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第2单元-函数与导数-数学-2012全品理科-人教A版


人教A版

第二单元 函数与导数

第4讲

函数及其表示

第5讲 函数的单调性与最值 第6讲 函数的奇偶性和周期性 第7讲 二次函数 第8讲 指数与指数函数 第9讲 对数与对数函数 第10讲 幂函数与函数的图象

第11讲

函数与方程

/>第12讲 函数模型及其应用 第13讲 导数及其运算 第14讲 导数的应用 第15讲 定积分与微积分基本定理

第二单元

函数与导数

第二单元 │ 知识框架

知识框架

第二单元 │ 知识框架

第二单元 │ 考纲要求 考纲要求
1.函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函 数) (1)函数 ①了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值 域;了解映射的概念. ②在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图 象法、列表法、解析法)表示函数. ③了解简单的分段函数,并能简单应用. ④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义;结 合具体函数,了解函数奇偶性的含义. ⑤会运用函数图象理解和研究函数的性质.

第二单元 │ 考纲要求

(2)指数函数 ①了解指数函数模型的实际背景. ②理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌 握幂的运算. ③理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握 指数函数图象通过的特殊点. ④知道指数函数是一类重要的函数模型.

第二单元 │ 考纲要求
(3)对数函数 ①理解对数的概念及其运算性质,知道 用换底公式能将一般对数转化成自然对数或 常用对数;了解对数在简化运算中的作用. ②理解对数函数的概念,理解对数函数 的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点. ③ 知 道 对 数 函数 是 一 类重 要 的 函数 模 型. ④了解指数函数 y=ax 与对数函数 y= log ax 互为反函数(a>0 且 a≠1).

第二单元 │ 考纲要求

(4)幂函数 ①了解幂函数的概念.
1 1 ②结合函数 y=x,y=x ,y=x ,y=x ,y=x2的图象,了解它们 的变化情况. 2 3

(5)函数与方程 ①结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断 一元二次方程根的存在性及根的个数. ②根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.

第二单元 │ 考纲要求
(5)函数与方程 ①结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联 系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. ②根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近 似解. (6)函数模型及其应用 ①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知 道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含 义. ②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段 函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.

第二单元 │ 考纲要求
2.导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ①了解导数概念的实际背景. ②理解导数的几何意义.
(2)导数的运算 ①能根据导数定义求函数 y=C(C 为常数), =x, y y=x2, 1 3 y=x ,y=x,y= x的导数. ②能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的 四则运算法则求简单函数的导数.

第二单元 │ 考纲要求
常见基本初等函数的导数公式: C′=0(C 为常数);(xn)′=nxn - 1 ,n∈N + ;(sinx)′=cosx; (cosx)′=-sinx; 1 (ex)′=ex ;(ax)′=axln a(a>0,且 a≠1);(ln x)′= x ; 1 (logax)′=xlogae(a>0,且 a≠1). 常用的导数运算法则: 法则 1:[u(x)± v(x)]′=u′(x)± v′(x). 法则 2:[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x). ?u?x?? u′?x?v?x?-u?x?v′?x? ? ? 法则 3:? (v(x)≠0). ?′= v2?x? ?v?x??

第二单元 │ 考纲要求
(3)导数在研究函数中的应用 ①了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的 单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). ②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用 导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次); 会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过 三次). (4)生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题. (5)定积分与微积分基本定理 ①了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解 定积分的概念; ②了解微积分定理的含义.

第二单元 │ 命题趋势 命题趋势

纵观近几年新课标各省市的高考试卷,函数的主干知识、函 数的综合应用函数与导数以及函数与方程的重要思想方法的考查, 一直是高考的重点内容之一,在选择题、填空题、解答题中都有 函数试题,其特点是:稳中求变,变中求新、新中求活,试题设 计既有传统的套用定义、简单地使用性质的试题,也有挖掘本质, 活用性质,出现了不少创新情境、新定义的信息试题,以及与实 际密切联系的应用题,和其他知识尤其是数列、不等式、几何等 知识交汇的热点试题. 另外还具有以下特点:

第二单元 │ 命题趋势
1.以具体的二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等函数的 概念、性质和图象为主要考查对象,适当考查分段函数、抽象函数; 2.把函数知识与方程、不等式、解析几何等内容相结合,重点 考查学生的推理论证能力、运算求解能力和数学综合能力; 3.突出考查等价转化、函数与方程、分类讨论、数形结合、待 定系数法、配方法、构造法等数学思想方法; 4.在选择题和填空题中出现,主要以导数的运算、导数的几何
意义、导数的应用为主(研究函数的单调性、极值和最值等); 5.在解答题中出现,有时作为压轴题,主要考查导数的综合 应用,往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起, 考查学生的分类讨论,转化化归等思想.

第二单元 │ 命题趋势
函数是高中数学的主要内容,它把中学数学的各个分支紧密 地联系在一起,是中学数学全部内容的主线,预测2012年高考在 选择题、填空题中主要考查函数的概念、性质和图象、导数的概 念及运算,解答题主要以函数为背景,与导数、不等式、数列、 甚至解析几何等知识相整合设计试题,考查函数知识的综合应. 预测2012年高考试题对本部分内容的考查将以小题和大题的形式 出现,小题主要考查导数的概念、几何意义、导数的运算,大题 主要以函数为背景,以导数为工具,考查应用导数研究函数的单 调性、极值或最值问题,在函数、不等式、解析几何等知识网络 交汇点命题.

第二单元 │ 使用建议
1.编写意图 “函数”是高中数学中起连接和支撑作用的主干知识, 也是进一步学习高等数学的基础,其知识、观点、思想和方 法贯穿于高中代数的全过程, 同时也应用于几何问题的解决. 因此,在高考中函数是一个极其重要的部分,函数的复习也 是高三数学第一轮复习的重头戏. 编写中注意到以下几个问题: (1)考虑到该部分内容是第一轮初始阶段复习的知识, 因 此在选题时注重基础题为主,尽量避免选用综合性强,思维 难度大的题目; (2)函数与方程、分类讨论、数形结合、化归转化等数学 思想与方法,在本单元中均有涉及,充分体现了数学思想是 本书的精髓的理念;

第二单元 │ 使用建议
(3)从近几年高考看来,涉及该部分内容的新情景、新

定义的信息迁移题以及实际应用问题是高考的一个热点话 题,因此适当加入了类似的题目; (4)突出了函数性质的综合应用,在第 6 讲复习完函数 的性质后,专门设置了涉及函数性质综合应用的课时作业. (5)为体现导数在研究函数中的作用,专门设置了以该 内容为主的滚动基础训练; (6)有意识地将解析几何中切线、最值问题,函数的单 调性、极值、最值问题,二次函数,方程,不等式,代数不 等式的证明等进行交汇, 特别是精选一些以导数为工具分析 和解决一些函数问题, 切线问题的典型问题, 充分体现导数 的工具性.

第二单元 │ 使用建议
2.教学指导 高三函数复习不是简单的知识重复,而是再认识,再提高的过 程,复习中的最大矛盾是时间短,内容多,要求高,而且高一学习 函数时是走马观花,匆匆而过,这就要求在上复习课时既要做到突 出重要点, 抓住典型, 又能在高度概括中深刻揭示知识的内在联系, 使学生在掌握规律中理解、记忆、熟练、提高,因此教师在引导学 生复习该部分时,对各层次知识点要把握准确,切忌追求难题、偏 题和怪题. 教学时,注意到如下几个问题: (1)突出《考纲》的导向性作用:引导学生研读《考纲》 ,即不 仅老师对《考纲》中对函数的考查要求要了如指掌,学生也必须十 分明确,知道自己该在哪些方面下工夫,明确自己的任务和方向, 以使自己的复习目标和复习行为与老师的要求合拍, 减少师生之间 的无谓的内耗,与高考先来次“零接触”.

第二单元 │ 使用建议
(2)重视教材的基础作用和示范作用:函数客观题一般直 接来源于教材,往往就是课本的原题或变式题,主观题的生 长点也是教材,在函数复习备考中重视教材中一些有典型意 义又有创新意识的题目作为函数复习过程中的范例与习题, 贯彻“源于课本,高于课本”的原则. (3)阐明知识系统,掌握内在联系:知识的整体性是切实 掌握函数知识的重要标志,函数概念、图象和性质是环环相 扣,紧密相连,互相制约的,并形成了一个有序的网络化的 知识体系,这就要求在复习过程中应在这个网络化的体系中 去讲函数的概念、性质、公式、例题,只有这样,学生对概 念、性质的理解才是深刻的、全面的,记忆才是鲜明的、牢 固的、生动的,应用起来才是灵活的、广泛的.

第二单元 │ 使用建议
(4)重视渗透数学的思想方法:数学思想和方法是数学知识在 更高层次上的抽象和概括,单纯的知识教学只能是学生知识的积 累,而思想和方法的教学则潜移默化于能力的提高过程中,函数这 一部分重要的数学思想方法有函数与方程思想、分类讨论思想、等 价转化思想、数形结合的思想,数学方法有配方法、换元法、待定 系数法、比较法、构造法等.数学思想方法是以具体的知识为依托 的,在复习教学中,要重视知识的形成过程,着重研究解题的思维 过程, 有意识的渗透思想方法, 使学生从更高层次去领悟, 去把握, 去反思数学知识,增强数学意识,提高数学能力. (5)重视几类特殊函数:抽象函数、分段函数理解研究起来比 较困难,但是这类问题对培养学生观察能力,有十分重要的作用, 近几年来高考无论是客观题还是主观题中都有涉猎. (6)引导学生按考试要求的三个层次进行导数复习,不能停留 在简单地复习导数的知识和应用上.

第二单元 │ 使用建议

3.课时安排 本单元共 12 讲,其中第 6 讲 2 个课时,其余每讲建议 1 课时完成,两个滚动基本训练各 1 个课时,一个单元能力训 练卷 1 课时完成,因此建议 16 课时完成复习任务.

第4讲 │ 函数及其表示

第4讲 函数及其表示

第4讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.函数 (1)函数的定义:设A、B都是非空的数集,如果按照某种确 定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中 都有_____________的f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从 唯一确定 集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x叫做 自变量, x的取值范围A叫做函数f(x)的________,与x的值相 定义域 对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数f(x) 的______,显然,{f(x)|x∈A}?B. 值域 (2)构成函数的三要素是:________、__________、 值域 定义域 对应关系 ______. 解析法 列表法 图象法 (3)函数的表示方法:________、________、________.

第4讲 │ 知识梳理
2.映射的定义:设A、B是两个非空的集合,如果按照 某一种确定 任意一个 ___________的对应关系f,使对于集合A中的_________元 素x,在集合B中都有________元素y和它对应, 那么就称对 唯一的 应f:A→B叫做从集合A到集合B的一个映射. 特殊 映射与函数的关系:函数是______的映射. 3.分段函数 分段函数的理解:函数在它的定义域中对于自变量x的不同 表示的式子 取值,____________可以不止一个,即对应法则“f”是分几段 给出表达的,它是一个函数,不是几个函数. 并集 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的______,其值 并集 域等于各段函数的值域的______. 4.函数解析式的求法 待定系数法 换元法 配方法 求函数解析式的常用方法:___________、_______、 ______、赋值法和函数方程法.

第4讲 │ 知识梳理
5.常见函数定义域的求法 全体实数 (1)整式函数的定义域为__________; 零 (2)分式函数的分母不得为____; 非负数 (3)开偶次方根的函数被开方数为________; 大于零 (4)对数函数的真数必须_______; 大于零且不等于1 (5)指数函数与对数函数的底数必须________________;
π kπ+ ,k∈Z 2 (6)三角函数中的正切函数y=tanx,x∈R,且x≠____________;

实际意义 (7)如果函数是____________确定的解析式,应依据自变量的实 际意义确定其取值范围; (8)对于抽象函数,要用整体的思想确定自变量的范围; (9)对于复合函数y=f[g(x)],若已知f(x)的定义域为[a,b], a≤g(x)≤b 其复合函数f[g(x)]的定义域是不等式__________的解集.

第4讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 函数与映射的概念

例1 已知集合A ={1,2,3,4},B={5,6,7},在下列A到B的四 种对应关系中,构成A到B的函数的是________.

图4-1

第4讲 │ 要点探究
[思路]利用函数的定义中的两个条件判断对应是否为函数. (1)(3) [解析] 对于(1),集合A中的每一个元素在B中都有唯 一的元素与之对应,因此(1)是函数;对于(2),集合A中的元素4 在B中没有元素与之对应,因此(2)不是函数;对于(3),集合A中 的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应,因此(3)是函数; 对于(4),集合A中的元素3在B中有两个元素与之对应,因此(4) 不是函数. [点评] 判断一个对应关系是否是映射或函数关系,关键抓 住两个关键词“任意”、“唯一”,即x的任意性和y的唯一性,判断 一个图象是否是函数图象也是如此,如:

第4讲 │ 要点探究
设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出图4-2中四 个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有

图4-2 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

第4讲 │ 要点探究
B [解析] 根据函数的定义逐一判断. 对于图(a),M中属于(1,2]的元素,在N中没有元素有它对应, 不符合定义; 对于图(b),M中任何元素,在N中都有唯一的元素和它 对应,符合定义; 对于图(c),与M对应的一部分元素不属于N,不符合定 义; 对于图(d),M中属于[0,2)的元素,在N中有两个元素与之对 应,不符合定义, 由上分析可知,应选B.

第4讲 │ 要点探究
? 探究点2 函数的定义域的求法 3x2 例 2 (1)[2010·河西模拟] 函数 f(x)= 2 1-x -3x )的定义域是( )
A.
? 1 ? ?- ,2? ? 3 ? ? 1? ?-2, ? 3? ?

+lg(2+5x

B.

? 1 ? ?- ,1? ? 3 ? ? 1? ?-∞,- ? 3? ?

C.

D.

第4讲 │ 要点探究
(2)[2010· 天津六校联考] 定义两种运算:a⊕b= a2-b2, 2⊕x 2 a b= ?a-b? ,则函数 f(x)= 的解析式为( ) ?x 2?-2 x2-4 ? ? ? ? ?-∞,-2?∪?2,+∞? A.f(x)=- x ,x∈? ? ? ? x2-4 ? ? ? ? B.f(x)= x ,x∈??-∞,-2??∪??2,+∞?? 4-x2 ? ? ? ? ?-2,0?∪?0,2? C.f(x)=- x ,x∈? ? ? ? 4-x2 ? ? ? ? D.f(x)= x ,x∈??-2,0??∪??0,2??

第4讲 │ 要点探究
(3)[2010·合肥模拟] 已知函数 f(2x)定义域是[1,2],则函数 f(log2x)的定义域为________.
[思路] (1)(2)是根据函数解析式求其定义域,只要根据使函数表 达式有意义的条件, 列出不等式(组), 再求解得到自变量的取值范围; (3)由 f(2x)的定义域求得 f(x)的定义域,然后根据 f(x)的定义域求 f(log2x)的定义域

(1)B (2)C (3)[4,16] (1)[解析] 要使函数解析式有意义,则 ?1-x>0, ? 1 ? ? 1 ? 解得- <x<1,因此函数的定义域为?-3,1?; 3 ?2+5x-3x2>0, ? ? ? 2⊕x 4-x2 (2) 根 据 运 算 的 定 义 可 知 , f(x) = = = ?x? 2 ?-2 ?2-x?2-2
?4-x2≥0, 4-x2 ? ,要使函数解析式有意义,则? 解得 ?|2-x|-2≠0, |2-x|-2 ?

第4讲 │ 要点探究
?4-x2≥0, 4-x2 ? ,要使函数解析式有意义,则? 解得 ?|2-x|-2≠0, |2-x|-2 ?

-2≤x<0 或 0<x≤2,因此函数的定义域为[-2,0)∪(0,2],故选 C. (3)∵f(2x)的定义域为[1,2],因此函数 f(x)的定义域为[2,4],由 2≤log2x≤4,解得 4≤x≤16,因此函数 f(log2x)的定义域为[4,16].

[点评] (1)由函数解析式求定义域, 关键是列出使函数有意义的条 件,解出各条件中自变量取值范围,并结合数轴求得它们的交集,从 而得到函数的定义域;(2) 若函数 f(x)的定义域为[a,b],则复合函数 y=f[g(x)]的定义域是不等式 a≤g(x)≤b 的解集;(3)函数的定义域应 写成区间或集合的形式.对于已知函数定义域求字母参数问题,可转 化为恒成立问题求解,如下面的变式题.

第4讲 │ 要点探究

(1)函数 y= kx2-6x+k+8的定义域为 R,则 k 的取值 范围是( ) A.k≥0 或 k≤-9 B.k≥1 C.-9≤k≤1 D.0<k≤1
x-4 (2)若函数 f(x)= 2 的定义域为 R,则实数 m 的取值 mx +4mx+3 范围是________.

第4讲 │ 要点探究

(1)B

? 3? ?0, ? (2) 4? ?

[解析] (1)∵kx2-6x+k+8≥0 恒成立,k≤0 解得 k≥1.

?k>0, ? 显然不符,∴? ?Δ=36-4k?k+8?≤0, ?

x-4 (2)若 m=0,f(x)= 的定义域为 R;若 m≠0,则方程 mx2+ 3 3 4mx+3=0 无解,Δ=16m2-12m<0,得 0<m< ,综上可知,所求的 4 ? 3? ?0, ?. 范围为 4? ?

第4讲 │ 要点探究
? 探究点3 函数的值域的求法
) 1 例 3 (1)[2010·佛山模拟] 函数 f(x)=x(x>1)的值域是( A.(-∞,0)∪(0,+∞) B.R C.(1,+∞) D.(0,1) (2)函数 y=4- 3+2x-x2的值域是________. (3)函数 y=x+ 1-2x的值域是________.

[思路] (1)利用函数的单调性或结合函数的图象求值域;(2) 利用配方法求值域;(3)利用换元法法求值域. (1)D (2)[2,4] (3)(-∞,1] 1 [解析] (1)解法一:反比例函数 f(x)=x在区间(1,+∞)上是单调 减函数,因此函数的值域为(0,1).

第4讲 │ 要点探究
1 解法二: 在平面直角坐标系中, 作出反比例函数 f(x)=x的图象, 观察函数图象,当 x>1 时,函数的值域为(0,1).

