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高一第一章集合学案


北京六十五中高一数学导学案

第一章集合与函数概念

§1.1.1 集合的含义与表示

学习目标:1、了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系 2、掌握集合的表示方式 学习难点:能用集合不同的表示方式描述不同的具体问题 一、集合的有关概念
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1. 元素(element)

: 2. 集合的含义: 例 1:判断下列研究的对象是否构成集合?

. 简称

(1) 所有自然数 (2) 不等式 x ? 7 ? 3 的解 (3) 方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的所有实数根 (4) (5) (6) (7) 到定点 C 的距离等于 1 的所有的点 著名的数学家 北京六十五中 2015 年 9 月入学的所有高一的学生 我国的小河流

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3.集合中的元素应具有什么性 质: 4. 相等集合: 5. 集合的表示方法: 元素的表示方法: 6.元素与集合的关系: 如果 a 是集合 A 的元素,就记作_______;读作“__________ _” ; 如果 a 不是集合 A 的元素,就记作______读作“_ ___ __”. 7.常用数集及其记法: 一般地,自然数集记作____________; 正整数集记作__________或___________; 整数集记作________; 有理数记作_______; 实数集记作________ 例 2 下列数与数集之间用适当的符号表示 0

N* ; 3 Q; 2

Z; 0
R;

N ;(?1) 0

N *; 3 ? 2

Q;

4 3

二、集合的表示方法 1.自然语言法:用自然语言来描述一个集合, 2.列举法: 例 3 用列举法表示下列集合 (1) 小于 10 的所有自然数组成的集合
1

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第一章集合与函数概念

(2)方程 x ? x 的所有实根组成的集合
2

(3)由 1~20 以内所有素数组成的集合 (4)15 的正约数组成的集合 (5)不大于 10 的非负偶数集 注:①元素间用逗号隔开;②元素不重复 ③元素间无顺序 3. 描述法: 具体方法: 例 4 试分别用列举法和描述法表示下列集合 (1)方程 x ? 2 ? 0 的所有实根组成的集合
2

(2)由所有大于 10 小于 20 的整数组成的集合

例 5 下面三个集合: 2 2 2 ① {x|y=x +1} ②{y|y=x +1} ③{(x,y)|y=x +1} (1) 它们是不是相同的集合?( 2 )它们各自的含义是什 么?

例 6 可以表示方程组 ?

? x ? y ? 3, 的解集的有 ? x ? y ? ?1

.

⑤ { x ? 1, y ? 2} ②{1,2} ③{(1,2)}④ {( x, y ) | x ? 1或y ? 2} ⑤ {( x, y ) | x ? 1且y ? 2}

⑥ {( x , y ) | ?

?x ? 1 } ?y ? 2

⑥ {( x, y) | ( x ? 1) 2 ? (y - 2)2 ? 0}

例 7. 已知集合 M= {?2,3 x ? 3 x ? 4, x ? x ? 4} ,若 2 ? M,求 x .
2 2

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第一章集合与函数概念

§1.1.2 集合间的基本关系 学习目标: 1 了解集合之间的包含、相等关系的含义;
(2)理解子集、真子集的概念; (3)能利用 Venn 图表达集合间的关系; (4)了解空集的含义。

学习重点:子集、真子集的概念 学习难点:元素与子集、属于与包含之间的区别
学习过程: 1. 子集:

2.真子集: 3.空集: 空集是任何集合的 4.集合相等: 5.子集的性质 , 是任何非空集合的 。

例:观察实例,写出下列集合间的关系。 (1) A={1,3} ,B={1,3,5,7} (2) A={高一全体男生} ,B={高一全体学生} (3) A={x︱x 是矩形},B={x︱x 是平行四边形} (4) A=N, B=Q (5) A={x︱x>3},B={x︱x>5},C={x︱x>7} (6) A={x︱(x+2)(x+1)=0},B={-1,-2} 判断两个集合{0}与Φ 的关系? 例 1.写出{0,1,2}的所有子集,并指出哪些是真子集.
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第一章集合与函数概念

例 2.以下各组中两个对象是什么关系,用适当的符号表示出来. (1)0 {0} (2)0 {(0,1)}

?

