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第2单元-函数与导数-数学-2012全品理科-人教A版


人教A版

第二单元 函数与导数

第4讲

函数及其表示

第5讲 函数的单调性与最值 第6讲 函数的奇偶性和周期性 第7讲 二次函数 第8讲 指数与指数函数 第9讲 对数与对数函数 第10讲 幂函数与函数的图象

第11讲

函数与方程

第12讲 函数模型及其应用 第13讲 导数及其运算 第14讲 导数的应用 第15讲 定积分与微积分基本定理

第二单元

函数与导数

第二单元 │ 知识框架

知识框架

第二单元 │ 知识框架

第二单元 │ 考纲要求 考纲要求
1.函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函 数) (1)函数 ①了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值 域;了解映射的概念. ②在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图 象法、列表法、解析法)表示函数. ③了解简单的分段函数,并能简单应用. ④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义;结 合具体函数,了解函数奇偶性的含义. ⑤会运用函数图象理解和研究函数的性质.

第二单元 │ 考纲要求

(2)指数函数 ①了解指数函数模型的实际背景. ②理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌 握幂的运算. ③理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握 指数函数图象通过的特殊点. ④知道指数函数是一类重要的函数模型.

第二单元 │ 考纲要求
(3)对数函数 ①理解对数的概念及其运算性质,知道 用换底公式能将一般对数转化成自然对数或 常用对数;了解对数在简化运算中的作用. ②理解对数函数的概念,理解对数函数 的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点. ③ 知 道 对 数 函数 是 一 类重 要 的 函数 模 型. ④了解指数函数 y=ax 与对数函数 y= log ax 互为反函数(a>0 且 a≠1).

第二单元 │ 考纲要求

(4)幂函数 ①了解幂函数的概念.
1 1 ②结合函数 y=x,y=x ,y=x ,y=x ,y=x2的图象,了解它们 的变化情况. 2 3

(5)函数与方程 ①结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断 一元二次方程根的存在性及根的个数. ②根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.

第二单元 │ 考纲要求
(5)函数与方程 ①结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联 系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. ②根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近 似解. (6)函数模型及其应用 ①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知 道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含 义. ②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段 函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.

第二单元 │ 考纲要求
2.导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ①了解导数概念的实际背景. ②理解导数的几何意义.
(2)导数的运算 ①能根据导数定义求函数 y=C(C 为常数), =x, y y=x2, 1 3 y=x ,y=x,y= x的导数. ②能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的 四则运算法则求简单函数的导数.

第二单元 │ 考纲要求
常见基本初等函数的导数公式: C′=0(C 为常数);(xn)′=nxn - 1 ,n∈N + ;(sinx)′=cosx; (cosx)′=-sinx; 1 (ex)′=ex ;(ax)′=axln a(a>0,且 a≠1);(ln x)′= x ; 1 (logax)′=xlogae(a>0,且 a≠1). 常用的导数运算法则: 法则 1:[u(x)± v(x)]′=u′(x)± v′(x). 法则 2:[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x). ?u?x?? u′?x?v?x?-u?x?v′?x? ? ? 法则 3:? (v(x)≠0). ?′= v2?x? ?v?x??

第二单元 │ 考纲要求
(3)导数在研究函数中的应用 ①了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的 单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). ②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用 导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次); 会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过 三次). (4)生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题. (5)定积分与微积分基本定理 ①了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解 定积分的概念; ②了解微积分定理的含义.

第二单元 │ 命题趋势 命题趋势

纵观近几年新课标各省市的高考试卷,函数的主干知识、函 数的综合应用函数与导数以及函数与方程的重要思想方法的考查, 一直是高考的重点内容之一,在选择题、填空题、解答题中都有 函数试题,其特点是:稳中求变,变中求新、新中求活,试题设 计既有传统的套用定义、简单地使用性质的试题,也有挖掘本质, 活用性质,出现了不少创新情境、新定义的信息试题,以及与实 际密切联系的应用题,和其他知识尤其是数列、不等式、几何等 知识交汇的热点试题. 另外还具有以下特点:

第二单元 │ 命题趋势
1.以具体的二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等函数的 概念、性质和图象为主要考查对象,适当考查分段函数、抽象函数; 2.把函数知识与方程、不等式、解析几何等内容相结合,重点 考查学生的推理论证能力、运算求解能力和数学综合能力; 3.突出考查等价转化、函数与方程、分类讨论、数形结合、待 定系数法、配方法、构造法等数学思想方法; 4.在选择题和填空题中出现,主要以导数的运算、导数的几何
意义、导数的应用为主(研究函数的单调性、极值和最值等); 5.在解答题中出现,有时作为压轴题,主要考查导数的综合 应用,往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起, 考查学生的分类讨论,转化化归等思想.

第二单元 │ 命题趋势
函数是高中数学的主要内容,它把中学数学的各个分支紧密 地联系在一起,是中学数学全部内容的主线,预测2012年高考在 选择题、填空题中主要考查函数的概念、性质和图象、导数的概 念及运算,解答题主要以函数为背景,与导数、不等式、数列、 甚至解析几何等知识相整合设计试题,考查函数知识的综合应. 预测2012年高考试题对本部分内容的考查将以小题和大题的形式 出现,小题主要考查导数的概念、几何意义、导数的运算,大题 主要以函数为背景,以导数为工具,考查应用导数研究函数的单 调性、极值或最值问题,在函数、不等式、解析几何等知识网络 交汇点命题.

第二单元 │ 使用建议
1.编写意图 “函数”是高中数学中起连接和支撑作用的主干知识, 也是进一步学习高等数学的基础,其知识、观点、思想和方 法贯穿于高中代数的全过程, 同时也应用于几何问题的解决. 因此,在高考中函数是一个极其重要的部分,函数的复习也 是高三数学第一轮复习的重头戏. 编写中注意到以下几个问题: (1)考虑到该部分内容是第一轮初始阶段复习的知识, 因 此在选题时注重基础题为主,尽量避免选用综合性强,思维 难度大的题目; (2)函数与方程、分类讨论、数形结合、化归转化等数学 思想与方法,在本单元中均有涉及,充分体现了数学思想是 本书的精髓的理念;

第二单元 │ 使用建议
(3)从近几年高考看来,涉及该部分内容的新情景、新

定义的信息迁移题以及实际应用问题是高考的一个热点话 题,因此适当加入了类似的题目; (4)突出了函数性质的综合应用,在第 6 讲复习完函数 的性质后,专门设置了涉及函数性质综合应用的课时作业. (5)为体现导数在研究函数中的作用,专门设置了以该 内容为主的滚动基础训练; (6)有意识地将解析几何中切线、最值问题,函数的单 调性、极值、最值问题,二次函数,方程,不等式,代数不 等式的证明等进行交汇, 特别是精选一些以导数为工具分析 和解决一些函数问题, 切线问题的典型问题, 充分体现导数 的工具性.

第二单元 │ 使用建议
2.教学指导 高三函数复习不是简单的知识重复,而是再认识,再提高的过 程,复习中的最大矛盾是时间短,内容多,要求高,而且高一学习 函数时是走马观花,匆匆而过,这就要求在上复习课时既要做到突 出重要点, 抓住典型, 又能在高度概括中深刻揭示知识的内在联系, 使学生在掌握规律中理解、记忆、熟练、提高,因此教师在引导学 生复习该部分时,对各层次知识点要把握准确,切忌追求难题、偏 题和怪题. 教学时,注意到如下几个问题: (1)突出《考纲》的导向性作用:引导学生研读《考纲》 ,即不 仅老师对《考纲》中对函数的考查要求要了如指掌,学生也必须十 分明确,知道自己该在哪些方面下工夫,明确自己的任务和方向, 以使自己的复习目标和复习行为与老师的要求合拍, 减少师生之间 的无谓的内耗,与高考先来次“零接触”.

第二单元 │ 使用建议
(2)重视教材的基础作用和示范作用:函数客观题一般直 接来源于教材,往往就是课本的原题或变式题,主观题的生 长点也是教材,在函数复习备考中重视教材中一些有典型意 义又有创新意识的题目作为函数复习过程中的范例与习题, 贯彻“源于课本,高于课本”的原则. (3)阐明知识系统,掌握内在联系:知识的整体性是切实 掌握函数知识的重要标志,函数概念、图象和性质是环环相 扣,紧密相连,互相制约的,并形成了一个有序的网络化的 知识体系,这就要求在复习过程中应在这个网络化的体系中 去讲函数的概念、性质、公式、例题,只有这样,学生对概 念、性质的理解才是深刻的、全面的,记忆才是鲜明的、牢 固的、生动的,应用起来才是灵活的、广泛的.

第二单元 │ 使用建议
(4)重视渗透数学的思想方法:数学思想和方法是数学知识在 更高层次上的抽象和概括,单纯的知识教学只能是学生知识的积 累,而思想和方法的教学则潜移默化于能力的提高过程中,函数这 一部分重要的数学思想方法有函数与方程思想、分类讨论思想、等 价转化思想、数形结合的思想,数学方法有配方法、换元法、待定 系数法、比较法、构造法等.数学思想方法是以具体的知识为依托 的,在复习教学中,要重视知识的形成过程,着重研究解题的思维 过程, 有意识的渗透思想方法, 使学生从更高层次去领悟, 去把握, 去反思数学知识,增强数学意识,提高数学能力. (5)重视几类特殊函数:抽象函数、分段函数理解研究起来比 较困难,但是这类问题对培养学生观察能力,有十分重要的作用, 近几年来高考无论是客观题还是主观题中都有涉猎. (6)引导学生按考试要求的三个层次进行导数复习,不能停留 在简单地复习导数的知识和应用上.

第二单元 │ 使用建议

3.课时安排 本单元共 12 讲,其中第 6 讲 2 个课时,其余每讲建议 1 课时完成,两个滚动基本训练各 1 个课时,一个单元能力训 练卷 1 课时完成,因此建议 16 课时完成复习任务.

第4讲 │ 函数及其表示

第4讲 函数及其表示

第4讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.函数 (1)函数的定义:设A、B都是非空的数集,如果按照某种确 定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中 都有_____________的f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从 唯一确定 集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x叫做 自变量, x的取值范围A叫做函数f(x)的________,与x的值相 定义域 对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数f(x) 的______,显然,{f(x)|x∈A}?B. 值域 (2)构成函数的三要素是:________、__________、 值域 定义域 对应关系 ______. 解析法 列表法 图象法 (3)函数的表示方法:________、________、________.

第4讲 │ 知识梳理
2.映射的定义:设A、B是两个非空的集合,如果按照 某一种确定 任意一个 ___________的对应关系f,使对于集合A中的_________元 素x,在集合B中都有________元素y和它对应, 那么就称对 唯一的 应f:A→B叫做从集合A到集合B的一个映射. 特殊 映射与函数的关系:函数是______的映射. 3.分段函数 分段函数的理解:函数在它的定义域中对于自变量x的不同 表示的式子 取值,____________可以不止一个,即对应法则“f”是分几段 给出表达的,它是一个函数,不是几个函数. 并集 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的______,其值 并集 域等于各段函数的值域的______. 4.函数解析式的求法 待定系数法 换元法 配方法 求函数解析式的常用方法:___________、_______、 ______、赋值法和函数方程法.

第4讲 │ 知识梳理
5.常见函数定义域的求法 全体实数 (1)整式函数的定义域为__________; 零 (2)分式函数的分母不得为____; 非负数 (3)开偶次方根的函数被开方数为________; 大于零 (4)对数函数的真数必须_______; 大于零且不等于1 (5)指数函数与对数函数的底数必须________________;
π kπ+ ,k∈Z 2 (6)三角函数中的正切函数y=tanx,x∈R,且x≠____________;

实际意义 (7)如果函数是____________确定的解析式,应依据自变量的实 际意义确定其取值范围; (8)对于抽象函数,要用整体的思想确定自变量的范围; (9)对于复合函数y=f[g(x)],若已知f(x)的定义域为[a,b], a≤g(x)≤b 其复合函数f[g(x)]的定义域是不等式__________的解集.

第4讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 函数与映射的概念

例1 已知集合A ={1,2,3,4},B={5,6,7},在下列A到B的四 种对应关系中,构成A到B的函数的是________.

图4-1

第4讲 │ 要点探究
[思路]利用函数的定义中的两个条件判断对应是否为函数. (1)(3) [解析] 对于(1),集合A中的每一个元素在B中都有唯 一的元素与之对应,因此(1)是函数;对于(2),集合A中的元素4 在B中没有元素与之对应,因此(2)不是函数;对于(3),集合A中 的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应,因此(3)是函数; 对于(4),集合A中的元素3在B中有两个元素与之对应,因此(4) 不是函数. [点评] 判断一个对应关系是否是映射或函数关系,关键抓 住两个关键词“任意”、“唯一”,即x的任意性和y的唯一性,判断 一个图象是否是函数图象也是如此,如:

第4讲 │ 要点探究
设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出图4-2中四 个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有

图4-2 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

第4讲 │ 要点探究
B [解析] 根据函数的定义逐一判断. 对于图(a),M中属于(1,2]的元素,在N中没有元素有它对应, 不符合定义; 对于图(b),M中任何元素,在N中都有唯一的元素和它 对应,符合定义; 对于图(c),与M对应的一部分元素不属于N,不符合定 义; 对于图(d),M中属于[0,2)的元素,在N中有两个元素与之对 应,不符合定义, 由上分析可知,应选B.

第4讲 │ 要点探究
? 探究点2 函数的定义域的求法 3x2 例 2 (1)[2010·河西模拟] 函数 f(x)= 2 1-x -3x )的定义域是( )
A.
? 1 ? ?- ,2? ? 3 ? ? 1? ?-2, ? 3? ?

+lg(2+5x

B.

? 1 ? ?- ,1? ? 3 ? ? 1? ?-∞,- ? 3? ?

C.

D.

第4讲 │ 要点探究
(2)[2010· 天津六校联考] 定义两种运算:a⊕b= a2-b2, 2⊕x 2 a b= ?a-b? ,则函数 f(x)= 的解析式为( ) ?x 2?-2 x2-4 ? ? ? ? ?-∞,-2?∪?2,+∞? A.f(x)=- x ,x∈? ? ? ? x2-4 ? ? ? ? B.f(x)= x ,x∈??-∞,-2??∪??2,+∞?? 4-x2 ? ? ? ? ?-2,0?∪?0,2? C.f(x)=- x ,x∈? ? ? ? 4-x2 ? ? ? ? D.f(x)= x ,x∈??-2,0??∪??0,2??

第4讲 │ 要点探究
(3)[2010·合肥模拟] 已知函数 f(2x)定义域是[1,2],则函数 f(log2x)的定义域为________.
[思路] (1)(2)是根据函数解析式求其定义域,只要根据使函数表 达式有意义的条件, 列出不等式(组), 再求解得到自变量的取值范围; (3)由 f(2x)的定义域求得 f(x)的定义域,然后根据 f(x)的定义域求 f(log2x)的定义域

(1)B (2)C (3)[4,16] (1)[解析] 要使函数解析式有意义,则 ?1-x>0, ? 1 ? ? 1 ? 解得- <x<1,因此函数的定义域为?-3,1?; 3 ?2+5x-3x2>0, ? ? ? 2⊕x 4-x2 (2) 根 据 运 算 的 定 义 可 知 , f(x) = = = ?x? 2 ?-2 ?2-x?2-2
?4-x2≥0, 4-x2 ? ,要使函数解析式有意义,则? 解得 ?|2-x|-2≠0, |2-x|-2 ?

第4讲 │ 要点探究
?4-x2≥0, 4-x2 ? ,要使函数解析式有意义,则? 解得 ?|2-x|-2≠0, |2-x|-2 ?

-2≤x<0 或 0<x≤2,因此函数的定义域为[-2,0)∪(0,2],故选 C. (3)∵f(2x)的定义域为[1,2],因此函数 f(x)的定义域为[2,4],由 2≤log2x≤4,解得 4≤x≤16,因此函数 f(log2x)的定义域为[4,16].

[点评] (1)由函数解析式求定义域, 关键是列出使函数有意义的条 件,解出各条件中自变量取值范围,并结合数轴求得它们的交集,从 而得到函数的定义域;(2) 若函数 f(x)的定义域为[a,b],则复合函数 y=f[g(x)]的定义域是不等式 a≤g(x)≤b 的解集;(3)函数的定义域应 写成区间或集合的形式.对于已知函数定义域求字母参数问题,可转 化为恒成立问题求解,如下面的变式题.

第4讲 │ 要点探究

(1)函数 y= kx2-6x+k+8的定义域为 R,则 k 的取值 范围是( ) A.k≥0 或 k≤-9 B.k≥1 C.-9≤k≤1 D.0<k≤1
x-4 (2)若函数 f(x)= 2 的定义域为 R,则实数 m 的取值 mx +4mx+3 范围是________.

第4讲 │ 要点探究

(1)B

? 3? ?0, ? (2) 4? ?

[解析] (1)∵kx2-6x+k+8≥0 恒成立,k≤0 解得 k≥1.

?k>0, ? 显然不符,∴? ?Δ=36-4k?k+8?≤0, ?

x-4 (2)若 m=0,f(x)= 的定义域为 R;若 m≠0,则方程 mx2+ 3 3 4mx+3=0 无解,Δ=16m2-12m<0,得 0<m< ,综上可知,所求的 4 ? 3? ?0, ?. 范围为 4? ?

第4讲 │ 要点探究
? 探究点3 函数的值域的求法
) 1 例 3 (1)[2010·佛山模拟] 函数 f(x)=x(x>1)的值域是( A.(-∞,0)∪(0,+∞) B.R C.(1,+∞) D.(0,1) (2)函数 y=4- 3+2x-x2的值域是________. (3)函数 y=x+ 1-2x的值域是________.

[思路] (1)利用函数的单调性或结合函数的图象求值域;(2) 利用配方法求值域;(3)利用换元法法求值域. (1)D (2)[2,4] (3)(-∞,1] 1 [解析] (1)解法一:反比例函数 f(x)=x在区间(1,+∞)上是单调 减函数,因此函数的值域为(0,1).

第4讲 │ 要点探究
1 解法二: 在平面直角坐标系中, 作出反比例函数 f(x)=x的图象, 观察函数图象,当 x>1 时,函数的值域为(0,1).