(2) y=4- 3+2x-x2=4- -?x-1?2+4,∵0≤-(x-1)2+ 4≤4,∴0≤ -?x-1?2+4≤2,∴原函数的值域为[2,4]. 1-t2 1-t2 1 (3)设 t= 1-2x,t≥0,则 x= ,∴y= +t=- (t-1)2 2 2 2 +1,当 t=1 时,ymax=1, ∴原函数的值域为(-∞,1].

第4讲 │ 要点探究

(1)已知 a 是实数,则下列函数中,定义域和值域都可能 是 R 的是( ) A.y=x2+a B.y=ax2+1 C.y=ax2+x+1 D.y=x2+ax+1 (2)函数 f(x)=x+|x-2|的值域是________.

第4讲 │ 要点探究

(1)C (2)[2,+∞) [解析] (1)对任意实数 a,选项 A、D 对应 的函数都为二次函数,其值域不可能为 R;对于 B,当 a=0 时,函 数为常函数,当 a≠0 时,函数为二次函数,值域都不可能是 R,故 选 C. (2)当 x∈(-∞,2]时,f(x)=2;当 x∈(2,+∞)时,f(x)=2x -2>2,故 f(x)的值域是[2,+∞).

第4讲 │ 要点探究
? 探究点4 函数的值域的求法
例 4 (1)已知 f (x)是一次函数,并且满足 3f (x+1)-2f (x-1)=2x +17,求函数 f (x)的解析式; ? 1? 1 ?x- ?=x2+ 2,求函数 f (x)的解析式; (2)若 f x? x ? (3)已知 f(x)+2f(-x)=3x-2,求 f (x)的解析式; (4)已知 f (sinx)=cos2x,求 f(x)的解析式. [思路] (1)已知函数的类型,利用待定系数法求解;(2)利用配凑法求 解;(3)利用解方程组法求解;(4)利用换元法求解. [解答] (1)设 f(x)=ax+b(a≠0), 则 3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+5a+b, 又 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, ?a=2, ? 比较系数得? 解得 a=2,b=7, ?5a+b=17, ? 所以所求函数的解析式为 f(x)=2x+7.

第4讲 │ 要点探究

(2)f

? 1? 1? 1 ? ?x- ?=x2+ 2=?x- ?2+2,用 x? x? x ? ?

1 x 代换 x-x得 f (x)=x2+2,即

为所求的函数 f (x)的解析式. (3) 以 - x 代 x 后 所 得 等 式 与 原 等 式 组 成 方 程 组 ?f?x?+2f?-x?=3x-2, ? 2 ? 解得 f (x)=-3x- . 3 ?f?-x?+2f?x?=-3x-2, ? (4)令 t=sinx,t∈[-1,1],则 cos2x=1-sin2x=1-t2,∴f(t) =-1 =t2,t∈[-1,1],故 f(x)= 1-x2,x∈[-1,1].

第4讲 │ 要点探究
? 探究点5
例 5 已知 f

分段函数
?x-1,x>0, ? 2 (x)=x -1,g(x)=? ?2-x,x≤0. ?

(1)求 f [g(2)]和 g[ f (2)]的值; (2)当 x>0 时,求 f [ g(x)]; (3)求 g[ f (x)]的表达式.

[思路] 利用自变量的取值范围,分段代入解析式求解. [解答] (1)g(2)=2-1=1,f[g(2)]=f(1)=12-1=0,f(2)=22-1=3, g[f(2)]=g(3)=3-1=2. (2)当 x>0 时,g(x)=x-1, f[g(x)]=f(x-1)=(x-1)2-1=x2-2x.

第4讲 │ 要点探究

(3)当 x>1 或 x<-1 时,x2-1>0, ∴g[f(x)]=g(x2-1)= (x2-1) -1=x2-2. 当-1≤x≤1 时,x2-1≤0, ∴g[f(x)]=g(x2-1)=2-(x2-1)=-x2+3, ?x2-2,x>1或x<-1, ? 故 g[f(x)]=? ?-x2+3,-1≤x≤1. ?

第4讲 │ 规律总结 规律总结
1.判断一个对应是否为映射关键看是否满足“集合A中元素 的任意性,集合B中元素的唯一性”;判断是否为函数一看是否 为映射;二看A、B是否为非空数集. 2.求函数解析式常用的方法有: (1)待定系数法;(2)换元法;(3)配凑法;(4)消参法. 3.求函数定义域常有三类问题: (1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的 自变量取值的集合; (2)实际问题:函数的定义域的求解,除要考虑解析式有意 义外,还应考虑使实际问题有意义;

第4讲 │ 规律总结

(3)复合函数:已知f(x)定义域求f(g(x))定义域或已知f(g(x)) 定义域求f(x)定义域问题,关键抓住一条:同一对应关系符号里 面式子范围相同,即f(g(x))中g(x)相当于f(x)中的x. 4.解决分段函数问题既要紧扣“分段”这个特征,又要将各 段有机联系使之整体化、系统化,还要注意每一区间端点的取值 情况.

第5讲 │函数的单调性与最值

第5讲

函数的单调性与最值

第5讲 │知识梳理 知识梳理
1.函数的单调性及性质 (1)定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义 x1<x2 域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当___________ f(x1)>f(x2) f(x1)<f(x2) 时, 都有___________(_____________), 那么就说 f(x)在区间 D 上是 增函数 减函数 _________(_________).如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或 是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. (2)单调性定义的等价形式:设 x1,x2∈[a,b],x1≠x2,那么(x1 f?x1?-f?x2? -x2)[f(x1)-f(x2)]>0? >0?f(x)在[a,b]是______;(x1 - 增函数 x1-x2 f?x1?-f?x2? 减函数 x2)[f(x1)-f(x2)]<0? <0?f(x)在[a,b]是______; x1-x2

第5讲 │知识梳理
(3)设复合函数y=f,其中u=g(x).如果y=f(u)和u=g(x) 增 的单调性相同,那么y=f是____函数;如果y=f(u)和u=g(x)的 减 单调性相反,那么y=f是____函数. (4)利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般 步骤: ①任取x1,x2∈D,且x1<x2;②作差; ③变形(通常是因式分解和配方); ④判断符号(即判断f(x1)-f(x2)的正负); ⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). (5)判断方法: ①定义法:在区间I上,函数值y随x的增大而增大,则函数在区 间I上为______,函数值y随x的增大而减小,则函数区间I上为 增函数 减函数 ______;

第5讲 │知识梳理
②图象法:在区间I上,如果函数的图象从左向右是上升的,则 函数在区间I上为______,如果函数的图象从左向右是下降的, 增函数 则函数在区间I上为______; 减函数 ③导数法:设函数y=f(x)在某区间I内可导,若f′(x)>0,则函数y =f(x)为区间I上的______,若f′(x)<0,则函数y=f(x)为区间I上 增函数 减函数 的______; ④运算法:在公共定义域内,增函数+增函数=______,减函 增函数 数+减函数=______; 减函数 ⑤复合函数单调性的判断方法:“同增异减”,即若y=f(x)和u= g(x)的单调性相同,则函数y=f(g(x))是_______,若y=f(x)和u 增函数 =g(x)的单调性相反,则函数y=f(g(x))是______; 减函数

第5讲 │知识梳理

(6)简单性质:奇函数在其关于原点对称区间上的单调性 相同 相反 _______,偶函数在其关于原点对称区间上的单调性_______.
2.函数的最值 对于函数f(x),假定其定义域为A,则 (1)若存在x0∈A,使得对于任意x∈A,恒有f(x)≥f(x0)成立,则 最小值 称f(x0)是函数f(x)的________; (2)若存在x0∈A,使得对于任意x∈A,恒有f(x)≤f(x0)成立,则 最大值 称f(x0)是函数f(x)的_________.

第5讲 │要点探究 要点探究
? 探究点1 判断、证明函数的单调性 例1 [ 2010· 黄浦模拟] 已知a、b是正整数,函数f(x)=ax +(x≠-b)的图象经过点(1,3). (1)求函数f(x)的解析式; (2)判断函数f(x)在(-1,0]上的单调性,并用单调性定义证明 你的结论.
[思路] (1)利用函数过定点以及 a,b 为正整数,求得 a,b 的值,从而得到函数 f(x)的解析式;(2)严格按照用定义证明单调 性的步骤进行.

第5讲 │要点探究
[解答] (1)由函数 f(x)=ax+ 2 3=a+ ,则(3-a)(b+1)=2. 1+b 又 a、b 均为正整数, 故
?3-a=1, ? 3-a>0,b+1≥2.于是,必有? ?b+1=2, ? ?a=2, ? 即? ?b=1. ?

2 (x≠-b)的图象过点(1,3)知 x+b

2 所以 f(x)=2x+ (x≠-1). x+1 2 (2)结论:f(x)=2x+ (x≠-1)在(-1,0]上是减函数. x+1 证明: x1, 2 是(-1,0]内的任意两个不相等的实数, x1<x2. 设 x 且

第5讲 │要点探究
? 2 ? 2 ? ? 则 f(x1)-f(x2)=2x1+ -?2x2+x +1? x1+1 ? 2 ? 2?x2-x1? =2(x1-x2)+ ?x1+1??x2+1? x2+x1?1+x2? =2(x1-x2)· . ?x1+1??x2+1? 又-1<x1≤0, -1<x2≤0, 1<x2, x1-x2<0,1+x1>0,1+x2>0, x 故 x2+x1(1+x2)<0. x2+x1?1+x2? 于是,2(x1-x2)· >0, ?x1+1??x2+1? 即 f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2). 2 所以,函数 f(x)=2x+ (x≠-1)在(-1,0]上是减函数. x+1

第5讲 │要点探究

[点评] 用定义证明单调性必须走程序化的步骤,其关键一步 是对 Δy 变形,变形的目的是能够判断 Δy 的符号,为此常:①多 项式分解因式或配方;②分式通分后分子、分母因式分解;③根 式分母或分子有理化;④幂、指、对数要用各自的运算法则. 判断含有参数的函数的单调性,需注意对参数进行讨论以及 确定分类讨论的依据是什么, 应根据具体的题目进行具体的分析, 比如下面的变式题.

第5讲 │ 要点探究
判断函数f(x)=x+(a≠0)在区间上的单调性,并用 定义加以证明.
[解答] 当 a>0 时,函数在( a,+∞)上是增函数,在(0, a) 上是减函数,当 a<0 时,函数在(0,+∞)上是增函数. a?x1-x2? a a 证明:f(x2)-f(x1)=x2+ -x1- =(x2-x1)+ =(x2 x2 x1 x1x2 ?x1x2-a? ? -x1)? ? x x ?. ? 1 2 ? 当 a>0 时,若 a<x1<x2,则 x1x2>a, ?x1x2-a? ? ∴(x2-x1)? ? x x ?>0, ? 1 2 ? 即 f(x2)>f(x1), 若 0<x1<x2< a,则 0<x1x2<a,

第5讲 │ 要点探究
?x1x2-a? ? ? ∴(x2-x1)? <0,即 x1x2 ? ? ?

f(x2)<f(x1).

所以函数在( a,+∞)上是增函数,在(0, a)上是减函数; 当 a<0 时,∵0<x1<x2,∴x1x2>0, ?x1x2-a? ? ? 又-a>0,∴(x2-x1)? ?>0, ? x1x2 ? 即 f(x2)>f(x1), ∴函数在(0,+∞)上是增函数.

第5讲 │要点探究
? 探究点2 抽象函数与复合函数的单调性

例 2 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足: (1)对于任意 x, y∈R, 都有 f(x+y)=f(x)+f(y);(2)当 x>0 时,f(x)<0 且 f(1)=-2. (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

[思路] (1)对抽象函数关系式中的 x,y 正确合理的赋值后, 利用单调性的定义证明;(2)利用函数的单调性求最值. [解答] (1)证明:任取 x1<x2,由条件(1)得 f(x2)=f[(x2-x1) +x1]=f(x2-x1)+f(x1),∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1),∵x2-x1>0, 由条件(2)得 f(x2-x1)<0,

第5讲 │ 要点探究

∴f(x2)<f(x1),∴f(x)在 R 上单调递减. (2)在(1)中,令 x=y=0,得 f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0, 再令 y=-x 得 f(x-x)=f(x)+f(-x), ∴f(-x)=-f(x),因此 f(x)为奇函数, ∴f(x)max =f(-3)=-f(3)=-f(1+2)=-f(1)-f(2)=-f(1) -f(1)-f(1)=-3f(1)=6,f(x)min=f(3)=-f(-3)=-6.

第5讲 │要点探究
?ax ?x>1?, ? 例 3 (1)[2010· 湖州模拟] 若 f(x)=?? 是R上 a? ?4- ?x+2?x≤1? ?? 2? ? 的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为( ) ? ? A.(1,+∞) B.??4,8?? C.(4,8) D.(1,8) (2)求函数 y=log0.7(x2-3x+2)的单调区间.
[解析] 函数 f(x)在 R 上为增函数,则 y=ax 在(1, ? a? +∞)上为增函数,函数 y=?4-2?x+2 在(-∞,1]上为增函 ? ? 数, (1) B

第5讲 │要点探究
?a>1, ? ?4-a>0, ? a? 2 且 a≥?4-2?+2,因此? ? ? ? ? a? ?a≥?4- ?+2, ? 2
? ?

解得 4≤a<8.故选 B.

(2)[解答] 函数 y=log0.7(x2-3x+2)的定义域为(-∞,1)∪(2, +∞).令 t=x2-3x+2,y=log0.7t, 显然 y=log0.7t 在(0,+∞)上是单调递减的,而 t=x2-3x+2 在 (-∞,1),(2,+∞)上分别是单调递减和单调递增的,根据复合函 数的单调性的规则可知: ? ? 函数 y=log0.7(x2-3x+2)的单调递增区间为??-∞,1??, 单调递减 ? ? 区间为??2,+∞??.

第5讲 │ 要点探究
函数 f(x)(x∈R)的图象如图 5-1 所示,则函数 g(x)= f(logax)(0<a<1)的单调减区间是( )
A.
? 1? ?0, ? 2? ?

?1 ? ? ,+∞? B.(-∞,0)∪ 2 ? ?

[思路] 利用函数图象得到 f(x)的单调性,并结合判断复合 函数单调性规则求解. C [解析] 函数 y=logax(0<a<1)在定义域内为减函数,而函数 ? ?1 ? 1? ?0, ?为增函数,在 ? ,+∞?上是减函数,故 g(x) f(x)在 和2 2? ? ? ?

C.[ a,1] D.[ a, a+1]

图5-1

1 (0. ) 在 2 上为减函数,由

1 0<logax< ,得 a<x<1,因此函数 g(x) 2 =f(logax)(0<a<1)在[ a,1]上为减函数.

第5讲 │要点探究
? 探究点3 与单调性有关的参数问题

例 4 设函数 f(x)=ax2+bx+1(a、b∈R). (1)若 f(-1)=0,且对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立,求实数 a、b 的值; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函 数,求实数 k 的取值范围. [解答] (1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,即 b=a+1. 又对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立, ∴Δ=b2-4a≤0 恒成立, 即(a-1)2≤0 恒成立,∴ a=1,b=2. (2)由(1)可知 f(x)=x2+2x+1, ∴g(x)=x2+(2-k)x+1.

第5讲 │要点探究
∵ g(x)在 x∈[-2,2]时是单调函数, ? ?k-2 ? k-2? ? ? ? ? ∴[-2,2]??-∞, 或[-2,2]?? ,+∞?. 2 ? ? ? ? 2 ? k-2 k-2 ∴2≤ 或 ≤-2, 2 2 即实数 k 的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞). [点评] 已知函数的单调性求函数解析式中参数的取值范围的 基本方法有两个: (1)根据函数单调性的特点,若是一次函数要注意考查一次项 的系数,若是二次函数要注意考查其对称轴及开口方向等. (2)利用导数方法.

第5讲 │要点探究
? 探究点4 利用函数单调性求最值

1 1 例 5 已知 f(x)=a-x(x>0). (1) 求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若函数 f(x)的定义域和值域都是[m,n],则称 f(x)是正方 ?1 ? 形函数. 试问, 是否存在实数 a, f(x)在?2,2?上为正方形函数, 使 ? ? 若存在,求 a 的值,若不存在,说明理由.

第5讲 │要点探究
[解答] (1)证明:令 x2>x1>0,则 x2-x1>0,x1x2>0,又 f(x2) ?1 1 ? ?1 1 ? 1 1 x2-x1 -f(x1)=?a-x ?-?a-x ?= - = >0,即 f(x2)>f(x1),故 x1 x2 x1x2 ? ? 2? 1? 函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数, ?1 ? (2)设存在 a,使 f(x)在?2,2?为正方形函数,又 f(x)在(0, ? ? 1 ?1 ?a-2=2, 2 +∞)上是增函数,因此? 解得 a= ,因此存在 5 1 1 ? - =2, ?a 2 ?1 ? 2 a= ,使 f(x)在?2,2?为正方形函数. 5 ? ?

第5讲 │规律总结

1.求函数的单调区间,讨论函数的单调性时要注意以下两 点: (1)必须在定义域内进行,即函数的单调区间是定义域的子 集; (2)常转化为熟悉函数的单调性,因此,掌握并熟记一次函 数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、 三角函数的单调性,将大大缩短我们的判断过程. 2.单调性是函数在某一区间上的“整体”性质,因此,定 义中的 x1,x2 具有任意性,不能用特殊值代替.

第5讲 │规律总结

3.已知函数单调性求参数范围的问题,解法是根据单调性 的概念得到恒成立的不等式,还要注意定义域的限制,并挖掘 题目的隐含条件. 4.利用函数的单调性求函数的值域或最值时一定要注意函 数的定义域.除函数的单调性外,求函数最值的方法还有:不 等式法,三角代换法,配方法,导数法,数形结合法等,需多 总结各种题型与方法的相互搭配.

第6讲 │函数的奇偶性和周期性

第6讲 函数的奇偶性和周期性

第6讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.函数的奇偶性 (1)函数奇偶性的定义 f(-x)= - f(x) 如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有_____________, 则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有 __________,则称f(x)为偶函数. f(-x)=f(x) 如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有奇偶性;如果 奇函数 函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是________,又是 ________. 偶函数

第6讲 │ 知识梳理

(2)利用定义判断函数奇偶性的步骤 ①首先确定______________,并判断其定义域是否关于 函数的定义域 _____对称; 原点 f(x) f(-x) ②确定______与_____的关系; ③作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =- f(x)或f(-x) + f(x) =0,则f(x) 是奇函数

第6讲 │ 知识梳理
(3)函数奇偶性的简单性质 原点 y轴 ①奇函数的图象关于_____对称;偶函数的图象关于_____ 对称; ②在定义域的公共部分内,两个奇函数之积(商)为________; 偶函数 偶函数 两个偶函数之积(商)也是________;一奇一偶函数之积(商) 奇函数 为________(注:取商时应使分母不为0); ③奇(偶)函数有关定义的等价形式: f(-x)=-f(x) f(-x) + f(x) =0( ) (f(x) ≠0); ④若函数y= f(x)是奇函数且0是定义域内的值,则f(0)=__; 0 若函数f(x)是偶函数,则有f(|x|)= f(x) .

