 < 5

19、

(本题满分 10 分,其中第 1 小题 5 分,第二小题 5 分)

已知 y = f ( x) 是定义域为 R 的奇函数,当 x∈[0,+∞)时, f ( x) = x 2 ? 2 x 。 (Ⅰ)写出函数 y = f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若方程 f ( x) = a 恰有 3 个不同的解,求 a 的取值范围。 解: (Ⅰ)当 x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞), ∵ y = f ( x) 是奇函数,∴ f ( x) = ? f ( ? x) = ?((? x) 2 ? 2(? x)) = ? x 2 ? 2 x ,
? x2 ? 2x x≥ 0 ? ∴ f ( x) = ? 2 。 ?? x ? 2 x x < 0 ?

(Ⅱ)当 x∈[0,+∞)时, f ( x) = x 2 ? 2 x = ( x ? 1) 2 ? 1 ,最小值为-1; ∴当 x∈(-∞,0)时, f ( x) = ? x 2 ? 2 x = 1 ? ( x + 1) 2 ,最大值为 1。 ∴据此可作出函数 y = f ( x) 的图像(图略) ,根据图像得, 若方程 f ( x) = a 恰有 3 个不同的解,则 a 的取值范围是(-1,1)。▋

20、

(本题满分 14 分,其中第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 4 分)
x + 2a + 1 . x ? 3a + 1

已知函数 f ( x) = log 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若函数 f ( x) 的定义域关于坐标原点对称,试讨论它的奇偶性和单调性; (Ⅲ) (Ⅱ) 在 的条件下, f ?1 ( x) 为 f ( x) 的反函数, 记 若关于 x 的方程 f ?1 ( x) = 5k ? 2 x ? 5k 有解,求 k 的取值范围。 解: (Ⅰ)
x + 2a + 1 > 0 ,所以当 a≥ 0 时,定义域为 (?∞, ?2a ? 1) ∪ (3a ? 1, +∞ ) ; x ? 3a + 1

当 a < 0 时,定义域为 (?∞,3a ? 1) ∪ ( ?2a ? 1, +∞ ) 。 (Ⅱ)函数 f ( x) 的定义域关于坐标原点对称,当且仅当 ?2a ? 1 = ?(3a ? 1) ? a = 2 , 此时, f ( x) = log 2
x+5 。 x?5

对于定义域 D= (?∞, ?5) ∪ (5, +∞ ) 内任意 x,-x∈D,
x?5 x+5 ?x + 5 = lg = ? lg = f ( x) ,所以 f ( x) 为奇函数; x+5 x?5 ?x ? 5 ( x + 5)( x2 ? 5) , 当 x ∈ (5, +∞ ) ,对任意 5 < x1 < x2 ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = log 2 1 ( x1 ? 5)( x2 + 5) f (? x) = lg

而 ( x1 + 5)( x2 ? 5) ? ( x1 ? 5)( x2 + 5) = 10( x2 ? x1 ) > 0 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 , ∴ f ( x) 在 (5, +∞) 内单调递减; 由于 f ( x) 为奇函数,所以在 (?∞, ?5) 内单调递减;
5(2 x + 1) (x ≠0) 。 2x ? 1 t +1 2x + 1 方程 f ?1 ( x) = 5k ? 2 x ? 5k 即 x = k (2 x ? 1) ,令 2 x = t > 0 ,且 t ≠ 1 ,得 k = , (t ? 1) 2 2 ?1 t +1 又 ∈ (0, +∞) ,所以当 k > 0 时方程 f ?1 ( x) = 5k ? 2 x ? 5k 有解。▋ (t ? 1)2

(Ⅲ) f ?1 ( x) =

21、

(本题满分 10 分,其中第 1 小题 5 分,第二小题 5 分)
污物质量 。现对 1 个单位质量的含污物体进 物体质量(含污物)

规定含污物体的清洁度为: 1 ?

行清洗,清洗前其清洁度为 0.8,要求洗完后的清洁度是 0.99。有两种方案可供选择,方案 甲:一次清洗;方案乙:两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为 a (1≤a≤3) 。设用 x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是 水第二次清洗后的清洁度是
x + 0.8 ( x > a ? 1) ,用 y 质量的 x +1

y + ac ,其中 c( 0.8 < c < 0.99 )是该物体初次清洗后的清洁度。 y+a

(Ⅰ) 分别求出方案甲以及 c = 0.95 时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙,当 a 为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用 水量最少?并讨论 a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响。 解: (Ⅰ)设方案甲用水量为 x甲 ,由题设有
x甲 + 0.8 = 0.99 ,解得 x甲 = 19 。 x甲 + 1

设方案乙的总用水量为 x乙 ,其中第一次、第二次用水量分别为 x乙1 、 x乙2 。 由 由
x乙1 + 0.8 = c = 0.95 ,解得方案乙初次用水量 x乙1 = 3 , x乙1 + 1 x乙 + 0.95a = 0.99 ,解得第二次水量 x乙2 = 4a ,故 x乙 = x乙1 + x乙2 = 4a + 3 。 x乙 + a

因为当 1≤ a ≤ 3 时,有 x甲 ? x乙 = 4(4 ? a ) > 0 ,故方案乙的用水量较少。 (Ⅱ)设初次与第二次清洗的用水量分别为 x1 与 x2 , 由
x1 + 0.8 x + ac 5c ? 4 = c ,得 x1 = ;由 2 = 0.99 ,解得 x2 = a (99 ? 100c) 。 x1 + 1 5(1 ? c) x2 + a 5c ? 4 1 + a(99 ? 100c) = + 100a(1 ? c) ? a ? 1 5(1 ? c) 5(1 ? c) 1 × 100a (1 ? c) ? a ? 1 = ?a + 4 5a ? 1 , 5(1 ? c)

于是 x1 + x2 =

当 a 为定值时, x1 + x2 ≥ 2 当且仅当

1 = 100a (1 ? c) 时等号成立。 5(1 ? c) 1 10 5a

此时, c = 1 + 将 c =1? 故 c =1?
1

(不合题意,舍去)或 c = 1 ?

1 10 5a

∈(0.8,0.99)。

10 5a 1 10 5a

代入(*)式得 x1 = 2 5a ? 1 > a ? 1 , x2 = 2 5a ? a 。 时总用水量最少,为 ? a + 4 5a ? 1 。

设 T (a ) = ? a + 4 5a ? 1 = ?( a ? 2 5) 2 + 19 。

∴T(a)在[1,3]上是增函数,∴随着 a 的增大,最少总用水量增大。▋

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