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辽宁省沈阳铁路实验中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 文


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沈阳铁路实验中学 2014-2015 学年度下学期期末考试 高二数学(文)
时间:120 分钟 分数:150 分 一、 选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.设集合 A ? {x | ?2 ? x ? 3} , B ? {x | x ? 1 ? 0}

,则集合 A ? B 等于 ( ) A. {x | ?2 ? x ? ?1} C. B. {x | ?2 ? x ? ?1} D. {x |1 ? x ? 3}

{x | ?1 ? x ? 3}

2.下列函数中,其图象既是轴对称图形又在区间 A. y ? 3. 若

(0, ??) 上单调递增的是 ( )
x

1 ? 7i ? a ? bi ( a, b ? R, i 为虚数单位) ,则 ab 等于( ) 2?i A. ?15 B. ?3 C. 3 D. 15

1 x

B. y ? ? x ? 1
2

C. y ? 2

D. y ? lg | x ? 1|

4 .如图,若 f ? x ? ? log3 x, g ? x ? ? log2 x ,输入 x ? 0.25 ,则 输出 h ? x ? ? ( ) A. 0.25 C. ?2log3 2 5.下列选项中,说法正确的是( ) A.命题 “ ?x ? R, x ? x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 0 ” ;
2 2

B.

1 log 3 22 2

D. ?2

B.命题 “ p ? q 为真”是命题“ p ? q 为真”的充分不必要条件;
2 2 C.命题 “若 am ? bm ,则 a ? b ”是假命题;

D.命题“在 ?ABC 中,若 sin A ?

? 1 ,则 A ? ”的逆否命题为真命题. 6 2
) D. 4
2

6. 求函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 1 零点的个数为 (
3

A. 1

B. 2

C. 3

7. 演绎推理“因为对数函数 y ? loga x (a>0 且 a≠1)是增函数,而函数 y ? log 1 x 是对

-1-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 数函数,所以 y ? log 1 x 是增函数”所得结论错误的原因是( )
2

A.大前提错误 错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.大前提和小前提都

8.设△ABC 的三边长分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r=

2S , a?b?c

类比这个结论可知:四面体 S—ABC 的四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,内切球半径为 R, 四面体 S—ABC 的体积为 V,则 R 等于( ) A.

V S1 ? S2 ? S3 ? S 4
3V S1 ? S2 ? S3 ? S 4
x ?1

B.

2V S1 ? S2 ? S3 ? S 4
4V S1 ? S2 ? S3 ? S 4

C.

D.

9. 已知 f (x ?1) ? x ?1 ? e 面积为 A.

,则函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线 l 与坐标轴围成的三角形的

1 4

B.

1 2

C.1

D.2

10.函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。内有极小值,则实数错误!未找到引 用源。的取值范围是( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未 找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 11. 若函数 f ? x ? ? x2 ? ? 2a ?1? x ?1 的定义域被分成了四个不同的单调区间, 则实数 a 的取 值范围是( ) A. a ? ?

3 1 或a ? 2 2

B. ?

3 1 <a< 2 2

C. a ? ?

1 2

D. a ? ?

1 2

12. 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 R , f (0) ? 2 , 对 ?x ? R , 有 f ( x) ? f? ( x)? 1 ,则不等式

e x ? f ( x) ? e x ? 1 的解集为(
A. {x | x ? 0}

) C. {x | x ? ?1 或 x ? 1} D. {x | x ? ?1 或

B. {x | x ? 0}

0 ? x ? 1}
二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 函数 f ( x) ? lg ? x ?1? ? 2 ? x 的定义域为 .

14. 在 2015 年 3 月 15 日,某市物价部门对本市的 5 家商场的某商品的一天销售量及其价格 进行调查,5 家商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如下表所示: 价格 x 9 9.5 10 10.5 11

-2-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 销售量 y 11 10 8 6 5

由散点图可知,销售量 y 与价格 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是 ^ ^ 错误!未找到引用源。=-3.2x+a,则a= 15. 已知 2 ? .

