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2012全品高考复习方案教师手册(理)第12单元-推理与证明-人教A版


人教A版

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第十二单元 推理与证明
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br />第68讲 第69讲 第70讲

合情推理与演绎推理 直接证明与间接证明 数学归纳法

第十二单元

推理与证明

第十二单元 │ 知识框架 知识框架

第十二单元 │ 考纲要求

考纲要求
1.合情推理与演绎推理 (1)了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单 的推理,了解合情推理在数学发现中的作用. (2)了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式, 并能运用它们进行一些简单推理. (3)了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

第十二单元 │ 考纲要求

2.直接证明与间接证明 (1)了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法; 了解分析法和综合法的思考过程、特点. (2)了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证 法的思考过程、特点. 3.数学归纳法 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单 的数学命题.

第十二单元 │ 命题趋势

命题趋势
本单元既有新课标高考独有的内容,也有大纲版中的传 统内容,新增内容已成为近几年新课标高考的必考内容,高 考对本单元的考查有如下特点: 1.对推理与证明的考查,高考试题中已经出现过专门考查 归纳推理和类比推理的试题,也出现过专门指明用反证法证 明的试题,随着新课标高考的深入发展,推理与证明的考查 会更加科学合理,特别在合情推理方面一定会有新的试题出 现在高考试卷中.

第十二单元 │ 命题趋势

2.新课标高考对于数学归纳法的考查不多,试题从 来没有以选择题、填空题的形式单独考查过,对数学归纳 法的考查有时渗透在解答题特别是数列解答题中,一般比 较隐蔽,难度也较大. 预计2012高考将会以合情推理这部分内容为切入点,加强 对学生逆向思维能力和创新能力的考查,试题可能会以新 定义或信息迁移题的形式出现.

第十二单元 │ 使用建议
1.编写意图 本单元是考查学生推理创新能力的重要载体,难易度 不易把握. 以教材为根本, 以考试大纲为准绳, 在编写 过程中突出了以下两个特点: (1)把握基本题型.对各种基本题型进行了详细简述, 目的是帮助学生构建知识体系,能针对不同的推理与 证明题型灵活选择相应的方法. (2)体现新课标理念.编写过程中尽量体现以学生为主 体,在试题的选择上,以便于学生自主学习,自主探 究为出发点,培养学生的创新能力.比如合情推理这 一知识点,为创新性试题的命制提供了较好的空间, 对于这部分试题的选取都体现了新颖性

第十二单元 │ 使用建议
2.教学指导 尽管本单元内容突出了对学生推理与创新能力的考查, 但教学中仍然要以掌握基础知识、基本方法为出发点, 切不可盲目加大难度. 本单元是培养学生良好思维习惯, 学习和运用数学思想方法, 形成数学能力的重要一环. 要 站在数学思想方法的高度,对多年来所学习的数学知识 和数学方法做较为系统的梳理和提升.务必使学生对数 学发现与数学证明方法有一个较为全面的认识.要重视 对合情推理的训练,加强合情推理与演绎推理的综合运 用. 3.课时安排 本单元包含 3 讲和 1 个单元能力训练卷, 建议每讲 1 课 时,单元能力训练卷 1 课时,本单元共需 4 课时.

第68讲 │ 合情推理与演绎推理

第68讲 合情推理与演绎推理

第68讲 │ 知识梳理

知识梳理
1.推理的概念 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维 方式叫推理.从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分 前提 是已知的事实(或假设)叫做________,一部分是由已知推出 结论 的判断,叫_______.

第68讲 │ 知识梳理
2.合情推理 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进 行归纳、类比,然后提出的推理叫合情推理.合情推理可分 归纳推理 类比推理 为__________和__________两类. 部分对象 (1)归纳推理:由某类事物的__________具有某些特征,

全部对象 推出该类事物的__________具有这些特征的推理,或者由个 别事实概括出一般结论的推理,叫归纳推理.简言之,归纳 个别 一般 部分 整体 推理是由______到______、由______到______的推理.
(2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类 对象具有的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征 特殊 的推理,叫类比推理.简言之,类比推理是由______到 特殊 ______的推理.

