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广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学文试题


汕头市东山中学 2013 届高三第二次模拟数学文试题
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1. 抛物线 y ? ?4 x 2 的准线方程为 A. x ? 1 2.已知复数 z ? A. ?i B. y ? 1 C. x ?

1? i ,则 z 等于 1? i

r />B. 2i

1 16

D. y ?

1 16

C. ?1

D.1

3. 某公司2006~2011年的年利润 x (单位:百万元)与年广告支出 y (单位:百万元)的统计 资料如下表所示: 年份 利润 x 支出 y 根据统计资料,则 A. 利润中位数是16,x 与 y 有正线性相关关系 B. 利润中位数是17,x 与 y 有正线性相关关系 C. 利润中位数是17,x 与 y 有负线性相关关系 D. 利润中位数是18,x 与 y 有负线性相关关系 4.已知 p :直线 a 与平面 ? 内无数条直线垂直, q :直线 a 与平面 ? 垂直.则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2006 12.2 0.62 2007 14.6 0.74 2008 16 0.81 2009 18 0.89 2010 20.4 1 2011 22.3 1.11

5.已知 x 为自然数集 M 中的一个元素,且满足对任意 x ? M ,都有 5 ? x ? M ,则满足条 件的集合 M 的个数为 A. 5 B. 6 C.7 D.8

6.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 A.1
2

a5 5 S ? ,则 9 = a3 9 S5
C. ?1 D.

B.

1 2

9 5

7. 不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ( ? A.-10 B.10

1 1 , ) ,则 a ? b 等于 2 3
C.-14 D. 14

??? ? ???? ???? 8. 如图,在 ?ABC 中,已知 BD ? 2DC ,则 AD ? ? ? 1 ??? 3 ???? 1 ??? 3 ???? A. ? AB ? AC B. AB ? AC 2 2 2 2

A B

D

C

C.

? 1 ??? 2 ???? AB ? AC 3 3

D.

? 1 ??? 2 ???? AB ? AC 3 3

二、填空题:(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) (一)必做题(11~13 题) 11. 有一根长为 1 米的细绳子,随机从中间将细绳剪断,则使两截的长度都大于 为 12. 函数 y ? a .
x?2

1 米的概率 8

? 2 ( a ? 0 , a ? 1 )的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0
1 2 ? 取得最小值时, m ? ______. m n

上,其中 mn ? 0 ,则当

13. 已知函数 f ( x ) 对 ?x1 , x2 ? R ? x1 ? x2 ? 满足 ? x1 ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ?? ? 0 , 并且 f ( x ) 的图 ? ? 象经过点 A(?1,5) 和 B(3, ?1) ,则不等式 | f ( x) ? 2 |? 3 的解集是________. ..

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题;如果两题都做,则按第 14 题评分) 14.(几何证明选讲选做题) 如图所示,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D,CD=4,

BD=8,则线段 DO 的长等于_________. 15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ,θ) 0 ? ? <2? ) ( 中,曲线 ? ? 2sin ? 与 ? cos ? ? ?1 的交点的极坐标为_________. ...

三.解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分) 16. (本小题满分 12 分) 2012 年 3 月 2 日,国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定: 居民区的 PM2.5 的年平均浓度不得超过 35 微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了 一居民区去年 20 天 PM2.5 的平均浓度的监测数据,数据统计如下: 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 PM2.5 浓度(微克/立方米) (0,25] (25,50] (50,75] (75,100) 频数(天) 5 10 3 2 频率 0.25 0.5 0.15 0.1

(1)从样本中 PM2.5 的平均浓度超过 50(微克/立方米)的 5 天中,随机抽取 2 天,求恰 好有一天平均浓度超过 75(微克/立方米)的概率; (2)求样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从 PM2.5 的年平均浓度考虑,判断该 居民区的环境是否需要改进?请简要说明理由. 17. (本小题满分 12 分)

o , 已知向量 m ( i x1, n?( 3c sx ) ,函数 f( )? m n ?m x ( ?) . ?sn , )
(1)求函数 f (x) 的最小正周期 T 及单调增区间; (2)在 D B 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , A 为锐角, a ? 2 3 , AC

? ?