(2) y=4- 3+2x-x2=4- -?x-1?2+4,∵0≤-(x-1)2+ 4≤4,∴0≤ -?x-1?2+4≤2,∴原函数的值域为[2,4]. 1-t2 1-t2 1 (3)设 t= 1-2x,t≥0,则 x= ,∴y= +t=- (t-1)2 2 2 2 +1,当 t=1 时,ymax=1, ∴原函数的值域为(-∞,1].

第4讲 │ 要点探究

(1)已知 a 是实数,则下列函数中,定义域和值域都可能 是 R 的是( ) A.y=x2+a B.y=ax2+1 C.y=ax2+x+1 D.y=x2+ax+1 (2)函数 f(x)=x+|x-2|的值域是________.

第4讲 │ 要点探究

(1)C (2)[2,+∞) [解析] (1)对任意实数 a,选项 A、D 对应 的函数都为二次函数,其值域不可能为 R;对于 B,当 a=0 时,函 数为常函数,当 a≠0 时,函数为二次函数,值域都不可能是 R,故 选 C. (2)当 x∈(-∞,2]时,f(x)=2;当 x∈(2,+∞)时,f(x)=2x -2>2,故 f(x)的值域是[2,+∞).

第4讲 │ 要点探究
? 探究点4 函数的值域的求法
例 4 (1)已知 f (x)是一次函数,并且满足 3f (x+1)-2f (x-1)=2x +17,求函数 f (x)的解析式; ? 1? 1 ?x- ?=x2+ 2,求函数 f (x)的解析式; (2)若 f x? x ? (3)已知 f(x)+2f(-x)=3x-2,求 f (x)的解析式; (4)已知 f (sinx)=cos2x,求 f(x)的解析式. [思路] (1)已知函数的类型,利用待定系数法求解;(2)利用配凑法求 解;(3)利用解方程组法求解;(4)利用换元法求解. [解答] (1)设 f(x)=ax+b(a≠0), 则 3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+5a+b, 又 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, ?a=2, ? 比较系数得? 解得 a=2,b=7, ?5a+b=17, ? 所以所求函数的解析式为 f(x)=2x+7.

第4讲 │ 要点探究

(2)f

? 1? 1? 1 ? ?x- ?=x2+ 2=?x- ?2+2,用 x? x? x ? ?

1 x 代换 x-x得 f (x)=x2+2,即

为所求的函数 f (x)的解析式. (3) 以 - x 代 x 后 所 得 等 式 与 原 等 式 组 成 方 程 组 ?f?x?+2f?-x?=3x-2, ? 2 ? 解得 f (x)=-3x- . 3 ?f?-x?+2f?x?=-3x-2, ? (4)令 t=sinx,t∈[-1,1],则 cos2x=1-sin2x=1-t2,∴f(t) =-1 =t2,t∈[-1,1],故 f(x)= 1-x2,x∈[-1,1].

第4讲 │ 要点探究
? 探究点5
例 5 已知 f

分段函数
?x-1,x>0, ? 2 (x)=x -1,g(x)=? ?2-x,x≤0. ?

(1)求 f [g(2)]和 g[ f (2)]的值; (2)当 x>0 时,求 f [ g(x)]; (3)求 g[ f (x)]的表达式.

[思路] 利用自变量的取值范围,分段代入解析式求解. [解答] (1)g(2)=2-1=1,f[g(2)]=f(1)=12-1=0,f(2)=22-1=3, g[f(2)]=g(3)=3-1=2. (2)当 x>0 时,g(x)=x-1, f[g(x)]=f(x-1)=(x-1)2-1=x2-2x.

第4讲 │ 要点探究

(3)当 x>1 或 x<-1 时,x2-1>0, ∴g[f(x)]=g(x2-1)= (x2-1) -1=x2-2. 当-1≤x≤1 时,x2-1≤0, ∴g[f(x)]=g(x2-1)=2-(x2-1)=-x2+3, ?x2-2,x>1或x<-1, ? 故 g[f(x)]=? ?-x2+3,-1≤x≤1. ?

第4讲 │ 规律总结 规律总结
1.判断一个对应是否为映射关键看是否满足“集合A中元素 的任意性,集合B中元素的唯一性”;判断是否为函数一看是否 为映射;二看A、B是否为非空数集. 2.求函数解析式常用的方法有: (1)待定系数法;(2)换元法;(3)配凑法;(4)消参法. 3.求函数定义域常有三类问题: (1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的 自变量取值的集合; (2)实际问题:函数的定义域的求解,除要考虑解析式有意 义外,还应考虑使实际问题有意义;

第4讲 │ 规律总结

(3)复合函数:已知f(x)定义域求f(g(x))定义域或已知f(g(x)) 定义域求f(x)定义域问题,关键抓住一条:同一对应关系符号里 面式子范围相同,即f(g(x))中g(x)相当于f(x)中的x. 4.解决分段函数问题既要紧扣“分段”这个特征,又要将各 段有机联系使之整体化、系统化,还要注意每一区间端点的取值 情况.

第5讲 │函数的单调性与最值

第5讲

函数的单调性与最值

第5讲 │知识梳理 知识梳理
1.函数的单调性及性质 (1)定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义 x1<x2 域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当___________ f(x1)>f(x2) f(x1)<f(x2) 时, 都有___________(_____________), 那么就说 f(x)在区间 D 上是 增函数 减函数 _________(_________).如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或 是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. (2)单调性定义的等价形式:设 x1,x2∈[a,b],x1≠x2,那么(x1 f?x1?-f?x2? -x2)[f(x1)-f(x2)]>0? >0?f(x)在[a,b]是______;(x1 - 增函数 x1-x2 f?x1?-f?x2? 减函数 x2)[f(x1)-f(x2)]<0? <0?f(x)在[a,b]是______; x1-x2

第5讲 │知识梳理
(3)设复合函数y=f,其中u=g(x).如果y=f(u)和u=g(x) 增 的单调性相同,那么y=f是____函数;如果y=f(u)和u=g(x)的 减 单调性相反,那么y=f是____函数. (4)利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般 步骤: ①任取x1,x2∈D,且x1<x2;②作差; ③变形(通常是因式分解和配方); ④判断符号(即判断f(x1)-f(x2)的正负); ⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). (5)判断方法: ①定义法:在区间I上,函数值y随x的增大而增大,则函数在区 间I上为______,函数值y随x的增大而减小,则函数区间I上为 增函数 减函数 ______;

第5讲 │知识梳理
②图象法:在区间I上,如果函数的图象从左向右是上升的,则 函数在区间I上为______,如果函数的图象从左向右是下降的, 增函数 则函数在区间I上为______; 减函数 ③导数法:设函数y=f(x)在某区间I内可导,若f′(x)>0,则函数y =f(x)为区间I上的______,若f′(x)<0,则函数y=f(x)为区间I上 增函数 减函数 的______; ④运算法:在公共定义域内,增函数+增函数=______,减函 增函数 数+减函数=______; 减函数 ⑤复合函数单调性的判断方法:“同增异减”,即若y=f(x)和u= g(x)的单调性相同,则函数y=f(g(x))是_______,若y=f(x)和u 增函数 =g(x)的单调性相反,则函数y=f(g(x))是______; 减函数

第5讲 │知识梳理

(6)简单性质:奇函数在其关于原点对称区间上的单调性 相同 相反 _______,偶函数在其关于原点对称区间上的单调性_______.
2.函数的最值 对于函数f(x),假定其定义域为A,则 (1)若存在x0∈A,使得对于任意x∈A,恒有f(x)≥f(x0)成立,则 最小值 称f(x0)是函数f(x)的________; (2)若存在x0∈A,使得对于任意x∈A,恒有f(x)≤f(x0)成立,则 最大值 称f(x0)是函数f(x)的_________.

第5讲 │要点探究 要点探究
? 探究点1 判断、证明函数的单调性 例1 [ 2010· 黄浦模拟] 已知a、b是正整数,函数f(x)=ax +(x≠-b)的图象经过点(1,3). (1)求函数f(x)的解析式; (2)判断函数f(x)在(-1,0]上的单调性,并用单调性定义证明 你的结论.
[思路] (1)利用函数过定点以及 a,b 为正整数,求得 a,b 的值,从而得到函数 f(x)的解析式;(2)严格按照用定义证明单调 性的步骤进行.

第5讲 │要点探究
[解答] (1)由函数 f(x)=ax+ 2 3=a+ ,则(3-a)(b+1)=2. 1+b 又 a、b 均为正整数, 故
?3-a=1, ? 3-a>0,b+1≥2.于是,必有? ?b+1=2, ? ?a=2, ? 即? ?b=1. ?

2 (x≠-b)的图象过点(1,3)知 x+b

2 所以 f(x)=2x+ (x≠-1). x+1 2 (2)结论:f(x)=2x+ (x≠-1)在(-1,0]上是减函数. x+1 证明: x1, 2 是(-1,0]内的任意两个不相等的实数, x1<x2. 设 x 且

第5讲 │要点探究
? 2 ? 2 ? ? 则 f(x1)-f(x2)=2x1+ -?2x2+x +1? x1+1 ? 2 ? 2?x2-x1? =2(x1-x2)+ ?x1+1??x2+1? x2+x1?1+x2? =2(x1-x2)· . ?x1+1??x2+1? 又-1<x1≤0, -1<x2≤0, 1<x2, x1-x2<0,1+x1>0,1+x2>0, x 故 x2+x1(1+x2)<0. x2+x1?1+x2? 于是,2(x1-x2)· >0, ?x1+1??x2+1? 即 f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2). 2 所以,函数 f(x)=2x+ (x≠-1)在(-1,0]上是减函数. x+1

第5讲 │要点探究

[点评] 用定义证明单调性必须走程序化的步骤,其关键一步 是对 Δy 变形,变形的目的是能够判断 Δy 的符号,为此常:①多 项式分解因式或配方;②分式通分后分子、分母因式分解;③根 式分母或分子有理化;④幂、指、对数要用各自的运算法则. 判断含有参数的函数的单调性,需注意对参数进行讨论以及 确定分类讨论的依据是什么, 应根据具体的题目进行具体的分析, 比如下面的变式题.

第5讲 │ 要点探究
判断函数f(x)=x+(a≠0)在区间上的单调性,并用 定义加以证明.
[解答] 当 a>0 时,函数在( a,+∞)上是增函数,在(0, a) 上是减函数,当 a<0 时,函数在(0,+∞)上是增函数. a?x1-x2? a a 证明:f(x2)-f(x1)=x2+ -x1- =(x2-x1)+ =(x2 x2 x1 x1x2 ?x1x2-a? ? -x1)? ? x x ?. ? 1 2 ? 当 a>0 时,若 a<x1<x2,则 x1x2>a, ?x1x2-a? ? ∴(x2-x1)? ? x x ?>0, ? 1 2 ? 即 f(x2)>f(x1), 若 0<x1<x2< a,则 0<x1x2<a,

第5讲 │ 要点探究
?x1x2-a? ? ? ∴(x2-x1)? <0,即 x1x2 ? ? ?

f(x2)<f(x1).

所以函数在( a,+∞)上是增函数,在(0, a)上是减函数; 当 a<0 时,∵0<x1<x2,∴x1x2>0, ?x1x2-a? ? ? 又-a>0,∴(x2-x1)? ?>0, ? x1x2 ? 即 f(x2)>f(x1), ∴函数在(0,+∞)上是增函数.

第5讲 │要点探究
? 探究点2 抽象函数与复合函数的单调性

例 2 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足: (1)对于任意 x, y∈R, 都有 f(x+y)=f(x)+f(y);(2)当 x>0 时,f(x)<0 且 f(1)=-2. (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

[思路] (1)对抽象函数关系式中的 x,y 正确合理的赋值后, 利用单调性的定义证明;(2)利用函数的单调性求最值. [解答] (1)证明:任取 x1<x2,由条件(1)得 f(x2)=f[(x2-x1) +x1]=f(x2-x1)+f(x1),∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1),∵x2-x1>0, 由条件(2)得 f(x2-x1)<0,

第5讲 │ 要点探究

∴f(x2)<f(x1),∴f(x)在 R 上单调递减. (2)在(1)中,令 x=y=0,得 f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0, 再令 y=-x 得 f(x-x)=f(x)+f(-x), ∴f(-x)=-f(x),因此 f(x)为奇函数, ∴f(x)max =f(-3)=-f(3)=-f(1+2)=-f(1)-f(2)=-f(1) -f(1)-f(1)=-3f(1)=6,f(x)min=f(3)=-f(-3)=-6.

第5讲 │要点探究
?ax ?x>1?, ? 例 3 (1)[2010· 湖州模拟] 若 f(x)=?? 是R上 a? ?4- ?x+2?x≤1? ?? 2? ? 的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为( ) ? ? A.(1,+∞) B.??4,8?? C.(4,8) D.(1,8) (2)求函数 y=log0.7(x2-3x+2)的单调区间.
[解析] 函数 f(x)在 R 上为增函数,则 y=ax 在(1, ? a? +∞)上为增函数,函数 y=?4-2?x+2 在(-∞,1]上为增函 ? ? 数, (1) B

第5讲 │要点探究
?a>1, ? ?4-a>0, ? a? 2 且 a≥?4-2?+2,因此? ? ? ? ? a? ?a≥?4- ?+2, ? 2
? ?

解得 4≤a<8.故选 B.

(2)[解答] 函数 y=log0.7(x2-3x+2)的定义域为(-∞,1)∪(2, +∞).令 t=x2-3x+2,y=log0.7t, 显然 y=log0.7t 在(0,+∞)上是单调递减的,而 t=x2-3x+2 在 (-∞,1),(2,+∞)上分别是单调递减和单调递增的,根据复合函 数的单调性的规则可知: ? ? 函数 y=log0.7(x2-3x+2)的单调递增区间为??-∞,1??, 单调递减 ? ? 区间为??2,+∞??.

第5讲 │ 要点探究
函数 f(x)(x∈R)的图象如图 5-1 所示,则函数 g(x)= f(logax)(0<a<1)的单调减区间是( )
A.
? 1? ?0, ? 2? ?

?1 ? ? ,+∞? B.(-∞,0)∪ 2 ? ?

[思路] 利用函数图象得到 f(x)的单调性,并结合判断复合 函数单调性规则求解. C [解析] 函数 y=logax(0<a<1)在定义域内为减函数,而函数 ? ?1 ? 1? ?0, ?为增函数,在 ? ,+∞?上是减函数,故 g(x) f(x)在 和2 2? ? ? ?

C.[ a,1] D.[ a, a+1]

图5-1

1 (0. ) 在 2 上为减函数,由

1 0<logax< ,得 a<x<1,因此函数 g(x) 2 =f(logax)(0<a<1)在[ a,1]上为减函数.

第5讲 │要点探究
? 探究点3 与单调性有关的参数问题

例 4 设函数 f(x)=ax2+bx+1(a、b∈R). (1)若 f(-1)=0,且对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立,求实数 a、b 的值; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函 数,求实数 k 的取值范围. [解答] (1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,即 b=a+1. 又对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立, ∴Δ=b2-4a≤0 恒成立, 即(a-1)2≤0 恒成立,∴ a=1,b=2. (2)由(1)可知 f(x)=x2+2x+1, ∴g(x)=x2+(2-k)x+1.

第5讲 │要点探究
∵ g(x)在 x∈[-2,2]时是单调函数, ? ?k-2 ? k-2? ? ? ? ? ∴[-2,2]??-∞, 或[-2,2]?? ,+∞?. 2 ? ? ? ? 2 ? k-2 k-2 ∴2≤ 或 ≤-2, 2 2 即实数 k 的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞). [点评] 已知函数的单调性求函数解析式中参数的取值范围的 基本方法有两个: (1)根据函数单调性的特点,若是一次函数要注意考查一次项 的系数,若是二次函数要注意考查其对称轴及开口方向等. (2)利用导数方法.

第5讲 │要点探究
? 探究点4 利用函数单调性求最值

1 1 例 5 已知 f(x)=a-x(x>0). (1) 求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若函数 f(x)的定义域和值域都是[m,n],则称 f(x)是正方 ?1 ? 形函数. 试问, 是否存在实数 a, f(x)在?2,2?上为正方形函数, 使 ? ? 若存在,求 a 的值,若不存在,说明理由.

第5讲 │要点探究
[解答] (1)证明:令 x2>x1>0,则 x2-x1>0,x1x2>0,又 f(x2) ?1 1 ? ?1 1 ? 1 1 x2-x1 -f(x1)=?a-x ?-?a-x ?= - = >0,即 f(x2)>f(x1),故 x1 x2 x1x2 ? ? 2? 1? 函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数, ?1 ? (2)设存在 a,使 f(x)在?2,2?为正方形函数,又 f(x)在(0, ? ? 1 ?1 ?a-2=2, 2 +∞)上是增函数,因此? 解得 a= ,因此存在 5 1 1 ? - =2, ?a 2 ?1 ? 2 a= ,使 f(x)在?2,2?为正方形函数. 5 ? ?

第5讲 │规律总结

1.求函数的单调区间,讨论函数的单调性时要注意以下两 点: (1)必须在定义域内进行,即函数的单调区间是定义域的子 集; (2)常转化为熟悉函数的单调性,因此,掌握并熟记一次函 数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、 三角函数的单调性,将大大缩短我们的判断过程. 2.单调性是函数在某一区间上的“整体”性质,因此,定 义中的 x1,x2 具有任意性,不能用特殊值代替.

第5讲 │规律总结

3.已知函数单调性求参数范围的问题,解法是根据单调性 的概念得到恒成立的不等式,还要注意定义域的限制,并挖掘 题目的隐含条件. 4.利用函数的单调性求函数的值域或最值时一定要注意函 数的定义域.除函数的单调性外,求函数最值的方法还有:不 等式法,三角代换法,配方法,导数法,数形结合法等,需多 总结各种题型与方法的相互搭配.

第6讲 │函数的奇偶性和周期性

第6讲 函数的奇偶性和周期性

第6讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.函数的奇偶性 (1)函数奇偶性的定义 f(-x)= - f(x) 如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有_____________, 则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有 __________,则称f(x)为偶函数. f(-x)=f(x) 如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有奇偶性;如果 奇函数 函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是________,又是 ________. 偶函数

第6讲 │ 知识梳理

(2)利用定义判断函数奇偶性的步骤 ①首先确定______________,并判断其定义域是否关于 函数的定义域 _____对称; 原点 f(x) f(-x) ②确定______与_____的关系; ③作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =- f(x)或f(-x) + f(x) =0,则f(x) 是奇函数

第6讲 │ 知识梳理
(3)函数奇偶性的简单性质 原点 y轴 ①奇函数的图象关于_____对称;偶函数的图象关于_____ 对称; ②在定义域的公共部分内,两个奇函数之积(商)为________; 偶函数 偶函数 两个偶函数之积(商)也是________;一奇一偶函数之积(商) 奇函数 为________(注:取商时应使分母不为0); ③奇(偶)函数有关定义的等价形式: f(-x)=-f(x) f(-x) + f(x) =0( ) (f(x) ≠0); ④若函数y= f(x)是奇函数且0是定义域内的值,则f(0)=__; 0 若函数f(x)是偶函数,则有f(|x|)= f(x) .

