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广东清新县第一中学2012届高三高考冲刺模拟试题(文数)(5)


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2012 届清新县第一中学高考冲刺模拟试题

数学(文科)第 5 套
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合 题目要求的. 1. 设集合 A ? {x | y ? 2x ? x2 },

B ? { y | y ? 2x } ,则 A ? B ? ( )

( 2) A. 0 ,

2] B. [0 ,

C. (1 , 2]
0

( 2] D. 0 ,


2.若向量 a, b 满足 | a |?| b |? 2, a, b 的夹角为 60 ,则 | a ? b |? (

? ?

?

?

? ?

? ?

A.

6? 2

B. 2 3

C. 4

D. 12

3. 给出四个函数: f ( x) ? x ?

1 , g ( x) ? 3x ? 3? x , u ( x) ? x 3 , v( x) ? sin x , 其中满足条件: 对任意实数 x 及 x
)

任意正数 m ,有 f (? x) ? f ( x) ? 0 及 f ( x ? m) ? f ( x) 的函数为(

A. f ( x)

B. g ( x)

C. u ( x)

D. v( x)
)

4. 在 ?ABC 中, AB ? 3, BC ? 13, AC ? 4 ,则 ?ABC 的面积是(

A. 3

B.

3 3 2

C. 3 3

D. 6 3
)

5.函数 y ? sin 2 x ? 3 cos 2 x 在 [

? ?

, ] 上的最大值为 ( 6 3
C. 3

A. 1

B. 2

D.

3 2

6.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这 两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )

1 2 3 C. D. 2 3 4 2 7.已知点 P 是抛物线 x ? 4 y 上的一个动点,则点 P 到点 M (2,0) 的距离与点 P 到该抛物线准线的距离
A. B.
之和的最小值为( )

1 3

A.

17 2

B. 5

C. 2 2

D.

9 2

8.甲、乙两名运动员的 5 次测试成绩如下图所示 甲 5 8 8 7 2 茎 1 2 乙 6 8 3 6 7

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1

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设 s1 , s2 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差, x1 , x2 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的 平均数,则有( )

A. x1 ? x2 , s1 ? s2 C. x1 ? x2 , s1 ? s2

B. x1 ? x2 , s1 ? s2 D. x1 ? x2 , s1 ? s2

9.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平均仓储时间为

x 天, 8

且每件产品每天的仓储费用为 1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小, 每批应生产 产品( )

A.60 件
10.设函数 f ?x? ?

B.80 件

C.100 件

D.120 件


x 2 ? 1 ? ax ,若 0 ? a ? 1 ,不等式 f ?x ? ? 1 的解集是(
B. ? 0,

A. ?0, a ?

2a ? ? 2 ? ? 1? a ?

1? C. ?0,

D. ? 0,

2a ? ? 2 ? ? 1? a ?

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13) 11.一个几何体的三视图如图所示,正视图为正方形,俯视图为半圆, 侧视图为矩形,则其表面积为 .

12.某单位为了制定节能减排目标,先调查了用电量 y (单位:度) 与气温 x (单位: C )之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与 当天气温,并制作了对照表:
0

正视图

2

侧视图

1

俯视图

x

18
24

13
34

10
38

?1

y

64

由表中数据,得线性回归直线方程 ? ? ?2x ? a ,当气温为 ?5 时,预测用电量为 y
0

度. . D A B O· P

13.设函数 f ( x) ?| ln( x ? 1) |, 若 ?1 ? a ? b且f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的取值范围是 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图, PA 与⊙ O 相切于点 A , D 为 PA 的中点, 过点 D 引割线交⊙ O 于 B , C 两点 ,若 ?DCP ? 25 ,
0

则 ?DPB ?

. C

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15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为 ? ? sin ? ,过极点 O 的一条直线 l 与圆 C 相交于 O 、 A 两点,且 ?AOx ? 45 ,则 OA ?
0

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和步骤. 16.(本小题满分 12 分) 数列 ?a n ?中,前 n 项和 S n? an2 ? bn ,其中 a、 b 是常数,且 a ? 0,a ? b ? 1, n ? N , (I)求 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)证明 an?1 ? an ? 1, n ? ? .

17.(本小题满分 13 分) 有一位小朋友居住的一条街上,行驶着红蓝两路公交车,这两路公交车的数目相同,并且都是每隔 20 分 钟驶过一辆.这位小朋友几乎每天都要坐一次公交车,这两条线对他来说是一样的,都可以到达学校,他上 车的时间是没有一定的,只要看见一辆公交车来了,就乘上去,不管红的还是蓝的.据了解,每一辆蓝色公交 车以后,要隔 12 分钟有一辆红色公交车,每一辆公色公交车以后,要隔 8 分钟有一辆蓝色公交车.问: (I)这位小朋友乘红蓝两路公交车的次数是否均等? (II)若红蓝两路公交车的次数不等,则乘哪路公交车的次数多?它们各自的概率是多少?