第68讲 │ 知识梳理

3.演绎推理 (1)定义:从一般性的真命题(原理或逻辑规则)出发,推 出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理,简言之,演绎 一般 特殊 推理是由______到______的推理. (2)三段论:三段论是演绎推理的一般模式,它包括: 大前提 ①________——已知的一般原理; 小前提 ②________——所研究的特殊情况; 结论 ③________——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.

第68讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 归纳整理
例 1 [2009· 浙江卷] 观察下列等式: C1+C5=23-2, 5 5 C1+C5+C9=27+23, 9 9 9 5 9 C1 +C13+C13+C13=211-25, 13 13 5 9 C1 +C17+C17+C13+C17=215+27, 17 17 17 … 由以上等式推测到一个一般的结论: 9 对 于 n∈N* , C 1 +1 + C 5 +1 + C 4n+1 + … + C 4n+1 = 4n 4n 4n+1 ________.

第68讲 │ 要点探究

例 1 [思路] 右边由两项构成,第二项前有(-1)n,再 对上标数字变化情况进行归纳分析,发现规律,得出结论. - - 24n 1+(-1)n22n 1 [解析] 给出的一系列等式中,右边 为两项 2s,形式是加减轮换的规律,其中第一个 2s 的指数由 3,7,11,…,4n-1 构成,第二个 2s 的指数由 1,3,5,7,…, 2n-1 构成.由此可归纳为第二项前有(-1)n,两项指数分 别为 24n-1,22n-1,所以对于 n∈N*,C1 +1+C5 +1+C9 +1+… 4n 4n 4n +C4n+1=24n-1+(-1)n22n-1. 4n+1

第68讲 │ 要点探究

[2010· 福建卷] 观察下列等式: ①cos2α=2cos2α-1; ②cos4α=8cos4α-8cos2α+1; ③cos6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1; ④cos8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1; ⑤cos10α=mcos10α-1280cos8α+1120cos6α+ncos4α +pcos2α-1. 可以推测,m-n+p=________.

第68讲 │ 要点探究
[思路] 观察cosα的最高次的系数2,8,32,128,可得出m =128×4=512;进一步分析各项系数的特点与关系或利 用赋值法列方程组,通过解方程组确定n,p的值. 962 [解析] 方法一:观察等式可知,cosα的最高次 的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列,所以m= 128×4=512.(1) 进一步观察,可得每一个式子右边所有系数之和为1, 即有m-1280+1120+n+p-1=1,整理,得m+n+p= 162.(2) 再仔细观察可以发现,每一个式子右边cos2α的系数分 别为2=1×2,-8=-2×4,18=3×6,-32=-4×8,则 p=5×10=50.(3)

第68讲 │ 要点探究
由上述(1)(2)(3)可得 n=-400,故 m-n+p=962. 方法二:观察等式可知,cosα 的最高次的系数 2,8,32,128 构成了公比为 4 的等比数列,所以 m=128× 4=512. 取 α=0,则 cosα=1,cos10α=1,代入等式⑤,得 1=m -1280+1120+n+p-1, 即 n+p=-350.(1) π 1 1 取 α= ,则 cosα= ,cos10α=- ,代入等式⑤,得 3 2 2 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? 1 10 8 6 4 ? ? ? ? - =m?2? -1280× 2? +1120× 2? +n× 2? +p× 2?2-1, 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 n+4p=-200.(2) 联立(1)(2),得 n=-400,p=50,所以 m-n+p=962.