?

1 2

c ? 4 , f (A) 是函数 f (x) 在 [ 0 ,
18.(本小题满分 14 分)

? ] 上的最大值,求 ?ABC 的面积 S . 2

一个三棱柱 ABC ? A1 B1C1 直观图和三视图如图所示(主视图、俯视图都是矩形,左 视图是直角三角形) ,设 E 、 F 分别为 AA1 和 B1C1 的中点.

(1)求三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积; (2)证明: A1 F // 平面 EBC1 ; (3)证明:平面 EBC ? 平面 EB1C1 .

3
主视图

1
左视图

C

C1

F F
B A
B1

2
俯视图 视图

E
第 18 题

A1

19.(本小题满分 14 分) 阅读右边框图,解答下列问题: (1) 当输入的 n 分别为 1,2,3 时,求 a1 , a2 , a3 ; (2) 求 a 关于 n 的关系式 an; (3) 证明:无论 n 取何值,输出值 S ?
a?

i ?1
1 3

1 . 2

S?

1 3

S ? S ?a
a? a(2i ? 3) 2i ? 1

i ? n ? 1?

i ? i ?1

第 19 题

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln(e ? a) ( a 为常数)是实数集 R 上的奇函数,函数
x

g ( x) ? ? f ( x) ? sin x 是区间 [?1,1] 上的减函数.
(1) 求 a 的值与 ? 的取值范围; (2) 对(1)中所得的任意 ? 都有 g ( x) ? t ? ?t ? 1 在 x ?[?1,1] 上恒成立,求 t 的取值范围;
2

? x ? 2ex ? m 的根的个数. (3) 讨论关于 x 的方程 .. f ( x)
2

ln x

数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 D 2 D 3 B 4 B 5 C 6 A 7 B 8 C 9 C 10 B

二、填空题 11.

3 4

12.

1 4

13. {x | ?1 ? x ? 3} (或填 (?1,3) )

14. 3

15. ( 2,

3? ). 4

(注:13 题未写成集合或区间不给分) 三、解答题

16. 【解】(1) 设 PM2.5 的平均浓度在(50,75]内的三天记为 A1 , A2 , A3 ,PM2.5 的平均浓度 在(75,100)内的两天记为 B1 , B2 .所以 5 天任取 2 天的情况有: A1 A2 , A1 A3 , A1B1 ,

A1B2 , A2 A3 , A2 B1 , A2 B2 , A3 B1 , A3 B2 共 10 种. ????????4 分

记 “恰好有一天平均浓度超过 75 (微克/立方米) 为事件 A, ” 其中符合条件的有:A1B1 ,

A1B2 , A2 B1 , A2 B2 , A3 B1 , A3 B2 共 6 种.??6 分
所以所求的概率 P ( A) ?

6 3 ? . 10 5

????????8 分

(2)去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为:

12.5 ? 0.25 ? 37.5 ? 0.5 ? 62.5 ? 0.15 ? 87.5 ? 0.1 ? 40 (微克/立方米).?10 分
因为 40 ? 35 ,所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准,故 该居民区的环境需要改进. ????????????12 分

x= i 2n 17. 【解】 (1)由题意可得: f( ) s ( x
令?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

p ) 2 ?? 3 分 则 T ? ? ??4 分 +, 6

? 2 k?

? ? 解得单调递增区间为: [k ? ,k ? ] ( k ? Z )
6 3

?

?

