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高一数学直线方程的一般式


复习:
方程名称 已知条件
斜率k

直线

方程

应用

范围

点斜式 点P(x1 ,y1) y ? y1 ? k ( x ? x1 )
斜截式 两点式 截距式
截距b
斜率k
P(x 1 1 ,y1 ),P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )
截距b
斜率k

不包括垂直于x轴 的直线 不包括垂直于x 轴的直线 不包括垂直于坐标 轴的直线 不包括垂直于坐标轴 和过原点的直线

y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

横截距a(a ? 0) 纵截距b(b ? 0)

x y ? ?1 a b

直线方程的四种形式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 第一种:点斜式 第二种:斜截式 y ? kx ? b
第三种:两点式

第四种:截距式

y ? y1 x ? x1 ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ?1 a b

这四种形式能否互相转化? 能否统一写成 ?

x ??

y?



?0

? 数学是思维的体操 ? 数学是磨砺的底石

一.直线的一般式方程
1.一般式
点斜式,斜截式,两点式,截距式四种方程都可以化成 Ax+By+C=0(其中A,B,C是常数,A,B不全为0)的形式. Ax+By+C=0叫做方程的一般式.

2、直线与二元一次方程的关系
探究1:方程Ax+By+C=0总可以表示直线吗? 根据斜率存在,不存在即B为0,或不为0进行分类

对于方程Ax+By+C=0

A C 当B ? 0时, 方程可以化为y ? - x - , B B 这是直线方程的斜截式,

A C 表示斜率为 - , 截距是 - 的直线, B B 当B ? 0时, 方程Ax ? By ? C ? 0化为Ax ? C ? 0,

C 因为A.B不全为0, 所以A ? 0方程化为x ? - , A 表示垂直于x轴的直线, 即斜率不存在的直线
结论:当A.B不全为0的时候,方程Ax+By+C=0表示直线, 可以表示平面内的任何一条直线

探究2

在平面直角坐标系中,对于任意一条直线都可以

表示成Ax+By+C=0(A.B不全为0)的形式吗?
因为在直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角 当 ? ? 90?   可以写成:y 当 ? ? 90  可以写成:
?

? kx ? b

x ? x1

这两种形式都可以化成Ax+By+C=0(A.B不全为0)的形式 结论: 方程Ax+By+C=0(A.B不全为0) 可以表示直线 任意一条直线都可以表示成Ax+By+C=0(A.B不全为0)

三、例题讲解:
4 例1、已知直线以进点A(6,-4)斜率为 ? 3 求直线

方程的点斜式和一般式方程
解:直接代入点斜式方程有:

点斜式方程



4 y ? ( ?4 ) ? ? ( x ? 6 ) 3

化简得一般式方程:

4 x ? 3 y ? 12 ? 0

评述:一般 x前 的系数为正,系数及常数都不为分 式, 一般按x,y常数排列,并化成最简单的结果

例2、把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式,求出直线l 的斜率及它在x轴与y轴上的截距

y
解: 由 x ? 2 y ? 6 ? 0 1 y ? x?3 有 2 1 故 l 的斜率 k ?
2
B(0,3)
A(?6,0)

纵截距为3 令y ?0则

0

x

x ? ?6

即横截距为-6

所以………

思考
1. 与两条坐标轴都相交; AB≠0 2. 只与x 轴相交; 3. 只与 y 轴相交;

直线方程 Ax +By + C = 0 的系数A、B、 C 满足什么关系时,这条直线有以下性质:

A≠0 ,B =0 ;
B≠0 ,A = 0 ; B≠0 ,A = C= 0 ; A≠0 ,B = C = 0 .

4. 是x 轴所在直线;
5. 是y 轴所在直线.

小结:
知道直线方程的一般式及由一般式化其它形式, 及求斜率,截距等
方程名称 已知条件
斜率k

直线

方程

应用

范围

点斜式 点P(x1 ,y1) y ? y1 ? k ( x ? x1 )

直线存在斜率k 直线存在斜率k 不包括垂直于坐标 轴的直线 不包括垂直于坐标轴 和过原点的直线

斜截式
两点式

截距b
斜率k
P(x 1 1 ,y1 ),P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

截距式

横截距a(a ? 0) 纵截距b(b ? 0)

x y ? ?1 a b

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面板、小擀面杖、切刀和放饺子的拍拍儿,正在用筷子搅拌猪肉韭菜馅儿呢。就说:“娘娘,我去叫爹和哥哥,今儿个的饺子 大家一起动手包吧,我爹可会擀皮儿呢!”乔氏说:“好啊,大家一起包吧。说实话,我和你们姐姐包饺子都不内行呢!”耿 老爹负责擀皮儿,耿正和耿英都是包饺子的好手,就连耿直也学着包了不少。乔氏母女俩虽然包得慢一些,但也还并不算太外 行。太阳还没有出山呢,几百个饺子就包出来了。饺子快要包完的时候,东伢子提着一瓷瓶白酒、两瓷瓶米酒、一包油炸花生 米和二斤新出锅的卤牛肉进来了。小青悄悄地和他说了句什么,两人又出去了。不一会儿,小青提着一大包酱菜,东伢子扛着 一大袋子烧饼返回来了。耿老爹一看二人这阵势,忙问:“这是干什么啊?”乔氏一边加柴火烧水一边说:“你们走的时候带 上吧,路上一旦没有合适的饭店吃饭时,好临时对付对付。这天儿热了,熟肉就不要带了,但酱菜和烧饼带一些还是可以的。” 小青把二斤卤牛肉切成薄薄的片儿,装在一个大盘子里。又将油炸花生米和姆妈昨天晚上准备的几个小菜也装好了摆在圆桌上。 水开了,小青和耿英往大锅里下饺子,乔氏继续加柴烧火。猪肉韭菜饺子的浓香飘散开来的时候,小青端来大盆子小盘子的, 用笊篱将饺子搭出来,先端到桌子上两盘来。乔氏招呼大家团团围坐在桌子周围。东伢子打开白酒,先为耿老爹满上一杯,又 为耿正满上一杯,再问耿英和耿直:“你俩可能喝白酒?”二人都摇头摆手说喝不了白酒。东伢子就拿过米酒瓷瓶准备打开, 小青说:“你陪耿伯伯和正兄弟喝白酒吧,我们自己喝米酒就是了!”说着打开米酒,欲先给耿英和耿直满酒。耿英赶快站起 来拦了,说:“姐姐先给娘娘满上啊!”乔氏说:“一样啊,就给你英妹妹和直子弟弟先满上!”耿英说:“不合适,一定要 先给娘娘满上!”于是,小青先给姆妈满上,再给耿英和耿直满上,最后给自己满上。大家都端着酒杯站起来。乔氏说:“我 这拙嘴笨舌的,也不会说话。这半年多来,耿大哥和娃娃们为我们家帮了很大的忙,我们母女俩非常感激呢。今儿个耿大哥和 娃娃们要走了,大家一起吃个饺子。临出门吃饺子是北方人的习惯,希望你们今后不管走到哪里,都不要忘了这武昌镇上还有 你们的这么一个临时的‘家’,还有我、小青和东伢子。以后要返回老家时,一定再顺路来看看我们!”耿老爹说:“哪里哪 里,是兄弟媳妇一家人在我们最困难的时候帮助了我们,应该感激的是我们父子们啊!”耿正兄妹三人都说:“我们永远都不 会忘记武昌镇,忘记娘娘、小青姐姐和东伢子。将来返回老家时,一定会来看你们的!”乔氏举起酒杯说:“大家喝了各自杯 子里的酒,就自便吧。能喝的就多喝点儿,不能


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