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复数


复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是 实数,i是虚数单位(即-1开根)。 由意大利米 兰学者卡当在十六世纪首次引入,经过达朗贝 尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念 逐渐为数学家所接受。 复数有多种表示法,诸 如向量表示、三角表示,指数表示等。它满足 四则运算等性质。它是复变函数论、解析数论、 傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子 力学等学科中最基础的对象和工具。另外,复 数还指在英语中与单数相对,两个及两个以上 的可数名词。

定义
? 复数 ? 数集拓展到实数范围内,仍有些运算无法进行。比如判别 式小于0的一元二次方程仍无解,因此将数集再次扩充, 达到复数范围。 ? 形如z=a+bi的数称为复数(complex number),其中规定i 为虚数单位,且i^2=i×i=-1(a,b是任意实数) ? 我们将复数z=a+bi中的实数a称为复数z的实部(real part) 记作Rez=a ? 实数b称为复数z的虚部(imaginary part)记作 Imz=b. ? 已知:当b=0时,z=a,这时复数成为实数;当且仅当 a=b=0时,它是实数0; ? 当a=0且b≠0时,z=bi,我们就将其称为纯虚数。

? 复数的模 ? 将复数的实部与虚部的平方和的正的平方 根的值称为该复数的模,记作∣z∣. ? 即对于复数z=a+bi,它的模 ? ∣z∣=√(a^2+b^2) ? 复数的集合用C表示,实数的集合用R表示, 显然,R是C的真子集。 ? 复数集是无序集,不能建立大小顺序。

? 共轭复数 ? 对于复数z=a+bi,称复数z'=a-bi为z的共轭复数。即两个实部相等, 虚部(虚部不等于0)互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。复数z的共轭复数记作zˊ。表示方法为在字母z 上方加一横线即共轭符号。 ? 根据定义,若z=a+bi(a,b∈R),则 zˊ=a-bi(a,b∈R)。共轭复 数所对应的点关于实轴对称。两个复数:x+yi与x-yi称为共轭复数,它 们的实部相等,虚部互为相反数.在复平面上。表示两个共轭复数的点 关于X轴对称.而这一点正是"共轭"一词的来源。两头牛平行地拉一部 犁,它们的肩膀上要共架一个横梁,这横梁就叫做"轭".如果用Z表示 X+Yi,那么在Z字上面加个"一"就表示X-Yi,或相反。 ? 共轭复数有些有趣的性质: ? ︱x+yi︱=︱x-yi︱ ? (x+yi)*(x-yi)=x^2+y^2

? 复数的辐角 ? 在复变函数中,自变量z可以写成 z= r*(cosθ + i sinθ) .r是z的模,即r = |z|; θ是z 的辐角。 在0到2π间的辐角称为辐角主值, 记作: arg(z)

运算法则
? 加法法则 复数的加法法则:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复 数。两者和的实部是原来两个复数实部的和,它 的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然 是复数。 即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i. ? 乘法法则 复数的乘法法则:把两个复数相乘,类似两个多项 式相乘,结果中i^2 = ㄢ,把实部与虚部分别合并。 两个复数的积仍然是一个复数。 即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.

? 除法法则 ? 复数除法定义:满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数 x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商 ? 运算方法:将分子和分母同时乘以分母的共轭复数,再用 乘法法则运算, ? 即 (a+bi)/(c+di) ? =[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)] ? =[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2+d^2). ? 开方法则 ? 若z^n=r(cosθ+isinθ),则 ? z=n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n](k=0,1,2, 3……n-1)

运算律
? ? ? ? ? 加法交换律:z1+z2=z2+z1 乘法交换律:z1*z2=z2*z1 加法结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 乘法结合律:(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3) 分配律:z1*(z2+z3)=z1*z2+z1*z3

? i的乘方法则 ? i^(4n+1)=i, i^(4n+2)=-1, i^(4n+3)=-i, i^4n=1 (其中n∈Z) ? 棣莫佛定理 ? 对于复数z=r(cosθ+isinθ),有z的n次幂 ? z^n=(r^n)*[cos(nθ)+isin(nθ)] (其中n 是正整数)

? 复数三角形式 ? 设复数z1、z2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1)和 r2(cosθ2+isinθ2),那么z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin (θ1+θ2)](在复数平面内为模相乘,角相加。) ? z1÷z2=(r1÷r2)[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)](在复数 平面内为模相除,角相减。) ? 复数集不同于实数集的几个特点是:开方运算永远可行 (不包括纯虚数集) ? 一元n次复系数方程总有n个根(重根按重数计);复数不 能建立大小顺序。 ? 复数与几何

复平面
? 复平面的横轴上的点 对应所有实数,故称实 轴,纵轴上的点(原点除 外)对应所有纯虚数,故 称虚轴. 在复平面上, 复数还与从原点指向 点z=x+iy的平面向量 一一对应,因此复数z 也能用向量Z来表示 (如右图)。向量的 长度称为Z的模或绝对 值,记作 |z|=r= √(x^2+y^2 ) 。


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