第6讲 │ 知识梳理

(4)一些重要类型的奇偶函数 偶 ①函数f(x) =ax+a-x(a>0且a≠1)为____函数,函数f(x) =ax-a-x(a>0且a≠1)为____函数; 奇 ②函数f(x) =log1-x (a>0,且a≠1)为奇函数; a
1+x

③ f(x) =loga(x+ x2+1 )(a>0,且a≠1)为奇函数

第6讲 │ 知识梳理

2.周期性 (1)定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域 f(x+T)=f(x) 内的任意x,都有____________,则称f(x)为周期函数,其 中T称为f(x)的周期.若T中存在一个最小的正数,则称它为 最小正周期 f(x)的____________. ? ? ? T? ? ? ? =f T? ; (2)性质:①f(x+T)= f(x)常常写作f?x+ ? ?x- 2 ? 2? ? ? ? ② f(x)的周期为T,则函数f(wx)(w≠0)也是周期函数,且周
T |w| 期为____.

第6讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1
2

判断函数的奇偶性

例1 判断下列函数的奇偶性:
2 (1)y=x - 2; x
(2)y= x2-1+ 1-x2;

(3)y=(x-1)

1-x ; 1+x

lg1-x2? (4)y= |x-2|-2

第6讲 │ 要点探究
[思路] 从定义域入手,在定义域关于原点对称的情况 下,判断 f(x)与 f(-x)的关系. [解答] (1)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于 2 2 ? ? 2 ?-x?2- 原点对称,又 f(-x)=? ? ? =x - 2=f(x),∴函数 y ? ?-x?2 x ? ? 2 2 =x - 2是偶函数; x ?x2-1≥0, ? (2)由? 得 x=± 1,∴函数的定义域为{1, ?1-x2≥0, ?
-1},关于原点对称,又 y= x2-1+ 1-x2=0, ∴f(-x)=-f(x)=f(x)=0,∴函数 y= x2-1+ 1-x2 既是奇函数又是偶函数;

第6讲 │ 要点探究
1-x (3)由 ≥0,得-1<x≤1,∴函数的定义域为(-1, 1+x 1-x 1],不关于原点对称,∴函数 y=(x-1) 既不是奇函 1+x 数又不是偶函数; ?1-x2>0 ? (4)由? ,得-1<x<0 或 0<x<1,∴函数的 ?|x-2|-2≠0 ? 定义域为(-1, 0)∪(0, 关于原点对称, 1), 又|x-2|=2-x, ? ? ?2? 2 2 ?1-?-x? ? lg?1-x ? lg?1-x ? lg? ? ? ? ∴y= =- , ∴ f( - x) = = x x |x-2|-2 lg?1-x2? lg?1-x2? =-f(x),∴函数 y= 为奇函数. x |x-2|-2

第6讲 │ 要点探究

[点评]判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大, 解决问题时应先考察函数的定义域,若函数的定义域不关于原 点对称,则函数不具有奇偶性;若定义域关于原点对称,再判 断f(-x)与f(x)的关系;若定义域关于原点对称,且函数的解析 式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要 保证定义域不变).

第6讲 │ 要点探究
?ln? x+1- x??x>0?, ? 例2 (1)判断函数 f(x)=?0 ?x=0?, ? ?ln? 1-x+ -x??x<0?

的奇偶性.

(2)[2010· 保定模拟] 已知函数y=f(x)是定义在R上的不恒 为零的函数,且对于任意x1,x2∈R,都有f(x1· 2)=x1f(x2)+ x x2f(x1),则对函数f(x),下列判断正确的是( ) A. f(x)为奇函数 B. f(x)为偶函数 C. f(x)为非奇非偶函数 D. f(x)既是奇函数又是偶函数

第6讲 │ 要点探究
[思路] (1)分段函数的奇偶性,要将x在每一段的情况都要 验证,然后在整个定义域内得出f(-x)与f(x)的关系. (2)对x1,x2合理赋值,利用函数的性质和已知条件,判断 f(x)与f(-x)的关系.
(1)[解答] 需要分三种情况讨论: ①设 x>0,∴-x<0, ∴f(-x)=ln( 1+x+ x)=ln =-ln( x+1- x)=-f(x); ②设 x<0,∴-x>0, 1 ∴f(-x)=ln( -x+1- -x)=ln 1-x+ -x =-ln( 1-x+ -x)=-f(x); 1 x+1- x

第6讲 │ 要点探究

③当 x=0 时,f(x)=0,也满足 f(-x)=-f(x); 由①、②、③知,对 x∈R 有 f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. (2)A [解析] 令 x1=x2=0,得 f(0)=0,令 x1=x2 =1,得 f(1)=0,令 x1=x2=-1,得 f(-1)=0, 令 x1=x,x2=-1,得 f(-x)=-f(x)+0,因此 f(x) =-f(-x),所以 f(x)是奇函数.

第6讲 │ 要点探究
? 探究点2 函数奇偶性的性质及其应用

例3 [2010· 广州模拟] 已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时, f(x)=x2-x-1,求f(x)的解析式.
[解答] 设 x<0,则-x>0,∴f(-x)=(-x)2-(-x)-1= x2+x-1,又函数 f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)=-f(-x)=-x2-x+1; 当 x=0 时,由 f(0)=-f(0),∴f(0)=0, ?x2-x-1???x>0???, ? ? ? ? ? ∴f ??x??=?0??x=0??, ? ? ? 2 ?-x -x+1??x<0??.

第6讲 │ 要点探究
[2010· 江苏卷] 设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶 函数,则实数a=______. [思路] 利用奇偶函数的性质,得到参数a满足的方 程. -1 [解析] 本题考查函数的基本性质中的奇偶性,该 知识点在高考考纲中为B级要求. 设g(x)=ex+ae-x,x∈R,由题意分析g(x)应为奇函数(奇 函数×奇函数=偶函数), ∵x∈R,∴g(0)=0,则1+a=0,所以a=-1.

第6讲 │ 要点探究
? 探究点3 函数的周期性

例 4 (1)[2010· 山大附中月考] 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函 1 数,并且 f(x+2)=- .当 2≤x≤3 时,f(x)=x,则 f(105.5) f?x? =__________. (2)[2010· 南昌模拟] 定义在 R 上的函数 f(x)不是常数函数, 满足 f(x-1)=f(x+1),f(1+x)=f(1-x),则函数 f(x)( ) A.是奇函数也是周期函数 B.是偶函数也是周期函数 C.是奇函数但不是周期函数 D.是偶函数但不是周期函数

第6讲 │ 要点探究
[思路](1)利用已知条件,求得函数的周期,通过函数的周期性和 奇偶性,将自变量的值转化为在[2,3]内,再计算.(2)利用已知条件所 给的式子,通过变形,并结合奇偶函数与周期函数定义判断. 1 (1)2.5 (2)B [解析] (1)由 f(x+2)=- ,得 f(x+4) f?(x)? 1 =- f?(x)+2? 1 =- =f(x),因此函数 f(x)是以 4 为周期的函数,又 f(105.5) 1 - f?(x)? =f(4× 27-2.5)=f(-2.5),又函数 f(x)是偶函数,因此 f(-2.5) =f(2.5)=2.5. (2)由 f(x-1)=f(x+1), f(x+2)=f(x), 知 所以 f(x)是以 2 为周期的 周期函数,且用 x-1 代替 f(1+x)=f(1-x)中的 x,得 f(x)=f(2-x) =f(-x),∴f(x)是偶函数.故 f(x)是偶函数也是周期函数.

第6讲 │ 要点探究

?

探究点4

函数性质的综合应用

例 5 已知函数 f(x)为偶函数,且关于直线 x=1 对称,当 x ∈[1,2]时,f(x)=2-x. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)求 x∈[-1,1]时,函数 f(x)的表达式; (3)求 x∈[2k-1,2k+1],k∈Z 时,函数 f(x)的表达式; 1 (4)解不等式 f(x)< . 2

第6讲 │ 要点探究

[思路] (1)利用函数周期性的定义证明;(2)要求某一区间上的函 数解析式,一般把 x 设在该区间上,然后利用奇偶性或周期性,转化 到已知的区间上,利用已知的解析式求未知的解析式;(3)解决周期函 数的有关问题,一般转化为解决一个周期内的有关问题,然后推广到 整个定义域范围内.

第6讲 │ 要点探究
[解答] (1)∵函数 f(x)关于直线 x=1 对称, ∴f(x)=f(2-x), 又 f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x), ∴f(-x)=f(2-x),用 x 代替-x,得 f(x)=f(2+x), ∴函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数. (2)若 x∈[-1,0],则 x+2∈[1,2],∴f(x+2)=2-(x+2)=-x,又 f(x+2)=f(x),∴f(x)=-x,又令 x∈(0,1],-x∈[-1,0),∴f(-x)=x, ?x,0<x≤1, ? 又 f(-x)=f(x),∴f(x)=x,∴f(x)=? ? ?-x,-1≤x≤0.

第6讲 │ 要点探究
(3)令 x∈[2k-1,2k+1],k∈Z,则 x-2k∈[-1,1],k∈Z, ?x-2k,2k<x≤2k+1, ? ∴f(x-2k)=? k∈Z,又 f(x)=f(x-2k), ?-x+2k,2k-1≤x≤2k, ?
?x-2k,2k<x≤2k+1, ? 因此 f(x)=? ?-x+2k,2k-1≤x≤2k, ?

k∈Z.
?1? 1 ? ?= , ?2? 2

(4)当 x∈[-1,1]时,f(x)为偶函数,∴f(x)=f(|x|),∵f ∴不等式可化为 f(|x|)<f
?1? ? ?, ?2?

1 1 1 ∵f(x)在[0,1]为增函数,∴|x|< ,解得- <x< , 2 2 2 ? ? ? 1 1 ?x?2k- <x<2k+ ,k∈Z? . ∴原不等式的解集为 2 2 ? ? ?

第6讲 │ 要点探究

[点评]周期函数的研究方法是先研究周期函数在一个周期 上的性质,再将它拓展到整个定义域上,这样,可简化对函数 的研究.

第6讲 │ 规律总结 规律总结
1.判定函数的奇偶性,首先要检验其定义域是否关于原点对 称,然后再严格按照奇偶性的定义经过化简、整理,再将f(-x)与 f(x)比较,得出结论.其中,分段函数的奇偶性应分段证明f(-x)与 f(x)的关系,只有当对称的两段上都满足相同的关系时才能判断其 奇偶性. 2.利用函数的奇偶性、周期性把研究整个定义域内具有的性 质问题转化到只研究部分(一半)区间上的问题,是简化问题的一种 途径. 3.函数的奇偶性常与函数的其他性质及不等式结合出题,运 用函数的奇偶性就是运用函数图象的对称性. 4.要善于发现函数特征,图象特征,运用数形结合,定向转 化,分类讨论的思想,整体代换的手段,从而简化解决问题的程序, 既快又准.

第7讲 │ 二次函数

第7讲 二次函数

第7讲 │ 知识梳理 知识梳理

1.二次函数的解析式的三种形式 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) (1)一般式:________________________; f(x) =a(x-m)2+n(a≠0) (2)顶点式:________________________; f(x) =a(x-x1)(x-x2)(a≠0) (3)两根式:____________________________.

第7讲 │ 知识梳理

2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)配方法的步骤 f(x)
? ? 2 b ? b ?2 b2 a?x +ax?+c a?x+2a? -4a+c ? ? =___________=______________ ? ?
2

? b ?2 4ac-b = a?x+2a? + 4a ? ?

二次函数f(x) =ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,
2 ? b 4ac-b ? b ? ? - , x=- ? 2a 4a ? 对称轴方程为________,顶点坐标是______________;当a 2a ? ?

>0时,开口向上,当a<0时,开口向下.

第7讲 │ 知识梳理

3.二次函数的单调性及最值
? b? 递减 (1)当 a>0 时,函数在?-∞,-2a?上______, ? ? ? ? b b ?- ,+∞?上______,并且当 x=- 时, 递增 在 2a 2a ? ? 2 ? b ? 4ac-b ?x+ ?2+ a 2a? 4a ? f(x)min=_________________. ? b? 递增 (2)当 a<0 时,函数在?-∞,-2a?上______, ? ? 4ac-b2 ? ? b b ?- ,+∞?上______,当 x=- 时,f(x)max=_________. 递减 在 2a 4a 2a ? ?

第7讲 │ 知识梳理

4.根与系数的关系 二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),当 Δ=b2-4ac>0 时,图象与 x 轴有两个交点 M1(x1,0)、M2(x2,0),这里的 x1,x2 是方程 f(x)=0

b ? ?x1+x2=-a, ? ?x1·2=c x a 的两根,则根与系数的关系是____________. ? Δ 弦长|M1M2| =______= . |x1-x2| |a|

第7讲 │ 知识梳理
5.二次函数在闭区间上的最值 若 a>0,二次函数 f(x)在闭区间[p,q]上的最大值为 M,最小值 为 N. 1 令 x0= (p+q), 2 b f(p) f(q) ①若- <p,则 M=______,N=______; 2a b f(p) f(q) ②若- >q,则 M=______,N=______; 2a b ③若 p≤- ≤x0,则 2a ④若 x0<- b ≤q,则 2a
? b? f ?-2a? f(q) M=______,N=________; ? ?

? b? ?- ? f 2a f(p) ? ? M=______,N=________.

第7讲 │ 知识梳理

6.一元二次不等式的解集与二次方程 ax2+bx+c=0 的根的关 系 (1)若 a>0,方程 ax2+bx+c=0 有两个不等的实根 x1,x2(x1<x2), {x|x<x1 或 x>x2} 则不等式 ax2+bx+c>0 的解集为_______________; {x|x1<x<x2} 不等式 ax2+bx+c<0 的解集为__________. (2)若 a>0,方程 ax2+bx+c=0 有两个相等的实根 x0,则不等式 ax2+bx+c<0 的解集为____. ? (3)若 a>0,方程 ax2+bx+c=0 无实根,则不等式 ax2+bx+c>0 的解集为____;不等式 ax2+bx+c<0 的解集为____. R ?

第7讲 │ 要点探究

要点探究
? 探究点1 求二次函数的解析式

例 1 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的 最大值为8,试确定此二次函数的解析式.

第7讲 │ 要点探究

[思路] 已知函数类型,利用待定系数法求解. 解法一:用一般式求解 ?4a+2b+c=-1, ? ?a-b+c=-1, 2 设 f(x)=ax +bx+c(a≠0),由题意可得? ?4ac-b2 ? 4a =8, ? ?a=-4, ? 解得?b=4, ?c=7, ? ∴f(x)=-4x2+4x+7.

第7讲 │ 要点探究
解法二:用顶点式求解 2-1 1 设 f(x)=a(x-h) +k,∵f(2)=f(-1)=-1,∴h= = , 2 2 ? 1?2 9a 又 f(x)的最大值为 8,因此 f(x)= a?x-2? +8,∴f(2)= +8=-1, 4 ? ? 解得 a=-4,∴f(x)=-4x2+4x+7.
2

解法三:用两根式求解 ∵f(2)=f(-1)=-1,∴2,-1 是方程 f(x)+1=0 的两根, 因此设 f(x)+1=a(x-2)(x+1),即 f(x)=ax2-ax-2a-1, 4a?-2a-1?-a2 ∵f(x)的最大值为 8,∴ =8,解得 a=-4, 4a ∴f(x)=-4x2+4x+7.

第7讲 │ 要点探究

[点评] 二次函数的解析式有三种形式,分别为一般式, 顶点式及两根式,一般情况下,若给出抛物线过某三个点, 则选用一般式;若给出对称轴或顶点坐标,则选用顶点式; 当给出抛物线与x轴的两交点坐标,一般选用两根式.学会 根据题目的条件正确选择函数的解析式,从而简化运算, 如:

第7讲 │ 要点探究

(1)已知函数f(x)=2x2+bx+c,当-3<x<2时, f(x)<0,当x<-3或x>2时,f(x)>0,则b=___,c=____. 2 -12 (2)二次函数f(x),对任意的x都有f(x) ≥f(1)=-2恒成立,且f(0) =1,则f(x)=___________. 3x2-6x+1 (3)已知f(x)是二次函数,且满足f(x+1)-2f(x-1)=x2-2x+17, -x2-4x-28 则f(x) =______________.

第7讲 │ 要点探究
[解析] (1)由题意可知,-3,2 是函数 f(x)的两个零点, ∴f(x)=2x2+bx+c=2(x+3)(x-2)=2x2+2x-12,∴b=2,c=-12. (2)由题意可知,f(x)在 x=1 处有最小值-2,因此设 f(x)=a(x-1)2-2, 又 f(0)=a-2=1,得 a=3,∴f(x)=3(x-1)2-2=3x2-6x+1. (3)设 f(x)=ax2+bx+c, 则 f(x+1)-2f(x-1)=[ax2+(2a+b)x+(a+b+c)]-2[ ax2+(-2a+b)x +(a-b+c)]=-ax2+(6a-b)x+(-a+3b-c), 又 f(x+1)-2f(x-1)=x2-2x+17,

?-a=1, ?a=-1, ? ? ∴?6a-b=-2, 解得?b=-4, ∴f(x)=-x2-4x-28. ?-a+3b-c=17, ?c=-28, ? ?

第7讲 │ 要点探究
? 探究点2 二次函数在闭区间上的最值 例 2 试求二次函数f(x)=x2+2ax+3在区间[1,2]上的最小值 .

[解答] f(x)=x2+2ax+3=(x+a)2+3-a2. 当-a<1,即a>-1时,函数在区间[1,2]上为增函数,故此时最小值 为f(1)=2a+4; 当1≤-a≤2,即-2≤a≤-1时,函数的最小值为f(-a)=-a2+3; 当-a>2,即a<-2时,函数在区间[1,2]上为减函数,此时最小值为 f(2)=4a+7. 综上可知,当a<-2时,最小值为4a+7;当-2≤a≤-1时,最小值 为-a2+3;当a>-1时,最小值为2a+4.