2 2 3 3 4 4 a a ,若 a , t 均为正 ? 2 , 3? ?3 , 4 ? ?4 , ?, 6 ? ? 6 3 3 8 8 15 15 t t
.

实数,则由以上等式,可推测 a ? t ?

16.设 f ?x ? 是定义在 R 上的偶函数, 且对于 ?x ? R 恒有 f ?x ? 1? ? f ?x ? 1?, 已知当 x ? ?0,1? 时, f ?x ? ? 21? x ,则 (1) f ?x ? 的周期是 2; (2) f ?x ? 在 (1, 2) 上递减,在 (2,3)

上递增; (3) f ?x ? 的最大值是 2,最小值是 1; (4)当 x ? ?3,4? 时, f ?x? ? 2 x?3 。 其中正确的命题的序号是 .

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
2 2 17. 设 命 题 p : 实 数 x 满 足 x ? 4ax ? 3a ? 0 , 其 中 a ? 0 , 命 题 q : 实 数 x 满 足

2 ? ?x ? x ? 6 ? 0 . ? 2 ? ?x ? 2x ? 8 ? 0

(Ⅰ)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ)若 ?p 是 ?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 18.已知函数 f ( x) ? 3 , f (a ? 2) ? 81 , g ( x) ?
x

1? ax . 1? ax

(Ⅰ)求 g ( x) 的解析式并判别 g ( x) 的奇偶性; (Ⅱ)证明:函数 g ( x) 在 R 上是单调递减函数; (Ⅲ)求 g ( x) 的值域。 19. “开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对 1~8 号 8 扇大门,依次按响门上的 门铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎) ,选手需正确回 答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中,发现参赛选 手多数分为两个年龄段:20~30;30~40(单位:岁) ,其猜对歌曲名称与否的人数如图所示. (Ⅰ)写出 2×2 列联表;判断是否有 90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关,说明你 的理由; (下面的临界值表供参考) (Ⅱ)现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取 6 名选手,并抽取 3 名幸运 选手,求 3 名幸运选手中至少有一人在 20~30 岁之间的概率.

-3-

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(参考公式: K ?
2

n(ad ? bc) 2 其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

20. 为了保护环境,某工厂在政府部门的鼓励下,进行技术改进:把二氧化碳转化为某种化 工产品,经测算,该处理成本 y (万元)与处理量 x (吨)之间的函数关系可近似的表

?1 3 ? x ? 640, x ? ?10,30 ? 示为 y ? ? 25 且每处理一吨二氧化碳可得价值为 20 万元的某 2 ? x ? 40 x ? 1600, x ? ?30,50? ?
种化工产品. (Ⅰ)当 x ??30,50? 时,判断该技术改进能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能 获利,则国家至少需要补贴多少万元,该工厂才不会亏损? (Ⅱ)当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少? 21.已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x) ? ? (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若在区间 1,e ( e ? 2.718? )上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值 范围.
1? a , (a ? R). x

? ?

-4-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 做答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. 如图,圆周角 ?BAC 的平分线与圆交于点 D ,过点 D 的切线与弦 AC 的延长线交于点 E , AD 交 BC 于点 F . (Ⅰ)求证: BC // DE ; (Ⅱ)若 D, E , C , F 四点共圆,且弧 AC 与弧 BC 相等,求 ?BAC 。

23.在直角坐标系 xoy中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 2t ? y ? ?1 ? 2t

(t 为

参数) ;以原点为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ?

2 1 ? 3 sin 2 ?



(Ⅰ)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C 2 的直角坐标方程; (Ⅱ)设点 M ?2,?1? ,曲线 C1 与曲线 C 2 交于 A, B ,求 MA ? MB 的值.

24.已知函数 f ( x) ? log 2 (| x ? 1 | ? | x ? 2 | ? m) .

-5-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅰ)当 m ? 7 时,求函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

答案 一.选择题 二 填空题 三 .解答题

CDBDC CACAD 13.

DA 40 15. 41 16.(1) (3) (4)

(1, 2]

14.