第68讲 │ 要点探究

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探究点2
例 2

类比推理
[2010· 南 模 拟 ] 先 阅 读 下 面 的 文 字 : “ 求 济

1+ 1+ 1+… 的 值 时 , 采 用 了 如 下 方 法 : 令 1+ 1+ 1+…=x,则有 x= 1+x,两边同时平方,得 1+ 5 2 1+x=x ,解得 x= (负值已舍去).”可用类比的方法, 2 1 求得 1+ 的值等于__________. 1 2+ 1 1+ 2+…

第68讲 │ 要点探究

[思路] 令所求值为 x,根据代数式的结构特点,列出关 于 x 的方程,通过解方程求出 x 的值. 1+ 3 1 1 [解析] 由 x=1+ =1+ ,得 2x2 2 1 1 2+ 2+x 1 1+ 2+? 1+ 3 1± 3 -2x-1=0,于是 x= (负值应舍去),故填 . 2 2

第68讲 │ 要点探究

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探究点3

演绎推理

例3 已知梯形ABCD中,AB=DC=AD,AC和BD 是它的对角线.用三段论证明:CA平分∠BCD,BD平分 ∠CBA.

第68讲 │ 要点探究
例3 [思路] 分清所证问题的大前 提,正确利用平面几何的有关性质, 严格按三段论加以论证. [解答] (1)两平行线与第三条直线 相交,内错角相等(大前提), ∠BCA与∠CAD是平行线AD,BC被AC所截内错角(小 前提),所以∠BCA=∠CAD(结论). (2)等腰三角形两底角相等(大前提), △CAD是等腰三角形,DA=DC(小前提), 所以∠DCA=∠CAD(结论). (3)等于同一个量的两个量相等(大前提), ∠BCA与∠DCA都等于∠CAD(小前提), 所以∠BCA=∠DCA,所以CA平分∠BCD(结论). (4)同理BD平分∠CBA.

第68讲 │ 规律总结

规律总结
1.归纳推理 归纳推理的难点是由部分结果得到一般结论,破解的 方法是充分考虑这部分结果提供的信息,从中发现一般规 律,解题的一般步骤是: (1)对有限的资料进行观察、分析、归纳整理; (2)提出带有规律性的结论,即猜想; (3)检验猜想.

第68讲 │ 规律总结
2.类比推理 (1)类比推理的难点是发现两类对象的相似特征,由 其中一类对象的特征得出另一类对象的特征,破解的方法 是利用已经掌握的数学知识,分析两类对象之间的关系, 通过两类对象的已知的相似特征得出所需要的相似特征, 其一般的步骤是: (1)找出两类对象之间可以确切表达的相似性(或一致性); (2)用一类对象的性质去推断另一类对象的性质,从而得 到一个猜想; (3)验证猜想.

第68讲 │ 规律总结

3.合情推理与演绎推理的区别 (1)归纳推理是由特殊到一般的推理; (2)类比推理是由特殊到特殊的推理; (3)演绎推理是由一般到特殊的推理. 从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有 待证明;演绎推理得到的结论一定正确.演绎推理是证明 数学结论、建立数学体系的重要思维过程,是证明数学问 题的基本推理形式.

第69讲 │ 直接证明与间接证明

第69讲 直接证明与间接证明

第69讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.直接证明 直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法 叫直接证明.直接证明有两种基本方法——分析法和综合法. (1)综合法:是由原因推导到结果的证明方法,它是利用 已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的 推理论证 成立 __________,最后推导出所要证明的结论________的证明方法. 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示 所要证明的结论,则综合法可用框图表示为

第69讲 │ 知识梳理
要证明的结论 (2)分析法:是从______________出发,逐步寻求推证过 充分条件 程中,使每一步结论成立的__________,直到最后把要证明 的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、公 理、定理等)为止的证明方法. 用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为

(3)综合法与分析法的辩证关系:在解决问题时,常常用 分析法寻找解题思想方法,而用综合法展现解决问题的过程, 即综合分析法.

第69讲 │ 知识梳理
2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证 法是一种常用的间接证明方法. 不成立 (1)反证法的定义:一般地,假设原命题的结论________, 矛盾 经过正确的推理,最后得出______,由此说明假设错误, 从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法. (2)用反证法证明的一般步骤:①反设——假设命题的结论 不成立;②归谬——根据假设进行推理,直到推理中导出 矛盾为止;③结论——断言假设不成立,从而肯定原命题 的结论成立.