第7讲 │ 要点探究
已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1上有最 大值2,求a的值.
[思路] f(x)配方后,得对称轴 x=a 是变动的,要区分对称轴 x=a 在区间 [0,1]内和外,确定 f(x)的最大值,从而建立方程解出 a. [解答] f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1, ∵0≤x≤1, ∴①当 0≤a≤1 时,f(x)max=f(a)=a2-a+1, 1± 5 2 ∴a -a+1=2,解得 a= . 2 1± 5 ∵0≤a≤1,∴a= 舍去; 2 ②当 a>1 时,f(x)max=f(1)=a=2>1 成立; 1 ③当 a<0 时,∵x= <0,∴f(x)max=f(0)=1-a,∴1-a=2, 2a ∴a=-1<0 成立. 综上可得 a=-1 或 a=2.

第7讲 │ 要点探究

?

探究点3

二次函数的综合应用

例 3 已知函数f(x)=ax2-|x|+2a-1(a为实常数). (1)若a=1,作函数f(x)的图象; (2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达 式. [思路] 利用分类讨论思路,将函数转化为分段函数求解.

第7讲 │ 要点探究
?x2+x+1,x<0, ? 2 时,f(x)=x -|x|+1=? 2 ?x -x+1,x≥0. ?

[解答] (1)当 a=1 函数图象如下图所示:

第7讲 │ 要点探究
(2)当 x∈[1,2]时,f(x)=ax2-x+2a-1.若 a=0,则 f(x)=-x-1 在区间 [1,2]上是减函数,g(a)=f(2)=-3; ? 1? 1 1 ?x- ?2+2a- -1,f(x)图象的对称轴是直线 x= . 若 a≠0,则 f(x)=a 2a? 4a 2a ? 当 a<0 时,f(x)在区间[1,2]上是减函数,g(a)=f(2)=6a-3; 1 1 当 0< <1,即 a> 时,f(x)在区间[1,2]上是增函数,g(a)=f(1)=3a-2; 2a 2 ?1? 1 1 1 1 当 1≤ ≤2,即 ≤a≤ 时,g(a)=f?2a?=2a- -1; 2a 4 2 4a ? ? 1 1 当 >2,即 0<a< 时,f(x)在区间[1,2]上是减函数,g(a)=f(2)=6a-3, 2a 4 ?6a-3,a<1, ? 4 ? 1 1 1 综上可得 g(a)=?2a-4a-1,4≤a≤2, ? ?3a-2,a>1. ? 2

第7讲 │ 要点探究

设函数f(x)=x2+|2x-a|(x∈R,a为实数). (1)若f(x)为偶函数,求实数a的值; (2)设a>2,求函数f(x)的最小值. [思路] (1)利用函数奇偶性的定义得到a满足的关系式; (2)利用分段函数的最值的求解方法解决.

第7讲 │ 要点探究
[解答] (1)由已知 f(-x)=f(x), 即|2x-a|=|2x+a|,解得 a=0. ?x2+2x-a,x≥1a, ? 2 (2) f(x)=? ?x2-2x+a,x<1a, ? 2 1 1 当 x≥ a 时,f(x)=x2+2x-a=(x+1)2-(a+1),由 a>2,x≥ a,得 x>1, 2 2 ?a? a2 1 从而 x>-1,故 f(x)在 x≥ a 时单调递增,f(x)的最小值为 f?2?= ; 2 ? ? 4 1 a 2 2 当 x< a 时,f(x)=x -2x+a=(x-1) +(a-1),故当 1<x< 时,f(x)单 2 2 调递增,当 x<1 时,f(x)单调递减,此时 f(x)的最小值为 f(1)=a-1; ?(a-2)?2 a2 由 -(a-1)= >0,知 f(x)的最小值为 a-1. 4 4

第7讲 │ 规律总结 规律总结
1.对二次函数的三种表示形式,要善于运用题目隐含条 件,恰当选择不同形式,简化运算. 2.二次函数、一元二次不等式和一元二次方程(统称三个 二次)是一个有机的整体,要深刻理解它们之间的关系,运用函 数方程的思想方法将它们进行转化,是准确迅速解决此类问题 的关键. 3.二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值,它只能 在区间的端点或顶点处取得,对于“轴变区间定”和“轴定区间 变”两种情形,要借助二次函数的图象特征(开口方向、对称轴 与该区间的位置关系),抓住顶点的横坐标是否属于该区间,结 合函数的单调性进行分类讨论和求解.

第8讲 │ 指数与指数函数

第8讲 指数与指数函数

第8讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.指数幂 (1)指数幂的推广 ①零指数幂:a0=__(a≠0). 1 1 -n ②负指数幂:a =___(a≠0,n∈N*). an
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m n am ③分数指数幂:a n =______(a>0,m、n∈N*,且 n>1).
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1

am a n = m=______(a>0,m、n∈N*,n>1).


m

1

n

an

第8讲 │ 知识梳理
④0 的正指数幂是 0,0 的负指数幂无意义. (2)根式及性质 ?n ? a?,n为奇数?, ? ? n n ?± a?,n为偶数? ② x =a(n∈N,n>1)?x=______________.
?a?,n为奇数?, ? ? ?|a|?,n为偶数? ? an=____________.



n

a ③( a)n=____.

n

第8讲 │ 知识梳理

(3)有理指数幂的运算性质 ①aras=______(a>0,r、s∈Q). ar+s ②(ar)s=______(a>0,r、s∈Q). ars ③(ab)r=______(a>0,b>0,r∈Q). arbr

第8讲 │ 知识梳理
2.指数函数
指数函数
定义式 y=ax(0<a<1) y=ax(a>1)

定义域
值域

(-∞,+∞)
(0,+∞)

图象

过定点(0,1) 性质 减函数 x≥0时,0<y≤1; x<0时,y>1 增函数 x≥0时,0<y≤1; x<0时,0<y<1

第8讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 指数幂的化简与求值


例1 化简:(1)(0.027)
10(2- 3) 1;


? 1 ?- -?-6? 2+2560.75-|-3|-1+(-5.55)0- 3 ? ?
1

a3-8a3b (2)
2

4

1

3 4b3+2 ab+a3

? 3 b? 3 ? ?· a. ÷ 2 1-2 a? ?

第8讲 │ 要点探究
[思路] (1)将负指数化为正指数. (2)题目中的式子既有分数指数幂又有根式,把它们统一成 分数指数幂,以便于用法则运算,如果不符合法则应创设条件 去求.
[解答] (1)(0.027) 10(2- 3)-1 10 =[(0.3) ] 3-(-1) (6 ) +(4 )4-3-1+1- 2- 3 ? 3 ?- 10(?2+ 3)? 1 1 3 =?10? -36+4 - +1- 3 4-3 ? ? 10 1 = - +29-20-10 3=12-10 3; 3 3
3
- -2 -1 -2 -

? 1? - - ?-6? 2 +2560.75 -|-3| - 1 +(-5.55)0 - 3 ? ?
1 3

1

4

第8讲 │ 要点探究

a3-2b3 1 (2)原式= 2 ·3 a 1 1 2÷ 1 a3+2a3b3+4b3 a3
1 a3?a-8b? 1

1 a3?a-8b?

1

1

a3

= 2 ·1 a 1·3 2 3 a3+2 ab+4b3 a3-2b3 a?(a-8b?) = =a. a-8b

1

第8讲 │ 要点探究

[点评] 分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式 的关系,因此,根式的运算可以转化为分数指数幂的运 算.对指数幂的运算:①要熟练掌握根式与分数指数幂的 转换关系;②要熟练掌握指数幂的运算法则和乘法公式; ③运算程序化,即先把根式化为分数指数幂并尽量化简, 再应用指数幂的运算法则和乘法公式.

第8讲 │ 要点探究

计算:(1)

3

9 a · a-3÷ 2

3

3 a-7· a13;

6 6 3 3 3 (2)( 32· 3+ 243· 2)( 4- 6+ 9).

第8讲 │ 要点探究

[解答] (1)原式=(a2· 2 )3÷ a (a 3 · 3 )2=(a )3÷ )2=a÷ a (a a=1;
1 1 2? 1 ? 2 1 1 1 1 2 3 (2)原式=(26·2+36·2)?23-23·3+33?=32·2(23+33)(23- 3 2 2 5 1 5

9

-3

1

-7

13 1

3

1

2

1

?

?

23·3+33)=32·2[ (23) +(33)3]=5 6. 3 2

1

1

2

1

1

1

3

1

第8讲 │ 要点探究

?

探究点2

指数函数的图象与应用
?1? + y=?3? |x 1|. ? ?

例2 已知函数

(1)作出图象; (2)由图象指出其单调区间; (3)由图象指出当 x 取什么值时 y 有最值,并写出值域; ?1? + (4)若关于 x 的方程?3? |x 1|=m 有正根,求 m 的取值范围. ? ?

第8讲 │ 要点探究
??1?x+1,x≥-1, ?1? x+1 ?? ? [解答] (1)方法一:由函数解析式可得 y=?3? =??3? ? ? ?3x+1,x<-1, ?
? ? ? ? ? ? ? ?

其图象由两部分组成: 一部分是由指数函数

?1?x? y=?3? ?x≥0?向左平移 ? ? ?

1 个单位

而得;另一部分是由 y=3x?x<0?向左平移一个单位而得.如图 ? ?

第8讲 │ 要点探究
?1?? ? ?1?x? ?x ? 方法二: 函数 y=?3??? ??为偶函数, 关于 y 轴对称, 做出 y=?3? ?x≥0?? ? ? ? ? ?1?? ? 的图象,当 x<0 时,将图象关于 y 轴的对称图象得到 y=?3????x???的图 ? ? ?1?? ? ?1?? ? ? ??x?的图象向左平移 1 个单位, 象, y= 3 ?? ?? 将 即可知 y=?3????x+1???的图象. ? ? ? ?
? ? (2)由 图 象可 知 函 数 的 递 增 区 间 为 ??-∞,-1?? , 递 减 区 间为 ? ? ?-1,+∞?. ? ? ?1?0 (3)当 x=-1 时,ymax=?3? =1,值域为(0,1]. ? ? ? 1? 1 (4)由图象,令 x=0,得 y= ,则 m 的取值范围是?0,3?. 3 ? ?

第8讲 │ 要点探究

?

探究点3

指数函数的性质


10x-10 x 例3 已知 f(x)=10x+10-x. (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)求证:f(x)是定义域内的增函数; (3)求 f(x)的值域.

[思路] 利用定义法判断函数的奇偶性和单调性,并结合 单调性求函数的值域.

第8讲 │ 要点探究
[解答] (1)函数的定义域是 R,关于原点对称,又 f(-x)= 10-x-10x 10x-10-x =- -x =-f(x),∴f(x)为奇函数; - 10 x+10x 10 +10x 10x-10-x 102x-1 2 (2)证明:f(x)= x = 2x =1- 2x , 10 +10-x 10 +1 10 +1 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? 令 x2>x1 ,则 f(x2)-f(x1)= ?1-102x2+1? - ?1-102x1+1? = ? ? ? ? ? 102x2-102x1 2× ,∵函数 y=10x 为增函数,x2>x1, 2x2 2x1 ?(10 +1)(??10 +1)? ∴102x2>102x1,∴102x2-102x1>0,又∵102x1+1>0,102x2+1>0, 102x2-102x1 ∴2× >0,故当 x2>x1 时,f(x2)-f(x1)>0, (?102x2+1)(??102x1+1)? 即 f(x2)>f(x1),∴函数 f(x)为 R 上的增函数;

第8讲 │ 要点探究

10x-10 x 2 (3)f(x)= x ,∵102x>0,∴102x+1>1, -x =1- 2x 10 +10 10 +1 1 2 2 ∴0< 2x <1,∴0< 2x <2,∴-2<- 2x <0,∴-1<1 10 +1 10 +1 10 +1 2 - 2x <1,即函数的值域为(-1,1). 10 +1



第8讲 │ 要点探究

?

探究点4

指数函数的性质的综合应用
?1? f(x)=?3?x, x∈[-1,1], 函数 ? ?

例 4[2010· 潍坊模拟]已知函数

g???x???=

f2(x)-2a f(x)+3 的最小值为 h???a???. (1)求 h???a???; (2)是否存在实数 m, 同时满足以下条件: n ①m>n>3; ②当 h???a???的 ? ? ? 2 2? 定义域为??n,m??时,值域为??n ,m ??.若存在,求出 m,n 的值;若不存 在,说明理由.

第8讲 │ 要点探究
[解答] (1)因为
?1 ? t∈?3,3?,则 ? ? ?1?x ?1 ? ?1?x x∈ -1,1 ,所以?3? ∈?3,3?.设?3? =t, ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?

? ? g??x??=φ??t??=t2-2at+3=??t-a??2+3-a2.

?1? 28 2a 1 ? ? 当 a< 时,h?a?=φ?3?= - ; 3 9 3 ? ? 1 当 ≤a≤3 时,h??a??=φ??a??=3-a2; 3 当 a>3 时,h??a??=φ??3??=12-6a,

?28 2a? 1? ? 9 - 3 ?a<3?, ? ? ? ? ? 综上:h??a??=? 2?1 ? ?3-a ?3≤a≤3?, ? ? ? ?12-6a?a>3?.

第8讲 │ 要点探究

n,m???, (2) 因为 m>n>3, a∈ 所以 h???a???=12-6a.因为 h???a???的
? ? ? 2 2? 定 义 域 为 ??n,m?? , 值 域 为 ??n ,m ?? , 且 h ???a??? 为 减 函 数 ,所 以

? ? ?

?12-6m=n2, ? ? ?12-6n=m2, ?

? ? ? ?? ? 两 式 相 减 得 6 ??m-n?? = ??m-n?? ??m+n?? , 因 为

m>n,所以 m-n≠0,得 m+n=6,但这与“m>n>3”矛盾,故 满足条件的实数 m,n 不存在.

第8讲 │规律总结 规律总结
1.利用分数指数幂进行根式的运算,其顺序是先把根 式转化为分数指数幂,再根据分数指数幂运算性质进行 计算. 2.指数函数型的解题方法及一般规律 (1)指数函数的底数a>0且a≠1,这是隐含条件. (2)指数函数y=ax的单调性与底数a与1的大小有关, 当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.

第8讲 │规律总结

(3)比较两个指数幂大小时,尽量化同底或同指, 当底数相同、指数不同时,构造同一指数函数,然后比 较大小;当指数相同、底数不同时,构造两个指数函数 ,利用图象比较大小;如果底数和指数都不同,利用中 间变量0或1比较大小. (4)解简单的指数不等式时,当底数含参数,且底数 与1的大小不确定时,注意分类讨论.

第9讲 │ 对数与对数函数

第9讲 对数与对数函数

第9讲 │ 知识梳理 知识梳理

1.对数的概念 logaN(a>0,a≠1,N>0) (1)如果 ab=N,那么 b=______________________; (2)以____为底的对数叫常用对数,N 的常用对数简记为 10 lgN ____;以___为底的对数叫自然对数,N 的自然对数简记为 e ____. lnN

第9讲 │ 知识梳理
2.积、商、幂、方根的对数(M、N 都是正数,a>0,a≠1) 的运算性质

logaM+logaN (1)loga(M· N)=________________;
M logaM-logaN (2)loga N =________________;

nlogaM (3)logaMn=_________(n∈R);
(4)loga n

1 nlogaM M=________(n∈R).

第9讲 │ 知识梳理

3.对数的换底公式及对数恒等式 (1)恒等式:logaab=____,loga1=____,alogaN=____; b 0 N (2)换底公式: logaN= b≠1). logbN 1 , logab= (a>0, a≠1, b>0, logba logba

第9讲 │ 知识梳理
4.对数函数的图象和性质
对数函数
定义式 定义域 值域 y=logax(0<a<1) y=logax(a>1)

图象

过定点(1,0)
减函数 性质 x≥1时,y≤1; 0<x<1时,y>0 增函数 x≥1时,y≥0; 0<x<1时,y<0

y=logax与y=ax的图象关于y=x对称

第9讲 │ 知识梳理

5.指数函数与对数函数的关系

反函数 它们的 对数函数 y=logax 与指数函数 y=ax 互为________,
直线y=x 图象关于__________对称.

第9讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 对数式的化简与求值
3 7 1 - +log212- log242-1=____. 2 48 2
?1?x 时,f(x)=?2? ; ? ?

例1 (1)计算:log2

(2)[2009· 辽宁卷] 已知函数 f(x)满足:x≥4 1 当 x<4 时,f(x)=f(x+1).则 f(2+log23)为____. 24

(3)已知 log189=a,18b=5, 试用含有 a, 的式子表示 log3645 b
a+b 2-a 的值为______.

第9讲 │ 要点探究
[思路] (1)熟练运用对数运算性质和法则进行运算; (2)因f(x)是分段函数,故先判断自变量的范围,再选择合适的 解析式,同时注意对数恒等式的运用;(3)当指数的取值范围扩 充到有理数后,对数运算就是指数运算的逆运算.因此,当一 个题目中同时出现指数式与对数式时,一般要把问题转化,即 统一到一种表达式.
7 [ 解 析 ] (1) 原 式 = log2 + log212 - log2 42 - log22 = 48 3 7× 12 1 3 - log2 =log2 =log22 2=- . 2 48× 42× 2 2 2

第9讲 │ 要点探究
(2)∵3<2+log23<4,∴f(2+log23)=f(3+log23), 且 3+log23>4, ∴f(2+log23)=f(3+log23) ?1? + 1 ?1?log23 1 ?1?log11 ? ? =?2?3 log23= × 2? = × 2? 3 8 ? ? 8 ? ? 2 ? ? 1 1 1 = ×= . 8 3 24 (3)由 18b=5,得 b=log185,又 log189=a, ∴log189+log185=log1845=a+b. a+b a+b a+b log1845 ∴log3645= = = = . log1836 1+log182 2-log189 2-a

第9讲 │ 要点探究

[点评]熟练运用对数式的运算公式和对数的性质是解 决本题的基础和前提.运用对数的运算法则时,要注意取 值范围,同时不要将积、商、幂的对数与对数的积、商、 幂混淆. 涉及对数之积的形式无法直接使用对数的运算性质, 可先因式分解再使用.如

第9讲 │ 要点探究
计算:

[ 解 答 ] (1) 原 式 = lg 2 (2lg 2 + lg5) + (?lg 2)?2-2lg 2+1=lg 2(lg2+lg5)+|lg 2-1|=lg 2+(1 -lg 2)=1. 34 (2) 原 式 = log3
?3 ? 1 ? ? ?10-3-2?=- . ? -1?· 5? ? 4 ? log 4 ?
3

(1)2(lg 2) +lg 2· lg5+ ?(lg 2)? -lg2+1; 4 2 ? 1 ? ? ? 27 ?3 3? -log 72 7 ?. (2)log3 · 5?42log210-? ?3 log 3 ? ?

