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2016年北京市高三数学模拟考试——房山理


房山区 2016 年高考一模 高三数学(理科)
本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷 上作答无效。 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 (1)在复平面内,复数 z 对应的点的坐标为 (2, - 1) ,则 z =

(A) 1

(B) 3

(C) 5

(D) 5

ì ? 0 #x 2, (2)设不等式组 í 表示的平面区域为 D ,在区域 D 内随机取一点 M ,则点 M 落 ? ? 0 #y 2
在圆 ( x - 1)2 + y 2 = 1内的概率为

(A)

? 8

(B)

? 4

(C)

? 2

(D)

? 3

(3)执行如图所示的程序框图,若输入 x = 1 ,则输出 y 的值是 (A)7 (B)15 (C)23 (D)31

(4)在极坐标系中,过点 (1, ) 且平行于极轴的直线方程是 (A) ? ? 1 (B) ? sin ? ? 1 (C) ? cos ? ? 1 (D) ? ? 2sin ?

p 2

(5)函数 f ( x ) 的定义域为 R , “ f ( x ) 是奇函数”是“存在 x ? R, f ( x) ? f (? x) ? 0 ”的

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(6)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是
4

(A)32

(B)16

32 (C) 3

16 (D) 3

2

正(主)视图

侧(左)视图

2

2 俯视图

(7)已知函数 f ( x) = í

2 ì a ? x k, ? 2( x +1) , 若存在实数 k 使得该函数值域为 [0, 2] , ? log 2 ( x +1) +1, k #x 1. ?

则实数 a 的取值范围是 (A) (- ? , 2] (C) [ - 2, (B) [ - 2, - 1] (D) [- 2, 0]

1 ) 2

(8)在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况:一种是即时价格曲线 y = f ( x) ,另一种是平均价格曲线 y = g ( x) ,如 f (3) = 4 表示开始交易后第 3 小时的 即时价格为 4 元; g (3) = 2 表示开始交易后三个小时内所有成交股票的平均价格为 2 元.下面给出四个图象,实线表示 y = f ( x) ,虚线表示 y = g ( x) ,其中可能正确的是

(A)

(B)

(C)

(D)

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的渐近线方程是___. 4
? ?

(10)已知向量 a = (1,1), b = (- 3, 1) ,若 ka ? b 与 a 垂直,则实数 k ? ___. (11)在△ABC 中,若 a ? 3 , c ? 4 , cos C ? ?

? ?

?

1 ,则 b ? ___. 4

(12)在某校召开的高考总结表彰会上有 3 位数学老师、2 位英语老师和 1 位语文老师做典 型发言. 现在安排这 6 位老师的发言顺序,则 3 位数学老师互不相邻的排法共有___ 种.(请用数字作答)

(13)设 Tn 为等比数列 {an } 的前 n 项之积,且 a1 = - 6, a4 = 时, n 的值为___.

3 ,则公比 q = ___,当 Tn 最大 4

(14)对于函数 f ( x) 和实数 M ,若存在 m, n ? N + ,使 f (m) + f (m +1) + f (m + 2) +?

+ f (m + n) = M 成立,则称 ( m, n) 为函数 f ( x) 关于 M 的一个“生长点”. 若 (1, 2)
为函数 f ( x) ? cos( x ? ) 关于 M 的一个“生长点” ,则 M ? ___;若 f ( x) = 2 x +1 ,

? ? 2 3 M = 105 ,则函数 f ( x) 关于 M 的 “生长点”共有___个

三、解答题共 6 小题,共 80 分。 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题 13 分) 已知函数 f ( x) = sin x cos x + sin 2 x (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和最大值; (Ⅱ)若 a ? (0, ) ,且 f (a ) =

1 . 2

p 2

2 ,求 a 的值. 2

(16) (本小题 13 分) 为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响,某公司研发了一种新型防雾霾产品.每一台新 产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测, 只有两种检测都合格才能进行销售, 否则不 能销售. 已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为

1 , 第二种检测不合格的概率为 6

1 ,两种检测是否合格相互独立. 10
(Ⅰ)求每台新型防雾霾产品不能销售的概率; (Ⅱ)如果产品可以销售,则每台产品可获利 40 元;如果产品不能销售,则每台产品亏损 80 元(即获利 - 80 元) .现有该新型防雾霾产品 3 台,随机变量 X 表示这 3 台产品的获利, 求 X 的分布列及数学期望.