2 2 17. (Ⅰ)由 x ? 4ax ? 3a ? 0 得 ( x ? 3a)(x ? a) ? 0 又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a

当 a ? 1 时, 1 ? x ? 3 ,即 p 为真时,实数 x 的范围是 1 ? x ? 3 ,
2 ? ?x ? x ? 6 ? 0 由? 2 得 2 ? x ? 3 ,即 q 为真时,实数 x 的范围是 2 ? x ? 3 , ? ?x ? 2x ? 8 ? 0

若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的范围是 2 ? x ? 3 (Ⅱ) ?p : x ? a 或 x ? 3a , ?q : x ? 2 或 x ? 3 ,由 ?p 是 ?q 的充分不必 要条件,有

?0 ? a ? 2 ,得 1 ? a ? 2 . ? ?3a ? 3
18. 解: (1)由 f (a ? 2) ? 3 所以 g ( x) ?
a?2

? 81 ,得 a ? 2 ? 4 ,故 a ? 2 ,

1 ? 2x , 1 ? 2x

又 g (? x) ?

1 ? 2? x 2 x ? 1 ? ? ? f ( x) 且 x ?R, 1 ? 2? x 2 x ? 1

故 g ( x) 是奇函数。 (2)设 x1 , x2 ? R,且 x1 ? x2 ,

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f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 2(2 x2 ? 2 x1 ) ? ? 1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )

? x1 ? x2 ,? 2 x1 ? 2 x2 ,又 2x1 ? 0, 2x2 ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ? 函数 g ( x) 在 R 上是单调递减函数。 (3) g ( x) ?

1 ? 2 x 2 ? (1 ? 2 x ) 2 ? ? ?1 x x 1? 2 1? 2 1 ? 2x
1 ? (0,1) 2 ?1
x

2 x ? (0, ??) ? 2 x ? 1 ? (1, ??) ?

?

2 2 ? (0, 2) ? ? 1 ? (?1,1) 2 ?1 1 ? 2x
x

所以函数 g ( x) 的值域为( ?1,1 ) 。 19. 试题解析: (1) 年龄/正 误 20~30 30~40 合计 正确 10 10 20 错误 30 70 100 合计 40 80 120

k?

120(70 ? 10 ? 30 ? 10) 2 ? 3 ? 2.706 20 ? 100? 40 ? 80

有 90 % 的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关. (2) (2)设事件 A 为 3 名幸运选手中至少有一人在 20~30 岁之间,由已知得 20~30 岁之间的 人数为 2 人,30~40 岁之间的人数为 4 人,从 6 人中取 3 人的结果有 20 种,事件 A 的结果有 16 种, P? A? ?

16 4 ? 20 5

20.

: ( Ⅰ ) 当

x ??3 0 ?, 时 5 0, 设 该 工 厂 获 利 为 S
2

, 则

S ? 2 0x? ? 2 x ? 4 0x ? 0 ?0 ? x ? 1 ?6 ?

? 3 ? 0x ??30,50 7 0 0 S ? 0 ,因此,该 ,所以当 ? 时,
5分

工厂不会获利,所以国家至少需要补贴 700 万元,该工厂才不会亏损;

? 1 2 64 x ? , x ? ?10,30 ? y ? ? 25 x , (Ⅱ) 由题意可知, 二氧化碳的每吨平均处理成本为 P ? x ? ? ? ? x ? 1600 x? ? 40, x ? ?30,50? ? x ?
6分

-7-

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3 1 2 64 2 64 2 x ? 8000 ' P ? x? ? x ? P ? x? ? x? 2 ? 25 x ,所以 25 x 25 x 2 (1)当 x ??10,30? 时, ,因

?

?

为 x ??10,30? ,所以当 x ??10, 20? 时, P ? x ? ? 0 , P ? x ? 为减函数;当 x ??20,30? 时,
'

P' ? x ? ? 0 , P ? x ? 为 增 函 数 , 所 以 当 x ? 20 时 , P ? x ? 取 得 极 小 值
P ? 20 ? ? 202 640 ? ? 48 25 20 .