2

2

3

? log 10 ? 3?2 ? ? 2? · 5 ?2 2 -?32?3-log77 ?) log ? ? ? ?



第9讲 │ 要点探究

?

探究点2 例2

对数函数的图象与性质
1-mx ?? a>0,a≠1??? 已知 f(x)=loga 1-x ?

[2010·南京模拟]

是奇函数. (1)求 m(m<0)的值; (2)判断函数 f(x)在(0,1)上的单调性; (3)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围.

第9讲 │ 要点探究

[思路] (1)利用函数奇偶性的定义,列出m所满足的方 程;(2)严格按照用定义证明函数单调性的步骤进行;(3)利 用函数的单调性,脱掉符号“f”求解.
1+mx [解答] (1)∵f(x)是奇函数,∴f -x +f(x)=loga + 1+x 1-mx 1-m2x2 loga =loga 2 =0 对定义域内的任意 x 恒成立,∴ 1-x 1-x 1-m2x2 2 2 2 2 =1,∴(m -1)x =0,即 m -1=0,∴m=1(舍去)或 m 1-x =-1,∴m=-1.
? ? ? ? ? ?

第9讲 │ 要点探究
(2)设 0<x1<x2<1,则 x1+x2>0,1-x1>0,1-x2>0,又(1+x1)(1+ (?1+x1??)(1+x2?) x2)-(1-x1)(1-x2)=2(x1+x2)>0,∴ >1, (?1-x1?)(?1-x2?) 1+x2 1-x1 ∴f(x2)-f(x1)=loga -loga 1-x2 1+x1 ?(1+x1?)(?1+x2?) =loga . (?1-x1?)(?1-x2?) ?(1+x1?)(?1+x2?) ∴当 a>1 时,loga >0, ?(1-x1?)(?1-x2?) ∴f(x2)>f(x1),∴函数在(0,1)上为增函数; (?1+x1?)(?1+x2?) 当 0<a<1 时,loga <0, (?1-x1?)(?1-x2?) ∴f(x2)<f(x1),∴函数在(0,1)上为减函数.

第9讲 │ 要点探究

1+x 1+x (3)当 a>1 时, loga 由 >0=loga1, 得 >1, 解得 0<x<1, 1-x 1-x 1+x 1+x 当 0<a<1 时,由 loga >0=loga1,得 0< <1,解得 1-x 1-x -1<x<0. 综上,当 a>1 时,x 的取值范围是{x|0<x<1},当 0<a<1 时, x 的取值范围是{x|<x<0}.

第9讲 │ 要点探究

已知函数 f(x)=-log2(x2-ax-a)在(-∞,1- 3) 上是增函数,求实数 a 的取值范围.

[解答] 令 g(x)=x2-ax-a, 要使 f(x)在??-∞,1- 3?? ?a ? ≥1- 3, 上是增函数,需?2 ?g???1- 3???≥0, ? 解得 2-2 3≤a≤2.

?

?

第9讲 │ 要点探究

?

探究点3

与指数函数、对数函数有关的大小比较

1 例3 [2010·全国卷Ⅰ] 设 a=log32,b=ln2,c=5-2, 则 ( ) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a

[思路] 利用中间变量比较大小.

第9讲 │ 要点探究

1 1 , b = ln2 = ,而 log23 log2e 1 1 1 1 1 1 - 1<log2e<log23,所以 a<b,c=5 2= < = = < ,所以 5 4 2 log24 log23 c<a,综上 c<a<b. 1 1 1 方法二:a=log32= ,b=ln2= ,1<log2e<log23<2, log23 log2e 2 1 1 1 1 1 1 < < <1,c=5- = < = ,∴c<a<b. log23 log2e 2 5 4 2 C [ 解 析 ] 方 法 一 : a = log32 =

第9讲 │ 要点探究

若 x∈(e 1,1), a=lnx, b=2lnx, c=ln3x, 则( A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a




)

C [解析] 由 x∈(e 1,1)得, -1<lnx<0, a-b=-lnx>0, a>b,a-c=lnx(1-ln2x)<0,a<c,因此有 b<a<c.

第9讲 │ 要点探究
? 探究点4 指数函数的性质的综合应用
1 例4 已知函数 f(x)=2x-2|x|. (1)若 f(x)=2,求 x 的值; (2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围. 1 x [解析] 由[解答] (1)当 x≥0 时,f(x)=2 - x=2, 2 (?2x?)2-1 即 =2,即(2x)2-2·x-1=0, 2 x 2 解得 2x=1+ 2或 2x=1- 2(舍去), x=log2(1+ 2). 1 当 x<0 时,f(x)=2x- x=2, 2 即 2x-2x=2,无解. 故 x=log2(1+ 2).


第9讲 │ 要点探究

(2)∵2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立, f(t)在区间[1,2] 而 -2tf?2t? 上恒为正数,故 m≥ 对于 t∈[1,2]恒成立. f?t? ? 1? t? 2t -2 2 -22t? f?2t? ? ? 令 y=-2t· = =-(22t+1), f?t? 1 2t - t 2 函数 y=(22t+1),在 R 上为减函数, 当 t=1 时,ymax=-22-1=-5. ∴m≥ymax=-5, 故 m 的取值范围为 m≥-5.

第9讲 │规律总结 规律总结
1.应重视指数式与对数式的互化关系,它体现了 数学的转化思想,也往往是解决“指数、对数”问题的关 键. 2.指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数, 可以从概念、图象、性质几方面了解它们间的联系与区 别. 3.对数函数的真数和底数应满足的条件是求解有 关对数问题时必须予以特别重视的,另外对数函数问题 尽量化同底,以方便运算和运用性质.

第9讲 │规律总结

4.对数函数的性质主要是单调性,对数函数y= logax单调性与底数a与1的大小有关,当底数a与1的大 小关系不确定时应注意分类讨论. 5.利用对数函数的概念、图象、性质讨论一些复 合函数的相应问题是常考题型,应注意数形结合、分类 讨论、化归转化等数学思想方法的灵活运用.

第10讲 │ 幂函数与函数的图象

第10讲

幂函数与函数的图象

第10讲 │知识梳理 知识梳理
1.幂函数 y=xα (1)幂函数定义:一般地,形如______(α∈R)的函数称为幂 函数,其中α为常数. 几种常见幂函数的图象: 1 ① y=x;② y=x ;③ y=x2; 2 ④ y=x-1;⑤ y=x3.

图10-1

第10讲 │知识梳理
(2)幂函数性质 (0,+∞) ①所有的幂函数在__________都有定义,并且图象都过点 (1,1) ______; 原点 ②α>0时,幂函数的图象通过______,并且在区间[0, +∞)上是________.特别地,当α>1时,幂函数的图象 增函数 上凸 ______;当0<α<1时,幂函数的图象______; 下凸 减函数 ③α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是__________ .在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限 地逼近y轴正半轴,当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近 x轴正半轴.

第10讲 │知识梳理
2.函数图象 以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即 列表描点法 图象变换法 ____________和____________. 描点法: 定义域 (1)作函数图象的步骤:①确定函数的________;②化简函 单调性、奇偶性、周期性 数的解析式;③讨论函数的性质,即 ________________________;④描点连线,画出函数的图象. 变换法: (2)几种图象变换:平移变换、对称变换和翻折变换、伸缩变 换等等;

第10讲 │知识梳理

x轴方向

平移 |a|

第10讲 │知识梳理

关于y轴

第10讲 │知识梳理

原点

直线x=a

第10讲 │知识梳理
③翻折变换: Ⅰ.函数y=|f(x)|的图象可以将函数y=f(x)的图象的x轴下方部 x轴 分沿________翻折到x轴上方,去掉原x轴下方部分,并保留 y=f(x)的x轴上方部分 ____________________即可得到;

图10-2

第10讲 │知识梳理
Ⅱ.函数y=f(|x|)的图象可以将函数y=f(x)的图象右边沿y轴 翻折到y轴左边替代原y轴左边部分,并保留 y=f(x)在y轴右边部分 _____________________即可得到.

图10-3

第10讲 │知识梳理

纵坐标伸长(a>1)或压缩
(0<a<1)为原来的a倍

第10讲 │知识梳理

(3)识图:图象的分布范围、变化趋势、对称性、周期性等 等. 3.函数图象的应用 (1)利用函数图象,研究函数的几何性质,如单调性、周期 性、奇偶性、最值、零点、值域及定义域、对称性等; (2)利用函数图象、数形结合的思想方法解题,将代数问题 转化为平面解析几何问题处理.

第10讲 │要点探究 要点探究
? 探究点1 集合的概念
? ? ? ?

2 例 1 已知 f (x)= m +2m??xm (1) f (x)是幂函数; (2)f (x)是正比例函数; (3)f (x)是反比例函数.

2-2m-1

,当 m 取何值时,

[思路] 利用各类函数的定义,确定 x 的指数的取值. [解答] (1)由 m2+2m=1,解得 m=-1± 2. (2)由 m2-2m-1=1,得 m=1± 3. (3)由 m2-2m-1=-1,m=0 或 m=2,又当 m=0 时,m2+2m= 0,不符合题意,舍去,故 m=2.

第10讲 │要点探究
? 探究点二 幂函数的图象与性质
2-2m-3(
m

例 2 已知幂函数 f(x)=xm

m∈N*)的图象关于 y 轴对称,且在
m

(0,+∞)上是减函数,求满足(a+1) 3 <(3-2a) 3 的 a 的取值范围.

[思路] 利用幂函数的奇偶性和单调性确定m的值,再由幂函 数的单调性确定a的取值范围.
[解答] ∵函数 f(x)在(0,+∞)上递减,∴m2-2m-3<0,解得-1<m <3.∵m∈N*,∴m=1 或 2.又函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,∴m2-2m -3 是偶数,而 22-2× 2-3=-3 为奇数,12-2× 1-3=-4 为偶数,∴m =1.又函数 g(x)=x3在 R 上为增函数,∴(a+1)3<(3-2a)3等价于 a+1<3 2 -2a,解得 a< . 3
1 1 1

第10讲 │要点探究

[点评] 本题集幂函数概念、图象及单调性、奇偶性于一 体,综合性较强,解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质. 由幂函数的定义求参数的取值范围时,要注意检验求得的参数 是否符合题意,如:

第10讲 │要点探究
(1)函数 f(x)=(m2-m-1)xm -2m-3 是幂函数,且当 x∈(0, +∞)时是减函数,则 m=________. (2)幂函数 y=xα,当 α 取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图 象是一族美丽的曲线(如图 10-4).设点 A(1,0),B(0,1),连接 AB,线 段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=xα, y=xβ 的图象三等分, 即有 BM =MN=NA.那么 αβ=__________.
2

图10-4

第10讲 │要点探究
(1)2 (2)1
? ?

[解析](1)因为函数 f??x??是幂函数,所以 m2-m
? ?

?

?

? ? -1=1, m=-1 或 m=2.当 m=-1 时, 得 函数 f??x??=1, 不符合要求;

当 m=2 时,函数 f??x??=x-3,它在??0,+∞??上是减函数.故 m=2.
α

(2)∵函数 y=x

?1 2? 经过点?3,3?, ? ? ? ?

?2 1? 2 ?1?α ? ? β 12 ∴ =?3? ,∴α=log ,∵函数 y=x 经过点?3,3?, ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3

1 ?2?β 1 ? ? 21 12 21 12 ∴ =?3? ,∴β=log ,∴αβ=log · log =log · =1. 3 ? ? 3 3 3 3 2 3 3 3 3 log1 33

第10讲 │要点探究
? 探究点3 幂函数的图象与性质

例 3 作出下列函数的大致图象: (1)y=log2|x|; 2-x (3)y= ; x+1 (2)y=|log2(x-1)|; (4)y=2+ 3-x.

[思路] 根据各函数解析式的结构特征,分析其图象是由哪类 初等函数经过何种变换而得.

第10讲 │要点探究

第10讲 │要点探究

第10讲 │要点探究

[点评] (1)利用描点法作函数图象的步骤是:列表、描点、 连线,若对函数图象的形状比较熟悉,可不必列表,直接描点、 连线;(2)利用图象变换作函数图象,关键是找出基本初等函数, 将函数的解析式分解为只有单个变换的函数链,然后依次进行 单一变换,最终得到所要的函数图象.

第10讲 │要点探究
已知图象变换:①关于 y 轴对称;②关于 x 轴对称;③ 1 1 右移 1 个单位;④左移 1 个单位;⑤右移 个单位;⑥左移 个单 2 2 位;⑦横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变;⑧横坐标缩短为 原来的一半,纵坐标不变.由 y=ex 的图象经过上述某些变换可 得 y=e1-2x 的图象,这些变换可以依次是_____________(请填上 变换的序号).
[思路] 先确定图象变换的种类,然后确定图象变换的顺 序.

第10讲 │要点探究

①⑧⑤或①③⑧或④⑧①或④①⑧等(填一组即可)

[解析] 方法一: 函数 y=ex 的图象关于 y 轴对称得到函数 y=e- 的图象,然后横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变得 y=e-2x 的图 ? 1? 1-2x 1 ? 象,最后向右移 个单位得函数 y=e-2?x-2?=e 的图象; ? 2 ? ? 方法二: 函数 y=ex 的图象关于 y 轴对称得到函数 y=e-x 的图象,
x

然后右移为 1 个单位得函数 y=e-(x-1)=e1-x 的函数图象, 最后横坐标 缩短为原来的一半,纵坐标不变得到 y=e1-2x 的图象;

第10讲 │要点探究

方法三: 函数 y=ex 的图象向左平移 1 个单位得 y=ex+1 的图象, 最后关于 y 轴对称得函数 y=e1+2(-x)=e1-2x 的图象; 然后关于 y 轴对称得函数 y=e-x+1 的图象,最后横坐标缩短为原来 的一半,纵坐标不变得函数 y=e-2x+1. [点评] 将函数f(x)经过多种图象变换得到g(x)的图象,可能 有多种不同的顺序,但不管按哪种顺序进行变换,都必须遵循 “只能对函数关系式中的x、y进行变换”的原则,否则容易出 错.

然后横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变得函数 y=e1+2x 的图象,

方法四: 函数 y=ex 的图象向左平移 1 个单位得 y=ex+1 的图象,

第10讲 │要点探究
? 探究点4 函数图象的识别与应用

例 4 如图10-5所示,一质点P(x,y)在xOy平面上沿曲线 运动,速度大小不变,其在x轴上的投影点Q(x,0)的运动速度V =V(t)的图象大致为( )

图10-5

图10-6

第10讲 │要点探究

[思路] 从已知图形中封闭曲线入手,研究投影点Q(x,0)的速 度的变化规律. B [解析] 由图可知,当质点P(x,y)在两个封闭曲线上运 动时,投影点Q(x,0)的速度先由正到0、到负数,到负数,再到0, 到正,故A错误,质点P(x,y)在开始时沿直线运动,最后阶段, 由于点往上运动,因此速度越来越小,故投影点Q(x,0)的速度为 常数,因此C是错误的,故选B.

第10讲 │要点探究
(1)有四个函数:①y=x· sinx;②y=x· cosx;③y =x· |cosx|;④y=x· x的图象(部分)如下,但顺序被打乱,则 2 按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )

图10-7 A.④①②③ B.①④③② C.①④②③ D.③④②①

第10讲 │要点探究
(2)如图10-8,动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角 线BD1上,过点P作垂直于平面BB1D1D的直线,与正方体表面 相交于M,N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是( )

图10-8

图10-8

第10讲 │要点探究
(1)C (2)B [解析] (1)函数 xsinx 是偶函数,因此其图象

只能是第一个,函数 y=xcosx 与 y=x|cosx|都为奇函数,但当 x>0 时,y=x|cosx|≥0 恒成立,故其图象只能是第四个,函数 y=x·x 不 2

具有奇偶性,因此其图象只能是第二个,故选 C. 3 (2)设正方体的棱长为 a,当 0<x< a 时,M,N 分别在面 A1B 2 和面 B1C 内, M 作 MM1⊥面 AC 于 M1, N 作 NN1⊥面 AC 于 过 过 OB PB N1, 1N1 交 BD 于 O, MN= M1N1, Rt△BPO 中, = M 则 在 DB BD1, 6 2 6 即 OB= x,在 Rt△BM1N1 中,M1N1=2OB= x,只有图象 B 3 3 符合,故选 B.

第10讲 │规律总结 规律总结
1.幂函数y=xa的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现 的第四象限内,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性; 在(0,1)上,幂函数中指数愈大,函数图象愈靠近x轴,在(1,+∞)上, 幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴;幂函数的单调性、奇偶性由 指数决定. 2.作图 作图的常用方法有描点法和变换法,对前者,要注意对函数性质 的研究;对后者,要熟悉常见函数及图象的变换法则,在解决函数图象 的变换问题时,要遵循“只能对函数关系式中的x、y变换”的原则,写 出每一次的变换所得图象对应的解析式,这样才能避免出错.

第10讲 │规律总结

3.识图 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分布范 围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单 调性、奇偶性、周期性等,注意图象与函数解析式中参数的 关系. 4.用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系提 供了“形”的直观性,它是探求解题路径,获得问题结果的 重要工具,要重视数形结合思想的应用.

第11讲 │ 函数与方程

第11讲

函数与方程

第11讲 │知识梳理 知识梳理
1.一般地,如果函数y=f(x)在实数a处的 函数值等于零 _______________,即________,则a叫做这个函数y=f(x)的零 f(a)=0 点. 2.方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有 零点 交点 ______?函数y=f(x)有______. 3.①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的 f(a)· f(b)<0 一条曲线;②并且满足___________.那么,函数y=f(x)在区间 f(c)=0 (a,b)内有零点,即至少存在一个c∈(a,b),使________.满 足上面条件①、②后,在(a,b)内存在的c不一定只有一个.

第11讲 │知识梳理

4.对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)· f(b)<0的函数y= f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________,使 一分为二 区间的两个端点逐步逼近______,进而得到零点近似值的方法叫 零点 做二分法.