(17) (本小题 14 分) 在三棱锥 P - ABC 中, 平面 PAC ^ 平面 ABC , △ PAC 为等腰直角三角形, PA ^ PC , AC ^ BC , BC = 2 AC = 4 , M 为 AB 的中点. (Ⅰ)求证: AC ^ PM ; (Ⅱ)求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值; (Ⅲ) 在线段 PB 上是否存在点 N 使得平面 CNM ^ 平面
P N

PN 的值,若不存在,说明理由. PAB ?若存在,求出 PB
A

C M

B

(18) (本小题 13 分) 已知函数 f ( x) = ln x + ax 2 - (2a +1) x ,其中 a < . (Ⅰ)当 a = - 2 时,求函数 f ( x) 的极大值; (Ⅱ)若 f ( x) 在区间 (0, e) 上仅有一个零点,求 a 的取值范围

1 2

(19) (本小题 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 , 且椭圆 C 上任意一点到两个焦点 2 a b 2

的距离之和是 4 . 直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相切于点 P ,且点 P 在第二象限. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)求点 P 的坐标(用 k 表示) ; (Ⅲ)若过坐标原点 O 的直线 l1 与 l 垂直于点 Q ,求 PQ 的最大值.

(20) (本小题 13 分) 已知数集 M ? ?a1, a2 ,?, an ?? 0 ? a1 ? a2 ? ? ? an , n ? 2? 具有性质 P :对任意的

i, j ?1 ? i ? j ? n? , ai ? a j 与 a j ? ai 两数中至少有一个属于 M .
(Ⅰ)分别判断数集 ?0,1,3? 与 ?0,2,3,5? 是否具有性质 P ,并说明理由; (Ⅱ)证明: a1 ? 0 ,且 an ?

2 (a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? an ) ; n
.k.s.

(Ⅲ)当 n ? 5 时,证明: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等差数列.

房山区 2016 年高考一模考试 数学(理)答案及评分标准 201603
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 B 5 A 6 D 7 C 8 C

二、填空题:每小题 5 分,共 30 分. (第一空 3 分,第二空 2 分) 9. y ? ? x

1 2

10. ?1

11. 2

12. 144

13.

1 ,4 2

14. ?

1 2

3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15(共 13 分) 解: f ? x ? ?

1 1 ? cos 2 x 1 1 1 sin 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ???4 分 2 2 2 2 2

?

2 ? sin(2 x ? ) 2 4

??????6 分

(Ⅰ) T ?

2? ?? , 2

f ? x ? 的最大值为

2 2

??????10 分

(Ⅱ)因为 f (? ) ?

2 ? 2 sin(2? ? ) ? 2 4 2

所以 sin(2? ? 因为 ? ? (0, 所以 2? ? 16(共 13 分)

?
4

) ?1

??????11 分

?
2

) ,所以 2? ?

?
4

?

?
2

, ) 4 4 3? 解得 ? ? ??????13 分 8 4

?

? (?

? 3?

解(Ⅰ)记“该产品不能销售”为事件 A,则 1? ? 1? 1 P(A)=1-? ?1-6?×?1-10?=4 (Ⅱ) X 的所有可能取值为-240,-120,0,120 ??????3 分 ??????4 分

1 1 P( X = - 240) = ( )3 = 4 64

1 3 9 P ( X = - 120) = C32 ( ) 2 = 4 4 64

27 1 1 3 2 P ( X = 0) = C3 ( ) = 4 4 64
所以 X 的分布列为

3 27 P( X = 120) = ( )3 = 4 64
????????????8 分

X
P

-240

-120

0

120

1 64

9 64

27 64

27 64

????????????10 分

EX = - 240?

1 9 27 27 120? 0? 120? 64 64 64 64

30

????????????13 分 17(共 14 分) 解:(Ⅰ)取 AC 中点 O ,连结 PO, OM

? ?PAC 为等腰直角三角形,且 PA ? PC
? PO ? AC
??????1 分 又? 在 ?ABC 中, CA ^ CB , M 为 AB 的中点.

? OM / / CB ? OM ? AC ??????2 分 ? PO ? OM =O

z P N

PO,OM ? 平面POM ? AC ? 平面POM ?????3 分 ? PM ? 平面POM
? AC ? PM
??????4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) PO ? AC , OM ? AC ∵平面 PAC ^ 平面 ABC 平面 PAC ? 平面 ABC=AC
A x

C O M y

B

PO ? AC

PO ? 平面PAC ? PO ? 平面ABC
? PO ? OM

? PO, AC, OM 两两垂直,以 O 为原点,建立空间直角坐标系如图: ?5 分 P(0, 0, 1) , C (-1,0,0) ( 1, 0, 0) (-1, 4,0) ,A ,B

??? ? ??? ? , AB ? ? PA ? (, 1 0, ?1 ) (-2,4,0)

设平面 PAB 法向量 n1 ? ( x, y, z) ,

??