18.(本小题满分 13 分) 在△ABC 中,已知 y ? 2 ? cosC cos? A ? B? ? cos C .
2

(I)若任意交换 A, B, C 的位置, y 的值是否会发生变化?试证明你的结论; (II)求 y 的最大值. 19.(本小题满分 14 分) 如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中,

P

AB ? AC , PA ? 平面 ABCD ,且 PA ? AB ,点 E 是

PD 的中点.
(Ⅰ)求证: AC ? PB ; (Ⅱ)求证: PB // 平面 AEC .

E A B D C

20.(本小题满分 14 分) 已知 F (? 3,0) , F2 ( 3,0) ,动点 P 满足 | PF | ? | PF2 |? 4 ,记动点 P 的轨迹为 E . 1 1

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(Ⅰ)求 E 的方程;

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(Ⅱ)曲线 E 的一条切线 l ,过 F1 , F2 作 l 发的垂线,垂足分别为 M , N ,求 | F M |? F2 N | 的值; | 1 (Ⅲ)曲线 E 的一条切线为 l ,与 x 轴, y 分别交于 A, B 两点,求 | AB | 的最小值,并求此时切线的斜 率.

21.(本小题满分 14 分) 设 x ? (a, ??) ,解不等式 3x ? 2ax ? a ? 1 ? 0 .
2 2

2012 届清新县第一中学高考冲刺模拟试题

数学(文科)第 5 套参考答案 一、选择题
题号 答案 1 D B 2 3 C 4 C 5 C 6 A 7 B 8 B 9 B 10 B

10..解答:由 f ?x ? ? 1 ,得 x 2 ? 1 ? 1 ? ax , 设 g ?x ? ? 作出图象: 由 x 2 ? 1 ? 1 ? ax ,得

x 2 ? 1 , h?x ? ? 1 ? ax ,

?a

2

? 1 x 2 ? 2ax ? 0 ,得 x a 2 ? 1 x ? 2a ? 0 ,解得,
2a 2a ? 0 解 得 ? 1 ? a ? 1 , 由 题设条 件 得 ,由 2 1? a 1? a2

?

??

?

?

x ? 0 ,或 x ?

0 ? a ? 1,
所以,当 0 ? x ? 为0 ? x ?

2a 2 时, x ? 1 ? 1 ? ax ,即 f ?x ? ? 1 .所以,当 0 ? a ? 1 时,不等式 f ?x ? ? 1 的解 1? a2

2a . 1? a2

二、填空题
题号 11 12 13 14 15
4

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答案

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(0, ??)
250

4 ? 3?

70

2 2

三、解答题
16.答案: 解(I) :因为 a1 ? S1 ? a ? b ? 1 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? an2 ? bn ? a?n ?1?2 ? b?n ?1? ? 2an ? a ? b . 当 n ? 1 时, a1 ? 2a ?1 ? a ? b ? a ? b , 所以 an ? 2an ? a ? b . 解(Ⅱ) :由 an?1 ? an ? ?2a?n ? 1? ? a ? b? ? ?2an ? a ? b? ? 2a ? 0 , 所以 an?1 ? an ? 1 .

?

? ?

?

17.答案: 解(I) :设乘红色公交车的事件为 A1 ,乘蓝色公交车的事件为 A2 ,则由题意得, A1 , A2 是互斥事件,对立 事件.红蓝两路公交车的次数不均等. 解(II) :乘红色公交车的次数多. 红蓝两路公交车每隔 20 分钟都驶过一辆,所以 20 分钟为一个周期,小朋友上车事件是独立的,每分钟 都可能上车,每分钟上车概率为

1 12 ,蓝车过后 12 分钟内都会坐上红车,所以坐红车的概率 P ? A1 ? 是 , 即 20 20

3 . 5
红车过后 8 分钟内都会坐上蓝车,因此坐蓝车概率 P? A2 ? 为 所以 P? A1 ? ?

8 2 ,即 . 20 5

12 3 8 2 ? , P ? A2 ? ? ? . 20 5 20 5

18.答案: 解(I) :∵ y ? 2 ? cosC cos? A ? B? ? cos C ? 2 ? cos? A ? B?cos? A ? B? ? cos C
2 2

? 2?

1 ?cos 2 A ? cos 2 B ? ? cos 2 C ? 2 ? 1 2 cos 2 A ? 1 ? 2 cos 2 B ? 1 ? cos 2 C 2 2

?

?

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? 3 ? cos2 A ? cos2 B ? cos2 C ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,
∴ 任意交换 A, B, C 的位置, y 的值不会发生变化. 解(II) y ? 2 ? cosC cos? A ? B? ? cos2 C :

1 ? ? 1 ? ?? cosC ? cos? A ? B?? ? cos2 ? A ? B? ? 2 . 2 4 ? ?
所以,当 cos C ?