(3) ?

{0} {(a,b)}

(4){0,1}

(5){(b,a)}

例 3 .已知 {a, b} ? A ? {a, b, c, d } ,则满足条件的集合 A 的个数 为 .

例 4.已知集合 A ? {x | x ?

B ? {x | x ?

1 ? k? ? , k ? Z } ,判断集合 A 与 B 是否相等. 4 2

1 ? k? ? , k ? Z } , 2 4

例 5.已知集合 A={x|-2≤x≤2},B={x≥a},且 A?B,则实数 a 的取值 范围是_______

例 6.设集合 A={1,3,2m-1},B={3,m2},且 B?A,求 m.

归纳: (1)两个集合之间关系: (2)上述两个集合间的关系在数学中 的名称是什么? 如何表示?读法是?

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第一章集合与函数概念

§1.1.3 集合的基本运算
学习目标:

1、理解两个集合的并集、交集、补集的含义 2、会求两个集合的并集、交集,会求指定集合的补集 学习重点: 利用数形结合的方法求两个集合的并集、交集, 求指定集合的补集 学习过程:
(1)理解两个集合的并集与交集的的含义,会求两个简单集合的并集 与交集; (2) 理解在给定集合中一个子集的补集的含义, 会求给定子集的补集; (3)能用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象 概念的作用。 教学重点:集合的交集与并集、补集的概念; 教学难点: 集合的交集与并集、 补集 “是什么” , “为什么” , “怎样做” ; 教学过程: 引入 我们两个实数除了可以比较大小外,还可以进行加法运算,类比 实数的加法运算,两个集合是否也可以“相加”呢? 新课教学 一. 并集: 思考:考察下列各个集合,你能说出集合 C 与集合 A、B 之间的关系吗? ①A={1,3,5,} B={2,4,6} C={1,2,3,4, 5,6}; ②A={x|x 是 有理数},B={x|x 是无理数},C={x|x 是实数}; 1. 定 义 自 然 语 言 符 号 语 言 图 形 并集

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第一章集合与函数概念

语 言 2.相关性质 (1) A∪A= ,A∪? = (2)A∪B= (3)A?A∪B,B? (4)若 A∪B=B,则 A B,反之也成立 练习 1:设 A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},则 A∪B=______________ 练 习 2 : 设 集 合 A={x|-1<x<2} , B={x|1<x<3} , 则 A∪B=______________ 二. 交集: 考察下面的问题,你能说出集合 C 与集合 A、B 之间的关系吗? ① A={2,4 ,6,8,10} B={3,5,8,12}, C={8}; ② A={x|x 是 2 015 年 9 月在校的女同学} B={x|x 是 2015 年 9 月在校的高一年级同学} C={x|x 是 2015 年 9 月在校的高一年级女同学} 1.
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定 交集 义 自 然 语 言 符 号 语 言 图 形 语 言 例:①A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求 A∩B. ②已知 A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求 A∩B,并在数轴上表示 2.相关性质 (1)A∩A= , A∩?= (2) A∩B= (3) A∩B ? A,A∩B ? (4) 若 A∩B=A,则 A B,反之也成立
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第一章集合与函数概念

练习 1. 65 中学开运动会, 设 A={ x|x 是 65 中学高一年级参加百米赛跑的 同 学 } , B={x|x 是 65 中 学 高 一 年 级 参 加 跳 高 比 赛 的 同 学 } , 则 A∩B=_____________________________ 练习 2. 设平面内直线 l1 上的点的集合为 L1, 直线 l2 上的点的集合为 L2, 用集合的运算表示 l1,l2 的位置关系。 练习 3. 若集合 M={y|y=-2x+1,x∈R},N={y|y=x-2,x∈R}, 则 M∩N=( ) A.{1,-1} B.(1,-1) C.{(1,-1)} D.R 三.补集 1.全集: 2.补集: A={高一某班的全体女同学} B={高一某班的全体男同学} U={全体同学}, 集合 A、B、 U 间的关系如何 ? 文字 语言 符号 语言 图形 语言 3.相关性质: (1)CUA? (2) (CUA)∪A= , (CUA)∩A= ; (3)CU(CUA)= (4) CU(A∩B)= (CUA) (CUB), CU(A∪B)= (CUA) (CUB) 练习 1.设 U={x|x 是小于 9 的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5, 6},则 CUA=______, CUB=________ 练习 2.设全集 U={x|x 是三角形},A={x|x 是锐角三角形},C={x|x 是钝角三角形},则 A∪B=________, CU(A∪B)=__________ 例1. 写出下列图中阴影部分所表示的集合