?

?

??? ? ?? ? PA?n1 ? 0 ??? ? ?? ? AB?n1 ? 0

x ? z ?0 ?? ? 2 x ? 4 y ?0
??????7 分

?? ?n1 ? (2,1, 2)

??? ? ? PC ? (-1,0, ?1 ) ??????8 分
??? ? ?? ??? ? ?? PC ? n1 2 2 ? ?? = ? cos ? PC , n1 ? ? ???? 3 | PC || n1 |
??????9 分

? PC 与平面 PAB 所成角的正弦值是

2 2 . 3
PN 1 = ?10 PB 9

(Ⅲ)在线段 PB 上存在点 N ,使得平面 CNM ^ 平面 PAB , 证明如下:设

PN (0,1) = ?, ? ? PB

由(Ⅱ)知平面 PAB 法向量 n1 ? (2,1, 2)

??

? M (0, 2, 0)

???? ? ?CM ? (1, 2,0)

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (1-? , 4? ,1 ? ?) CN ? CP ? PN =CP ? ? PB =
设平面 CNM 法向量 n2 ? ( x, y, z) ,

?? ?

?

?

???? ? ?? ? CM ?n2 ?0 ???? ?? ? CN ?n2 ?0

x ? 2 y ?0 ?? (1 ? ? ) x ? 4 ? y ? (1? ? ) z ? 0
??????12 分

?? ? 6? ? 2 ? n2 ? (?2,1, ) ? ?1

? 平面 CNM ^ 平面 PAB
即 ?4 ? 1 ? 2(

?? ?? ? n1 ? n2 ? 0

6? ? 2 1 ) ? 0 解得 ? ? ??????14 分 9 ? ?1 PN 1 = 时,平面 CNM ^ 平面 PAB . ? 在线段 PB 上存在点 N ,当 PB 9
18(共 13 分) 解: (I)当 a ? ?2 时,

f ( x) ? ln x ? 2x2 ? 3x,

f ?( x) ?

1 ?4 x 2 ? 3x ? 1 (4 x ? 1)(? x ? 1) ? 4x ? 3 ? ? x x x
得 x ? 1( x ? ?

( x ? 0) ??2

令 f ?( x) ? 0

1 舍) 4

f '( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x

(0,1)
?

1
0 极大值

( 1, +?)
?

f '( x) f ( x)

?

?

所以当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 1 (II) f ?( x) ?

??????4 分

2ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ? ( x ? 0) ???5 x x
?( x ? 1) x

①当 a = 0 时, f ?( x ) ?

在 (0,1) 上 f ?( x) ? 0 ,在 (1, e) 上 f ?( x) ? 0 所以 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, e) 上单调递减 所以 f ( x ) 在区间 (1, e) 上的最大值为 f (1) , 而 f (1) ? ?1 ? 0 所以 函数 f ( x ) 在 (1, e) 上没有零点, a = 0 不符合 ??????6 分 当 a?

0 时 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 1, x2 ?

1 2a

②当

1 ? 0 时,即 a ? 0 时, 2a

在 (0,1) 上 f ?( x) ? 0 ,在 (1, e) 上 f ?( x) ? 0 所以 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, e) 上单调递减 所以 f ( x ) 在区间 (1, e) 上的最大值为 f (1) ? ?a ? 1 , 因为 a ? 0 所以 0 ? ea ? 1

f (ea ) ? ln ea ? a(ea ) 2 ? (2a ? 1)ea ? a ? ae 2 a ? 2ae a ? e a ? a(e2 a ? 2ea ? 1) ? ea ? a(ea ? 1) 2 ? ea ? 0

f (e) ? ln e ? ae2 ? (2a ? 1)e ? 1 ? ae2 ? 2ae ? e ? ae(e ? 2) ? e ? 1 ? 0
所以 要使函数 f ( x ) 在 (1, e) 上仅有一个零点,只需 f (1) ? ?a ? 1 ? 0 解得 a ? ?1 (满足 a ? 0 ) ????????????9 分

③当 1 ?

1 1 1 ? e 时,即 ? a ? 时 2a 2e 2 1 1 ) 上 f ?( x) ? 0 ,在 ( , e) 上 f ?( x) ? 0 2a 2a 1 1 ) 上单调递减, ( , e) 上单调递增 2a 2a


在 (0,1) 上 f ?( x) ? 0 ,在 (1,

所以 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增, (1,

f (1) ? ?a ? 1 ? 0
所以 要使函数 f ( x ) 在 (0, e) 上仅有一个零点,只需 f (e) ? 0 即 f (e) ? ln e+ae2 ? (2a ? 1)e ? 0 ,解得 a ?

e ?1 1 (? ) e ? 2e 2
2

与a ?