第6讲 │ 知识梳理

(4)一些重要类型的奇偶函数 偶 ①函数f(x) =ax+a-x(a>0且a≠1)为____函数,函数f(x) =ax-a-x(a>0且a≠1)为____函数; 奇 ②函数f(x) =log1-x (a>0,且a≠1)为奇函数; a
1+x

③ f(x) =loga(x+ x2+1 )(a>0,且a≠1)为奇函数

第6讲 │ 知识梳理

2.周期性 (1)定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域 f(x+T)=f(x) 内的任意x,都有____________,则称f(x)为周期函数,其 中T称为f(x)的周期.若T中存在一个最小的正数,则称它为 最小正周期 f(x)的____________. ? ? ? T? ? ? ? =f T? ; (2)性质:①f(x+T)= f(x)常常写作f?x+ ? ?x- 2 ? 2? ? ? ? ② f(x)的周期为T,则函数f(wx)(w≠0)也是周期函数,且周
T |w| 期为____.

第6讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1
2

判断函数的奇偶性

例1 判断下列函数的奇偶性:
2 (1)y=x - 2; x
(2)y= x2-1+ 1-x2;

(3)y=(x-1)

1-x ; 1+x

lg1-x2? (4)y= |x-2|-2

第6讲 │ 要点探究
[思路] 从定义域入手,在定义域关于原点对称的情况 下,判断 f(x)与 f(-x)的关系. [解答] (1)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于 2 2 ? ? 2 ?-x?2- 原点对称,又 f(-x)=? ? ? =x - 2=f(x),∴函数 y ? ?-x?2 x ? ? 2 2 =x - 2是偶函数; x ?x2-1≥0, ? (2)由? 得 x=± 1,∴函数的定义域为{1, ?1-x2≥0, ?
-1},关于原点对称,又 y= x2-1+ 1-x2=0, ∴f(-x)=-f(x)=f(x)=0,∴函数 y= x2-1+ 1-x2 既是奇函数又是偶函数;

第6讲 │ 要点探究
1-x (3)由 ≥0,得-1<x≤1,∴函数的定义域为(-1, 1+x 1-x 1],不关于原点对称,∴函数 y=(x-1) 既不是奇函 1+x 数又不是偶函数; ?1-x2>0 ? (4)由? ,得-1<x<0 或 0<x<1,∴函数的 ?|x-2|-2≠0 ? 定义域为(-1, 0)∪(0, 关于原点对称, 1), 又|x-2|=2-x, ? ? ?2? 2 2 ?1-?-x? ? lg?1-x ? lg?1-x ? lg? ? ? ? ∴y= =- , ∴ f( - x) = = x x |x-2|-2 lg?1-x2? lg?1-x2? =-f(x),∴函数 y= 为奇函数. x |x-2|-2

第6讲 │ 要点探究

[点评]判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大, 解决问题时应先考察函数的定义域,若函数的定义域不关于原 点对称,则函数不具有奇偶性;若定义域关于原点对称,再判 断f(-x)与f(x)的关系;若定义域关于原点对称,且函数的解析 式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要 保证定义域不变).

第6讲 │ 要点探究
?ln? x+1- x??x>0?, ? 例2 (1)判断函数 f(x)=?0 ?x=0?, ? ?ln? 1-x+ -x??x<0?

的奇偶性.

(2)[2010· 保定模拟] 已知函数y=f(x)是定义在R上的不恒 为零的函数,且对于任意x1,x2∈R,都有f(x1· 2)=x1f(x2)+ x x2f(x1),则对函数f(x),下列判断正确的是( ) A. f(x)为奇函数 B. f(x)为偶函数 C. f(x)为非奇非偶函数 D. f(x)既是奇函数又是偶函数

第6讲 │ 要点探究
[思路] (1)分段函数的奇偶性,要将x在每一段的情况都要 验证,然后在整个定义域内得出f(-x)与f(x)的关系. (2)对x1,x2合理赋值,利用函数的性质和已知条件,判断 f(x)与f(-x)的关系.
(1)[解答] 需要分三种情况讨论: ①设 x>0,∴-x<0, ∴f(-x)=ln( 1+x+ x)=ln =-ln( x+1- x)=-f(x); ②设 x<0,∴-x>0, 1 ∴f(-x)=ln( -x+1- -x)=ln 1-x+ -x =-ln( 1-x+ -x)=-f(x); 1 x+1- x

第6讲 │ 要点探究

③当 x=0 时,f(x)=0,也满足 f(-x)=-f(x); 由①、②、③知,对 x∈R 有 f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. (2)A [解析] 令 x1=x2=0,得 f(0)=0,令 x1=x2 =1,得 f(1)=0,令 x1=x2=-1,得 f(-1)=0, 令 x1=x,x2=-1,得 f(-x)=-f(x)+0,因此 f(x) =-f(-x),所以 f(x)是奇函数.

第6讲 │ 要点探究
? 探究点2 函数奇偶性的性质及其应用

例3 [2010· 广州模拟] 已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时, f(x)=x2-x-1,求f(x)的解析式.
[解答] 设 x<0,则-x>0,∴f(-x)=(-x)2-(-x)-1= x2+x-1,又函数 f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)=-f(-x)=-x2-x+1; 当 x=0 时,由 f(0)=-f(0),∴f(0)=0, ?x2-x-1???x>0???, ? ? ? ? ? ∴f ??x??=?0??x=0??, ? ? ? 2 ?-x -x+1??x<0??.

第6讲 │ 要点探究
[2010· 江苏卷] 设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶 函数,则实数a=______. [思路] 利用奇偶函数的性质,得到参数a满足的方 程. -1 [解析] 本题考查函数的基本性质中的奇偶性,该 知识点在高考考纲中为B级要求. 设g(x)=ex+ae-x,x∈R,由题意分析g(x)应为奇函数(奇 函数×奇函数=偶函数), ∵x∈R,∴g(0)=0,则1+a=0,所以a=-1.

第6讲 │ 要点探究
? 探究点3 函数的周期性

例 4 (1)[2010· 山大附中月考] 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函 1 数,并且 f(x+2)=- .当 2≤x≤3 时,f(x)=x,则 f(105.5) f?x? =__________. (2)[2010· 南昌模拟] 定义在 R 上的函数 f(x)不是常数函数, 满足 f(x-1)=f(x+1),f(1+x)=f(1-x),则函数 f(x)( ) A.是奇函数也是周期函数 B.是偶函数也是周期函数 C.是奇函数但不是周期函数 D.是偶函数但不是周期函数

第6讲 │ 要点探究
[思路](1)利用已知条件,求得函数的周期,通过函数的周期性和 奇偶性,将自变量的值转化为在[2,3]内,再计算.(2)利用已知条件所 给的式子,通过变形,并结合奇偶函数与周期函数定义判断. 1 (1)2.5 (2)B [解析] (1)由 f(x+2)=- ,得 f(x+4) f?(x)? 1 =- f?(x)+2? 1 =- =f(x),因此函数 f(x)是以 4 为周期的函数,又 f(105.5) 1 - f?(x)? =f(4× 27-2.5)=f(-2.5),又函数 f(x)是偶函数,因此 f(-2.5) =f(2.5)=2.5. (2)由 f(x-1)=f(x+1), f(x+2)=f(x), 知 所以 f(x)是以 2 为周期的 周期函数,且用 x-1 代替 f(1+x)=f(1-x)中的 x,得 f(x)=f(2-x) =f(-x),∴f(x)是偶函数.故 f(x)是偶函数也是周期函数.

第6讲 │ 要点探究

?

探究点4

函数性质的综合应用

例 5 已知函数 f(x)为偶函数,且关于直线 x=1 对称,当 x ∈[1,2]时,f(x)=2-x. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)求 x∈[-1,1]时,函数 f(x)的表达式; (3)求 x∈[2k-1,2k+1],k∈Z 时,函数 f(x)的表达式; 1 (4)解不等式 f(x)< . 2

第6讲 │ 要点探究

[思路] (1)利用函数周期性的定义证明;(2)要求某一区间上的函 数解析式,一般把 x 设在该区间上,然后利用奇偶性或周期性,转化 到已知的区间上,利用已知的解析式求未知的解析式;(3)解决周期函 数的有关问题,一般转化为解决一个周期内的有关问题,然后推广到 整个定义域范围内.

第6讲 │ 要点探究
[解答] (1)∵函数 f(x)关于直线 x=1 对称, ∴f(x)=f(2-x), 又 f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x), ∴f(-x)=f(2-x),用 x 代替-x,得 f(x)=f(2+x), ∴函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数. (2)若 x∈[-1,0],则 x+2∈[1,2],∴f(x+2)=2-(x+2)=-x,又 f(x+2)=f(x),∴f(x)=-x,又令 x∈(0,1],-x∈[-1,0),∴f(-x)=x, ?x,0<x≤1, ? 又 f(-x)=f(x),∴f(x)=x,∴f(x)=? ? ?-x,-1≤x≤0.

第6讲 │ 要点探究
(3)令 x∈[2k-1,2k+1],k∈Z,则 x-2k∈[-1,1],k∈Z, ?x-2k,2k<x≤2k+1, ? ∴f(x-2k)=? k∈Z,又 f(x)=f(x-2k), ?-x+2k,2k-1≤x≤2k, ?
?x-2k,2k<x≤2k+1, ? 因此 f(x)=? ?-x+2k,2k-1≤x≤2k, ?

k∈Z.
?1? 1 ? ?= , ?2? 2

(4)当 x∈[-1,1]时,f(x)为偶函数,∴f(x)=f(|x|),∵f ∴不等式可化为 f(|x|)<f
?1? ? ?, ?2?

1 1 1 ∵f(x)在[0,1]为增函数,∴|x|< ,解得- <x< , 2 2 2 ? ? ? 1 1 ?x?2k- <x<2k+ ,k∈Z? . ∴原不等式的解集为 2 2 ? ? ?

第6讲 │ 要点探究

[点评]周期函数的研究方法是先研究周期函数在一个周期 上的性质,再将它拓展到整个定义域上,这样,可简化对函数 的研究.

第6讲 │ 规律总结 规律总结
1.判定函数的奇偶性,首先要检验其定义域是否关于原点对 称,然后再严格按照奇偶性的定义经过化简、整理,再将f(-x)与 f(x)比较,得出结论.其中,分段函数的奇偶性应分段证明f(-x)与 f(x)的关系,只有当对称的两段上都满足相同的关系时才能判断其 奇偶性. 2.利用函数的奇偶性、周期性把研究整个定义域内具有的性 质问题转化到只研究部分(一半)区间上的问题,是简化问题的一种 途径. 3.函数的奇偶性常与函数的其他性质及不等式结合出题,运 用函数的奇偶性就是运用函数图象的对称性. 4.要善于发现函数特征,图象特征,运用数形结合,定向转 化,分类讨论的思想,整体代换的手段,从而简化解决问题的程序, 既快又准.

第7讲 │ 二次函数

第7讲 二次函数

第7讲 │ 知识梳理 知识梳理

1.二次函数的解析式的三种形式 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) (1)一般式:________________________; f(x) =a(x-m)2+n(a≠0) (2)顶点式:________________________; f(x) =a(x-x1)(x-x2)(a≠0) (3)两根式:____________________________.

第7讲 │ 知识梳理

2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)配方法的步骤 f(x)
? ? 2 b ? b ?2 b2 a?x +ax?+c a?x+2a? -4a+c ? ? =___________=______________ ? ?
2

? b ?2 4ac-b = a?x+2a? + 4a ? ?

二次函数f(x) =ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,
2 ? b 4ac-b ? b ? ? - , x=- ? 2a 4a ? 对称轴方程为________,顶点坐标是______________;当a 2a ? ?

>0时,开口向上,当a<0时,开口向下.

第7讲 │ 知识梳理

3.二次函数的单调性及最值
? b? 递减 (1)当 a>0 时,函数在?-∞,-2a?上______, ? ? ? ? b b ?- ,+∞?上______,并且当 x=- 时, 递增 在 2a 2a ? ? 2 ? b ? 4ac-b ?x+ ?2+ a 2a? 4a ? f(x)min=_________________. ? b? 递增 (2)当 a<0 时,函数在?-∞,-2a?上______, ? ? 4ac-b2 ? ? b b ?- ,+∞?上______,当 x=- 时,f(x)max=_________. 递减 在 2a 4a 2a ? ?

第7讲 │ 知识梳理

4.根与系数的关系 二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),当 Δ=b2-4ac>0 时,图象与 x 轴有两个交点 M1(x1,0)、M2(x2,0),这里的 x1,x2 是方程 f(x)=0

b ? ?x1+x2=-a, ? ?x1·2=c x a 的两根,则根与系数的关系是____________. ? Δ 弦长|M1M2| =______= . |x1-x2| |a|

第7讲 │ 知识梳理
5.二次函数在闭区间上的最值 若 a>0,二次函数 f(x)在闭区间[p,q]上的最大值为 M,最小值 为 N. 1 令 x0= (p+q), 2 b f(p) f(q) ①若- <p,则 M=______,N=______; 2a b f(p) f(q) ②若- >q,则 M=______,N=______; 2a b ③若 p≤- ≤x0,则 2a ④若 x0<- b ≤q,则 2a
? b? f ?-2a? f(q) M=______,N=________; ? ?

? b? ?- ? f 2a f(p) ? ? M=______,N=________.

第7讲 │ 知识梳理

6.一元二次不等式的解集与二次方程 ax2+bx+c=0 的根的关 系 (1)若 a>0,方程 ax2+bx+c=0 有两个不等的实根 x1,x2(x1<x2), {x|x<x1 或 x>x2} 则不等式 ax2+bx+c>0 的解集为_______________; {x|x1<x<x2} 不等式 ax2+bx+c<0 的解集为__________. (2)若 a>0,方程 ax2+bx+c=0 有两个相等的实根 x0,则不等式 ax2+bx+c<0 的解集为____. ? (3)若 a>0,方程 ax2+bx+c=0 无实根,则不等式 ax2+bx+c>0 的解集为____;不等式 ax2+bx+c<0 的解集为____. R ?

第7讲 │ 要点探究

要点探究
? 探究点1 求二次函数的解析式

例 1 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的 最大值为8,试确定此二次函数的解析式.

第7讲 │ 要点探究

[思路] 已知函数类型,利用待定系数法求解. 解法一:用一般式求解 ?4a+2b+c=-1, ? ?a-b+c=-1, 2 设 f(x)=ax +bx+c(a≠0),由题意可得? ?4ac-b2 ? 4a =8, ? ?a=-4, ? 解得?b=4, ?c=7, ? ∴f(x)=-4x2+4x+7.

第7讲 │ 要点探究
解法二:用顶点式求解 2-1 1 设 f(x)=a(x-h) +k,∵f(2)=f(-1)=-1,∴h= = , 2 2 ? 1?2 9a 又 f(x)的最大值为 8,因此 f(x)= a?x-2? +8,∴f(2)= +8=-1, 4 ? ? 解得 a=-4,∴f(x)=-4x2+4x+7.
2

解法三:用两根式求解 ∵f(2)=f(-1)=-1,∴2,-1 是方程 f(x)+1=0 的两根, 因此设 f(x)+1=a(x-2)(x+1),即 f(x)=ax2-ax-2a-1, 4a?-2a-1?-a2 ∵f(x)的最大值为 8,∴ =8,解得 a=-4, 4a ∴f(x)=-4x2+4x+7.

第7讲 │ 要点探究

[点评] 二次函数的解析式有三种形式,分别为一般式, 顶点式及两根式,一般情况下,若给出抛物线过某三个点, 则选用一般式;若给出对称轴或顶点坐标,则选用顶点式; 当给出抛物线与x轴的两交点坐标,一般选用两根式.学会 根据题目的条件正确选择函数的解析式,从而简化运算, 如:

第7讲 │ 要点探究

(1)已知函数f(x)=2x2+bx+c,当-3<x<2时, f(x)<0,当x<-3或x>2时,f(x)>0,则b=___,c=____. 2 -12 (2)二次函数f(x),对任意的x都有f(x) ≥f(1)=-2恒成立,且f(0) =1,则f(x)=___________. 3x2-6x+1 (3)已知f(x)是二次函数,且满足f(x+1)-2f(x-1)=x2-2x+17, -x2-4x-28 则f(x) =______________.

第7讲 │ 要点探究
[解析] (1)由题意可知,-3,2 是函数 f(x)的两个零点, ∴f(x)=2x2+bx+c=2(x+3)(x-2)=2x2+2x-12,∴b=2,c=-12. (2)由题意可知,f(x)在 x=1 处有最小值-2,因此设 f(x)=a(x-1)2-2, 又 f(0)=a-2=1,得 a=3,∴f(x)=3(x-1)2-2=3x2-6x+1. (3)设 f(x)=ax2+bx+c, 则 f(x+1)-2f(x-1)=[ax2+(2a+b)x+(a+b+c)]-2[ ax2+(-2a+b)x +(a-b+c)]=-ax2+(6a-b)x+(-a+3b-c), 又 f(x+1)-2f(x-1)=x2-2x+17,

?-a=1, ?a=-1, ? ? ∴?6a-b=-2, 解得?b=-4, ∴f(x)=-x2-4x-28. ?-a+3b-c=17, ?c=-28, ? ?

第7讲 │ 要点探究
? 探究点2 二次函数在闭区间上的最值 例 2 试求二次函数f(x)=x2+2ax+3在区间[1,2]上的最小值 .

[解答] f(x)=x2+2ax+3=(x+a)2+3-a2. 当-a<1,即a>-1时,函数在区间[1,2]上为增函数,故此时最小值 为f(1)=2a+4; 当1≤-a≤2,即-2≤a≤-1时,函数的最小值为f(-a)=-a2+3; 当-a>2,即a<-2时,函数在区间[1,2]上为减函数,此时最小值为 f(2)=4a+7. 综上可知,当a<-2时,最小值为4a+7;当-2≤a≤-1时,最小值 为-a2+3;当a>-1时,最小值为2a+4.