第11讲 │知识梳理
5.二次函数的零点:
方程ax2+bx+c =0(a≠0)的根的 个数 函数y=ax2+bx +c(a≠0)的零点 个数

Δ>0 有两个不相等的实根 _________________________________
_

Δ=0
_____________________________ ___

Δ<0
无实根
___________

有两个相等的实根 有一个二重零点

有两个零点
______________________

无零点
____________

___________________________

函数y=ax2+bx +c(a≠0)的图象 a>0 a<0 有两个交点 函数y=ax2+bx +c(a≠0)的图象 与x轴交点个数
______________________

有一个交点
___________________

无交点
___________

第11讲 │要点探究 要点探究
? 探究点1 方程的根与函数的零点
?x2+2x-3,x≤0, ? f(x)=? ?-2+lnx,x>0 ?

例 1 [2010· 福建卷] 函数 数为( ) A.3 C.1

的零点个

B.2 D.0

[思路] 分别确定分段函数在各段解析式中的零点个数.

第11讲 │要点探究

B [解析] 当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3;当 x>0时,令-2+lnx=0,解得x=e2,所以已知函数有2个零 点,选B. [点评] 函数f(x)的零点是一个实数(不是点),就是方程f(x) =0的实数根,也是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标, 因此判断零点的个数就是判断方程f(x)=0的实根个数,有时也 可以根据函数图象的交点的个数来判断零点的个数,如:

第11讲 │要点探究
求函数y=lnx+2x-6的零点个数. [解答] 在同一坐标系画出y=lnx与y=6-2x的图象, 由图可知两图象只有一个交点,故函数y=lnx+2x-6只有一 个零点.

第11讲 │要点探究

?

探究点2

方程的根与函数的零点

例 2 判断下列函数在给定区间上是否存在零点. (1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]; (2)f(x)=x3-x-1,x∈[-1,2]; (3)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3].

[思路] 对于区间上连续不断的函数,在区间[a,b]内寻根, 往往需要利用零点的存在性定理判断,即判断f(a)f(b)<0是否成 立.

第11讲 │要点探究

[解答] (1)方法一:因为 f(1)=-20<0,f(8)=22>0,所以 f(1)· f(8)<0,故 f(x)=x2-3x-18 在 x∈[1,8]上存在零点. 方法二:令 x2-3x-18=0,解得 x=-3 或 6,所以函数 f(x) =x2-3x-18 在 x∈[1,8]上存在零点. (2)∵f(-1)=-1<0,f(2)=5>0, ∴f(x)=x3-x-1 在 x∈[-1,2]上存在零点. (3)∵f(1)=log2(1+2)-1=log23-1>0,f(3)=log2(3+2)-3= log25-3<0,∴f(1)· f(3)<0,故 f(x)=log2(x+2)-x 在 x∈[1,3]上 存在零点.

第11讲 │要点探究

[点评] 零点的存在性定理是判断连续不断的函数在区间[a, b]上是否存在零点的定理,该定理只能判断存在零点,不能判断 区间[a,b]不存在零点,即如果函数y=f(x)在区间[a,b]上有 f(a)f(b)>0,函数在区间[a,b]上也可能存在零点,如:

第11讲 │要点探究

1 [2009· 天津卷] 设函数 f(x)= x-lnx(x>0),则 y=f(x)( 3 ?1 ? A.在区间?e ,1?,(1,e)内均有零点 ? ? ?1 ? B.在区间?e ,1?,(1,e)内均无零点 ? ? ?1 ? C.在区间?e ,1?内有零点,在区间(1,e)内无零点 ? ? ?1 ? D.在区间?e ,1?内无零点,在区间(1,e)内有零点 ? ?

)

第11讲 │要点探究

1 1 x-3 D [解答] 由题得 f′(x)= -x= ,令 f′(x)>0,得 3 3x x>3;令 f′(x)<0,得 0<x<3;f′(x)=0,得 x=3,故知函数 f(x) 在区间(0,3)上为减函数,在区间(3,+∞)上为增函数,在点 x ?1? 1 e 1 ? ? =3 处有极小值 1-ln3<0.又 f(1)= ,f(e)= -1<0,f?e ?= + 3 3 ? ? 3e 1>0,故选择 D.

第11讲 │要点探究

?

探究点3

二次函数零点的分布问题

例3 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区 间(1,2)内,求m的范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围.
[思路] 设出二次方程对应的函数,画出相应的示意图, 然后用函数性质对参数加以限制.

第11讲 │要点探究
[解答] (1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点 分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得

?f?(0?)=2m+1<0, ? ?f?(-1)?=2>0, ? ?f?(1?)=4m+2<0, ?f?(2?)=6m+5>0 ?

? ?m<-1, 2 ? ?m∈R, ? ?? 1 m<- , ? 2 ? ? 5 ?m>-6, ?

5 1 ∴- <m<- . 6 2

第11讲 │要点探究
(2)据抛物线与 x 轴两交点均落在区间(0,1)内,列不等式组
?f?(0?)>0, ? ?f?(1?)>0, ? ?Δ≥0, ?0<-m<1 ?

1 ? ?m>- , 2 ? ? 1 ??m>-2, ? ?m≥1+ 2或m≤1- 2, ? ?-1<m<0.

1 ∴- <m≤1- 2. 2
[点评] (1)本题综合考查了二次函数、二次方程以及二次不 等式的基本关系,有效地训练对“三个二次”的整体理解与掌 握,解题过程中的数形结合是数学的重要思想方法.

第11讲 │要点探究
求a为何值时,方程9-|x-2|-4· -|x-2|-a=0有实根. 3
[解答] 令 t=3-|x-2|∈(0,1],则原方程转化为 t2-4t-a -4 2 =0 在(0,1]内有实根,令 y=f(t)=t -4t-a,其对称轴是 t=- = 2× 1 ?f?(0?)>0, ? 2 2>1,如图,方程 t -4t-a=0 在(0,1]内恰有一解,则? ?f?(1?)≤0, ? 解得-3≤a<0,故当-3≤a<0 时,原方程有实根.

第11讲 │要点探究
? 探究点4 利用函数零点求参数

例4 (1)若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点,求 实数a的值; (2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值 范围.

第11讲 │要点探究
[解答] (1)若 a=0,则 f(x)=-x-1,令 f(x)=0,即-x-1=0, 得 x=-1,故符合题意; 若 a≠0,则 f(x)=ax2-x-1 是二次函数,故有且仅有一个零点 1 等价于 Δ=1+4a=0,解得 a=- . 1 4 综上所述, a=0 或 a=- . 4

第11讲 │要点探究

(2)若 f(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点, 即|4x-x2|+a=0 有四个根, 即|4x-x2|=-a 有四个根. 令 g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.作出 g(x)、h(x)的图象, 由图象可知如果要使|4x-x2|=-a 有四个根, 那么 g(x)与 h(x)的图象应有 4 个交点. 故需满足 0<-a<4,即-4<a<0. ∴a 的取值范围是(-4,0).

第11讲 │要点探究

已知函数f(x)=x|x-4|-5,当方程f(x)=a有三个根时 ,求实数a的取值范围.
[解答]
?x2-4x-5,x≥4, ? f(x)=x|x-4|-5=? ?-x2+4x-5,x<4, ?

在平

面直角坐标系中画出该函数的图象,当直线 y=a 与该函数的图象 有三个交点时,a 的取值范围是-5<a<-1.

第11讲 │规律总结 规律总结
1.方程的根(从数的角度看)、函数图象与x轴的交点的横坐 标(从形的角度看)、函数的零点是同一个问题的三种不同的表现 形式. 2.函数零点的求法: (1)代数法:利用公式法、因式分解法、直接法求方程f(x)= 0的根. (2)几何法:对于不能用求根公式求解的方程,可以将它与 函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. (3)二分法:主要用于求函数零点的近似值.

第11讲 │规律总结
4.有关函数零点的重要结论 (1)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数,则f(x)至 多一个零点. (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保 持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值符号可能不变 ,也可能改变. 5.用二分法求零点的近似解时,所要求的精确度ε不同, 得到的结果也不同.精确度为ε是指在计算过程中得到某个区间 (a,b)后,若其长度小于ε,即认为已达到所要求的精确度,可停 止计算.精确度为0.001与精确到0.001是不同的.

第12讲 │ 函数模型及其应用

第12讲

函数模型及其应用

第12讲 │知识梳理 知识梳理
1.函数模型 常用函数模型 (1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0). (2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0). (3)指数函数模型:f(x)=abx+c(a、b、c为常数,a≠0,b>0, b≠1). (4)对数函数模型:f(x)=mlogax+n(m、n、a为常数,a>0, m≠0,a≠1). (5)幂函数模型:f(x)=axn+b(a、b、n为常数,a≠0,n≠1). (6)分段函数模型

第12讲 │知识梳理
2.三种函数模型的性质 在区间(0,+∞)上,指数函数y=ax(a>1),对数函数y= logax(a>1),幂函数y=xn(n>0)都是增函数,但它们增长速度 不同.随着x的增大,指数函数y=ax(a>1)的增长速度越来越 快,会超过并远远大于幂函数y=xn(n>0)的增长速度,而对数 函数y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢,图象逐渐表示为 与x轴趋于平行,因此,总会存在一个x0,当x>x0时,就有 logax<xn<ax. 3.函数模型的应用 (1)解答函数应用题的步骤: ①阅读理解:读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景, 领悟其中的数学本质,弄清题中出现的量及其数学含义.

第12讲 │知识梳理
②分析建模:分析题目中的量与量之间的关系,根据题意 恰当地引入字母(包括常量与变量),有时可借助列表、画图等 手段来理顺数量关系,同时要注意由已知条件联想熟知的函数 模型,以确定函数模型的种类,在对已知条件和目标变量的综 合分析、归纳抽象的基础上,建立目标函数,将实际问题转化 为数学问题. ③数学求解:利用相关的函数知识,进行合理设计,以确 定最佳解题方案,进行数学上的求解计算. ④还原总结:把计算获得的结果还原到实际问题中去解释 实际问题,即对实际问题进行总结作答.

第12讲 │知识梳理
(2)在实际问题中建立函数模型的算法程序: 第一步:收集数据; 第二步:根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点 图;
第三步:根据点的分布特征,选择一个能刻画散点图特征 的函数模型; 第四步:选择其中的几组数据求出函数模型; 第五步:将已知数据代入所求出的函数模型进行检验,看 其是否符合实际.若不符合实际,则重复第三、四、五步;若符 合实际,则进入下一步; 第六步:用求得的函数模型去解决实际问题.

第12讲 │知识梳理
以上过程可用程序框图表示如图12-1:

图12-1

第12讲 │要点探究 要点探究
? 探究点1 已知函数模型解决实际应用问题

例1 某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品,规定 试销时销售单价不低于成本单价,又不高于800元/件.经试销 调查,发现销售量y与销售单价x(元/件)的图象可近似看作一条 直线,该直线经过(600,400)和(700,300)两点. (1)求y关于x的函数关系式; (2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S 元,试用销售单价x表示毛利润S,并求销售单价定为多少时, 该公司可获得最大毛利润?最大毛利润是多少?此时销售量是 多少?

第12讲 │要点探究

[思路] 根据函数图象,可知y是x的一次函数,利用待定系数 法可求得函数关系式;然后利用“毛利润=销售总价-成本总 价”建立S与x的关系式,通过求函数的最值达到解题目的. [解答] (1)由于y与x关系式的图象为一条直线,因此设y= kx+b,∴解得k=-1,b=1000, ∴y=-x+1000(500≤x≤800);

第12讲 │要点探究

(2)S=xy-500y=x(-x+1000)-500(-x+1000)=-(x -750)2+62500(500≤x≤800),∴当销售单价是750元/件时,可 获得最大毛利润62500元,此时销售量为250件.

[点评] 以函数图象给出关系式的应用问题,先利用图象 形状确定函数的类型,然后利用待定系数法求解;函数应用问 题中,已知的等量关系也是解题的依据,它们常用来构造函数 关系.

第12讲 │要点探究
例 2 学生学习的主要时间集中在课堂,因此如何让课堂成 为更为高效课堂,是所有教师教学生涯追求的目标.经过研究 发现,学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化,讲课开 始时,学生的学习兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保 持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设 f(t)表示学生 注意力随时间 t(分钟)的变化规律(f(t))(越大,表示学生注意力越 集中),经过调查研究分析其关系式近似为
?-t2+24t+100,0<t≤10, ? 10<t≤20, f(t)=?240, ? ?-7t+380, 20<t≤45.

第12讲 │要点探究

(1)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续 多少分钟? (2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟相比,何时学生 的注意力更集中? (3)一道数学难题,需要讲解24分钟,并且要求学生的注 意力至少达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生达到 所需状态下讲授完这道题目?

第12讲 │要点探究

[解答] (1)当 0<t≤10 时,f(t)=-(t-12)2+244,此时 f(t)max =-(10-12)2+244=240, 10<t≤20 时, 当 f(t)=240, 20<t≤45 当 时,f(t)=-7t+380,此时 f(t)max<-7× 20+380=240,故讲课 开始 10 分钟后,学生的注意力最集中,能持续 10 分钟; (2)∵0<5≤10,∴f(5)=-52+24× 5+100=-25+120+100 =195, ∵20<25≤45, ∴f(25)=-7× 25+380=-175+380=205, ∴f(5)<f(25),即讲课开始后 25 分钟学生的注意力比与讲课开始 后 5 分钟学生的注意力更集中;

第12讲 │要点探究

(3)当 0<t≤10 时,∵f(t)=180,∴-t2+24t-80=0,∴t=4 或 t 200 =20(舍去);当 20<t≤45 时,∵f(t)=180,∴-7t=-200,∴t= 7 ≈28.6,∴学生注意力在 180 以上持续的时间为 28.6-4=24.6>24.∴ 经过适当安排, 老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题 目.

第12讲 │要点探究
? 探究点2 建立函数模型解决实际应用问题

例3 据气象中心观察和预测:发生于M地的 沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h) 与时间t(h)的函数图象如图12-2所示,过线段OC 上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左 图12-2 侧部分的面积 即为t(h)时间内沙尘暴所经过的路程s(km). (1)当t=4时,求s的值; (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,试判断这场 沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它 将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.

第12讲 │要点探究

[解答] (1)由图象可知直线 OA 所在的方程为 y=3x,当 t=4 时, 1 v=3× 4=12,∴s= × 12=24. 4× 2

第12讲 │要点探究
1 32 (2)当 0≤t≤10 时,s= ·3t= t , t· 2 2 1 当 10<t≤20 时,s= × 30+30(t-10)=30t-150; 10× 2 1 1 当 20<t≤35 时,s= × 30+10× 10× 30+(t-20)× 30- × (t- 2 2 20)× 2(t-20)=-t2+70t-550.
?3 2 ? t ,t∈???0,10???, ?2 综上可知 s=?30t-150,t∈??10,20??, ? ? ? ?-t2+70t-550,t∈???20,35???. ?

第12讲 │要点探究

3 (3)当 t∈[0,10]时,smax= × 2=150<650;当 t∈(10,20]时, 10 2 smax=30× 20-150=450<650.当 t∈(20,35]时,令-t2+70t-550 =650.解得 t1=30,t2=40,∵20<t≤35,∴t=30,∴沙尘暴发生 30 h 后将侵袭到 N 城.

第12讲 │要点探究

例 4 芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可 美化居室、净化空气,又可美容保健,因此深受人们欢迎,在 国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为 了了解行情,进行市场调研,从4月1日起,芦荟的种植成本Q( 单位:元/10 kg)与上市时间t(单位:天)的数据情况如下表:
上市时间t 种植成本Q
50 150 110 108 250 150

第12讲 │要点探究
(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟种 植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c ,Q=a· t,Q=alogbt; b (2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时上市天数及 最低种植成本.

第12讲 │要点探究

[解答] (1)由所提供的数据可知,反映芦荟种植成本Q与上 市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数,故用函数Q= at+b,Q=a· t,Q=alogbt中的任意一个来反映时都应有 b a≠0,而上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据 不符合,所以应选用二次函数Q=at2+bt+c进行描述.

第12讲 │要点探究
(2)将表格所提供的三组数据分别代入函数 Q=at2+bt+c,
?150=2500a+50b+c, ? 可得?108=12100a+110b+c, ? ?150=62500a+250b+c,

1 3 425 解得 a= ,b=- ,c= , 200 2 2

所以,反映芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数为 Q 1 2 3 425 1 = t - t+ = (t-150)2+100.当 t=150(天)时,芦荟种植 200 2 2 200 成本最低为 100(元/10kg).

第12讲 │规律总结

规律总结
1.把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好三关: (1)事理关:通过阅读、理解,明白问题讲的是什么,熟悉 实际背景,为解题找突破口. (2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学符号语言, 用数学式子表达数学关系. (3)数理关:在构建数学模型的过程中,对已知数学知识进 行检索,从而认定或构建相应的数学模型.

第12讲 │规律总结

2.高考数学试题中联系生活实际和生产实际的应用问 题,其创意新颖,设问角度独特,解题方法灵活,一般文字 叙述长,数量关系分散且难以把握,解决此类问题的关键要 认真审题,确切理解题意,进行科学的抽象概括,将实际问 题归纳为相应的数学问题,然后利用函数、方程、不等式等 有关知识解答. 3.解答数学应用题时,一定要注意函数的定义域,否 则极易出错.

第13讲 │ 导数及其运算

第13讲 导数及其运算

第13讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是 Δx→0 lim f?(x0+Δx)?-f?(x0)? Δy lim Δx→0 Δx =__________________,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处 Δx Δy f′(x0)或y′|x=x0 的导数,记作________________,即f′(x0)= Δx→0 lim = Δx
f?(x0+Δx?)-f?(x0)? lim Δx→0 Δx ______________________.