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第一章集合与函数概念

例 2. 设 A ? { x | 2 x 2 ? px ? q ? 0},

1 B ? { x | 6 x 2 ? ( p ? 2) x ? 5 ? q ? 0}, 若 A ? B ? { } ,则 2
A? B ?
.

例 3.设集合 A ? { x | ?1 ? x ? 2}, B ? { x | x ? a} ,若 A ? B ? ? , 求 a 的取值范围.

例 4.若集合 A ? {1,3, x }, B ? {1, x } , A ? B ? {1,3, x} ,求满足条
2

件的实数 x .

例 5.已知全集 U= {2,4, a ? a ? 1} ,且 A ? {a ? 1,2} , CU A ? {7}
2

求实数 a

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第一章集合与函数概念

§1.2.1 函数的概念 学习目标:1、理解函数的概念,明确函数的三要素 2、会求简单函数的定义域、值域 学习重点:理解函数的概念,会 求函数定义域、值域 教学难点:符号 y=f(x)的含义,函数定义域和值域的区间表 示; 学习过程: 温故知新:
[来源:学_科_网] [来源:学*科*网]

某种笔记本的单价是 5 元,买 x ( x ? ? 1,2,3,4,5 ?)个笔记本需 要 y 元(1)写出自变量 x 与因变量 y 之间的函数关系 (2)写出因变量 y 的所有取值__________________ 其中自变量 x 的所有取值构成的集合为_____,称之为函数的 _______因变量 y 的所有取值构成的集合为_____________, 称 之为函数的_______ 一、函数的有关概念 1、 定义: 设 A、 B 是两个非 空集合, 如果按照某种对应关系 f , 使对于集合 A 中的 确定的数 x ,在集合 B 中 f ( x) 和它对应,那么就称 f : A ? B 为集合 A 到集合 B 的一 个 ,记作: 。 2、 函数的三要素: 3、函数的表示法: 、 4、同一函数: 则 、 、 。

、 相同,值域 。 ,对应法

5、定义域:自变量的取值范围 求 法: ⑴给定了函数解析式:使式子中各部分均有意义的 x 的集合; ⑵生活实际中,对自变量的特殊规定。 6、常见表达式有意义的规定: ①分式分母有意义,
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第一章集合与函数概念

②偶次根式的被开方数非负, x 有意义集合是 ③ a0 ; 例1. 下列对应关系是函数关系吗? (1) A=R, B={x|x>0}, f:x→|x|; (2) A=Z, B=Z, f:x→x2;

例2.

判断下列函数是否是同一个函数:

(1) f ( x) ? x 2 与g ( x) ? x; x2 ? 4 与g ( x) ? x ? 2; x?2 ? x, x ? 0 (3) f ( x) ?| x | 与g ( x) ? ? ; ?? x , x ? 0 (2) f ( x) ? (4) f ( x) ? 3 x 3 与g ( x) ? x. 1 1 (5) y ? 1 ? 与 y ? 1 ? x u
小结:判断两个函数是否是同一个函数:
? 定义域是否相同;

?

对应关系是否一致.

例3. (1)已知函数f ( x ) ? 3x 2 ? 5 x ? 2. 求 : f ( ? 2), f (a ), f (a ? 1), f ( x ? 1).

( 2 ) 设函数 f ( x ) ? 2 x ? 3, 函数 g( x ) ? 3 x ? 5 ,求 f [ g(1) ] ,

f [ g( x ) ] , g[ f ( x )].

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第一章集合与函数概念

例4.求函数的定义域 1 (1 )f ( x ) ? ; x?2 1 (2)f ( x) ? x ? 3 ? ; x?2 (3) f ( x) ? ( x ? 1) 0 ? 2 ? x .