第7讲 │ 要点探究
已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1上有最 大值2,求a的值.
[思路] f(x)配方后,得对称轴 x=a 是变动的,要区分对称轴 x=a 在区间 [0,1]内和外,确定 f(x)的最大值,从而建立方程解出 a. [解答] f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1, ∵0≤x≤1, ∴①当 0≤a≤1 时,f(x)max=f(a)=a2-a+1, 1± 5 2 ∴a -a+1=2,解得 a= . 2 1± 5 ∵0≤a≤1,∴a= 舍去; 2 ②当 a>1 时,f(x)max=f(1)=a=2>1 成立; 1 ③当 a<0 时,∵x= <0,∴f(x)max=f(0)=1-a,∴1-a=2, 2a ∴a=-1<0 成立. 综上可得 a=-1 或 a=2.

第7讲 │ 要点探究

?

探究点3

二次函数的综合应用

例 3 已知函数f(x)=ax2-|x|+2a-1(a为实常数). (1)若a=1,作函数f(x)的图象; (2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达 式. [思路] 利用分类讨论思路,将函数转化为分段函数求解.

第7讲 │ 要点探究
?x2+x+1,x<0, ? 2 时,f(x)=x -|x|+1=? 2 ?x -x+1,x≥0. ?

[解答] (1)当 a=1 函数图象如下图所示:

第7讲 │ 要点探究
(2)当 x∈[1,2]时,f(x)=ax2-x+2a-1.若 a=0,则 f(x)=-x-1 在区间 [1,2]上是减函数,g(a)=f(2)=-3; ? 1? 1 1 ?x- ?2+2a- -1,f(x)图象的对称轴是直线 x= . 若 a≠0,则 f(x)=a 2a? 4a 2a ? 当 a<0 时,f(x)在区间[1,2]上是减函数,g(a)=f(2)=6a-3; 1 1 当 0< <1,即 a> 时,f(x)在区间[1,2]上是增函数,g(a)=f(1)=3a-2; 2a 2 ?1? 1 1 1 1 当 1≤ ≤2,即 ≤a≤ 时,g(a)=f?2a?=2a- -1; 2a 4 2 4a ? ? 1 1 当 >2,即 0<a< 时,f(x)在区间[1,2]上是减函数,g(a)=f(2)=6a-3, 2a 4 ?6a-3,a<1, ? 4 ? 1 1 1 综上可得 g(a)=?2a-4a-1,4≤a≤2, ? ?3a-2,a>1. ? 2

第7讲 │ 要点探究

设函数f(x)=x2+|2x-a|(x∈R,a为实数). (1)若f(x)为偶函数,求实数a的值; (2)设a>2,求函数f(x)的最小值. [思路] (1)利用函数奇偶性的定义得到a满足的关系式; (2)利用分段函数的最值的求解方法解决.

第7讲 │ 要点探究
[解答] (1)由已知 f(-x)=f(x), 即|2x-a|=|2x+a|,解得 a=0. ?x2+2x-a,x≥1a, ? 2 (2) f(x)=? ?x2-2x+a,x<1a, ? 2 1 1 当 x≥ a 时,f(x)=x2+2x-a=(x+1)2-(a+1),由 a>2,x≥ a,得 x>1, 2 2 ?a? a2 1 从而 x>-1,故 f(x)在 x≥ a 时单调递增,f(x)的最小值为 f?2?= ; 2 ? ? 4 1 a 2 2 当 x< a 时,f(x)=x -2x+a=(x-1) +(a-1),故当 1<x< 时,f(x)单 2 2 调递增,当 x<1 时,f(x)单调递减,此时 f(x)的最小值为 f(1)=a-1; ?(a-2)?2 a2 由 -(a-1)= >0,知 f(x)的最小值为 a-1. 4 4

第7讲 │ 规律总结 规律总结
1.对二次函数的三种表示形式,要善于运用题目隐含条 件,恰当选择不同形式,简化运算. 2.二次函数、一元二次不等式和一元二次方程(统称三个 二次)是一个有机的整体,要深刻理解它们之间的关系,运用函 数方程的思想方法将它们进行转化,是准确迅速解决此类问题 的关键. 3.二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值,它只能 在区间的端点或顶点处取得,对于“轴变区间定”和“轴定区间 变”两种情形,要借助二次函数的图象特征(开口方向、对称轴 与该区间的位置关系),抓住顶点的横坐标是否属于该区间,结 合函数的单调性进行分类讨论和求解.

第8讲 │ 指数与指数函数

第8讲 指数与指数函数

第8讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.指数幂 (1)指数幂的推广 ①零指数幂:a0=__(a≠0). 1 1 -n ②负指数幂:a =___(a≠0,n∈N*). an
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m n am ③分数指数幂:a n =______(a>0,m、n∈N*,且 n>1).
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1

am a n = m=______(a>0,m、n∈N*,n>1).


m

1

n

an

第8讲 │ 知识梳理
④0 的正指数幂是 0,0 的负指数幂无意义. (2)根式及性质 ?n ? a?,n为奇数?, ? ? n n ?± a?,n为偶数? ② x =a(n∈N,n>1)?x=______________.
?a?,n为奇数?, ? ? ?|a|?,n为偶数? ? an=____________.



n

a ③( a)n=____.

n

第8讲 │ 知识梳理

(3)有理指数幂的运算性质 ①aras=______(a>0,r、s∈Q). ar+s ②(ar)s=______(a>0,r、s∈Q). ars ③(ab)r=______(a>0,b>0,r∈Q). arbr

第8讲 │ 知识梳理
2.指数函数
指数函数
定义式 y=ax(0<a<1) y=ax(a>1)

定义域
值域

(-∞,+∞)
(0,+∞)

图象

过定点(0,1) 性质 减函数 x≥0时,0<y≤1; x<0时,y>1 增函数 x≥0时,0<y≤1; x<0时,0<y<1

第8讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 指数幂的化简与求值


例1 化简:(1)(0.027)
10(2- 3) 1;


? 1 ?- -?-6? 2+2560.75-|-3|-1+(-5.55)0- 3 ? ?
1

a3-8a3b (2)
2

4

1

3 4b3+2 ab+a3

? 3 b? 3 ? ?· a. ÷ 2 1-2 a? ?

第8讲 │ 要点探究
[思路] (1)将负指数化为正指数. (2)题目中的式子既有分数指数幂又有根式,把它们统一成 分数指数幂,以便于用法则运算,如果不符合法则应创设条件 去求.
[解答] (1)(0.027) 10(2- 3)-1 10 =[(0.3) ] 3-(-1) (6 ) +(4 )4-3-1+1- 2- 3 ? 3 ?- 10(?2+ 3)? 1 1 3 =?10? -36+4 - +1- 3 4-3 ? ? 10 1 = - +29-20-10 3=12-10 3; 3 3
3
- -2 -1 -2 -

? 1? - - ?-6? 2 +2560.75 -|-3| - 1 +(-5.55)0 - 3 ? ?
1 3

1

4

第8讲 │ 要点探究

a3-2b3 1 (2)原式= 2 ·3 a 1 1 2÷ 1 a3+2a3b3+4b3 a3
1 a3?a-8b? 1

1 a3?a-8b?

1

1

a3

= 2 ·1 a 1·3 2 3 a3+2 ab+4b3 a3-2b3 a?(a-8b?) = =a. a-8b

1

第8讲 │ 要点探究

[点评] 分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式 的关系,因此,根式的运算可以转化为分数指数幂的运 算.对指数幂的运算:①要熟练掌握根式与分数指数幂的 转换关系;②要熟练掌握指数幂的运算法则和乘法公式; ③运算程序化,即先把根式化为分数指数幂并尽量化简, 再应用指数幂的运算法则和乘法公式.

第8讲 │ 要点探究

计算:(1)

3

9 a · a-3÷ 2

3

3 a-7· a13;

6 6 3 3 3 (2)( 32· 3+ 243· 2)( 4- 6+ 9).

第8讲 │ 要点探究

[解答] (1)原式=(a2· 2 )3÷ a (a 3 · 3 )2=(a )3÷ )2=a÷ a (a a=1;
1 1 2? 1 ? 2 1 1 1 1 2 3 (2)原式=(26·2+36·2)?23-23·3+33?=32·2(23+33)(23- 3 2 2 5 1 5

9

-3

1

-7

13 1

3

1

2

1

?

?

23·3+33)=32·2[ (23) +(33)3]=5 6. 3 2

1

1

2

1

1

1

3

1

第8讲 │ 要点探究

?

探究点2

指数函数的图象与应用
?1? + y=?3? |x 1|. ? ?

例2 已知函数

(1)作出图象; (2)由图象指出其单调区间; (3)由图象指出当 x 取什么值时 y 有最值,并写出值域; ?1? + (4)若关于 x 的方程?3? |x 1|=m 有正根,求 m 的取值范围. ? ?

第8讲 │ 要点探究
??1?x+1,x≥-1, ?1? x+1 ?? ? [解答] (1)方法一:由函数解析式可得 y=?3? =??3? ? ? ?3x+1,x<-1, ?
? ? ? ? ? ? ? ?

其图象由两部分组成: 一部分是由指数函数

?1?x? y=?3? ?x≥0?向左平移 ? ? ?

1 个单位

而得;另一部分是由 y=3x?x<0?向左平移一个单位而得.如图 ? ?

第8讲 │ 要点探究
?1?? ? ?1?x? ?x ? 方法二: 函数 y=?3??? ??为偶函数, 关于 y 轴对称, 做出 y=?3? ?x≥0?? ? ? ? ? ?1?? ? 的图象,当 x<0 时,将图象关于 y 轴的对称图象得到 y=?3????x???的图 ? ? ?1?? ? ?1?? ? ? ??x?的图象向左平移 1 个单位, 象, y= 3 ?? ?? 将 即可知 y=?3????x+1???的图象. ? ? ? ?
? ? (2)由 图 象可 知 函 数 的 递 增 区 间 为 ??-∞,-1?? , 递 减 区 间为 ? ? ?-1,+∞?. ? ? ?1?0 (3)当 x=-1 时,ymax=?3? =1,值域为(0,1]. ? ? ? 1? 1 (4)由图象,令 x=0,得 y= ,则 m 的取值范围是?0,3?. 3 ? ?

第8讲 │ 要点探究

?

探究点3

指数函数的性质


10x-10 x 例3 已知 f(x)=10x+10-x. (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)求证:f(x)是定义域内的增函数; (3)求 f(x)的值域.

[思路] 利用定义法判断函数的奇偶性和单调性,并结合 单调性求函数的值域.

第8讲 │ 要点探究
[解答] (1)函数的定义域是 R,关于原点对称,又 f(-x)= 10-x-10x 10x-10-x =- -x =-f(x),∴f(x)为奇函数; - 10 x+10x 10 +10x 10x-10-x 102x-1 2 (2)证明:f(x)= x = 2x =1- 2x , 10 +10-x 10 +1 10 +1 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? 令 x2>x1 ,则 f(x2)-f(x1)= ?1-102x2+1? - ?1-102x1+1? = ? ? ? ? ? 102x2-102x1 2× ,∵函数 y=10x 为增函数,x2>x1, 2x2 2x1 ?(10 +1)(??10 +1)? ∴102x2>102x1,∴102x2-102x1>0,又∵102x1+1>0,102x2+1>0, 102x2-102x1 ∴2× >0,故当 x2>x1 时,f(x2)-f(x1)>0, (?102x2+1)(??102x1+1)? 即 f(x2)>f(x1),∴函数 f(x)为 R 上的增函数;

第8讲 │ 要点探究

10x-10 x 2 (3)f(x)= x ,∵102x>0,∴102x+1>1, -x =1- 2x 10 +10 10 +1 1 2 2 ∴0< 2x <1,∴0< 2x <2,∴-2<- 2x <0,∴-1<1 10 +1 10 +1 10 +1 2 - 2x <1,即函数的值域为(-1,1). 10 +1



第8讲 │ 要点探究

?

探究点4

指数函数的性质的综合应用
?1? f(x)=?3?x, x∈[-1,1], 函数 ? ?

例 4[2010· 潍坊模拟]已知函数

g???x???=

f2(x)-2a f(x)+3 的最小值为 h???a???. (1)求 h???a???; (2)是否存在实数 m, 同时满足以下条件: n ①m>n>3; ②当 h???a???的 ? ? ? 2 2? 定义域为??n,m??时,值域为??n ,m ??.若存在,求出 m,n 的值;若不存 在,说明理由.

第8讲 │ 要点探究
[解答] (1)因为
?1 ? t∈?3,3?,则 ? ? ?1?x ?1 ? ?1?x x∈ -1,1 ,所以?3? ∈?3,3?.设?3? =t, ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?

? ? g??x??=φ??t??=t2-2at+3=??t-a??2+3-a2.

?1? 28 2a 1 ? ? 当 a< 时,h?a?=φ?3?= - ; 3 9 3 ? ? 1 当 ≤a≤3 时,h??a??=φ??a??=3-a2; 3 当 a>3 时,h??a??=φ??3??=12-6a,

?28 2a? 1? ? 9 - 3 ?a<3?, ? ? ? ? ? 综上:h??a??=? 2?1 ? ?3-a ?3≤a≤3?, ? ? ? ?12-6a?a>3?.

第8讲 │ 要点探究

n,m???, (2) 因为 m>n>3, a∈ 所以 h???a???=12-6a.因为 h???a???的
? ? ? 2 2? 定 义 域 为 ??n,m?? , 值 域 为 ??n ,m ?? , 且 h ???a??? 为 减 函 数 ,所 以

? ? ?

?12-6m=n2, ? ? ?12-6n=m2, ?

? ? ? ?? ? 两 式 相 减 得 6 ??m-n?? = ??m-n?? ??m+n?? , 因 为

m>n,所以 m-n≠0,得 m+n=6,但这与“m>n>3”矛盾,故 满足条件的实数 m,n 不存在.

第8讲 │规律总结 规律总结
1.利用分数指数幂进行根式的运算,其顺序是先把根 式转化为分数指数幂,再根据分数指数幂运算性质进行 计算. 2.指数函数型的解题方法及一般规律 (1)指数函数的底数a>0且a≠1,这是隐含条件. (2)指数函数y=ax的单调性与底数a与1的大小有关, 当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.

第8讲 │规律总结

(3)比较两个指数幂大小时,尽量化同底或同指, 当底数相同、指数不同时,构造同一指数函数,然后比 较大小;当指数相同、底数不同时,构造两个指数函数 ,利用图象比较大小;如果底数和指数都不同,利用中 间变量0或1比较大小. (4)解简单的指数不等式时,当底数含参数,且底数 与1的大小不确定时,注意分类讨论.

第9讲 │ 对数与对数函数

第9讲 对数与对数函数

第9讲 │ 知识梳理 知识梳理

1.对数的概念 logaN(a>0,a≠1,N>0) (1)如果 ab=N,那么 b=______________________; (2)以____为底的对数叫常用对数,N 的常用对数简记为 10 lgN ____;以___为底的对数叫自然对数,N 的自然对数简记为 e ____. lnN

第9讲 │ 知识梳理
2.积、商、幂、方根的对数(M、N 都是正数,a>0,a≠1) 的运算性质

logaM+logaN (1)loga(M· N)=________________;
M logaM-logaN (2)loga N =________________;

nlogaM (3)logaMn=_________(n∈R);
(4)loga n

1 nlogaM M=________(n∈R).

第9讲 │ 知识梳理

3.对数的换底公式及对数恒等式 (1)恒等式:logaab=____,loga1=____,alogaN=____; b 0 N (2)换底公式: logaN= b≠1). logbN 1 , logab= (a>0, a≠1, b>0, logba logba

第9讲 │ 知识梳理
4.对数函数的图象和性质
对数函数
定义式 定义域 值域 y=logax(0<a<1) y=logax(a>1)

图象

过定点(1,0)
减函数 性质 x≥1时,y≤1; 0<x<1时,y>0 增函数 x≥1时,y≥0; 0<x<1时,y<0

y=logax与y=ax的图象关于y=x对称

第9讲 │ 知识梳理

5.指数函数与对数函数的关系

反函数 它们的 对数函数 y=logax 与指数函数 y=ax 互为________,
直线y=x 图象关于__________对称.

第9讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 对数式的化简与求值
3 7 1 - +log212- log242-1=____. 2 48 2
?1?x 时,f(x)=?2? ; ? ?

例1 (1)计算:log2

(2)[2009· 辽宁卷] 已知函数 f(x)满足:x≥4 1 当 x<4 时,f(x)=f(x+1).则 f(2+log23)为____. 24

(3)已知 log189=a,18b=5, 试用含有 a, 的式子表示 log3645 b
a+b 2-a 的值为______.

第9讲 │ 要点探究
[思路] (1)熟练运用对数运算性质和法则进行运算; (2)因f(x)是分段函数,故先判断自变量的范围,再选择合适的 解析式,同时注意对数恒等式的运用;(3)当指数的取值范围扩 充到有理数后,对数运算就是指数运算的逆运算.因此,当一 个题目中同时出现指数式与对数式时,一般要把问题转化,即 统一到一种表达式.
7 [ 解 析 ] (1) 原 式 = log2 + log212 - log2 42 - log22 = 48 3 7× 12 1 3 - log2 =log2 =log22 2=- . 2 48× 42× 2 2 2

第9讲 │ 要点探究
(2)∵3<2+log23<4,∴f(2+log23)=f(3+log23), 且 3+log23>4, ∴f(2+log23)=f(3+log23) ?1? + 1 ?1?log23 1 ?1?log11 ? ? =?2?3 log23= × 2? = × 2? 3 8 ? ? 8 ? ? 2 ? ? 1 1 1 = ×= . 8 3 24 (3)由 18b=5,得 b=log185,又 log189=a, ∴log189+log185=log1845=a+b. a+b a+b a+b log1845 ∴log3645= = = = . log1836 1+log182 2-log189 2-a

第9讲 │ 要点探究

[点评]熟练运用对数式的运算公式和对数的性质是解 决本题的基础和前提.运用对数的运算法则时,要注意取 值范围,同时不要将积、商、幂的对数与对数的积、商、 幂混淆. 涉及对数之积的形式无法直接使用对数的运算性质, 可先因式分解再使用.如

第9讲 │ 要点探究
计算:

[ 解 答 ] (1) 原 式 = lg 2 (2lg 2 + lg5) + (?lg 2)?2-2lg 2+1=lg 2(lg2+lg5)+|lg 2-1|=lg 2+(1 -lg 2)=1. 34 (2) 原 式 = log3
?3 ? 1 ? ? ?10-3-2?=- . ? -1?· 5? ? 4 ? log 4 ?
3

(1)2(lg 2) +lg 2· lg5+ ?(lg 2)? -lg2+1; 4 2 ? 1 ? ? ? 27 ?3 3? -log 72 7 ?. (2)log3 · 5?42log210-? ?3 log 3 ? ?

