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含参数的一元二次不等式的解法


数学· 必修 5(人教 A 版)

3.2 一元二次不等式及其解法 3.2.2 含参数的一元二次不等式的解法

?基础达标 x2 1.不等式 <0 的解集为( x+1 A.(-1,0)∪(0,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-1,0) D.(-∞,-1) 答案:D )

2.设 m+n>0,则关于 x

的不等式(m-x)(n+x)>0 的解是( A.x<-n 或 x>m B.-n<x<m C.x<-m 或 x>n D.-m<x<n

)

解析:方程(m-x)(n+x)=0 的两根为 m,-n, ∵m+n>0,∴m>-n,结合函数 y=(m-x)(n+x)的图象,得原 不等式的解是-n<x<m.故选 B. 答案:B 3.已知 2a+1<0,关于 x 的不等式 x2-4ax-5a2>0 的解集是 ) A.{x|x<5a 或 x>-a} B.{x|x>5a 或 x<-a} C.{x|-a<x<5a} D.{x|5a<x<-a}

(

解析:方程 x2-4ax-5a2=0 的两根为-a,5a, 1 ∵2a+1<0,∴a<- . 2 ∴-a>5a,结合 y=x2-4ax-5a2 的图象,得原不等式的解集是 {x|x<5a 或 x>-a}.故选 A. 答案:A

m 4.不等式 x2+mx+ >0 恒成立的条件是________. 2 答案:0<m<2 5.若函数 y= kx2-6kx+?k+8?(k 为常数)的定义域为 R,则 k 的取值范围是________. 解析:函数 y= kx2-6kx+?k+8?的定义域为 R,即 kx2-6kx+ (k+8)≥0 对一切 x∈R 恒成立. 当 k=0 时, 显然 8>0 恒成立; 当 k≠0 ? ? ?k>0, ?k>0, ? 时,则 k 满足 即? 2 ? ? ?Δ≤0, ?36k -4k?k+8?≤0. 解之得 0<k≤1,所以 k 的取值范围是[0,1]. 答案:[0,1] ?巩固提高 6.二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表: 0 1 2 3 4 x -3 -2 -1 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 y 2 则不等式 ax +bx+c>0 的解集是________. 解析:从表中取三组数据(-1,-4)、(0,-6)、(1,-6)分别代 a-b+c=-4, ? ? 入函数表达式得?c=-6, ? ?a+b+c=-6,

a=1, ? ? 解得?b=-1, ? ?c=-6. ∴二次函数表达式为 y=x2-x-6. 由 x2-x-6>0 得(x-3)(x+2)>0, ∴x<-2 或 x>3. 答案:{x|x<-2 或 x>3} 7.关于 x 的不等式 x(x-a2-1)≤0 的解集是________. 解析:方程 x(x-a2-1)=0 的两根为 0,a2+1,且 a2+1>0,故不等式 x(x-a2-1)≤0 的解集是 {x|0≤x≤a2+1}. 答案:{x|0≤x≤a2+1} x-a >0 的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞), x+1

8. 若关于 x 的不等式 则实数 a=________. 解析:注意到 >4,从而 a=4. 答案:4

x-a 等价于(x-a)(x+1)>0,而解集为 x<-1 或 x x+1

9.已知实数 a 满足不等式-3<a<3,解关于 x 的不等式: (x-a)(x+1)> 0. 解析:方程(x-a)(x+1)=0 的两根为-1,a. ①当 a<-1 即-3<a<-1 时,原不等式的解集为{x|x<a 或 x> -1}; ②当 a=-1 时,原不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠1}; ③当 a>-1 即-1<a<3 时,原不等式的解集为 {x|x<-1 或 x>a}.

10.解关于 x 的不等式:x2-(a+a2)x+a3>0(a>0). 解析:将不等式 x2-(a+a2)x+a3>0 变形为(x-a)(x-a2)>0, 当 0<a<1 时,有 a>a2,所以不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}; 当 a=1 时,a=a2=1,所以不等式的解集为{x|x∈R,且 x≠1}; 当 a>1 时,有 a<a2,所以不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}.

1.解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型,解决 这类问题的难点在于对参数进行恰当分类.分类相当于增加了题设条 件,便于将问题分而治之.在解题过程中,经常会出现分类难以入手 或者分类不完备的现象.强化分类意识,选择恰当的解题切入点,掌 握一些基本的分类方法,善于借助直观图形找出分类的界值,是解决 此类问题的关键. 2.分类标准如何确定?看后面的结果不唯一的原因是什么.一般 来讲,先讨论二次项的系数,再对判别式进行讨论,最后对根的大小 进行讨论.


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