???6 分(未写成区间扣 1 分)

(2)由(1)可知: f( ) s ( A A i 2=n

p ) 2 +, 6 ? ? ? 5 ? 又由于 A ? [0, ] ,则 ? ? A 2 ? ? ,????8 分 2 6 6 6 ? 由正弦函数的图像可知,当 A ? 时, f ( x ) 取得最大值 3 ,????9 分 3 ? 由正弦定理得 s C?1,即 C ? ,????11 分 in 2 1 则 b ? 2 ,故 S A C ? a ?2 3 ????12 分 b ?B 2

18. 【解】 (1)由题可知,三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直三棱柱, B1B ? 底面 ABC ,?1 分 且底面 ?ABC 是直角三角形, AB ? BC , AB ? 1, BC ? 3, BB1 ? 2 , ???2 分 三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积 V ? S ?ABC ? BB1 ?

(2)取 BC1 的中点 M ,连 EM, FM , ???5 分

1 ? 3 ? 2 ? 3. 2 C

??????4 分

C1
M

F

? E 、 F 分别为 AA 和 B1C1 的中点, 1

B A E

B1 A1

1 1 ? MF // BB1 , EA1 // BB1 , ? MF //EA ,?6 分 1 2 2

? 四边形 MFA E 为平行四边形,? A1F // EM , 1

???????7 分

又 EM ? 平面 EBC1 , A1F ? 平面 EBC1 ,? A1F // 平面 EBC1 . ????9 分 (3)? 三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直三棱柱, B1B ? 底面 ABC ,

? BE 2 ? AB 2 ? AE 2 ? 2 ,? B1E 2 ? A1B1 ? A1E 2 ? 2 ,又 BB1 ? 2 ,
2 2 ? BE2 ? B1E 2 ? BB1 ,? BE ? B1E

?????10 分

又?

? B1C1 ? A1B1 ? B1C1 ? 平面 AA B1B ,? B1C1 ? BE 1 ? B1C1 ? BB1

????12 分

由 BE ? B1E , B1C1 ? BE , B1E ? B1C1 ? B1 ,得 BE ? 平面 EB C1 , 1 又 BE ? 平面 EBC ,? 平面 EBC ? 平面 EB C1 . 1 ???????14 分

1 1 1 19.【解】(1)当 n=1 时,a= ;当 n=2 时,a= ;当 n=3 时,a= .…3 分(每个 1 分) 3 15 35 2n-3 1 (2) 依题意得 a1= ,an= a - (n≥2),????5 分 3 2n+1 n 1

an 2n-3 所以 = (n≥2).????6 分 an-1 2n+1 2n-3 2n-5 2n-7 1 1 an an-1 a2 1 1 1 所以 an= · ·…· · = a · · ·…· ·= · = . an-1 an-2 a1 1 2n+1 2n-1 2n-3 5 3 2n+1 2n-1 4n2-1 ????????8 分 (注:写成 an ?1 ?

1 扣 2 分) 4(n ? 1)2 ? 1

1 1 1 1 1 (3)因为 an= 2 = = ?2n-1-2n+1?,????10 分 ? 4n -1 (2n+1)(2n-1) 2? 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 Sn=a1+a2+…+an= ?1-3?+ ?3-5?+…+ ?2n-1-2n+1? ? 2? ? 2? 2? ? 1 1 = ?1-2n+1???????12 分 2? ? (注:写成 Sn ?1 ?

1? 1 ? ?1 ? ? 扣 2 分) 2 ? 2n ? 1 ?

1 * 因为 n ? N ,则?1-2n+1? ? 1 ??????13 分 ? ? 所以无论 n 取何值,输出值 S ?

1 .????14 分 2

20.【解】 (1)∵抛物线 C1 : y 2 ? 8x 的焦点为 F2 (2,0) , ∴双曲线 C2 的焦点为 F1 (?2,0) 、 F2 (2,0) ,

????????? 1 分

?????????2 分

设 A( x0 , y0 ) 在抛物线 C1 : y 2 ? 8x 上,且 AF2 ? 5 , 由抛物线的定义得, x0 ? 2 ? 5 ,∴ x0 ? 3 ,
2 ∴ y0 ? 8 ? 3 ,∴ y0 ? ?2 6 ,

????????????3 分 ??????????????? 4 分 ??????????????? 5 分

∴ | AF1 |?