2

2

3

? log 10 ? 3?2 ? ? 2? · 5 ?2 2 -?32?3-log77 ?) log ? ? ? ?



第9讲 │ 要点探究

?

探究点2 例2

对数函数的图象与性质
1-mx ?? a>0,a≠1??? 已知 f(x)=loga 1-x ?

[2010·南京模拟]

是奇函数. (1)求 m(m<0)的值; (2)判断函数 f(x)在(0,1)上的单调性; (3)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围.

第9讲 │ 要点探究

[思路] (1)利用函数奇偶性的定义,列出m所满足的方 程;(2)严格按照用定义证明函数单调性的步骤进行;(3)利 用函数的单调性,脱掉符号“f”求解.
1+mx [解答] (1)∵f(x)是奇函数,∴f -x +f(x)=loga + 1+x 1-mx 1-m2x2 loga =loga 2 =0 对定义域内的任意 x 恒成立,∴ 1-x 1-x 1-m2x2 2 2 2 2 =1,∴(m -1)x =0,即 m -1=0,∴m=1(舍去)或 m 1-x =-1,∴m=-1.
? ? ? ? ? ?

第9讲 │ 要点探究
(2)设 0<x1<x2<1,则 x1+x2>0,1-x1>0,1-x2>0,又(1+x1)(1+ (?1+x1??)(1+x2?) x2)-(1-x1)(1-x2)=2(x1+x2)>0,∴ >1, (?1-x1?)(?1-x2?) 1+x2 1-x1 ∴f(x2)-f(x1)=loga -loga 1-x2 1+x1 ?(1+x1?)(?1+x2?) =loga . (?1-x1?)(?1-x2?) ?(1+x1?)(?1+x2?) ∴当 a>1 时,loga >0, ?(1-x1?)(?1-x2?) ∴f(x2)>f(x1),∴函数在(0,1)上为增函数; (?1+x1?)(?1+x2?) 当 0<a<1 时,loga <0, (?1-x1?)(?1-x2?) ∴f(x2)<f(x1),∴函数在(0,1)上为减函数.

第9讲 │ 要点探究

1+x 1+x (3)当 a>1 时, loga 由 >0=loga1, 得 >1, 解得 0<x<1, 1-x 1-x 1+x 1+x 当 0<a<1 时,由 loga >0=loga1,得 0< <1,解得 1-x 1-x -1<x<0. 综上,当 a>1 时,x 的取值范围是{x|0<x<1},当 0<a<1 时, x 的取值范围是{x|<x<0}.

第9讲 │ 要点探究

已知函数 f(x)=-log2(x2-ax-a)在(-∞,1- 3) 上是增函数,求实数 a 的取值范围.

[解答] 令 g(x)=x2-ax-a, 要使 f(x)在??-∞,1- 3?? ?a ? ≥1- 3, 上是增函数,需?2 ?g???1- 3???≥0, ? 解得 2-2 3≤a≤2.

?

?

第9讲 │ 要点探究

?

探究点3

与指数函数、对数函数有关的大小比较

1 例3 [2010·全国卷Ⅰ] 设 a=log32,b=ln2,c=5-2, 则 ( ) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a

[思路] 利用中间变量比较大小.

第9讲 │ 要点探究

1 1 , b = ln2 = ,而 log23 log2e 1 1 1 1 1 1 - 1<log2e<log23,所以 a<b,c=5 2= < = = < ,所以 5 4 2 log24 log23 c<a,综上 c<a<b. 1 1 1 方法二:a=log32= ,b=ln2= ,1<log2e<log23<2, log23 log2e 2 1 1 1 1 1 1 < < <1,c=5- = < = ,∴c<a<b. log23 log2e 2 5 4 2 C [ 解 析 ] 方 法 一 : a = log32 =

第9讲 │ 要点探究

若 x∈(e 1,1), a=lnx, b=2lnx, c=ln3x, 则( A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a




)

C [解析] 由 x∈(e 1,1)得, -1<lnx<0, a-b=-lnx>0, a>b,a-c=lnx(1-ln2x)<0,a<c,因此有 b<a<c.

第9讲 │ 要点探究
? 探究点4 指数函数的性质的综合应用
1 例4 已知函数 f(x)=2x-2|x|. (1)若 f(x)=2,求 x 的值; (2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围. 1 x [解析] 由[解答] (1)当 x≥0 时,f(x)=2 - x=2, 2 (?2x?)2-1 即 =2,即(2x)2-2·x-1=0, 2 x 2 解得 2x=1+ 2或 2x=1- 2(舍去), x=log2(1+ 2). 1 当 x<0 时,f(x)=2x- x=2, 2 即 2x-2x=2,无解. 故 x=log2(1+ 2).


第9讲 │ 要点探究

(2)∵2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立, f(t)在区间[1,2] 而 -2tf?2t? 上恒为正数,故 m≥ 对于 t∈[1,2]恒成立. f?t? ? 1? t? 2t -2 2 -22t? f?2t? ? ? 令 y=-2t· = =-(22t+1), f?t? 1 2t - t 2 函数 y=(22t+1),在 R 上为减函数, 当 t=1 时,ymax=-22-1=-5. ∴m≥ymax=-5, 故 m 的取值范围为 m≥-5.

第9讲 │规律总结 规律总结
1.应重视指数式与对数式的互化关系,它体现了 数学的转化思想,也往往是解决“指数、对数”问题的关 键. 2.指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数, 可以从概念、图象、性质几方面了解它们间的联系与区 别. 3.对数函数的真数和底数应满足的条件是求解有 关对数问题时必须予以特别重视的,另外对数函数问题 尽量化同底,以方便运算和运用性质.

第9讲 │规律总结

4.对数函数的性质主要是单调性,对数函数y= logax单调性与底数a与1的大小有关,当底数a与1的大 小关系不确定时应注意分类讨论. 5.利用对数函数的概念、图象、性质讨论一些复 合函数的相应问题是常考题型,应注意数形结合、分类 讨论、化归转化等数学思想方法的灵活运用.

第10讲 │ 幂函数与函数的图象

第10讲

幂函数与函数的图象

第10讲 │知识梳理 知识梳理
1.幂函数 y=xα (1)幂函数定义:一般地,形如______(α∈R)的函数称为幂 函数,其中α为常数. 几种常见幂函数的图象: 1 ① y=x;② y=x ;③ y=x2; 2 ④ y=x-1;⑤ y=x3.

图10-1

第10讲 │知识梳理
(2)幂函数性质 (0,+∞) ①所有的幂函数在__________都有定义,并且图象都过点 (1,1) ______; 原点 ②α>0时,幂函数的图象通过______,并且在区间[0, +∞)上是________.特别地,当α>1时,幂函数的图象 增函数 上凸 ______;当0<α<1时,幂函数的图象______; 下凸 减函数 ③α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是__________ .在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限 地逼近y轴正半轴,当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近 x轴正半轴.

第10讲 │知识梳理
2.函数图象 以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即 列表描点法 图象变换法 ____________和____________. 描点法: 定义域 (1)作函数图象的步骤:①确定函数的________;②化简函 单调性、奇偶性、周期性 数的解析式;③讨论函数的性质,即 ________________________;④描点连线,画出函数的图象. 变换法: (2)几种图象变换:平移变换、对称变换和翻折变换、伸缩变 换等等;

第10讲 │知识梳理

x轴方向

平移 |a|

第10讲 │知识梳理

关于y轴

第10讲 │知识梳理

原点

直线x=a

第10讲 │知识梳理
③翻折变换: Ⅰ.函数y=|f(x)|的图象可以将函数y=f(x)的图象的x轴下方部 x轴 分沿________翻折到x轴上方,去掉原x轴下方部分,并保留 y=f(x)的x轴上方部分 ____________________即可得到;

图10-2

第10讲 │知识梳理
Ⅱ.函数y=f(|x|)的图象可以将函数y=f(x)的图象右边沿y轴 翻折到y轴左边替代原y轴左边部分,并保留 y=f(x)在y轴右边部分 _____________________即可得到.

图10-3

第10讲 │知识梳理

纵坐标伸长(a>1)或压缩
(0<a<1)为原来的a倍

第10讲 │知识梳理

(3)识图:图象的分布范围、变化趋势、对称性、周期性等 等. 3.函数图象的应用 (1)利用函数图象,研究函数的几何性质,如单调性、周期 性、奇偶性、最值、零点、值域及定义域、对称性等; (2)利用函数图象、数形结合的思想方法解题,将代数问题 转化为平面解析几何问题处理.

第10讲 │要点探究 要点探究
? 探究点1 集合的概念
? ? ? ?

2 例 1 已知 f (x)= m +2m??xm (1) f (x)是幂函数; (2)f (x)是正比例函数; (3)f (x)是反比例函数.

2-2m-1

,当 m 取何值时,

[思路] 利用各类函数的定义,确定 x 的指数的取值. [解答] (1)由 m2+2m=1,解得 m=-1± 2. (2)由 m2-2m-1=1,得 m=1± 3. (3)由 m2-2m-1=-1,m=0 或 m=2,又当 m=0 时,m2+2m= 0,不符合题意,舍去,故 m=2.

第10讲 │要点探究
? 探究点二 幂函数的图象与性质
2-2m-3(
m

例 2 已知幂函数 f(x)=xm

m∈N*)的图象关于 y 轴对称,且在
m

(0,+∞)上是减函数,求满足(a+1) 3 <(3-2a) 3 的 a 的取值范围.

[思路] 利用幂函数的奇偶性和单调性确定m的值,再由幂函 数的单调性确定a的取值范围.
[解答] ∵函数 f(x)在(0,+∞)上递减,∴m2-2m-3<0,解得-1<m <3.∵m∈N*,∴m=1 或 2.又函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,∴m2-2m -3 是偶数,而 22-2× 2-3=-3 为奇数,12-2× 1-3=-4 为偶数,∴m =1.又函数 g(x)=x3在 R 上为增函数,∴(a+1)3<(3-2a)3等价于 a+1<3 2 -2a,解得 a< . 3
1 1 1

第10讲 │要点探究

[点评] 本题集幂函数概念、图象及单调性、奇偶性于一 体,综合性较强,解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质. 由幂函数的定义求参数的取值范围时,要注意检验求得的参数 是否符合题意,如:

第10讲 │要点探究
(1)函数 f(x)=(m2-m-1)xm -2m-3 是幂函数,且当 x∈(0, +∞)时是减函数,则 m=________. (2)幂函数 y=xα,当 α 取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图 象是一族美丽的曲线(如图 10-4).设点 A(1,0),B(0,1),连接 AB,线 段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=xα, y=xβ 的图象三等分, 即有 BM =MN=NA.那么 αβ=__________.
2

图10-4

第10讲 │要点探究
(1)2 (2)1
? ?

[解析](1)因为函数 f??x??是幂函数,所以 m2-m
? ?

?

?

? ? -1=1, m=-1 或 m=2.当 m=-1 时, 得 函数 f??x??=1, 不符合要求;

当 m=2 时,函数 f??x??=x-3,它在??0,+∞??上是减函数.故 m=2.
α

(2)∵函数 y=x

?1 2? 经过点?3,3?, ? ? ? ?

?2 1? 2 ?1?α ? ? β 12 ∴ =?3? ,∴α=log ,∵函数 y=x 经过点?3,3?, ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3

1 ?2?β 1 ? ? 21 12 21 12 ∴ =?3? ,∴β=log ,∴αβ=log · log =log · =1. 3 ? ? 3 3 3 3 2 3 3 3 3 log1 33

第10讲 │要点探究
? 探究点3 幂函数的图象与性质

例 3 作出下列函数的大致图象: (1)y=log2|x|; 2-x (3)y= ; x+1 (2)y=|log2(x-1)|; (4)y=2+ 3-x.

[思路] 根据各函数解析式的结构特征,分析其图象是由哪类 初等函数经过何种变换而得.

第10讲 │要点探究

第10讲 │要点探究

第10讲 │要点探究

[点评] (1)利用描点法作函数图象的步骤是:列表、描点、 连线,若对函数图象的形状比较熟悉,可不必列表,直接描点、 连线;(2)利用图象变换作函数图象,关键是找出基本初等函数, 将函数的解析式分解为只有单个变换的函数链,然后依次进行 单一变换,最终得到所要的函数图象.

第10讲 │要点探究
已知图象变换:①关于 y 轴对称;②关于 x 轴对称;③ 1 1 右移 1 个单位;④左移 1 个单位;⑤右移 个单位;⑥左移 个单 2 2 位;⑦横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变;⑧横坐标缩短为 原来的一半,纵坐标不变.由 y=ex 的图象经过上述某些变换可 得 y=e1-2x 的图象,这些变换可以依次是_____________(请填上 变换的序号).
[思路] 先确定图象变换的种类,然后确定图象变换的顺 序.

第10讲 │要点探究

①⑧⑤或①③⑧或④⑧①或④①⑧等(填一组即可)

[解析] 方法一: 函数 y=ex 的图象关于 y 轴对称得到函数 y=e- 的图象,然后横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变得 y=e-2x 的图 ? 1? 1-2x 1 ? 象,最后向右移 个单位得函数 y=e-2?x-2?=e 的图象; ? 2 ? ? 方法二: 函数 y=ex 的图象关于 y 轴对称得到函数 y=e-x 的图象,
x

然后右移为 1 个单位得函数 y=e-(x-1)=e1-x 的函数图象, 最后横坐标 缩短为原来的一半,纵坐标不变得到 y=e1-2x 的图象;

第10讲 │要点探究

方法三: 函数 y=ex 的图象向左平移 1 个单位得 y=ex+1 的图象, 最后关于 y 轴对称得函数 y=e1+2(-x)=e1-2x 的图象; 然后关于 y 轴对称得函数 y=e-x+1 的图象,最后横坐标缩短为原来 的一半,纵坐标不变得函数 y=e-2x+1. [点评] 将函数f(x)经过多种图象变换得到g(x)的图象,可能 有多种不同的顺序,但不管按哪种顺序进行变换,都必须遵循 “只能对函数关系式中的x、y进行变换”的原则,否则容易出 错.

然后横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变得函数 y=e1+2x 的图象,

方法四: 函数 y=ex 的图象向左平移 1 个单位得 y=ex+1 的图象,

第10讲 │要点探究
? 探究点4 函数图象的识别与应用

例 4 如图10-5所示,一质点P(x,y)在xOy平面上沿曲线 运动,速度大小不变,其在x轴上的投影点Q(x,0)的运动速度V =V(t)的图象大致为( )

图10-5

图10-6

第10讲 │要点探究

[思路] 从已知图形中封闭曲线入手,研究投影点Q(x,0)的速 度的变化规律. B [解析] 由图可知,当质点P(x,y)在两个封闭曲线上运 动时,投影点Q(x,0)的速度先由正到0、到负数,到负数,再到0, 到正,故A错误,质点P(x,y)在开始时沿直线运动,最后阶段, 由于点往上运动,因此速度越来越小,故投影点Q(x,0)的速度为 常数,因此C是错误的,故选B.

第10讲 │要点探究
(1)有四个函数:①y=x· sinx;②y=x· cosx;③y =x· |cosx|;④y=x· x的图象(部分)如下,但顺序被打乱,则 2 按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )

图10-7 A.④①②③ B.①④③② C.①④②③ D.③④②①

第10讲 │要点探究
(2)如图10-8,动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角 线BD1上,过点P作垂直于平面BB1D1D的直线,与正方体表面 相交于M,N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是( )

图10-8

图10-8

第10讲 │要点探究
(1)C (2)B [解析] (1)函数 xsinx 是偶函数,因此其图象

只能是第一个,函数 y=xcosx 与 y=x|cosx|都为奇函数,但当 x>0 时,y=x|cosx|≥0 恒成立,故其图象只能是第四个,函数 y=x·x 不 2

具有奇偶性,因此其图象只能是第二个,故选 C. 3 (2)设正方体的棱长为 a,当 0<x< a 时,M,N 分别在面 A1B 2 和面 B1C 内, M 作 MM1⊥面 AC 于 M1, N 作 NN1⊥面 AC 于 过 过 OB PB N1, 1N1 交 BD 于 O, MN= M1N1, Rt△BPO 中, = M 则 在 DB BD1, 6 2 6 即 OB= x,在 Rt△BM1N1 中,M1N1=2OB= x,只有图象 B 3 3 符合,故选 B.

第10讲 │规律总结 规律总结
1.幂函数y=xa的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现 的第四象限内,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性; 在(0,1)上,幂函数中指数愈大,函数图象愈靠近x轴,在(1,+∞)上, 幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴;幂函数的单调性、奇偶性由 指数决定. 2.作图 作图的常用方法有描点法和变换法,对前者,要注意对函数性质 的研究;对后者,要熟悉常见函数及图象的变换法则,在解决函数图象 的变换问题时,要遵循“只能对函数关系式中的x、y变换”的原则,写 出每一次的变换所得图象对应的解析式,这样才能避免出错.

第10讲 │规律总结

3.识图 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分布范 围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单 调性、奇偶性、周期性等,注意图象与函数解析式中参数的 关系. 4.用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系提 供了“形”的直观性,它是探求解题路径,获得问题结果的 重要工具,要重视数形结合思想的应用.

第11讲 │ 函数与方程

第11讲

函数与方程

第11讲 │知识梳理 知识梳理
1.一般地,如果函数y=f(x)在实数a处的 函数值等于零 _______________,即________,则a叫做这个函数y=f(x)的零 f(a)=0 点. 2.方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有 零点 交点 ______?函数y=f(x)有______. 3.①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的 f(a)· f(b)<0 一条曲线;②并且满足___________.那么,函数y=f(x)在区间 f(c)=0 (a,b)内有零点,即至少存在一个c∈(a,b),使________.满 足上面条件①、②后,在(a,b)内存在的c不一定只有一个.

第11讲 │知识梳理

4.对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)· f(b)<0的函数y= f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________,使 一分为二 区间的两个端点逐步逼近______,进而得到零点近似值的方法叫 零点 做二分法.