9分

x? 1600 1600 (2) 当 x ??3 当且仅当 ? 40 ? 2 x ? ? 40 ? 40 , 0 ,5 0 ? 时,P ? x ? ? x ? x x
即 x ? 40 ??30,50? 时, P ? x ? 取最小值 P ? 40? ? 40 , 12 分

1600 x ,

因为 48 ? 40 ,所以当处理量为 40 吨时,每吨的平均处理成本最少. 21.试题解析: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x ,定义域为 (0,??) ,

f ' ( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? ,当 x ? (0,1) 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? (1,??) 时, f ' ( x) ? 0 . x x

所以单调减区间为 (0,1) ;单调增区间为 (1,??) , 故 x ? 1 时, f ( x) 有极小值,极小值为 1. (Ⅱ) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? a ln x ? 3分

1? a ,则 x
4分

h ' ( x) ? 1 ?

a 1 ? a x 2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1 ? a)(x ? 1) ? 2 ? ? , x x x2 x2

因为 x ? 0, 所以 x ? 1 ? 0, 令 x ? 1 ? a ? 0, 得 x ? 1 ? a .
' 若 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 ,则 h ( x) ? 0 恒成立,则 h( x) 在 (0,??) 上为增函数; ' ' 若 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 ,则 x ? (0,1 ? a) 时, h ( x) ? 0 , x ? (1 ? a,??) 时 h ( x) ? 0 ,

所以此时单调减区间为 (0,1 ? a) ;单调增区间为 (1 ? a,??) (Ⅲ)由第(Ⅱ)问的解答可知只需在 [1, e] 上存在一点 x0 ,使得 h( x0 ) ? 0 .

7分

若 a ? ?1 时,只需 h?1? ? 2 ? a ? 0 ,解得 a ? ?2 ,又 a ? ?1 ,所以 a ? ?2 满足条件. 8 分 若 0 ? 1 ? a ? 1 ,即 ? 1 ? a ? 0 时,同样可得 a ? ?2 ,不满足条件. 若 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时, h( x) 在 1 ? a 处取得最小值, 令 h(1 ? a) ? 1 ? a ? a ln(1 ? a) ? 1 ? 0 , 9分 10 分

-8-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 即 1 ? a ? 1 ? a ln( 1 ? a) ,所以 设 a ? 1 ? t ,考察式子

a ?1?1 ? ln( a ? 1) a

11 分

t ?1 ? ln t ,由 1 ? t ? e ,所以左端大于 1,而右端小于 1,所以不成立. t ?1 1? a 当 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时, h( x) 在 [1, e] 上单调递减,只需 h(e) ? e ? a ? ?0得 e

a>

e2 ? 1 e2 ? 1 e2 ? 1 ?2e ? ? 0 ,所以, a > ,又因为 (e ? 1) ? 或 a ? ?2 e ?1 e ?1 e ?1 e ?1

12 分

22. 试题解析: (1) DE 与圆相切, ?EDC ? ?EAD, ?DCB ? ?DAB

AD 平分 ?EAB,所以 ?EDC ? ?DCB ? ?EDC ? ?DCB 所以 BC // DE . (2)弧 AC 与弧 BC 相等,设 ?CAB ? ?CBA ? ? , ?EDA ? ?DBA 1 3 7 2 ?DBC ? ?CAD ? ? ,? ?ACB ? ? , ? ? ? ,? ?BAC ? ? 2 2 2 7
x2 ? y2 ? 1 4

23. 试题解析: (1)由题意可得: y ? ? x ? 1,

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 (2)将 ? ?t为参数? 代人 C2 直角坐标方程得 5t 2 ? 12 2t ? 8 ? 0 ? y ? ?1 ? 2 t ? 2 ?
t1 ? t 2 ? 8 5

24.试题解析:解: (1)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 7 , 不等式的解集是以下不等式组解集的并集:

?x ? 2 ?1 ? x ? 2 ?x ? 1 ,或 ? ,或 ? ? ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 7
解得函数 f ( x) 的定义域为 (??,?3) ? (4,??) ; (2)不等式 f ( x) ? 2 即 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 , (5 分)

? x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 ,
不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 解集是 R,

? m ? 4 ? 3, m 的取值范围是 (??,-1]

(10 分)

-9-


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