2

1 ? cos ? A ? B ? ,且 cos2 ? A ? B? 取到最大值 1 时,也即 A ? B ? C ? 时, 2 3

9 y 取得最大值 . 4

19.答案: 解(I) :由 PA ? 平面 ABCD ,可得 PA ? AC 又 AB ? AC , 所以 AC ? 平面PAB ,所以 AC ? PB . 解(Ⅱ) :如图,连 BD 交 AC 于点 O, 连 EO ,则 EO 是 ? PDB 的中位线,? EO ? PB ? PB // 平面 AEC

20.答案: 解 ( I ): ? F F2 ? 2 3 又 ? PF ? PF2 ? 4 ? 2 3 ? P 点 轨 迹 是 以 F1F2 为 焦 点 的 椭 圆 , 1 1

x2 2a ? 4, 2c ? 2 3 ,故椭圆方程为 ? y 2 ? 1; 4
解(Ⅱ) 1 当切线斜率不存在时,切线为 x ? ?2 ,此时 F M ? F2 N ? 1 :○ 1 2 ○当切线斜率存在时,设切线方程为 y ? kx ? b ,则

? x2 ? ? y2 ? 1 ? (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kbx ? 4b2 ? 4 ? 0 , ?4 ? y ? kx ? b ?

? ? (8kb)2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4b2 ? 4) ? 0 ,即 b2 ? 4k 2 ? 1

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F1M ? ? 3k ? b k 2 ?1
, F2 N ?

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3k ? b k 2 ?1

F1 M ? F2 N ?
故 F M ? F2 N ? 1 ; 1

b 2 ? 3k 2 k 2 ?1

?

4k 2 ? 1 ? 3k 2 k 2 ?1

? 1,

证明(III) :由(Ⅱ)知, A( ?

b , 0), B(0, b) k

AB ?

b2 4k 2 ? 1 1 ? b2 ? ? 4k 2 ? 1 ? ? 4k 2 ? 5 2 2 k k k2

? 2

1 ? 4k 2 ? 5 ? 3 k2

当且仅当

1 2 2 ? 4k 2 ,即 k ? ? 时取等号,故 AB 的最小值为 3,此时斜率为 ? 2 k 2 2

21.答案: 可分为两种情况 第 1 种情况,当 ? ? 4a2 ? 12(a2 ? 1) ? 12 ? 8a2 ? 0 当 a ? ? ??, ?

? ? ?

? 6 ? 6? , ?? ? 时,原不等式的解集为 x ? (a, ??) ; ? 或a?? ? 2 ? ? 2 ?
2 2 2

第 2 种情况,当 ? ? 4a ? 12(a ? 1) ? 12 ? 8a ? 0 时, 有?

6 6 2 2 ?a? 时,此时 f ( x) ? 3x ? 2ax ? a ?1 2 2

有两个零点:

?? a ? 3 ? 2a 2 ?? x ? 3 ?? ? ? ?x ? a
分三种情形: ①若 a ?

?? a ? 3 ? 2a 2 ?? x ? ?? 3 ??

? ? a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 ??0 ?x ? 或x? ? ?? , 3 3 ? ?x ? a ?

a ? 3 ? 2a 2 ,则 x ? a ; 3

②若

a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 ,则 x ? ; ?a? 3 3 3

③a ?

a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 ,则 a ? x ? 或x? 3 3 3

以下分别解出这三种情形: 解第①种情形:

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? a ? 3 ? 2a 2 ?2a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 ? ?a ? ?? a? ?? 3 3 ?a ? 0 ? ?a ? 0 ?
? 2 2 ?6a 2 ? 3 2 或a ? ?a ? ? , ?? ?? 2 2 ?a? 2 ?a ? 0 ?a ? 0 ?
故当, a ? ?

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? 2 6? , ? 时,原不等式的解为 x ? a . 2 2 ? ? ?

解第②种情形: 当

a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 时, ?a? 3 3

? a ? 3 ? 2a 2 ? a ? 3 ? 2a 2 ?a ? ?a ? 3 3 ? a ? 3 ? 2a 2 ? ? ?a ? ? ? a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 ? ? ? 3 ?? ? ?a ? 或 ?a ? 3 3 a ? 3 ? 2a 2 ? ? ? a? ? ?a ? 0 ?a ? 0 3 ? ? ? ? ? ? ?

? 6 ?a? ?? 2 ? ? 3 ? 2a 2 ? 2a ? ? 3 ? 2 a 2 ? 2 a ? ? ? ? 2 ? ? ? ?a? ? ? 2a ? 3 ? 2a 2 或 ? 2a ? 3 ? 2 a 2 ? ? ? ? 2 ?a ? 0 ?a ? 0 ?a ? 0 ? ? ? ? ? ? ?