第11讲 │知识梳理
5.二次函数的零点:
方程ax2+bx+c =0(a≠0)的根的 个数 函数y=ax2+bx +c(a≠0)的零点 个数

Δ>0 有两个不相等的实根 _________________________________
_

Δ=0
_____________________________ ___

Δ<0
无实根
___________

有两个相等的实根 有一个二重零点

有两个零点
______________________

无零点
____________

___________________________

函数y=ax2+bx +c(a≠0)的图象 a>0 a<0 有两个交点 函数y=ax2+bx +c(a≠0)的图象 与x轴交点个数
______________________

有一个交点
___________________

无交点
___________

第11讲 │要点探究 要点探究
? 探究点1 方程的根与函数的零点
?x2+2x-3,x≤0, ? f(x)=? ?-2+lnx,x>0 ?

例 1 [2010· 福建卷] 函数 数为( ) A.3 C.1

的零点个

B.2 D.0

[思路] 分别确定分段函数在各段解析式中的零点个数.

第11讲 │要点探究

B [解析] 当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3;当 x>0时,令-2+lnx=0,解得x=e2,所以已知函数有2个零 点,选B. [点评] 函数f(x)的零点是一个实数(不是点),就是方程f(x) =0的实数根,也是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标, 因此判断零点的个数就是判断方程f(x)=0的实根个数,有时也 可以根据函数图象的交点的个数来判断零点的个数,如:

第11讲 │要点探究
求函数y=lnx+2x-6的零点个数. [解答] 在同一坐标系画出y=lnx与y=6-2x的图象, 由图可知两图象只有一个交点,故函数y=lnx+2x-6只有一 个零点.

第11讲 │要点探究

?

探究点2

方程的根与函数的零点

例 2 判断下列函数在给定区间上是否存在零点. (1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]; (2)f(x)=x3-x-1,x∈[-1,2]; (3)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3].

[思路] 对于区间上连续不断的函数,在区间[a,b]内寻根, 往往需要利用零点的存在性定理判断,即判断f(a)f(b)<0是否成 立.

第11讲 │要点探究

[解答] (1)方法一:因为 f(1)=-20<0,f(8)=22>0,所以 f(1)· f(8)<0,故 f(x)=x2-3x-18 在 x∈[1,8]上存在零点. 方法二:令 x2-3x-18=0,解得 x=-3 或 6,所以函数 f(x) =x2-3x-18 在 x∈[1,8]上存在零点. (2)∵f(-1)=-1<0,f(2)=5>0, ∴f(x)=x3-x-1 在 x∈[-1,2]上存在零点. (3)∵f(1)=log2(1+2)-1=log23-1>0,f(3)=log2(3+2)-3= log25-3<0,∴f(1)· f(3)<0,故 f(x)=log2(x+2)-x 在 x∈[1,3]上 存在零点.

第11讲 │要点探究

[点评] 零点的存在性定理是判断连续不断的函数在区间[a, b]上是否存在零点的定理,该定理只能判断存在零点,不能判断 区间[a,b]不存在零点,即如果函数y=f(x)在区间[a,b]上有 f(a)f(b)>0,函数在区间[a,b]上也可能存在零点,如:

第11讲 │要点探究

1 [2009· 天津卷] 设函数 f(x)= x-lnx(x>0),则 y=f(x)( 3 ?1 ? A.在区间?e ,1?,(1,e)内均有零点 ? ? ?1 ? B.在区间?e ,1?,(1,e)内均无零点 ? ? ?1 ? C.在区间?e ,1?内有零点,在区间(1,e)内无零点 ? ? ?1 ? D.在区间?e ,1?内无零点,在区间(1,e)内有零点 ? ?

)

第11讲 │要点探究

1 1 x-3 D [解答] 由题得 f′(x)= -x= ,令 f′(x)>0,得 3 3x x>3;令 f′(x)<0,得 0<x<3;f′(x)=0,得 x=3,故知函数 f(x) 在区间(0,3)上为减函数,在区间(3,+∞)上为增函数,在点 x ?1? 1 e 1 ? ? =3 处有极小值 1-ln3<0.又 f(1)= ,f(e)= -1<0,f?e ?= + 3 3 ? ? 3e 1>0,故选择 D.

第11讲 │要点探究

?

探究点3

二次函数零点的分布问题

例3 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区 间(1,2)内,求m的范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围.
[思路] 设出二次方程对应的函数,画出相应的示意图, 然后用函数性质对参数加以限制.

第11讲 │要点探究
[解答] (1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点 分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得

?f?(0?)=2m+1<0, ? ?f?(-1)?=2>0, ? ?f?(1?)=4m+2<0, ?f?(2?)=6m+5>0 ?

? ?m<-1, 2 ? ?m∈R, ? ?? 1 m<- , ? 2 ? ? 5 ?m>-6, ?

5 1 ∴- <m<- . 6 2

第11讲 │要点探究
(2)据抛物线与 x 轴两交点均落在区间(0,1)内,列不等式组
?f?(0?)>0, ? ?f?(1?)>0, ? ?Δ≥0, ?0<-m<1 ?

1 ? ?m>- , 2 ? ? 1 ??m>-2, ? ?m≥1+ 2或m≤1- 2, ? ?-1<m<0.

1 ∴- <m≤1- 2. 2
[点评] (1)本题综合考查了二次函数、二次方程以及二次不 等式的基本关系,有效地训练对“三个二次”的整体理解与掌 握,解题过程中的数形结合是数学的重要思想方法.

第11讲 │要点探究
求a为何值时,方程9-|x-2|-4· -|x-2|-a=0有实根. 3
[解答] 令 t=3-|x-2|∈(0,1],则原方程转化为 t2-4t-a -4 2 =0 在(0,1]内有实根,令 y=f(t)=t -4t-a,其对称轴是 t=- = 2× 1 ?f?(0?)>0, ? 2 2>1,如图,方程 t -4t-a=0 在(0,1]内恰有一解,则? ?f?(1?)≤0, ? 解得-3≤a<0,故当-3≤a<0 时,原方程有实根.

第11讲 │要点探究
? 探究点4 利用函数零点求参数

例4 (1)若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点,求 实数a的值; (2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值 范围.

第11讲 │要点探究
[解答] (1)若 a=0,则 f(x)=-x-1,令 f(x)=0,即-x-1=0, 得 x=-1,故符合题意; 若 a≠0,则 f(x)=ax2-x-1 是二次函数,故有且仅有一个零点 1 等价于 Δ=1+4a=0,解得 a=- . 1 4 综上所述, a=0 或 a=- . 4

第11讲 │要点探究

(2)若 f(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点, 即|4x-x2|+a=0 有四个根, 即|4x-x2|=-a 有四个根. 令 g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.作出 g(x)、h(x)的图象, 由图象可知如果要使|4x-x2|=-a 有四个根, 那么 g(x)与 h(x)的图象应有 4 个交点. 故需满足 0<-a<4,即-4<a<0. ∴a 的取值范围是(-4,0).

第11讲 │要点探究

已知函数f(x)=x|x-4|-5,当方程f(x)=a有三个根时 ,求实数a的取值范围.
[解答]
?x2-4x-5,x≥4, ? f(x)=x|x-4|-5=? ?-x2+4x-5,x<4, ?

在平

面直角坐标系中画出该函数的图象,当直线 y=a 与该函数的图象 有三个交点时,a 的取值范围是-5<a<-1.

第11讲 │规律总结 规律总结
1.方程的根(从数的角度看)、函数图象与x轴的交点的横坐 标(从形的角度看)、函数的零点是同一个问题的三种不同的表现 形式. 2.函数零点的求法: (1)代数法:利用公式法、因式分解法、直接法求方程f(x)= 0的根. (2)几何法:对于不能用求根公式求解的方程,可以将它与 函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. (3)二分法:主要用于求函数零点的近似值.

第11讲 │规律总结
4.有关函数零点的重要结论 (1)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数,则f(x)至 多一个零点. (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保 持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值符号可能不变 ,也可能改变. 5.用二分法求零点的近似解时,所要求的精确度ε不同, 得到的结果也不同.精确度为ε是指在计算过程中得到某个区间 (a,b)后,若其长度小于ε,即认为已达到所要求的精确度,可停 止计算.精确度为0.001与精确到0.001是不同的.

第12讲 │ 函数模型及其应用

第12讲

函数模型及其应用

第12讲 │知识梳理 知识梳理
1.函数模型 常用函数模型 (1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0). (2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0). (3)指数函数模型:f(x)=abx+c(a、b、c为常数,a≠0,b>0, b≠1). (4)对数函数模型:f(x)=mlogax+n(m、n、a为常数,a>0, m≠0,a≠1). (5)幂函数模型:f(x)=axn+b(a、b、n为常数,a≠0,n≠1). (6)分段函数模型

第12讲 │知识梳理
2.三种函数模型的性质 在区间(0,+∞)上,指数函数y=ax(a>1),对数函数y= logax(a>1),幂函数y=xn(n>0)都是增函数,但它们增长速度 不同.随着x的增大,指数函数y=ax(a>1)的增长速度越来越 快,会超过并远远大于幂函数y=xn(n>0)的增长速度,而对数 函数y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢,图象逐渐表示为 与x轴趋于平行,因此,总会存在一个x0,当x>x0时,就有 logax<xn<ax. 3.函数模型的应用 (1)解答函数应用题的步骤: ①阅读理解:读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景, 领悟其中的数学本质,弄清题中出现的量及其数学含义.

第12讲 │知识梳理
②分析建模:分析题目中的量与量之间的关系,根据题意 恰当地引入字母(包括常量与变量),有时可借助列表、画图等 手段来理顺数量关系,同时要注意由已知条件联想熟知的函数 模型,以确定函数模型的种类,在对已知条件和目标变量的综 合分析、归纳抽象的基础上,建立目标函数,将实际问题转化 为数学问题. ③数学求解:利用相关的函数知识,进行合理设计,以确 定最佳解题方案,进行数学上的求解计算. ④还原总结:把计算获得的结果还原到实际问题中去解释 实际问题,即对实际问题进行总结作答.

第12讲 │知识梳理
(2)在实际问题中建立函数模型的算法程序: 第一步:收集数据; 第二步:根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点 图;
第三步:根据点的分布特征,选择一个能刻画散点图特征 的函数模型; 第四步:选择其中的几组数据求出函数模型; 第五步:将已知数据代入所求出的函数模型进行检验,看 其是否符合实际.若不符合实际,则重复第三、四、五步;若符 合实际,则进入下一步; 第六步:用求得的函数模型去解决实际问题.

第12讲 │知识梳理
以上过程可用程序框图表示如图12-1:

图12-1

第12讲 │要点探究 要点探究
? 探究点1 已知函数模型解决实际应用问题

例1 某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品,规定 试销时销售单价不低于成本单价,又不高于800元/件.经试销 调查,发现销售量y与销售单价x(元/件)的图象可近似看作一条 直线,该直线经过(600,400)和(700,300)两点. (1)求y关于x的函数关系式; (2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S 元,试用销售单价x表示毛利润S,并求销售单价定为多少时, 该公司可获得最大毛利润?最大毛利润是多少?此时销售量是 多少?

第12讲 │要点探究

[思路] 根据函数图象,可知y是x的一次函数,利用待定系数 法可求得函数关系式;然后利用“毛利润=销售总价-成本总 价”建立S与x的关系式,通过求函数的最值达到解题目的. [解答] (1)由于y与x关系式的图象为一条直线,因此设y= kx+b,∴解得k=-1,b=1000, ∴y=-x+1000(500≤x≤800);

第12讲 │要点探究

(2)S=xy-500y=x(-x+1000)-500(-x+1000)=-(x -750)2+62500(500≤x≤800),∴当销售单价是750元/件时,可 获得最大毛利润62500元,此时销售量为250件.

[点评] 以函数图象给出关系式的应用问题,先利用图象 形状确定函数的类型,然后利用待定系数法求解;函数应用问 题中,已知的等量关系也是解题的依据,它们常用来构造函数 关系.

第12讲 │要点探究
例 2 学生学习的主要时间集中在课堂,因此如何让课堂成 为更为高效课堂,是所有教师教学生涯追求的目标.经过研究 发现,学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化,讲课开 始时,学生的学习兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保 持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设 f(t)表示学生 注意力随时间 t(分钟)的变化规律(f(t))(越大,表示学生注意力越 集中),经过调查研究分析其关系式近似为
?-t2+24t+100,0<t≤10, ? 10<t≤20, f(t)=?240, ? ?-7t+380, 20<t≤45.

第12讲 │要点探究

(1)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续 多少分钟? (2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟相比,何时学生 的注意力更集中? (3)一道数学难题,需要讲解24分钟,并且要求学生的注 意力至少达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生达到 所需状态下讲授完这道题目?

第12讲 │要点探究

[解答] (1)当 0<t≤10 时,f(t)=-(t-12)2+244,此时 f(t)max =-(10-12)2+244=240, 10<t≤20 时, 当 f(t)=240, 20<t≤45 当 时,f(t)=-7t+380,此时 f(t)max<-7× 20+380=240,故讲课 开始 10 分钟后,学生的注意力最集中,能持续 10 分钟; (2)∵0<5≤10,∴f(5)=-52+24× 5+100=-25+120+100 =195, ∵20<25≤45, ∴f(25)=-7× 25+380=-175+380=205, ∴f(5)<f(25),即讲课开始后 25 分钟学生的注意力比与讲课开始 后 5 分钟学生的注意力更集中;

第12讲 │要点探究

(3)当 0<t≤10 时,∵f(t)=180,∴-t2+24t-80=0,∴t=4 或 t 200 =20(舍去);当 20<t≤45 时,∵f(t)=180,∴-7t=-200,∴t= 7 ≈28.6,∴学生注意力在 180 以上持续的时间为 28.6-4=24.6>24.∴ 经过适当安排, 老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题 目.

第12讲 │要点探究
? 探究点2 建立函数模型解决实际应用问题

例3 据气象中心观察和预测:发生于M地的 沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h) 与时间t(h)的函数图象如图12-2所示,过线段OC 上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左 图12-2 侧部分的面积 即为t(h)时间内沙尘暴所经过的路程s(km). (1)当t=4时,求s的值; (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,试判断这场 沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它 将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.

第12讲 │要点探究

[解答] (1)由图象可知直线 OA 所在的方程为 y=3x,当 t=4 时, 1 v=3× 4=12,∴s= × 12=24. 4× 2

第12讲 │要点探究
1 32 (2)当 0≤t≤10 时,s= ·3t= t , t· 2 2 1 当 10<t≤20 时,s= × 30+30(t-10)=30t-150; 10× 2 1 1 当 20<t≤35 时,s= × 30+10× 10× 30+(t-20)× 30- × (t- 2 2 20)× 2(t-20)=-t2+70t-550.
?3 2 ? t ,t∈???0,10???, ?2 综上可知 s=?30t-150,t∈??10,20??, ? ? ? ?-t2+70t-550,t∈???20,35???. ?

第12讲 │要点探究

3 (3)当 t∈[0,10]时,smax= × 2=150<650;当 t∈(10,20]时, 10 2 smax=30× 20-150=450<650.当 t∈(20,35]时,令-t2+70t-550 =650.解得 t1=30,t2=40,∵20<t≤35,∴t=30,∴沙尘暴发生 30 h 后将侵袭到 N 城.

第12讲 │要点探究

例 4 芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可 美化居室、净化空气,又可美容保健,因此深受人们欢迎,在 国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为 了了解行情,进行市场调研,从4月1日起,芦荟的种植成本Q( 单位:元/10 kg)与上市时间t(单位:天)的数据情况如下表:
上市时间t 种植成本Q
50 150 110 108 250 150

第12讲 │要点探究
(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟种 植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c ,Q=a· t,Q=alogbt; b (2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时上市天数及 最低种植成本.

第12讲 │要点探究

[解答] (1)由所提供的数据可知,反映芦荟种植成本Q与上 市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数,故用函数Q= at+b,Q=a· t,Q=alogbt中的任意一个来反映时都应有 b a≠0,而上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据 不符合,所以应选用二次函数Q=at2+bt+c进行描述.

第12讲 │要点探究
(2)将表格所提供的三组数据分别代入函数 Q=at2+bt+c,
?150=2500a+50b+c, ? 可得?108=12100a+110b+c, ? ?150=62500a+250b+c,

1 3 425 解得 a= ,b=- ,c= , 200 2 2

所以,反映芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数为 Q 1 2 3 425 1 = t - t+ = (t-150)2+100.当 t=150(天)时,芦荟种植 200 2 2 200 成本最低为 100(元/10kg).

第12讲 │规律总结

规律总结
1.把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好三关: (1)事理关:通过阅读、理解,明白问题讲的是什么,熟悉 实际背景,为解题找突破口. (2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学符号语言, 用数学式子表达数学关系. (3)数理关:在构建数学模型的过程中,对已知数学知识进 行检索,从而认定或构建相应的数学模型.

第12讲 │规律总结

2.高考数学试题中联系生活实际和生产实际的应用问 题,其创意新颖,设问角度独特,解题方法灵活,一般文字 叙述长,数量关系分散且难以把握,解决此类问题的关键要 认真审题,确切理解题意,进行科学的抽象概括,将实际问 题归纳为相应的数学问题,然后利用函数、方程、不等式等 有关知识解答. 3.解答数学应用题时,一定要注意函数的定义域,否 则极易出错.

第13讲 │ 导数及其运算

第13讲 导数及其运算

第13讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是 Δx→0 lim f?(x0+Δx)?-f?(x0)? Δy lim Δx→0 Δx =__________________,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处 Δx Δy f′(x0)或y′|x=x0 的导数,记作________________,即f′(x0)= Δx→0 lim = Δx
f?(x0+Δx?)-f?(x0)? lim Δx→0 Δx ______________________.

