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2017年自主招生考试数学试卷


2017 年自主招生考试数学试卷
一、选择题 1.一组样本容量为 5 的数据中,其中 a1 ? 2.5 , a 2 ? 3.5 , a3 ? 4 , a4 与 a5 的和为 5, 当 a4 、 a5 依次取( A.1.5 , 3.5 )时,这组样本方差有最小值。 B.1 , 4 C. 2.5 , 2.5 D. 2 , 3

(第 3 题图)

>
(第 4 题图)

2.如图,在正方体的表面展开图中,要将 ? a 、 ? b 、 ? c 填入剩下的三个空白处, (彼此 不同) ,则正方体三组相对的两个面中数字和均为零的概率为( A. 1 B. ) 。

2

1 3
x

C. 1

4

D. 1

6

3.如图,反比例函数 y ? ? 3 ( x >0 ) 图象经过矩形 OABC 边 AB 的中点 E ,交边 BC 于 F 点,连结 EF 、 OE 、 OF ,则 ?OEF 的面积是( ) 。

A.

3 2

B.

9 4

C.

7 3

D.

5 2
则[a]=( )

4.设[x]表示不超过实数 x 的最大整数.若实数 a 满足 A.0 或 2 C.0 或 3 B. ?1 或 2 D. ? 3 或 2
1

5.如图,平面内有四条线段 AB、BC、CD、DA 首尾顺次相接,点 E 在 BA 的 延长线上,∠DAE 的角平分线与∠BCD 的角平分线交于点 F.若∠B=26°,∠

D=62°,则∠AFC =(
A.131° C.133°

) B.132° D.134° 第 6 题图

6.已知第一象限内的点 A 在反比例函数 y ? 数y?

1 的图像上,第二象限内的点 B 在反比例函 x
,则 k =( ) D. ?

k 的图像上.若 OA⊥OB , tan∠OAB= x 1 1 A. B. ? 4 4

2 2

C.

1 2

1 2

7.如图,以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作半圆⊙O 与边 BC 交于点 D,过 D 作半圆的切线与边 AC 交于点 E, 过 E 作 EF∥AB , 与 BC 交于点 F. 若 AB=20, OF= 7.5, 则 CD=( A.7 ) B.8 C.9 D.10

8.已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴交于点 ?? 2,0? ,?x1 ,0? , 且 1 ? x1 ? 2 , 与y 轴的正半 轴的交点在 ?0,2? 的下方,下 列结论:① 4a ? 2b ? c ? 0 ;② a ? b ? 0 ; ③

2a ? c ? 0 ;④ 2a ? b ? 1 ? 0 ,其中正确结论的个数有(
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个



二.填空题 9.设 a ? b ? c ? 7 , a ? b ? c ? 17 则 bc ? ca ? ab =______________.
2 2 2

10. 已知 a, b, c 满足 2a ? 4 ? b ? 2 ?

?a ? 3?b 2

? a 2 ? c 2 ? 2 ? 2ac ,且 b ? 0 ,则函数

y ? ax2 ? bx ? c 的最小值是___________________________.
11.如图,在菱形 ABCD 中,已知∠ABC = 60°,直线 EF 过点 D,且与 BA、

BC 的延长线分别交于点 E、F, M 是 CE 与 AF 的交点. 若 CM=4 , EM=5,
则 AC=___________.

2

12.计算:

14 ? 24 ? 1 24 ? 34 ? 1 994 ? 1004 ? 1 =________. ? ? ? ? 12 ? 22 ? 1 22 ? 32 ? 1 992 ? 1002 ? 1

13.化简:

1 1? 1? 1? 1 ?? 1? 1 ? 1 ?? 1 ?? 1? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? ?1 ? ??1 ? ??1 ? ? a b? a? c? a ?? b? d ? a ?? b ?? c? 1 ?? 1 ?? 1 ?? 1? ? ? ?1 ? ??1 ? ??1 ? ??1 ? ? 的值为___________. a ?? b ?? c ?? d? ?

14.如 图,⊙O 是△ABC 的外接圆,BC =a,CA = b,且∠A - ∠B= 90° . 则 ⊙O 的半径为 ____________.

15.已知实数 a, b, c 满足: ?
?1 ?1 则 a ?b

?a ? b ? c ? 7
2 ?ab ? bc ? b ? c ? 16 ? 0
a ?b?c

?

? ?a ? b ? c ?
abc

的值为___________________.

第 16 题图

16.已知一个梯形的上底、高、下底恰好是三个连续的正整数,且这三个数使得多项式 x3- 30x2+ax ( a 是常数)的值也恰好是按同样顺序的三个连续正整数.则此梯形的面积为 __________.

2016 年江苏省海门中学自主招生考试数学试卷
一、选择题(每小题 6 分,共 60 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

三.填空题(每小题 7 分,共 42 分) 11. 12.
3

13.

14.

15.

16.

三.解答下列各题(共 48 分) 17.(本题满分 10 分)

对任何实数 x, y ,都有 x ? 2 ? x ? 4 ? m ? y 2 ? 2 y 成立.求实数 m 的最大值.

?

?

18.(本题满分 10 分) 已知 x ? 1 ? 1 ? 1 ? x ,求 x ? x ? 2 x ? 4 x ? 3x ? 4 x ? 4 的整数部分.
6 5 4 3 2

4

19.(本题满分 14 分)如图,已知 ?ABC 内接于⊙O,点 E 在弧 BC 上,AE 交 BC 于点 D,

EB 2 ? ED ? EA 经过 B、C 两点的圆弧交 AE 于 I
⑴求证: ?ABE ∽ ?BDE ; ⑵如果 BI 平分 ?ABC ,求证:

AB AE ? BD EI
?

⑶设 O 的半径为 5,BC=8, ?BDE ? 45 ,求 AD 的长。

5

20.(本题满分 14 分)已知两直线 l1,l2 分别经过点 A(1,0) ,点 B(﹣3,0) ,并且当两 直线同时相交于 y 正半轴的点 C 时,恰好有 l1⊥l2,经过点 A、B、C 的抛物线的对称轴与 直线 l2 交于点 K,如图所示. (1)求点 C 的坐标,并求出抛物线的函数解析式; (2)抛物线的对称轴被直线 l1,抛物线,直线 l2 和 x 轴依次 截得三条线段,问这三条线段有何数量关系?请说明理由; (3)当直线 l2 绕点 C 旋转时,与抛物线的另一个交点为 M, 请找出使△ MCK 为等腰三角形的点 M,简述理由,并写出点
6

M 的坐标.

7


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