6 ? ? 3 ? 2a 2 ? 2a 2 ? 2 ? 或 ?3 ? 2a 2 ? 0 2 ?a ? 0 ? ?

? 2 2 ?a? ?? 2 ? 2 ? 2 6 6 2 2 ? ?0?a? 或 ?a ? ? 或a? ?0?a? 或? ?a?0 2 2 2 2 2 ? ?a ? 0 ? ? ?
?? 2 2 ?a? 2 2
? ? 2 2? a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 , ; ?a? ? 时,有 2 2 ? 3 3 ?

所以,当 a ? ? ?

a ? 3 ? 2a 2 故,原不等式的解为: x ? . 3
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解第③种情形:

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? a ? 3 ? 2a 2 ? 2a ? ? 3 ? 2a 2 ? 2a ? ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 ? ? ?a ? ?? ?? a? ?? 3 3 ?a ? 0 ?a ? 0 ? ?a ? 0 ? ?
? 2 2 2 或a ? ?a ? ? ?? 2 2 ?a?? 2 ?a ? 0 ?
所以,当 a ? ? ?

? ? ?

6 2? a ? 3 ? 2a 2 ,? 时,有 a ? ; ? 2 2 ? 3 ?

故,原不等式的解为, a ? x ?

a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 . 或x? 3 3

将第二种情况的 3 种情形小结如下: ①当 a ? ?

? 2 6? , ? 时,原不等式的解为 x ? a ; ? ? 2 2 ?
2 2? a ? 3 ? 2a 2 , 时,原不等式的解为 x ? ; ? 2 2 ? 3 ?

②当 a ? ? ?

? ?

③当 a ? ? ?

? ? ?

6 2? a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 ,? . 或x? ? 时,原不等式的解为 a ? x ? 2 2 ? 3 3 ?

第一种情况: 当 x ? ? ??, ?

? ? ?

? 6 ? 6? , ?? ? 时,原不等式的解集为 x ? (a, ??) ; ?或 x?? ? 2 ? ? 2 ?

将二种情况进行整理,综上有, 当 a ? ??

? ?

? ? 2 ? 6 , ?? ? ? ? , ?? ? 时,原不等式的解集为 x ? (a, ??) ; ? ? 2 ? ? 2 ?

? a ? 3 ? 2a 2 ? ? 2 2? , , ?? ? ; 当 a ? ?? ? 时,原不等式的解集为 x ? ? ? ? 3 ? ? 2 2 ? ? ?
当 a ???

? ? ?

? a ? 3 ? 2a 2 ? ? a ? 3 ? 2a 2 ? 6 2? ,? , ?? ? . ??? ? 时,原不等式的解集为 x ? ? a, ? ? 2 2 ? 3 3 ? ? ? ? ? ?

注:事实上,本题结合作图,更容易判断: 通过观察图形,由 x1 ? a, x2 ? a , ,分别等于, a ? ?

2 2 ,a ? , 2 2

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三 段 :

? 6 6? ?? ? 2 , 2 ? ? ? ?





? 2 6 ? ? 2 2? ? 6 2? , , ,? ? ? , ?? ?, ? ,? ? ? 2 2 ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 2 ? ? 2
故有三种情形: A. x1 ? x2 ? a 时,当 a ? ?

? 2 6? ? 2 , 2 ? 时, ? ? ?

原不等式的解集为: x ? (a, ??) B. x1 ? a ? x2 时, 当 a ? ??

? ?

? a ? 3 ? 2a 2 ? 2 2? , , ?? ? ? 时,原不等式的解集为, x ? ? ? 2 2 ? 3 ? ? ?

a ? x1 ? x2 时,
当 a ???

? ? ?

6 2? ,? ? 时, 2 2 ? ?

原不等式的解集为,

? a ? 3 ? 2a 2 ? ? a ? 3 ? 2a 2 ? x ? ? a, , ?? ? . ??? ? ? 3 3 ? ? ? ? ? ?
综上, 当 a ? ??

? ?

? ? 2 ? 6 , ?? ? ? ? , ?? ? 时,原不等式的解集为 ? ? 2 ? ? 2 ?

x ? (a, ??) ;
当 a ???

? ? ?

2 2? , ? 时,原不等式的解集为, 2 2 ? ?

? a ? 3 ? 2a 2 ? x?? , ?? ? ; ? 3 ? ? ?
当 a ???

? ? ?

6 2? ,? ? 时,原不等式的解集为, 2 2 ?

? a ? 3 ? 2a 2 ? ? a ? 3 ? 2a 2 ? x ? ? a, , ?? ? . ??? ? ? 3 3 ? ? ? ? ? ?

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