2.当x变化时,f′(x)是x的一个函数,我们称它为f(x)的

导函数 ________,简称______,有时也记作y′,即f′(x)=y′=
f?(x+Δx?)-f?(x)? Δx ________________. lim Δx→0

导数

第13讲 │ 知识梳理
3.导数的几何意义 (1)设函数y=f(x)在x0处可导,则f′(x0)表示曲线上相应 切线的斜率 点M(x0,y0)处的____________,点M处的切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0) ______________________. (2)设s=s(t)是位移函数,则s′(t0)表示物体在t0时刻的 瞬时速度 ____________. (3)设v=v(t)是速度函数,则v′(t0)表示物体在t=t0时刻 加速度 的________. 4.几种常见函数的导数 0 (1)C是常数,则C′=____; (2)(xn)′=______(n∈Q*); nxn-1

第13讲 │ 知识梳理

cosx -sinx (3)(sinx)′=______; (4)(cosx)′=________; 1 1 x (5)(ln x)′=______;(logax)′=________; x· lna
x ax· lna ex (6)(e )′=____;(a )′=________. x

5.求导法则

u′±v′ u′v+uv′ (1)(u± v)′=________;(2)(u· v)′=________; u′v-uv′ ?u? (3)? v ?′=__________. v2 ? ?
6.复合函数的导数 设 y=f(u),u=g(x)在对应点可导,则 yx′=yu′·ux′.

第13讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 导数的概念
例 1 函数 f(x)在 x=x0 处可导, f′(x0)表示下列各式: 用 f?(x0+2Δx?)-f?(x0?) (1)Δx→0 lim ; Δx f?(x0+h?)-f?(x0-h?) (2)lim . h→0 h [思路] 用导数的定义即可求解. f?(x0+2Δx?)-f?(x0?) [解答] (1)原式=2· lim =2f′(x0). Δx→0 2Δx f?(x0+h?)-f?(x0-h?) (2)原式=2· lim =2f′(x0). h→0 2h

第13讲 │ 要点探究

[点评] 利用导数定义解题,要充分体会导数定义的 实质,表达式不同,但表达的实质可能相同.比如下面的 变式题:

第13讲 │ 要点探究

下列式子中与 f′(x0)相等的是( f?(x0?)-f?(x0-2Δx?) (1) Δx→0 lim ; 2Δx f?(x0+Δx?)-f?(x0-Δx?) (2) Δx→0 lim ; Δx f?(x0+2Δx?)-f?(x0+Δx?) (3) Δx→0 lim ; Δx f?(x0+Δx?)-f?(x0-2Δx?) (4) Δx→0 lim . Δx A.(1)(2) B.(1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)(4)

)

第13讲 │ 要点探究

[思路] 紧扣导数定义,正确理解增量Δx的实质. B [解析] 根据导数定义,分子中x0的增量应与分母相同, 故选B.

第13讲 │ 要点探究
? 探究点2 利用求导法则求导

例 2 下列函数求导运算正确的个数为:①(3x)′=3xlog3e; 1 ②(log2x)′= ;③(ex)′=ex ;④(xa)′=axlna;⑤(cosx)′= x· ln2 sinx.( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

第13讲 │ 要点探究

[思路] 先判断原函数的类型,再套用公式求解. ? x? B [解析] 对于①,函数为指数函数,因此??3 ??′=3xln3;对 1 ? ? 于②,函数为对数函数,因此??log2x??′= ;对于③,函数为指 x· ln2 a x 数函数,因此???e ???′=ex;对于④,函数为幂函数,因此???x ???′=axa-1; 对于⑤,函数为三角函数,因此???cosx???′=-sinx.以上只有②③两 个正确. [点评] 利用公式求导, 不能混淆“幂函数”与“指数函数”的求 导公式,不能混淆指数函数导数的系数与对数函数导数的系数.

第13讲 │ 要点探究
例 3 求下列函数的导数: (1)y=ax+xa; (3)y=elnxlgx; x-x5 (2)y= ; x2 x2 (4)y= . sinx

[解答] (1)y′=(ax)′+(xa)′=axlna+axa-1; 3 3 x-x5 - - 3 (2)y= =x 2-x ,∴y′=(x 2)′-(x3)′= 2 x 3 -5 - x 2-3x2; 2 1 (3)y=elnxlgx=xlgx,y′=(xlgx)′=lgx+ ; ln10 ? x2 ? 2xsinx-x2cosx (4)y′=?sinx?′= . sin2x ? ?

第13讲 │ 要点探究

[点评] 对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基 本原则,求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别 注意求导法则对求导的作用,在实施化简时,要注意变换的 等价性,避免不必要的失误.对于某些不满足求导法则条件 的函数,可适当进行恒等变形,步步为营,使解决问题水到 渠成.

第13讲 │ 要点探究
例 4 求下列各函数的导数: (1)y=ln( x2+1);(2)y=cos2(x2-x); ? π? -2x (3)y=e sin?3x- 3 ?. ? ? [思路] 本例题中的函数均为复合函数, 求导时需搞清复合的层次, 注意使用整体的观点,弄清每一步是对哪一层求导,用什么公式求导. 1 [解答] (1)y′=[ln( x2+1)]′= 2 ( x2+1)′ x +1 1 1 = 2 × (x2+1)′ x +1 2 x2+1 2x x = = 2 . 2 2 x +1 2? x +1? 1+cos?2x2-2x? (2)∵y=cos2(x2-x)= 2 2 1 cos?2x -2x? = + , 2 2

第13讲 │ 要点探究
∴ y′ =
?1 cos?2x2-2x?? ? ? + ?2 ?′= 2 ? ?

1 - (2x2 - 2x)′· sin(2x2 - 2x) = (1 - 2

2x)sin(2x2-2x). (3)y′=(e
-2x

π π π -2x =(-2x)′e sin(3x- )+(3x- )′e cos(3x- ) 3 3 3 ? ? π? π? -2x -2x =-2e sin?3x- 3 ?+3e cos?3x- 3 ?. ? ? ? ?
-2x

? π? -2x? ? π ?? )′sin?3x- 3 ?+e ?sin?3x- 3 ??′ ? ? ? ? ??

[点评] 对复合函数求导,应分析清楚复合函数的复合 层次,“由外到内”逐层求导,在中学数学中一般复合函数 的复合层次不超过3层.

第13讲 │ 要点探究
? 探究点3 导数的几何意义

1 3 4 例 5 已知曲线 y= x + . 3 3 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程; (3)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程; (4)第(1)小题中切线与曲线是否还有其他公共点?
[解答] (1)∵y′=x2, ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k ? = y′?x=2=4.∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 ? ? ? y-4=4??x-2??,即 4x-y-4=0.

第13讲 │ 要点探究

1 3 4 (2) 设 曲 线 y = x + 与 过 点 P(2,4) 的 切 线 相 切 于 点 3 3 ? 1 3 4? ? A?x0,3x0+3?,则切线的斜率 k= y′?x=x0=x2.∴切线方程为 y- ? 0 ? ? ?1 3 4? 2 4 ? ? ? x0+ ?=x2?x-x0?,即 y=x2· x- x3+ .∵点 P(2,4)在切线上,∴4 ? 0? 0 3? 3 0 3 ?3 2 3 4 ? ? 2 =2x0- x0+ , x3-3x2+4=0, 3+x2-4x2+4=0, 2??x0+1?? 即 0 ∴x0 ∴x0 0 0 0 3 3 ? ?? ? ? ?? ? -4??x0+1????x0-1??=0,∴??x0+1????x0-2??2=0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0.

第13讲 │ 要点探究

(3)设切点为??x0,y0??,故切线的斜率为 k=x2=1,解得 x0=± 1, 0 ? 5? ?? ? 故切点为?1,3?,?-1,1??.故所求切线方程为 ? ? 5 y- =x-1 或 y-1=x+1,即 3x-3y+2=0 或 x-y+2=0. 3 ? 1 4 ? 4x-y-4=0, y= x3+ , 消去 y,得 (4)由 3 3 ? x3-12x+16=0 即??x-2??2??x+4??=0,∴x=2 或 x=-4 代入 4x-y -4=0,求得 y=4 或 y=-20.即公共点为(2,4)(切点)和(-4,- 20).∴除切点外,还有一个交点(-4,-20).
? ? ? ?

?

?

第13讲 │ 要点探究

设质点作直线运动, 已知路程 s(单位: m)是时间 t(单 位:s)的函数:s=3t2+2t+1.求: (1)从 t=2 变到 t=3 时,s 关于 t 的平均变化率,并解释它的 实际意义; (2)当 t=2 时的瞬时速度; (3)当 t=2 时的加速度.

第13讲 │ 要点探究
Δy [思路] (1)利用概念求函数 f(x)的平均变化率 ; (2)瞬时速度为位 Δx 移函数在某一时刻上的导数值;(3)加速度为速度函数在某一时刻上的 导数值. [解答] (1)Δs=s(3)-s(2)=(3× 2+2× 3 3+1)-(3× 2+2× 2 2+1)=17, Δs 17 ∴ = =17,表示从 t=2 变到 t=3 时,s 关于 t 的平均变化率为 Δt 3-2 17,即此段时间质点的平均速度为 17 m/s. (2)s′(t)=6t+2,∴s′(2)=6× 2+2=14(m/s).即当 t=2 时的瞬时速 度为 14 m/s. (3)设该质点的速度为 v m/s,则 v(t)=s′(t)=6t+2,∴v′(t)=6, ∴v′(2)=6,即当 t=2 时的加速度为 6 m/s2.

第13讲 │ 规律总结 规律总结
1.函数f(x)的导数的实质是“增量之比的极限”,即瞬时变化率, f′(x0)是函数f(x)在导函数f′(x)当x=x0时的函数值. 2.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是指曲线y=f(x)在 点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即f′(x0)=k切,此时切线方程为y- f(x0)=f′(x0)(x-x0). 3.准确理解曲线的切线,需要注意的两个问题

(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征,直线与曲线
只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线,同样,直线是曲线的 切线,则直线与曲线可能有两个以上公共点;

(2)曲线未必在其切线的同侧,如曲线y=x3在其过(0,0)点的切
线y=0的两侧.

第13讲 │ 规律总结

4.要区分“过某点”的切线和“在某点”的切线不同,“在 某点”的切线是指以该点为切点的切线,因此此点横坐标处的 导数值为切线的斜率,而对于“过某点”的切线,则该点不一定 是切点,要利用解方程组的思想求切线的方程. 5.利用导数公式求导数时,先要根据基本函数的定义, 判断原函数是哪类基本函数,再套用相应的导数公式求解,切 不可因判断函数类型失误而出错.另外,还要避免求导过程中 指数或系数的运算失误.

第13讲 │ 规律总结

6.在求导数时,有些函数虽然表面形式上为函数的商或 积,但在求导前利用公式进行恒等变形可将函数转化为和或差 形式,然后进行求导,这样可避免使用积、商的求导法则,从 而减少运算量,提高运算速度,避免出错. 7.复合函数求导,必须搞清复合层次,不能有漏掉的环 节,要适当选取中间变量,弄清每一步对哪个变量求导,用什 么公式求导.

第14讲 │ 导数的应用

第14讲

导数的应用

第14讲 │知识梳理 知识梳理
1.函数的单调性 若函数f(x)在某区间内可导,则f′(x)>0?f(x)在该区间上 单调 ____ _____ 递减 ;f′(x)<0?f(x)在该区间上____________. 单调递增 反之,若f(x)在某区间上单调递增,则在该区间上有 f′(x)≥0 f′(x)≤0 _______恒成立;若f(x)在某区间上单调递减,则在该区间上有 ________恒成立. 2.函数的极值 (1)函数极值的定义

第14讲 │知识梳理

①已知函数y=f(x),设x0是定义域内任一点,如果 对x0附近的所有点x,都有f(x)<f(x0),则称函数f(x)在点 极大值 y极大值=f(x0) x0处取________,记作______________,并把x0称为函 极大值点 数f(x)的一个__________; ②如果在x0附近都有f(x)>f(x0),则称函数f(x)在点x0 y最小值=f(x0) 极小值 处取________,记作____________,并把x0称为函数f(x) 极小值点 的一个____________; 极值 ③极大值与极小值统称________,极大值点与极小值 极值点 点统称为________. (2)求函数极值的方法

第14讲 │知识梳理
①第1步:求导数f′(x); ②第2步:求方程f′(x)=0的所有实数根; f′(x)>0 ③第3步:当f(x0)=0时,如果在x0附近的左侧______,右 f′(x)<0 f′(x)<0 侧________,那么f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧 f′(x)>0 ________,右侧________,那么f(x0)是极小值. 3.函数的最值 (1)函数f(x)在[a,b]上必有最值的条件 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象 是一条连续不断的曲线 ________________________,那么它必有最大值和最小值. (2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 极值 ①求函数y=f(x)在(a,b)内的______;

第14讲 │知识梳理

②将函数y=f(x)的各极值与 端点处的函数值f(a)、f(b) _________________________比较,其中最大的一个是最大 值,最小的一个是最小值. m<f(x)min m>f(x)max 4.f(x)>m恒成立等价于________;f(x)<m恒成立等 价于________. f(x1)>0 5.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极大值为f(x1), f(x2)<0 极小值为f(x2),若函数有三个零点,则________________; f(x1)=0或f(x2)=0 函数有两个零点,则________________;函数有且仅有一个 零点,则___________________.

第14讲 │要点探究 要点探究
? 探究点1 利用导数研究函数的单调性
k 例 1 [2010· 北京卷] 已知函数 f(x)=ln(1+x)-x+ x2(k≥0). 2 (1)当 k=2 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求 f(x)的单调区间.
[解答] (1)当 k=2 时,f(x)=ln(1+x)-x+x2, 1 f′(x)= -1+2x. 1+x 3 由于 f(1)=ln2,f′(1)= , 2 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

第14讲 │要点探究
3 y-ln2= (x-1). 2 即 3x-2y+2ln2-3=0. x(?kx+k-1)? (2)f′(x)= ,x∈(-1,+∞). 1+x x 当 k=0 时,f′(x)=- . 1+x 所以,在区间(-1,0)上,f′(x)>0;在区间(0,+∞)上,f′(x)<0. 故 f(x)的单调递增区间是(-1,0),单调递减区间是(0,+∞). x?(kx+k-1)? 1-k 当 0<k<1 时,由 f′(x)= =0,得 x1=0,x2= >0. k 1+x

第14讲 │要点探究
?1-k ? ? 1-k? ? ? ? ? 所以,在区间(-1,0)和? 上,f′(x)<0. ,+∞?上,f′(x)>0;在区间?0, k ? ? k ? ? ? ?1-k ? ? 1-k? ? ? ? ? f(x)的单调递增区间是(-1,0)和? . ,+∞?,单调递减区间是?0, k ? ? k ? ? ?



x2 当 k=1 时,f′(x)= , 1+x 故 f(x)的单调递增区间是(-1,+∞). x?(kx+k-1)? 1-k 当 k>1 时,f′(x)= =0,得 x1= ∈(-1,0),x2=0. k 1+x
? ?1-k ? 1-k? ? ? ? ? 所以,在区间?-1, 和(0,+∞)上,f′(x)>0;在区间? ,0?上,f′(x)<0. k ? ? ? ? k ?

第14讲 │要点探究



? ?1-k ? 1-k? ? ? ? ? f(x)的单调递增区间是?-1, ?和(0,+∞),单调递减区间是? k ,0?. k ? ? ? ?

[点评] (1)利用导函数的性质确定函数的单调性比用函 数单调性的定义要方便,它是根据导函数的正负性确定函数 的单调性;(2)两个单调递增区间不能“并”起来.函数的 单调性是函数在某一区间内的性质,讨论函数的单调性应在 函数的定义域范围内进行.

第14讲 │要点探究
如果函数y=f(x)的图象如图14-1,那么导函数y=f′(x) 的图象可能是( )

第14讲 │要点探究
[思路] 由原函数的图象变化趋势是“增、减、增、减”, 运用“增则正,减则负”规律,即可判断导函数的图象. A [解析] 由原函数的单调性可以得到导函数的正负性情况, 依次是“正、负、正、负”,即导函数的图象与x轴的位置应是 “上、下、上、下”,符合规律的只有A.
[点评] 解决此类问题时,审题应看清已知条件是导函数 还是原函数,然后用“导数的正负性决定原函数的增减性” 原则进行判断.

第14讲 │要点探究
已知f(x)=ex-ax-1. (1)求f(x)的单调增区间; (2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围; (3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0, +∞)上单调递增?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由 . [思路] (1)通过解f′(x)>0求单调递增区间;(2)转化 为f′(x)>0在R上恒成立问题,求a;(3)假设存在a,则f(0) 是f(x)的极小值,或转化为恒成立问题.

第14讲 │要点探究
[解答] (1)f′(x)= ex-a.若a≤0,f′(x)=ex- a>0恒成立,即f(x)在R上递增.若a>0,ex-a≥0, ∴ex≥a,x≥lna,∴f(x)的递增区间为(lna,+∞). (2)∵f(x)在R内单调递增,∴f′(x)≥0在R上恒成 立.∴ex-a≥0,即a≤ex在R上恒成立.∴a≤(ex)min,又 ∵ex>0,∴a≤0. (3)方法一:由题意知ex-a≤0在(-∞,0]上恒成 立.∴a≥ex在(-∞,0]上恒成立.∵ex在(-∞,0]上 为增函数,∴x=0时,ex最大为1.∴a≥1,同理可知ex- a≥0在[0,+∞)上恒成立,∴a≤ex在[0,+∞)上恒成 立,∴a≤1.

第14讲 │要点探究

综上所述,a=1. 方法二:由题意知,x=0为f(x)的极小值点.∴f′(0) =0,即e0-a=0,∴a=1,经检验a=1符合题意. [点评] 已知函数f(x)在某区间内单调求参数问题,常转 化为其导函数f′(x)在该区间内大于等于0(单调增函数)或小于 等于0(单调减函数)恒成立问题.

第14讲 │要点探究
? 探究点2 利用导数研究函数的极值与最值

例2 已知a∈R,讨论函数f(x)=ex(x2+ax+a+1)的极 值点的个数.
[解答]f′(x)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)],令 f′(x) =0 得 x2 +(a+2)x+(2a+1)=0.(1)当 Δ=(a+2)2 - 4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0, a<0 或 a>4 时 x2+(a 即 +2)x+(2a+1)=0 有两个不同的实根 x1,x2,不妨设 x1<x2.于是 f′(x)=ex(x-x1)(x-x2),从而有下表:

第14讲 │要点探究
x f′(x) f(x) (-∞,x1) + 单调递增 x1 0 极大值 (x1,x2) - 单调递减 x2 0 极小值 (x2,+∞) + 单调递增

即此时f(x)有两个极值点. (2)当Δ=0即a=0或a=4时,方程x2+(a+2)x+(2a+ 1)=0有两个相同的实根x1=x2. 由题易知f(x)无极值. (3)当Δ<0即0<a<4时,同理可得f(x)此时无极值.