2.当x变化时,f′(x)是x的一个函数,我们称它为f(x)的

导函数 ________,简称______,有时也记作y′,即f′(x)=y′=
f?(x+Δx?)-f?(x)? Δx ________________. lim Δx→0

导数

第13讲 │ 知识梳理
3.导数的几何意义 (1)设函数y=f(x)在x0处可导,则f′(x0)表示曲线上相应 切线的斜率 点M(x0,y0)处的____________,点M处的切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0) ______________________. (2)设s=s(t)是位移函数,则s′(t0)表示物体在t0时刻的 瞬时速度 ____________. (3)设v=v(t)是速度函数,则v′(t0)表示物体在t=t0时刻 加速度 的________. 4.几种常见函数的导数 0 (1)C是常数,则C′=____; (2)(xn)′=______(n∈Q*); nxn-1

第13讲 │ 知识梳理

cosx -sinx (3)(sinx)′=______; (4)(cosx)′=________; 1 1 x (5)(ln x)′=______;(logax)′=________; x· lna
x ax· lna ex (6)(e )′=____;(a )′=________. x

5.求导法则

u′±v′ u′v+uv′ (1)(u± v)′=________;(2)(u· v)′=________; u′v-uv′ ?u? (3)? v ?′=__________. v2 ? ?
6.复合函数的导数 设 y=f(u),u=g(x)在对应点可导,则 yx′=yu′·ux′.

第13讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 导数的概念
例 1 函数 f(x)在 x=x0 处可导, f′(x0)表示下列各式: 用 f?(x0+2Δx?)-f?(x0?) (1)Δx→0 lim ; Δx f?(x0+h?)-f?(x0-h?) (2)lim . h→0 h [思路] 用导数的定义即可求解. f?(x0+2Δx?)-f?(x0?) [解答] (1)原式=2· lim =2f′(x0). Δx→0 2Δx f?(x0+h?)-f?(x0-h?) (2)原式=2· lim =2f′(x0). h→0 2h

第13讲 │ 要点探究

[点评] 利用导数定义解题,要充分体会导数定义的 实质,表达式不同,但表达的实质可能相同.比如下面的 变式题:

第13讲 │ 要点探究

下列式子中与 f′(x0)相等的是( f?(x0?)-f?(x0-2Δx?) (1) Δx→0 lim ; 2Δx f?(x0+Δx?)-f?(x0-Δx?) (2) Δx→0 lim ; Δx f?(x0+2Δx?)-f?(x0+Δx?) (3) Δx→0 lim ; Δx f?(x0+Δx?)-f?(x0-2Δx?) (4) Δx→0 lim . Δx A.(1)(2) B.(1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)(4)

)

第13讲 │ 要点探究

[思路] 紧扣导数定义,正确理解增量Δx的实质. B [解析] 根据导数定义,分子中x0的增量应与分母相同, 故选B.

第13讲 │ 要点探究
? 探究点2 利用求导法则求导

例 2 下列函数求导运算正确的个数为:①(3x)′=3xlog3e; 1 ②(log2x)′= ;③(ex)′=ex ;④(xa)′=axlna;⑤(cosx)′= x· ln2 sinx.( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

第13讲 │ 要点探究

[思路] 先判断原函数的类型,再套用公式求解. ? x? B [解析] 对于①,函数为指数函数,因此??3 ??′=3xln3;对 1 ? ? 于②,函数为对数函数,因此??log2x??′= ;对于③,函数为指 x· ln2 a x 数函数,因此???e ???′=ex;对于④,函数为幂函数,因此???x ???′=axa-1; 对于⑤,函数为三角函数,因此???cosx???′=-sinx.以上只有②③两 个正确. [点评] 利用公式求导, 不能混淆“幂函数”与“指数函数”的求 导公式,不能混淆指数函数导数的系数与对数函数导数的系数.

第13讲 │ 要点探究
例 3 求下列函数的导数: (1)y=ax+xa; (3)y=elnxlgx; x-x5 (2)y= ; x2 x2 (4)y= . sinx

[解答] (1)y′=(ax)′+(xa)′=axlna+axa-1; 3 3 x-x5 - - 3 (2)y= =x 2-x ,∴y′=(x 2)′-(x3)′= 2 x 3 -5 - x 2-3x2; 2 1 (3)y=elnxlgx=xlgx,y′=(xlgx)′=lgx+ ; ln10 ? x2 ? 2xsinx-x2cosx (4)y′=?sinx?′= . sin2x ? ?

第13讲 │ 要点探究

[点评] 对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基 本原则,求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别 注意求导法则对求导的作用,在实施化简时,要注意变换的 等价性,避免不必要的失误.对于某些不满足求导法则条件 的函数,可适当进行恒等变形,步步为营,使解决问题水到 渠成.

第13讲 │ 要点探究
例 4 求下列各函数的导数: (1)y=ln( x2+1);(2)y=cos2(x2-x); ? π? -2x (3)y=e sin?3x- 3 ?. ? ? [思路] 本例题中的函数均为复合函数, 求导时需搞清复合的层次, 注意使用整体的观点,弄清每一步是对哪一层求导,用什么公式求导. 1 [解答] (1)y′=[ln( x2+1)]′= 2 ( x2+1)′ x +1 1 1 = 2 × (x2+1)′ x +1 2 x2+1 2x x = = 2 . 2 2 x +1 2? x +1? 1+cos?2x2-2x? (2)∵y=cos2(x2-x)= 2 2 1 cos?2x -2x? = + , 2 2

第13讲 │ 要点探究
∴ y′ =
?1 cos?2x2-2x?? ? ? + ?2 ?′= 2 ? ?

1 - (2x2 - 2x)′· sin(2x2 - 2x) = (1 - 2

2x)sin(2x2-2x). (3)y′=(e
-2x

π π π -2x =(-2x)′e sin(3x- )+(3x- )′e cos(3x- ) 3 3 3 ? ? π? π? -2x -2x =-2e sin?3x- 3 ?+3e cos?3x- 3 ?. ? ? ? ?
-2x

? π? -2x? ? π ?? )′sin?3x- 3 ?+e ?sin?3x- 3 ??′ ? ? ? ? ??

[点评] 对复合函数求导,应分析清楚复合函数的复合 层次,“由外到内”逐层求导,在中学数学中一般复合函数 的复合层次不超过3层.

第13讲 │ 要点探究
? 探究点3 导数的几何意义

1 3 4 例 5 已知曲线 y= x + . 3 3 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程; (3)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程; (4)第(1)小题中切线与曲线是否还有其他公共点?
[解答] (1)∵y′=x2, ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k ? = y′?x=2=4.∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 ? ? ? y-4=4??x-2??,即 4x-y-4=0.

第13讲 │ 要点探究

1 3 4 (2) 设 曲 线 y = x + 与 过 点 P(2,4) 的 切 线 相 切 于 点 3 3 ? 1 3 4? ? A?x0,3x0+3?,则切线的斜率 k= y′?x=x0=x2.∴切线方程为 y- ? 0 ? ? ?1 3 4? 2 4 ? ? ? x0+ ?=x2?x-x0?,即 y=x2· x- x3+ .∵点 P(2,4)在切线上,∴4 ? 0? 0 3? 3 0 3 ?3 2 3 4 ? ? 2 =2x0- x0+ , x3-3x2+4=0, 3+x2-4x2+4=0, 2??x0+1?? 即 0 ∴x0 ∴x0 0 0 0 3 3 ? ?? ? ? ?? ? -4??x0+1????x0-1??=0,∴??x0+1????x0-2??2=0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0.

第13讲 │ 要点探究

(3)设切点为??x0,y0??,故切线的斜率为 k=x2=1,解得 x0=± 1, 0 ? 5? ?? ? 故切点为?1,3?,?-1,1??.故所求切线方程为 ? ? 5 y- =x-1 或 y-1=x+1,即 3x-3y+2=0 或 x-y+2=0. 3 ? 1 4 ? 4x-y-4=0, y= x3+ , 消去 y,得 (4)由 3 3 ? x3-12x+16=0 即??x-2??2??x+4??=0,∴x=2 或 x=-4 代入 4x-y -4=0,求得 y=4 或 y=-20.即公共点为(2,4)(切点)和(-4,- 20).∴除切点外,还有一个交点(-4,-20).
? ? ? ?

?

?

第13讲 │ 要点探究

设质点作直线运动, 已知路程 s(单位: m)是时间 t(单 位:s)的函数:s=3t2+2t+1.求: (1)从 t=2 变到 t=3 时,s 关于 t 的平均变化率,并解释它的 实际意义; (2)当 t=2 时的瞬时速度; (3)当 t=2 时的加速度.

第13讲 │ 要点探究
Δy [思路] (1)利用概念求函数 f(x)的平均变化率 ; (2)瞬时速度为位 Δx 移函数在某一时刻上的导数值;(3)加速度为速度函数在某一时刻上的 导数值. [解答] (1)Δs=s(3)-s(2)=(3× 2+2× 3 3+1)-(3× 2+2× 2 2+1)=17, Δs 17 ∴ = =17,表示从 t=2 变到 t=3 时,s 关于 t 的平均变化率为 Δt 3-2 17,即此段时间质点的平均速度为 17 m/s. (2)s′(t)=6t+2,∴s′(2)=6× 2+2=14(m/s).即当 t=2 时的瞬时速 度为 14 m/s. (3)设该质点的速度为 v m/s,则 v(t)=s′(t)=6t+2,∴v′(t)=6, ∴v′(2)=6,即当 t=2 时的加速度为 6 m/s2.

第13讲 │ 规律总结 规律总结
1.函数f(x)的导数的实质是“增量之比的极限”,即瞬时变化率, f′(x0)是函数f(x)在导函数f′(x)当x=x0时的函数值. 2.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是指曲线y=f(x)在 点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即f′(x0)=k切,此时切线方程为y- f(x0)=f′(x0)(x-x0). 3.准确理解曲线的切线,需要注意的两个问题

(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征,直线与曲线
只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线,同样,直线是曲线的 切线,则直线与曲线可能有两个以上公共点;

(2)曲线未必在其切线的同侧,如曲线y=x3在其过(0,0)点的切
线y=0的两侧.

第13讲 │ 规律总结

4.要区分“过某点”的切线和“在某点”的切线不同,“在 某点”的切线是指以该点为切点的切线,因此此点横坐标处的 导数值为切线的斜率,而对于“过某点”的切线,则该点不一定 是切点,要利用解方程组的思想求切线的方程. 5.利用导数公式求导数时,先要根据基本函数的定义, 判断原函数是哪类基本函数,再套用相应的导数公式求解,切 不可因判断函数类型失误而出错.另外,还要避免求导过程中 指数或系数的运算失误.

第13讲 │ 规律总结

6.在求导数时,有些函数虽然表面形式上为函数的商或 积,但在求导前利用公式进行恒等变形可将函数转化为和或差 形式,然后进行求导,这样可避免使用积、商的求导法则,从 而减少运算量,提高运算速度,避免出错. 7.复合函数求导,必须搞清复合层次,不能有漏掉的环 节,要适当选取中间变量,弄清每一步对哪个变量求导,用什 么公式求导.

第14讲 │ 导数的应用

第14讲

导数的应用

第14讲 │知识梳理 知识梳理
1.函数的单调性 若函数f(x)在某区间内可导,则f′(x)>0?f(x)在该区间上 单调 ____ _____ 递减 ;f′(x)<0?f(x)在该区间上____________. 单调递增 反之,若f(x)在某区间上单调递增,则在该区间上有 f′(x)≥0 f′(x)≤0 _______恒成立;若f(x)在某区间上单调递减,则在该区间上有 ________恒成立. 2.函数的极值 (1)函数极值的定义

第14讲 │知识梳理

①已知函数y=f(x),设x0是定义域内任一点,如果 对x0附近的所有点x,都有f(x)<f(x0),则称函数f(x)在点 极大值 y极大值=f(x0) x0处取________,记作______________,并把x0称为函 极大值点 数f(x)的一个__________; ②如果在x0附近都有f(x)>f(x0),则称函数f(x)在点x0 y最小值=f(x0) 极小值 处取________,记作____________,并把x0称为函数f(x) 极小值点 的一个____________; 极值 ③极大值与极小值统称________,极大值点与极小值 极值点 点统称为________. (2)求函数极值的方法

第14讲 │知识梳理
①第1步:求导数f′(x); ②第2步:求方程f′(x)=0的所有实数根; f′(x)>0 ③第3步:当f(x0)=0时,如果在x0附近的左侧______,右 f′(x)<0 f′(x)<0 侧________,那么f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧 f′(x)>0 ________,右侧________,那么f(x0)是极小值. 3.函数的最值 (1)函数f(x)在[a,b]上必有最值的条件 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象 是一条连续不断的曲线 ________________________,那么它必有最大值和最小值. (2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 极值 ①求函数y=f(x)在(a,b)内的______;

第14讲 │知识梳理

②将函数y=f(x)的各极值与 端点处的函数值f(a)、f(b) _________________________比较,其中最大的一个是最大 值,最小的一个是最小值. m<f(x)min m>f(x)max 4.f(x)>m恒成立等价于________;f(x)<m恒成立等 价于________. f(x1)>0 5.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极大值为f(x1), f(x2)<0 极小值为f(x2),若函数有三个零点,则________________; f(x1)=0或f(x2)=0 函数有两个零点,则________________;函数有且仅有一个 零点,则___________________.

第14讲 │要点探究 要点探究
? 探究点1 利用导数研究函数的单调性
k 例 1 [2010· 北京卷] 已知函数 f(x)=ln(1+x)-x+ x2(k≥0). 2 (1)当 k=2 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求 f(x)的单调区间.
[解答] (1)当 k=2 时,f(x)=ln(1+x)-x+x2, 1 f′(x)= -1+2x. 1+x 3 由于 f(1)=ln2,f′(1)= , 2 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

第14讲 │要点探究
3 y-ln2= (x-1). 2 即 3x-2y+2ln2-3=0. x(?kx+k-1)? (2)f′(x)= ,x∈(-1,+∞). 1+x x 当 k=0 时,f′(x)=- . 1+x 所以,在区间(-1,0)上,f′(x)>0;在区间(0,+∞)上,f′(x)<0. 故 f(x)的单调递增区间是(-1,0),单调递减区间是(0,+∞). x?(kx+k-1)? 1-k 当 0<k<1 时,由 f′(x)= =0,得 x1=0,x2= >0. k 1+x

第14讲 │要点探究
?1-k ? ? 1-k? ? ? ? ? 所以,在区间(-1,0)和? 上,f′(x)<0. ,+∞?上,f′(x)>0;在区间?0, k ? ? k ? ? ? ?1-k ? ? 1-k? ? ? ? ? f(x)的单调递增区间是(-1,0)和? . ,+∞?,单调递减区间是?0, k ? ? k ? ? ?



x2 当 k=1 时,f′(x)= , 1+x 故 f(x)的单调递增区间是(-1,+∞). x?(kx+k-1)? 1-k 当 k>1 时,f′(x)= =0,得 x1= ∈(-1,0),x2=0. k 1+x
? ?1-k ? 1-k? ? ? ? ? 所以,在区间?-1, 和(0,+∞)上,f′(x)>0;在区间? ,0?上,f′(x)<0. k ? ? ? ? k ?

第14讲 │要点探究



? ?1-k ? 1-k? ? ? ? ? f(x)的单调递增区间是?-1, ?和(0,+∞),单调递减区间是? k ,0?. k ? ? ? ?

[点评] (1)利用导函数的性质确定函数的单调性比用函 数单调性的定义要方便,它是根据导函数的正负性确定函数 的单调性;(2)两个单调递增区间不能“并”起来.函数的 单调性是函数在某一区间内的性质,讨论函数的单调性应在 函数的定义域范围内进行.

第14讲 │要点探究
如果函数y=f(x)的图象如图14-1,那么导函数y=f′(x) 的图象可能是( )

第14讲 │要点探究
[思路] 由原函数的图象变化趋势是“增、减、增、减”, 运用“增则正,减则负”规律,即可判断导函数的图象. A [解析] 由原函数的单调性可以得到导函数的正负性情况, 依次是“正、负、正、负”,即导函数的图象与x轴的位置应是 “上、下、上、下”,符合规律的只有A.
[点评] 解决此类问题时,审题应看清已知条件是导函数 还是原函数,然后用“导数的正负性决定原函数的增减性” 原则进行判断.

第14讲 │要点探究
已知f(x)=ex-ax-1. (1)求f(x)的单调增区间; (2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围; (3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0, +∞)上单调递增?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由 . [思路] (1)通过解f′(x)>0求单调递增区间;(2)转化 为f′(x)>0在R上恒成立问题,求a;(3)假设存在a,则f(0) 是f(x)的极小值,或转化为恒成立问题.

第14讲 │要点探究
[解答] (1)f′(x)= ex-a.若a≤0,f′(x)=ex- a>0恒成立,即f(x)在R上递增.若a>0,ex-a≥0, ∴ex≥a,x≥lna,∴f(x)的递增区间为(lna,+∞). (2)∵f(x)在R内单调递增,∴f′(x)≥0在R上恒成 立.∴ex-a≥0,即a≤ex在R上恒成立.∴a≤(ex)min,又 ∵ex>0,∴a≤0. (3)方法一:由题意知ex-a≤0在(-∞,0]上恒成 立.∴a≥ex在(-∞,0]上恒成立.∵ex在(-∞,0]上 为增函数,∴x=0时,ex最大为1.∴a≥1,同理可知ex- a≥0在[0,+∞)上恒成立,∴a≤ex在[0,+∞)上恒成 立,∴a≤1.

第14讲 │要点探究

综上所述,a=1. 方法二:由题意知,x=0为f(x)的极小值点.∴f′(0) =0,即e0-a=0,∴a=1,经检验a=1符合题意. [点评] 已知函数f(x)在某区间内单调求参数问题,常转 化为其导函数f′(x)在该区间内大于等于0(单调增函数)或小于 等于0(单调减函数)恒成立问题.

第14讲 │要点探究
? 探究点2 利用导数研究函数的极值与最值

例2 已知a∈R,讨论函数f(x)=ex(x2+ax+a+1)的极 值点的个数.
[解答]f′(x)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)],令 f′(x) =0 得 x2 +(a+2)x+(2a+1)=0.(1)当 Δ=(a+2)2 - 4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0, a<0 或 a>4 时 x2+(a 即 +2)x+(2a+1)=0 有两个不同的实根 x1,x2,不妨设 x1<x2.于是 f′(x)=ex(x-x1)(x-x2),从而有下表:

第14讲 │要点探究
x f′(x) f(x) (-∞,x1) + 单调递增 x1 0 极大值 (x1,x2) - 单调递减 x2 0 极小值 (x2,+∞) + 单调递增

即此时f(x)有两个极值点. (2)当Δ=0即a=0或a=4时,方程x2+(a+2)x+(2a+ 1)=0有两个相同的实根x1=x2. 由题易知f(x)无极值. (3)当Δ<0即0<a<4时,同理可得f(x)此时无极值.