二、区间的概念 (1)区间的分类:设 a、b 是两个实数,且 a<b,规定: ①开区间:a≤x≤b 的实数 x 的集合,表示为 ②闭区间:a<x<b 的实数 x 的集合,表示为 ③半开半闭区间:a≤x<b 或 a<x≤b 的实数 x 的集合, 表示为 ④无穷区间:x≥a, x>a, x≤a, x<a 的实数 x 的集合, 分别记: ⑤实数集 R 可以表示为(-∞,+∞) 注意: ①区间符号里面两个字母或数字用“, ”隔开; ② ?? 和 ?? 只是一个符号,不是一个数。

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第一章集合与函数概念

§1.2.2 函数的表示法 【学习目标】 1.了解分段函数的概念会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图 象. 2.了解映射的概念,会判断给出的对应是否是映射. 3.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题. 【学习过程】 一、函数的表示法 例 1.看书 P20 例 2

注意: 1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点 ○ 等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据; 2 解析法:必须注明函数的定义域; ○ 3 图象法:是否连线; ○ 4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. ○ 例 2. 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定 (1)5 公里以内(含 5 公里) ,票价 2 元。 (2) 5 公里以上,每增加 5 公里,票价增加 1 元(不足 5 公里的按 5 公里计算) 。如果某条路线的总里程为 20 公里,请根据题意,写出票 价与里程之间的函数解析式,并用图象法表示这函数。 解: 说明:像上面两例中的函数,称为分段函数. 注意:分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几 种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变 量的取值情况.

? x ? 5, x ? ?1, ? 2 例 3.已知函数 f ( x) ? ? x , ? 1 ? x ? 1, ?2 x, x ? 1. ?
(1)求 f(-3)、f[f(-3)] ; (2)若 f(a)=

1 ,求 a 的值. 2

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第一章集合与函数概念

例 4.画出下列函数的图像

(1) y=x-1, x ? Z

(2) y = x ? 1 ,x ?[1, 2];

(3) y = x ; 变题: y ? x ?1 ;

(4) y = x ? 2 x ? 2
2

(5)f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱

二、映射 1. 定义:一般地,设 A 、 B 是两个 ,如果按某一个确定 的 ,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都 有 ,那么就称对应 f:A ?B 为从集合 A 到 集合 B 的一个 ,记作 .

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第一章集合与函数概念

例 5.以下给出的对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射 (1)A={P|P 数轴上的点},B=R, 对应关系 f:数轴上的点与它所代表的实数对应 (2)A={P|P 是平面直角坐标系中的点}, B={(x,y)|x∈R,y∈R}, 对应关系 f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应 (3)A={x|x 是 65 中学的班级}, B={x|x 是 65 中学的学生}, 对应关系 f:每一个班级对应班里的学生

三、新知探究 1.求抽象函数定义域 例 1 若函数 y ? f ( x) 的定义域为[ ? 1,1] 求函数 f ( x ? 1) 的定义域;

1 例2.已知函数f ( x ? )的定义域是 [0,2], 2 求f ( x)的定义域.

2.求值域的方法 一、图象法

例1.求下列函数的值域 (1) y ? 2 x 2 ? 4 x ? 1 (2) y ? 2x 2 ? 4x ?1 (3) y ? 2x 2 ? 4x ?1
( x ? 0) x ?[0,2)

(4) y ? 2x 2 ? 4x ?1 x ? (0,3) (5) y ? 2x 2 ? 4x ?1 x ?[?2,0] ?2 (6) y ? (?1 ? x ? 0或x ? 1) x 14

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第一章集合与函数概念

3.求解析式

例.(换元法)已知 1 f ( x ? 1) ? x 2 ? 2 x. 求f ( x)的解析式 .

练习 .已知f ( x ? 1) ? x ? 2 x . 求f ( x)的解析式.
例 2(待定系数法)已知 f ( x) 为一次函数,且 f [ f ( x )] ? 4 x ? 3 ,求

y ? f ( x)

例 3(解方程组法) 2 f ( x) ? 3 f ( ) ? 4 x ,求 y ? f ( x )

1 x

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