(3 ? 2) 2 ? (?2 6) 2 ? 7 ,

又∵点 A 在双曲线上, 由双曲线定义得, 2a ?| 7 ? 5 |? 2 ,∴ a ? 1 , ∴双曲线的方程为: x ?
2

????????????? 6 分

y2 ? 1. 3

?????????????? 7 分 ?????????????? 8 分

(2)

s 为定值.下面给出说明. t

设圆 M 的方程为: ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 ,双曲线的渐近线方程为: y ? ? 3x , ∵圆 M 与渐近线 y ? ? 3x 相切,∴圆 M 的半径为 r2 ? 故圆 M : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ,

2 3 1 ? ( 3 )2

? 3 , ???9 分

???????? 10 分

设 l1 的方程为 y ? 3 ? k ( x ?1) ,即 kx ? y ? 3 ? k ? 0 , 设 l2 的方程为 y ? 3 ? ?

1 ( x ? 1) ,即 x ? ky ? 3k ?1 ? 0 , k

∴点 M 到直线 l1 的距离为 d1 ?

| 3k ? 3 | 1? k 2

,点 N 到直线 l2 的距离为 d 2 ?

| 3k ? 1| 1? k 2

??????????? 11 分

? 3k ? 3 ? 6 3k ? 6k 2 ∴直线 l1 被圆 M 截得的弦长 s ? 2 3 ? ? , ????12 分 ?2 ? 1? k 2 ? ? 1? k 2 ? ? ? 3k ? 1 ? 2 3k ? 2k 2 直线 l2 被圆 N 截得的弦长 t ? 2 1 ? ? ,?????13 分 ? ?2 ? 1? k 2 ? 1? k 2 ? ?

2

2

s 6 3k ? 6k 2 6( 3k ? k 2 ) s ? ? ? 3 ,故 为定值 3 . ??? 14 分 2 2 t t 2 3k ? 2k 2( 3k ? k )

21.【解】(1)因为 ln(e 即 a(e
?x

?x

? a) ? ? ln(ex ? a) 恒成立,则 (e? x ? a)(e x ? a) ? 1,

? ex ? a) ? 0 ,故 a ? 0 . ???????????????????2 分

∴ f ( x) ? x, g ( x) ? ? x ? sin x ,

g ?( x) ? ? ? cos x ? 0 在 x ?[?1,1] 恒成立,所以 ? ? ?1 ??????????4 分
(2) ? [ g ( x)]max ? g (?1) ? ?? ? sin1 ,只需 ?? ? sin1 ? t ? ?t ? 1 ,
2

∴ (t ? 1)? ? t ? sin1 ? 1 ? 0(? ? ?1) 恒成立???????????????6 分
2

令 h(? ) ? (t ? 1)? ? t 2 ? sin1 ? 1(? ? ?1) ,则 ? 由于 t ? t ? sin1 ? 0 恒成立,所以 t ? ?1
2

?t ? 1 ? 0
2 ??t ? 1 ? t ? sin1 ? 1 ? 0

???7 分

???????????????9 分

ln x ? x 2 ? 2ex ? m x ln x 1 ? ln x 令 f1 ( x) ? , f2 ( x) ? x2 ? 2ex ? m ,则 f1? ( x) ? ???????10 分 x x2
(3)由(1)知 f ( x) ? x ,所以方程为 当 x ? (0, e] 时, f1? ( x) ? 0 , f1 ( x) 为增函数, 当 x ? [e, ??) 时, f1? ( x) ? 0 , f1 ( x) 为减函数.

1 ,而 f2 ( x) ? ( x ? e)2 ? m ? e2 ?????12 分 e 1 1 2 2 所以,当 m ? e ? ,即 m ? e ? 时,方程无解; e e 1 2 当 m ? e ? 时,方程一解; e 1 2 当 m ? e ? 时,方程两解. ????????????????????14 分 e
当 x ? e 时, [ f1 ( x)]max ? f1 (e) ?


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