第14讲 │要点探究
例3 函数f(x)=ax3-6ax2+b在[-1,2]上的最大值为3,最小值 为-29,求a,b的值.

[解答] 由题设知a≠0,否则f(x)=b为常函数,与题设矛盾. f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f′(x)=0,得x1=0,x2 =4(舍去). ①当a>0时,列表如下:
① x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2

f′(x)
f(x)

15a
-7a+b


?

0
b


?

-12a
-16a+b

第14讲 │要点探究

由上表可知,当x=0时,f(x)取得极大值,也就是函数 在[-1,2]上的最大值,∴f(0)=3,即b=3.又f(-1)=-7a+ 3,f(2)=-16a+3,f(2)<f(-1),∴x=2时函数在[-1,2]上 取得最小值,∴f(2)=-16a+3=-29,∴a=2. ②当a<0时,同理可得b=-29,a=-2. 综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.

第14讲 │要点探究

[2010· 宝鸡模拟] 已知函数f(x)=axlnx在点(e ,f(e))处的切线与直线y=2x平行(其中e=2.71828…), g(x)=x2-tx-2. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)在[n,n+2](n>0)上的最小值; (3)对一切x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,求实数t的取 值范围.

第14讲 │要点探究
[解答](1)由点(e, f(e))处的切线与直线 2x-y=0 平行, 得该切线 斜率为 2,即 f′(e)=2. 又∵f′(x)=a(lnx+1),令 a(lne+1)=2,即 a=1, ∴f(x)=xlnx. ? 1? -1 (2)由(1)知 f′(x)=lnx+1,显然 f′(x)=0 时 x=e .当 x∈?0, e ?时 ? ? ? 1? f′(x)<0,∴函数 f(x)在?0, e ?上单调递减. ? ? ?1 ? ?1 ? 当 x∈?e ,+∞?时 f′(x)>0,∴函数 f(x)在?e ,+∞?上单调递增. ? ? ? ? ?1? 1 1 ? ?=- ; ① ∈[n,n+2]时,f(x)min=f e e e ? ? 1 ② ≤n<n+2 时,函数 f(x)在[n,n+2]上单调递增,∴f(x)min=f(n)= e nlnn.

第14讲 │要点探究
1? ? 1 ? ?-e,?0<n<e ?, ? ? ? ∴f(x)min= ? ? ?nlnn,?n≥1?. ? ? e? (3)对一切 x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,又 g(x)=x2-tx-2,∴ 2 2 3xlnx≥x -tx-2,即 t≥x-3lnx- .在(0,e]设恒成立 h(x)=x-3lnx x 2 2 3 2 x -3x+2 ?(x-1?)(?x-2)? - , x∈(0, 则 h′(x)=1- + 2= e], = , x x x x2 x2 由 h′(x)=0 得 x=1 或 x=2,∴x∈(0,1),h′(x)>0,h(x)单调递增;x ∈(1,2),h′(x)<0,h(x)单调递减;x∈(2,e],h′(x)>0,h(x)单调递增, ∴h(x)极大值=h(1)=-1,且 h(e)=e-3-2e-1<-1, ∴h(x)max =h(1)=-1.∵对一切 x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,∴ t≥h(x)max=-1.故实数 t 的取值范围为[-1,+∞).

第14讲 │要点探究

?

探究点3

导数在方程与不等式中的应用

例4 [2011· 吉安模拟] 已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2+ a(a为常数),若直线l与g=f(x)和y=g(x)的图象都相切, 且l与y=f(x)的图象相切于定点P(1,f(1)). (1)求直线l的方程及a的值; (2)当k∈R时,讨论关于x的方程f(x2+1)-g(x)=k的 实数解的个数.

第14讲 │要点探究
1 [解答] (1)f′(x)= ,∴f′(1)=1,切点为(1,0), x ∴l 的解析式为 y=x-1. 又 l 与 y=g(x)相切, ?y=x-1, ? ∴? ?x2-2x+2a+2=0, 1 2 ?y=2x +a ? 1 Δ=(-2)2-4(2a+2)=0?a=- . 2 1 1 (2)令 h(x)=f(x2 +1)-g(x)=ln(x2 +1)- x2 + ,∴h′(x)=- 2 2 x?(x+1)(??x-1)? . x2+1 令 h′(x)=0?x1=0, x2,3=± 1.

第14讲 │要点探究

1° k∈(ln2,+∞)时,方程无解; 2° 当 k=ln2 时,方程有 2 解; 1 3° 当 <k<ln2,方程有 4 解; 2 1 4° 当 k= 时,方程有 3 解; 2 1 5° 当 k< 时,方程有 2 解. 2

第14讲 │要点探究
1 5 已知函数 f(x)=x3-ax,g(x)= x2-lnx- . 2 2

例5

(1) 若 g(x)与 f(x)在同一点处有相同的极值,求实数 a 的值; (2) 对一切 x∈(0,+∞),有不等式 f(x)≥2x·g(x)-x2+5x-3 恒成立, 求实数 a 的取值 范围; 1 2 5 1 2 (3)记 G(x)= x - -g(x), 求证: G(x)> x- (e 是自然对数的底数). 2 2 e ex

第14讲 │要点探究
1 [解答] (1)由题知,g′(x)=x- ,令 g′(x)=0 得 x=1(x>0),当 0<x<1 x 时,g′(x)<0;当 x>1 时,g′(x)>0, 故当 x=1 时,g(x)有极小值为 g(1)=-2,∴f(1)=-2,且 f′(1)=0, ∴a=3. ?1 2 5? 3 ? x -lnx- ? -x2 +5x-3,化简得 (2)原不等式可化为 x -ax≥2x 2 2? ? 3 2 ax≤2xlnx+x +3.因为 x∈(0,+∞),故上式可化为 a≤2lnx+ +x,则可知 x ? ? 3 3 a≤2lnx+ +x 恒成立,即 a≤?2lnx+x+x?min, x ? ? ? ? 3 3 2 3 ?2lnx+ +x? ′ = - 2 + 1 = 记 t(x) = 2lnx + x + x(x>0) , t′(x) = x x x ? ? x2+2x-3 , x2

第14讲 │要点探究
x2+2x-3 令 t′(x)=0,得 =0,解得 x=1, x2 在(0,1)上,t′(x)<0;在(1,+∞)上,t′(x)>0, 故当 x=1 时,t(x)有极小值为 4,故 a∈(-∞,4]. 1 2 (3)证明:由题知,G(x)=lnx,原不等式可化为 lnx> x- ,即 e ex x 2 证 xlnx> x- 成立, e e 1 记 F(x)=xlnx, F′(x)=lnx+1, F′(x)=0 得 x= , 由 因此函数 F(x) e ? ?1 ? ?1? 1? 1 ?0, ?上为减函数,在? ,1?上为增函数,其最小值为 F? ?=- , 在 e? e ? ?e ? ?e ? 1 即 F(x)≥- . e

第14讲 │要点探究

ex-xex x 2 记 H(x)= x- ,则 H′(x)= 2 ,令 H′(x)=0,得 x=1,因此 e e ex 1 H(x)在(0,1)上为增函数, 在(1, +∞)上为减函数, ∴H(x)mex=H(1)= - e 2 ,因为 F(x)max≥H(x)max. e 所以当 x∈(0,+∞)时,F(x)>H(x),故原不等式成立.

第14讲 │要点探究
? 探究点4 生活中的优化问题

例 6 [2010· 合肥模拟] 某电视生产厂家有 A、 两种型号的电视机 B 参加家电下乡活动.若厂家投放 A、B 型号电视机的价值分别为 p,q 1 万元,农民购买电视机获得的补贴分别为 p,mln(q+1)(m>0)万 10 元.已知厂家把总价值为 10 万元的 A、B 两种型号电视机投放市场, 且 A、B 两型号的电视机投放金额都不低于 1 万元(精确到 0.1,参考 数据:ln4≈1.4). 2 (1)当 m= 时,请你制定一个投放方案,使得在这次活动中农民 5 得到的补贴最多,并求出其最大值; (2)讨论农民得到的补贴随厂家投放 B 型号电视机金额的变化而 变化的情况.

第14讲 │要点探究
[解答] 设投放 B 型号电视机的价值为 x 万元(1≤x≤9),农民得到 的补贴为 y 万元,则投放 A 型号电视机的价值为(10-x)万元,由题 意得 1 1 y= (10-x)+mln(x+1)=mln(x+1)- x+1. 10 10 2 2 1 (1)当 m= 时,y= ln(x+1)- x+1, 5 5 10 2 1 y′= - ,由 y′=0,得 x=3, 5?(x+1?) 10 当 x∈(1,3)时,y′>0;当 x∈(3,9)时,y′<0. 2 所以 x=3 时,y 取得最大值,ymax= ln4-0.3+1≈1.3. 5 即厂家分别投放 A,B 两型号电视机 7 万元和 3 万元时,农民得到的 补贴最多,最多补贴约 1.3 万元.

第14讲 │要点探究
m 1 (2)y′= - ,由 y′=0,得 x=10m-1. x+1 10 ①当 10m-1≤1,即 0<m≤0.2 时,y′≤0,y 在[1,9]上是减函数,随 B 型电视机投放金额 x 万元的增加,农民得到的补贴逐渐减少. ②当 1<10m-1<9,即 0.2<m<1 时,在区间[1,10m-1)上,y′>0,在 区间(10m-1,9]上,y′<0. 当 x∈[1,10m-1]时,随 B 型号电视机投放金额 x 的增加,农民得到 的补贴逐渐增加;当 x∈(10m-1,9]时随 B 型电视机投放金额 x 增加农民 得到的补贴逐渐减少. ③当 10m-1≥9,即 m≥1 时,y 在[1,9]上是增函数,随 B 型电视机投 放金额 x 的增加,农民得到的补贴逐渐增加.

[点评] 用导数求解实际问题中的最大值或最小值时,一般 先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,然 后转化为导数模型求解

第14讲 │规律总结 规律总结
1.函数的单调性、极值、最值都是定义域内的局部性质, 因此利用导数讨论函数的性质时,首先要研究函数的定义域, 再利用导数f′(x)解决. 2.通过判断函数定义域被导数为零的点或不可导点所划分 的各区间内导数f′(x)的符号,来判断函数f(x)在该区间上的单调 性;f′(x)>0(或f′(x)<0)在区间(a,b)上成立只是f(x)在这个区间 上是增函数(减函数)的充分条件,而不是必要条件,因此,由函 数单调性求其所含参数的取值问题时,对于导数值为零的点需 要单独验证,以免出错;当一个函数具有相同单调性的单调区 间不止一个时,由于集合的并集运算“∪”其运算结果为一个整

第14讲 │规律总结
体,因此这些单调区间一般不能用“∪”连接,而只能用“逗 号”或“和”字隔开. 3.根据极值的定义,导数为0的点只是可疑点,不一定是极 值点,只有在该点两侧导数的符号相反,即函数在该点两侧 的单调性相反时,该点才是函数的极值点;另一方面,极值 点处的导数也不一定为零,还要考查函数在该点处的导数是 否存在. 4.一般地,要证明不等式f(x)>g(x)在区间Ⅰ上恒成立,则 可构造函数h(x)=f(x)-g(x),通过讨论h′(x)在区间Ⅰ上的取 值范围,判断出函数h(x)的单调性,然后由函数h(x)在区间 Ⅰ上的一个初始值,证得不等式成立.

第14讲 │规律总结

5.导数是解决生产生活中最优化问题的通性通法,利用导 数求实际问题的最值的一般步骤和方法如下:(1)细致分析实 际问题中各个量之间的关系,正确设定所求最大值或最小值的 变量y与自变量x,把实际问题转化为数学问题,即列出函数关 系y=f(x),并根据实际问题中的限制条件确定y=f(x)的定义 域;(2)求f′(x),令f′(x)=0,得出方程所有实数根;(3)比较函 数在各个区间端点和在极值点的取值大小,确定其最大值或最 小值;(4)检验结果的实际意义,给出答案.

第15讲 │ 定积分与微积分基本定理

第15讲

定积分与微积分基本定理

第15讲 │知识梳理 知识梳理
1.定积分的定义 如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi -1<xi<…<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个小区间 b-a [xi-1,xi]内任取一点 ξi(i=1,2,3,…,n),作和式 ?f(ξi)Δx= ? n i=1 i=1
n n

某个常数 f(ξi),当 n→∞时,该和式无限接近于____________,这个常数叫做 函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作 ?b f(x)dx.其中 f(x)称为 ?
积分变量 被积式 被积函数 ____________,x 称为____________,f(x)dx 称为________,a 称 积分上限 积分下限 为____________,b 称为____________.
?a

第15讲 │知识梳理

2.定积分的几何意义 在区间[a, b]上的连续函数 f(x), 若恒有 f(x)≥0, 定积分?baf(x)dx ? 表 示 由 直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形 _________________________________________________________ 的面积 _______________. 若 恒 有 f(x)≤0 , 定 积 分 ?b af(x)dx 表 示 由 ? 直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯 _________________________________________________________ 形的面积的相反数 _______________.

第15讲 │知识梳理
3.定积分的性质 (1)定积分的线性性质 k?bf(x)dx ? ? ?b ?a ? kf(x)dx=____________(k 为常数); ?
?a
? f(x)dx± bg(x)dx ? ? ?b ?a g(x)]dx=____________________; ? [f(x)± ? ?b ? ? ?a

?a

(2)定积分对区间的可加性 ?b ?c ? f(x)dx+? f(x)dx ? ? ?c ?a ?b ? f(x)dx=__________________(a<b<c); ?
?a

(3)?bf(x)dx=-?af(x)dx. ? ? ? ?
?a ?b

第15讲 │知识梳理

4.微积分基本定理 如 果 F′(x) = f(x) , 且 f(x) 在 [a , b] 上 连 续 , 则 ?b f(x)dx = ? ?

F(x)|b a ____________,也可写作________,其中

F(b)-F(a) 原函数 ________.

?a

F(x)叫做 f(x)的一个

第15讲 │要点探究 要点探究
? 探究点1
例 1
1

利用微积分基本定理及定积分的性质求定积分

(1)计算下列定积分: ? 1? 2 ?2? ①? 2x -x?dx=________; ? ? ? ?

③?2|3-2x|dx=________; ? ?
?1

(2)不等式?a(2x-8)dx≤0 的解集为. ? ?
?0

(3)设函数 f(x)=ax2+1,若?1f(x)dx=2,则 a=________. ? ?
?0

第15讲 │要点探究

14 1 (1)① -ln2 ②- 3 4 (2){a|0<a≤8} (3)3

1 ③ 2

π ④ 2

第15讲 │要点探究
1 [解析] (1)①因为函数 y=2x2-x的一个原函数是 2 y= x3-ln x, 3 ? 2 1? ?2 3 ?? 16 2 14 ?2? ?dx= ? x -ln x??2= -ln 2- = -ln 2. 所以? 2x -x 1 ? ? 3 3 3 ? ?3 ?? ?
1

第15讲 │要点探究

(2)由?a (2x-8)dx=(x2-8x)|a=a2-8a≤0,显然 a≠0,故解集为 ? 0 ?
?0

{a|0<a≤8}. (3)? f(x)dx=? (ax ? ?
?0 ?0 ?1 ?1

2

? +1)dx=? ? ?

?? ax3 a +x??1= +1=2,解得 a=3. 0 3 3 ?? ?

第15讲 │要点探究
? 探究点2
例2

利用定积分的几何意义求定积分
求定积分?1[ 1-?(x-1)?2-x]dx 的值. ? ?
?0

[思路] 画出被积函数的图象,求出对应图形的面积,由 定积分的几何意义便可求出积分值.

第15讲 │要点探究
[解答]
?1 ? ? ?0

( 1-?(x-1)?2-x)dx 表示圆(x-1)2+y2=

1(y≥0)的一部分与直线 y=x 所围成的弓形(如图所示)的面 π×12 1 π 1 2 ?1 积,因此? ( 1-?(x-1?) -x)dx= - × 1= - . 1× 4 2 4 2 ? ?
0

第15讲 │要点探究

?

探究点3

定积分在求图形面积方面的应用

例 3 [2010· 福州模拟] 已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图 象如图 15-1 所示,它与 x 轴在原 点处相切,且 x 轴与函数图象所围 1 区域(图中阴影部分)的面积为 ,则 12 a 的值为________.

图15-1

第15讲 │要点探究

-1 [解析] 由题知 f′(x)=-3x2+2ax+b,∵f′(0)= 0,∴b=0,∴f(x)=-x3+ax2,令 f(x)=0,得 x=0 或 x 1 4 1 3 2 ?0 =a(a<0).S 阴影=-? (-x +ax )dx= a = ,∴a=- ? 12 12 ?
a

1.

第15讲 │要点探究

?

探究点4

定积分在物理方面的应用

例4 [2010· 福州模拟] 一辆汽车的速度—时间曲线如图 15-2所示,求该汽车在这一分钟内行驶的路程.

图15-2

第15讲 │要点探究
[解答] 从该汽车的速度——时间曲线可以看出, 该汽车作变 速运动,其速度——时间的函数关系如下: ?3 ??0≤t<20?? ? t,? ?, 2 ? v=v(t)=?50-t,???20≤t<40???, ? ?10,???40≤t≤60???, ? 行驶的路程为: s=∫ t2?20 ?0
? ?
60 0

所以该汽车在这一分钟内所

v(t)dt = ∫ 1 2??40 t ??20 2 ?? ?

20 0

3 3 ? ?40 ? ?50-t? dt + ?60 10dt = tdt + ? ? ? ? ? ? 2 4 ? ?
20 40
? ?60 ?40 ?



? ? ?50t- ?

+ 10t

= 900(米).

第15讲 │规律总结 规律总结
1.求定积分的方法 (1)利用定义求定积分(定义法),可操作性不强; (2)利用微积分基本定理求定积分; (3)利用定积分的几何意义求定积分. 2. 计算?1f(x)dx 的关键是找到满足 F′(x)=f(x)的函数 F(x). 其 ? ?
?0

中 F(x)可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到. 当被积函数 含有绝对值(或平方根)时,需按绝对值内的正、负号将定积分区 间分段,然后按区间的可加性逐段积分;同样,当被积函数为分 段函数时,也需按函数定义的分段情形相应的逐段积分.

第15讲 │规律总结

3.利用定积分求平面图形的面积的步骤如下:(1)画出 函数的草图,确定积分变量;(2)求图象的交点,确定积分上 、下限;(3) 将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和;(4)利 用定积分求面积.


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