1 矛盾 2

????????????11 分

④当

1 1 ? e 时,即 0 ? a ? 时 2a 2e

在 (0,1) 上 f ?( x) ? 0 ,在 (1, e) 上 f ?( x) ? 0 所以 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在 (1,e) 单调递减, 所以 f ( x ) 在区间 (0, e) 上的最大值为 f (1) , 而 f (1) ? ln1 ? a ? (2a ? 1) ? 0 ,所以函数无零点 ??????13 分 综上所述, a ? ?1 .

19(共 14 分) 解: (Ⅰ)由已知

c 3 ? , 2a ? 4, 及 a 2 ? b2 ? c2 a 2

????3 分

得 a ? 2, b ? 1, c ? 3 所以椭圆的标准方程为:

x2 ? y2 ? 1 4

??????4 分

? y ? kx ? m ? 2 2 2 (Ⅱ)由 ? x 2 得 (4k ? 1) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4 因为直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相切于点 P
所以 ? ? (8km) ? 4(4k ? 1)(4m ? 4) ? 4k ? m ? 1 ? 0
2 2 2 2 2

即 m 2 ? 4k 2 ? 1

??????6 分

?4km m ,y? 2 解得 x ? , 2 4k ? 1 4k ? 1 ?4km m 即 P 的坐标为 ( 2 , 2 ) 4k ? 1 4k ? 1

??????8 分
2

因为点 P 在第二象限,所以 k ? 0, m ? 0 ,所以 m ? 4k ?1 所以 P 的坐标为 (

?4k 4k ? 1
2

,

1 4k 2 ? 1

)

??????9 分

(Ⅲ)因为直线 l1 与 l 垂直于点 Q 所以 PQ 是点 P 到直线 l1 的距离,设直线 l1 的方程为 y ? ?

1 x 则 k

?4k PQ ? 4k 2 ? 1

?
2

k 4k 2 ? 1 4k ? 5k 2 ? 1 3 3 ? ? ?1 3 1 4k 2 ? 2 ? 5 k
4

k ?1

?

3k

??????11 分 ???13 分

当且仅当 4k 2 ?

2 1 ,k ? 时, PQ 有最大值 1 ??????14 分 2 k 2

20(共 13 分) 解(Ⅰ)因为 1 ? 3 与 3 ? 1 均不属于集合 M , 所以数集 ?0,1,3? 不具有性质 P . ??????2 分

因为 0 ? 2,0 ? 3,0 ? 5, 2 ? 3,5 ? 2,5 ? 3,0 ? 0, 2 ? 2,3 ? 3,5 ? 5 均属于集合 M , 所以数集 ?0,2,3,5? 是具有性质 P . ??????4 分

(Ⅱ)因为对任意的 i, j ?1 ? i ? j ? n? , ai ? a j 与 a j ? ai 两数中至少有一个属于 M , 所以 an ? an 与 an ? an 中至少有一个是数列 ?an ? 中的项, 因为数列 ?an ? 是递增有限数列,且 a1 ? 0 所以 an ? an ? an ,故 an ? an ? A . 从而 0 ? an ? an ? A , 所以 a1 ? 0 . 因为 0 ? a1 ? a2 ? ? ? an , 所以 ak ? an ? an ,故 ak ? an ? A? k ? 2,3,?, n ? . 所以 (an ? ak ) ? A? k ? 1, 2,3,?, n ? . 又因为 an ? an ? an ? an?1 ? ? ? an ? a2 ? an ? a1 , 所以 an ? an ? a1 ? 0, an ? an?1 ? a2 ,?, an ? a2 ? an?1 , an ? a1 ? an , 即 nan ? 2(a1 ? a2 ? ?an?1 ? an ) . 所以 an ?

2 (a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? an ) ????????????9 分 n

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 n ? 5 时,有 a5 ? a4 ? a2 , a5 ? a3 ? a3 , 即 a5 ? a2 ? a4 ? 2a3 , 因为 0 ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ,所以 a3 ? a4 ? a2 ? a4 ? a5 , 所以 (a3 ? a4 ) ? A ,所以 (a4 ? a3 ) ? A . 由 a2 ? a4 ? 2a3 ,得 a3 ? a2 ? (a4 ? a3 ) ? A , 且 0 ? a3 ? a2 ? a3 ,所以 a3 ? a2 ? a2 , 即 a5 ? a4 ? a4 ? a3 ? a3 ? a2 ? a2 ? a1 ? a2 所以 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是首相为 0,公差为 a2 的等差数列.. ????????????13 分


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