第14讲 │要点探究
例3 函数f(x)=ax3-6ax2+b在[-1,2]上的最大值为3,最小值 为-29,求a,b的值.

[解答] 由题设知a≠0,否则f(x)=b为常函数,与题设矛盾. f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f′(x)=0,得x1=0,x2 =4(舍去). ①当a>0时,列表如下:
① x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2

f′(x)
f(x)

15a
-7a+b


?

0
b


?

-12a
-16a+b

第14讲 │要点探究

由上表可知,当x=0时,f(x)取得极大值,也就是函数 在[-1,2]上的最大值,∴f(0)=3,即b=3.又f(-1)=-7a+ 3,f(2)=-16a+3,f(2)<f(-1),∴x=2时函数在[-1,2]上 取得最小值,∴f(2)=-16a+3=-29,∴a=2. ②当a<0时,同理可得b=-29,a=-2. 综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.

第14讲 │要点探究

[2010· 宝鸡模拟] 已知函数f(x)=axlnx在点(e ,f(e))处的切线与直线y=2x平行(其中e=2.71828…), g(x)=x2-tx-2. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)在[n,n+2](n>0)上的最小值; (3)对一切x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,求实数t的取 值范围.

第14讲 │要点探究
[解答](1)由点(e, f(e))处的切线与直线 2x-y=0 平行, 得该切线 斜率为 2,即 f′(e)=2. 又∵f′(x)=a(lnx+1),令 a(lne+1)=2,即 a=1, ∴f(x)=xlnx. ? 1? -1 (2)由(1)知 f′(x)=lnx+1,显然 f′(x)=0 时 x=e .当 x∈?0, e ?时 ? ? ? 1? f′(x)<0,∴函数 f(x)在?0, e ?上单调递减. ? ? ?1 ? ?1 ? 当 x∈?e ,+∞?时 f′(x)>0,∴函数 f(x)在?e ,+∞?上单调递增. ? ? ? ? ?1? 1 1 ? ?=- ; ① ∈[n,n+2]时,f(x)min=f e e e ? ? 1 ② ≤n<n+2 时,函数 f(x)在[n,n+2]上单调递增,∴f(x)min=f(n)= e nlnn.

第14讲 │要点探究
1? ? 1 ? ?-e,?0<n<e ?, ? ? ? ∴f(x)min= ? ? ?nlnn,?n≥1?. ? ? e? (3)对一切 x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,又 g(x)=x2-tx-2,∴ 2 2 3xlnx≥x -tx-2,即 t≥x-3lnx- .在(0,e]设恒成立 h(x)=x-3lnx x 2 2 3 2 x -3x+2 ?(x-1?)(?x-2)? - , x∈(0, 则 h′(x)=1- + 2= e], = , x x x x2 x2 由 h′(x)=0 得 x=1 或 x=2,∴x∈(0,1),h′(x)>0,h(x)单调递增;x ∈(1,2),h′(x)<0,h(x)单调递减;x∈(2,e],h′(x)>0,h(x)单调递增, ∴h(x)极大值=h(1)=-1,且 h(e)=e-3-2e-1<-1, ∴h(x)max =h(1)=-1.∵对一切 x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,∴ t≥h(x)max=-1.故实数 t 的取值范围为[-1,+∞).

第14讲 │要点探究

?

探究点3

导数在方程与不等式中的应用

例4 [2011· 吉安模拟] 已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2+ a(a为常数),若直线l与g=f(x)和y=g(x)的图象都相切, 且l与y=f(x)的图象相切于定点P(1,f(1)). (1)求直线l的方程及a的值; (2)当k∈R时,讨论关于x的方程f(x2+1)-g(x)=k的 实数解的个数.

第14讲 │要点探究
1 [解答] (1)f′(x)= ,∴f′(1)=1,切点为(1,0), x ∴l 的解析式为 y=x-1. 又 l 与 y=g(x)相切, ?y=x-1, ? ∴? ?x2-2x+2a+2=0, 1 2 ?y=2x +a ? 1 Δ=(-2)2-4(2a+2)=0?a=- . 2 1 1 (2)令 h(x)=f(x2 +1)-g(x)=ln(x2 +1)- x2 + ,∴h′(x)=- 2 2 x?(x+1)(??x-1)? . x2+1 令 h′(x)=0?x1=0, x2,3=± 1.

第14讲 │要点探究

1° k∈(ln2,+∞)时,方程无解; 2° 当 k=ln2 时,方程有 2 解; 1 3° 当 <k<ln2,方程有 4 解; 2 1 4° 当 k= 时,方程有 3 解; 2 1 5° 当 k< 时,方程有 2 解. 2

第14讲 │要点探究
1 5 已知函数 f(x)=x3-ax,g(x)= x2-lnx- . 2 2

例5

(1) 若 g(x)与 f(x)在同一点处有相同的极值,求实数 a 的值; (2) 对一切 x∈(0,+∞),有不等式 f(x)≥2x·g(x)-x2+5x-3 恒成立, 求实数 a 的取值 范围; 1 2 5 1 2 (3)记 G(x)= x - -g(x), 求证: G(x)> x- (e 是自然对数的底数). 2 2 e ex

第14讲 │要点探究
1 [解答] (1)由题知,g′(x)=x- ,令 g′(x)=0 得 x=1(x>0),当 0<x<1 x 时,g′(x)<0;当 x>1 时,g′(x)>0, 故当 x=1 时,g(x)有极小值为 g(1)=-2,∴f(1)=-2,且 f′(1)=0, ∴a=3. ?1 2 5? 3 ? x -lnx- ? -x2 +5x-3,化简得 (2)原不等式可化为 x -ax≥2x 2 2? ? 3 2 ax≤2xlnx+x +3.因为 x∈(0,+∞),故上式可化为 a≤2lnx+ +x,则可知 x ? ? 3 3 a≤2lnx+ +x 恒成立,即 a≤?2lnx+x+x?min, x ? ? ? ? 3 3 2 3 ?2lnx+ +x? ′ = - 2 + 1 = 记 t(x) = 2lnx + x + x(x>0) , t′(x) = x x x ? ? x2+2x-3 , x2

第14讲 │要点探究
x2+2x-3 令 t′(x)=0,得 =0,解得 x=1, x2 在(0,1)上,t′(x)<0;在(1,+∞)上,t′(x)>0, 故当 x=1 时,t(x)有极小值为 4,故 a∈(-∞,4]. 1 2 (3)证明:由题知,G(x)=lnx,原不等式可化为 lnx> x- ,即 e ex x 2 证 xlnx> x- 成立, e e 1 记 F(x)=xlnx, F′(x)=lnx+1, F′(x)=0 得 x= , 由 因此函数 F(x) e ? ?1 ? ?1? 1? 1 ?0, ?上为减函数,在? ,1?上为增函数,其最小值为 F? ?=- , 在 e? e ? ?e ? ?e ? 1 即 F(x)≥- . e

第14讲 │要点探究

ex-xex x 2 记 H(x)= x- ,则 H′(x)= 2 ,令 H′(x)=0,得 x=1,因此 e e ex 1 H(x)在(0,1)上为增函数, 在(1, +∞)上为减函数, ∴H(x)mex=H(1)= - e 2 ,因为 F(x)max≥H(x)max. e 所以当 x∈(0,+∞)时,F(x)>H(x),故原不等式成立.

第14讲 │要点探究
? 探究点4 生活中的优化问题

例 6 [2010· 合肥模拟] 某电视生产厂家有 A、 两种型号的电视机 B 参加家电下乡活动.若厂家投放 A、B 型号电视机的价值分别为 p,q 1 万元,农民购买电视机获得的补贴分别为 p,mln(q+1)(m>0)万 10 元.已知厂家把总价值为 10 万元的 A、B 两种型号电视机投放市场, 且 A、B 两型号的电视机投放金额都不低于 1 万元(精确到 0.1,参考 数据:ln4≈1.4). 2 (1)当 m= 时,请你制定一个投放方案,使得在这次活动中农民 5 得到的补贴最多,并求出其最大值; (2)讨论农民得到的补贴随厂家投放 B 型号电视机金额的变化而 变化的情况.

第14讲 │要点探究
[解答] 设投放 B 型号电视机的价值为 x 万元(1≤x≤9),农民得到 的补贴为 y 万元,则投放 A 型号电视机的价值为(10-x)万元,由题 意得 1 1 y= (10-x)+mln(x+1)=mln(x+1)- x+1. 10 10 2 2 1 (1)当 m= 时,y= ln(x+1)- x+1, 5 5 10 2 1 y′= - ,由 y′=0,得 x=3, 5?(x+1?) 10 当 x∈(1,3)时,y′>0;当 x∈(3,9)时,y′<0. 2 所以 x=3 时,y 取得最大值,ymax= ln4-0.3+1≈1.3. 5 即厂家分别投放 A,B 两型号电视机 7 万元和 3 万元时,农民得到的 补贴最多,最多补贴约 1.3 万元.

第14讲 │要点探究
m 1 (2)y′= - ,由 y′=0,得 x=10m-1. x+1 10 ①当 10m-1≤1,即 0<m≤0.2 时,y′≤0,y 在[1,9]上是减函数,随 B 型电视机投放金额 x 万元的增加,农民得到的补贴逐渐减少. ②当 1<10m-1<9,即 0.2<m<1 时,在区间[1,10m-1)上,y′>0,在 区间(10m-1,9]上,y′<0. 当 x∈[1,10m-1]时,随 B 型号电视机投放金额 x 的增加,农民得到 的补贴逐渐增加;当 x∈(10m-1,9]时随 B 型电视机投放金额 x 增加农民 得到的补贴逐渐减少. ③当 10m-1≥9,即 m≥1 时,y 在[1,9]上是增函数,随 B 型电视机投 放金额 x 的增加,农民得到的补贴逐渐增加.

[点评] 用导数求解实际问题中的最大值或最小值时,一般 先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,然 后转化为导数模型求解

第14讲 │规律总结 规律总结
1.函数的单调性、极值、最值都是定义域内的局部性质, 因此利用导数讨论函数的性质时,首先要研究函数的定义域, 再利用导数f′(x)解决. 2.通过判断函数定义域被导数为零的点或不可导点所划分 的各区间内导数f′(x)的符号,来判断函数f(x)在该区间上的单调 性;f′(x)>0(或f′(x)<0)在区间(a,b)上成立只是f(x)在这个区间 上是增函数(减函数)的充分条件,而不是必要条件,因此,由函 数单调性求其所含参数的取值问题时,对于导数值为零的点需 要单独验证,以免出错;当一个函数具有相同单调性的单调区 间不止一个时,由于集合的并集运算“∪”其运算结果为一个整

第14讲 │规律总结
体,因此这些单调区间一般不能用“∪”连接,而只能用“逗 号”或“和”字隔开. 3.根据极值的定义,导数为0的点只是可疑点,不一定是极 值点,只有在该点两侧导数的符号相反,即函数在该点两侧 的单调性相反时,该点才是函数的极值点;另一方面,极值 点处的导数也不一定为零,还要考查函数在该点处的导数是 否存在. 4.一般地,要证明不等式f(x)>g(x)在区间Ⅰ上恒成立,则 可构造函数h(x)=f(x)-g(x),通过讨论h′(x)在区间Ⅰ上的取 值范围,判断出函数h(x)的单调性,然后由函数h(x)在区间 Ⅰ上的一个初始值,证得不等式成立.

第14讲 │规律总结

5.导数是解决生产生活中最优化问题的通性通法,利用导 数求实际问题的最值的一般步骤和方法如下:(1)细致分析实 际问题中各个量之间的关系,正确设定所求最大值或最小值的 变量y与自变量x,把实际问题转化为数学问题,即列出函数关 系y=f(x),并根据实际问题中的限制条件确定y=f(x)的定义 域;(2)求f′(x),令f′(x)=0,得出方程所有实数根;(3)比较函 数在各个区间端点和在极值点的取值大小,确定其最大值或最 小值;(4)检验结果的实际意义,给出答案.

第15讲 │ 定积分与微积分基本定理

第15讲

定积分与微积分基本定理

第15讲 │知识梳理 知识梳理
1.定积分的定义 如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi -1<xi<…<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个小区间 b-a [xi-1,xi]内任取一点 ξi(i=1,2,3,…,n),作和式 ?f(ξi)Δx= ? n i=1 i=1
n n

某个常数 f(ξi),当 n→∞时,该和式无限接近于____________,这个常数叫做 函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作 ?b f(x)dx.其中 f(x)称为 ?
积分变量 被积式 被积函数 ____________,x 称为____________,f(x)dx 称为________,a 称 积分上限 积分下限 为____________,b 称为____________.
?a

第15讲 │知识梳理

2.定积分的几何意义 在区间[a, b]上的连续函数 f(x), 若恒有 f(x)≥0, 定积分?baf(x)dx ? 表 示 由 直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形 _________________________________________________________ 的面积 _______________. 若 恒 有 f(x)≤0 , 定 积 分 ?b af(x)dx 表 示 由 ? 直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯 _________________________________________________________ 形的面积的相反数 _______________.

第15讲 │知识梳理
3.定积分的性质 (1)定积分的线性性质 k?bf(x)dx ? ? ?b ?a ? kf(x)dx=____________(k 为常数); ?
?a
? f(x)dx± bg(x)dx ? ? ?b ?a g(x)]dx=____________________; ? [f(x)± ? ?b ? ? ?a

?a

(2)定积分对区间的可加性 ?b ?c ? f(x)dx+? f(x)dx ? ? ?c ?a ?b ? f(x)dx=__________________(a<b<c); ?
?a

(3)?bf(x)dx=-?af(x)dx. ? ? ? ?
?a ?b

第15讲 │知识梳理

4.微积分基本定理 如 果 F′(x) = f(x) , 且 f(x) 在 [a , b] 上 连 续 , 则 ?b f(x)dx = ? ?

F(x)|b a ____________,也可写作________,其中

F(b)-F(a) 原函数 ________.

?a

F(x)叫做 f(x)的一个

第15讲 │要点探究 要点探究
? 探究点1
例 1
1

利用微积分基本定理及定积分的性质求定积分

(1)计算下列定积分: ? 1? 2 ?2? ①? 2x -x?dx=________; ? ? ? ?

③?2|3-2x|dx=________; ? ?
?1

(2)不等式?a(2x-8)dx≤0 的解集为. ? ?
?0

(3)设函数 f(x)=ax2+1,若?1f(x)dx=2,则 a=________. ? ?
?0

第15讲 │要点探究

14 1 (1)① -ln2 ②- 3 4 (2){a|0<a≤8} (3)3

1 ③ 2

π ④ 2

第15讲 │要点探究
1 [解析] (1)①因为函数 y=2x2-x的一个原函数是 2 y= x3-ln x, 3 ? 2 1? ?2 3 ?? 16 2 14 ?2? ?dx= ? x -ln x??2= -ln 2- = -ln 2. 所以? 2x -x 1 ? ? 3 3 3 ? ?3 ?? ?
1

第15讲 │要点探究

(2)由?a (2x-8)dx=(x2-8x)|a=a2-8a≤0,显然 a≠0,故解集为 ? 0 ?
?0

{a|0<a≤8}. (3)? f(x)dx=? (ax ? ?
?0 ?0 ?1 ?1

2

? +1)dx=? ? ?

?? ax3 a +x??1= +1=2,解得 a=3. 0 3 3 ?? ?

第15讲 │要点探究
? 探究点2
例2

利用定积分的几何意义求定积分
求定积分?1[ 1-?(x-1)?2-x]dx 的值. ? ?
?0

[思路] 画出被积函数的图象,求出对应图形的面积,由 定积分的几何意义便可求出积分值.

第15讲 │要点探究
[解答]
?1 ? ? ?0

( 1-?(x-1)?2-x)dx 表示圆(x-1)2+y2=

1(y≥0)的一部分与直线 y=x 所围成的弓形(如图所示)的面 π×12 1 π 1 2 ?1 积,因此? ( 1-?(x-1?) -x)dx= - × 1= - . 1× 4 2 4 2 ? ?
0

第15讲 │要点探究

?

探究点3

定积分在求图形面积方面的应用

例 3 [2010· 福州模拟] 已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图 象如图 15-1 所示,它与 x 轴在原 点处相切,且 x 轴与函数图象所围 1 区域(图中阴影部分)的面积为 ,则 12 a 的值为________.

图15-1

第15讲 │要点探究

-1 [解析] 由题知 f′(x)=-3x2+2ax+b,∵f′(0)= 0,∴b=0,∴f(x)=-x3+ax2,令 f(x)=0,得 x=0 或 x 1 4 1 3 2 ?0 =a(a<0).S 阴影=-? (-x +ax )dx= a = ,∴a=- ? 12 12 ?
a

1.

第15讲 │要点探究

?

探究点4

定积分在物理方面的应用

例4 [2010· 福州模拟] 一辆汽车的速度—时间曲线如图 15-2所示,求该汽车在这一分钟内行驶的路程.

图15-2

第15讲 │要点探究
[解答] 从该汽车的速度——时间曲线可以看出, 该汽车作变 速运动,其速度——时间的函数关系如下: ?3 ??0≤t<20?? ? t,? ?, 2 ? v=v(t)=?50-t,???20≤t<40???, ? ?10,???40≤t≤60???, ? 行驶的路程为: s=∫ t2?20 ?0
? ?
60 0

所以该汽车在这一分钟内所

v(t)dt = ∫ 1 2??40 t ??20 2 ?? ?

20 0

3 3 ? ?40 ? ?50-t? dt + ?60 10dt = tdt + ? ? ? ? ? ? 2 4 ? ?
20 40
? ?60 ?40 ?



? ? ?50t- ?

+ 10t

= 900(米).

第15讲 │规律总结 规律总结
1.求定积分的方法 (1)利用定义求定积分(定义法),可操作性不强; (2)利用微积分基本定理求定积分; (3)利用定积分的几何意义求定积分. 2. 计算?1f(x)dx 的关键是找到满足 F′(x)=f(x)的函数 F(x). 其 ? ?
?0

中 F(x)可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到. 当被积函数 含有绝对值(或平方根)时,需按绝对值内的正、负号将定积分区 间分段,然后按区间的可加性逐段积分;同样,当被积函数为分 段函数时,也需按函数定义的分段情形相应的逐段积分.

第15讲 │规律总结

3.利用定积分求平面图形的面积的步骤如下:(1)画出 函数的草图,确定积分变量;(2)求图象的交点,确定积分上 、下限;(3) 将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和;(4)利 用定积分求面积.


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