第69讲 │ 知识梳理

说明:反证法的证明过程可以概括为“否定——推理 ——否定”,即从否定结论开始,经过正确的推理,导致 逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用 反证法证明命题“若p则q”的过程可以用下图所示的框图 表示.

第69讲 │ 要点探究

要点探究
? 探究点1 输入、输出和赋值语句

例 1 [2010· 江苏卷] 设 a、b 是非负实数,求证:a3+ b3≥ ab(a2+b2).

第69讲 │ 要点探究
例1 [思路] 运用作差法或直接运用基本不等式证明.

[解答] 方法一(直接作差): 由 a、b 是非负实数,作差得 a3+b3- ab(a2+b2)=a2 a( a- b)+b2 b( b- a) ? a?5-? b?5??. =( a- b) (1)当 a≥b 时, a≥ b,从而( a)5≥( b)5, ? 5 5? ?? a? -? b? ? 得( a- b)? ?≥0; (2)当 a<b 时, a< b,从而( a)5<( b)5,
5 5 得( a- b)??? a? -? b? ??≥0;
? ? ? ? ? ?

综合(1)(2)可知 a3+b3≥ ab(a2+b2).

第69讲 │ 要点探究
方法二(平方后作差): ? 2 2 ? 3 3 2 ? ab?a +b ??2 (a +b ) -? ? =a6+b6+2a3b3-(a5b+ab5+2a3b3) =a6-a5b+b6-ab5 =a5(a-b)-b5(a-b) =(a-b)(a5-b5). 因为 a、b 是非负实数, (1)当 a≥b 时,a-b≥0,a5-b5≥0, (a-b)(a5-b5)≥0; (2)当 a<b 时,a-b<0,a5-b5<0, (a-b)(a5-b5)≥0; 综合(1)(2)可知,a3+b3≥ ab(a2+b2).

第69讲 │ 要点探究

方法三(基本不等式法): ∵a≥0,b≥0,∴a+b≥2 ab,a2-ab+b2≥0, ∴a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)≥2 ab(a2-ab+b2) ? 2 2 2? = ab(2a2-2ab+2b2)= ab???a +b ?+?a-b? ??≥ ab(a2 +b2),即 a3+b3≥ ab(a2+b2).

第69讲 │ 要点探究

[点评]综合法的实质是揭示出条件与结论之间的因 果关系,为此要着力分析已知和求证之间的差异和联系、 不等式左右两端的差异和联系,并合理应用已知条件进 行有效的变换,这是用综合法证题的关键.综合法是一 种由因索果的证明方法,其逻辑依据是三段论式的演绎 推理方法.

第70讲 │ 要点探究

在△ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、 1 1 3 b、c,若 + = ,问 A、B、C 是否成等差数 a+b b+c a+b+c 列,若不成等差数列,请说明理由;若成等差数列,请给出 证明.

[思路] 由已知等式找出三角形三边 a、b、c 的关系,再 由余弦定理得出 A、B、C 之间的关系,用综合法给出证明. [解答] A、B、C 成等差数列,下面用综合法给出证明:

第70讲 │ 要点探究
1 1 3 ∵ + = , a+b b+c a+b+c a+b+c a+b+c ∴ + =3, a+b b+c c a ∴ + =1, a+b b+c ∴c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), ∴b2=a2+c2-ac. 在△ABC 中,由余弦定理,得 a2+c2-b2 ac 1 cosB= = = , 2ac 2ac 2 ∵0° <B<180° ,∴B=60° . ∴A+C=2B=120° , ∴A、B、C 成等差数列.

第69讲 │ 要点探究
? 探究点2 分析法

?a-b?2 a+b ?a-b?2 例 2 已知 a>b>0,求证: < - ab< . 8a 2 8b
例 2 [思路] 本题结论较复杂,可先用分析法简化结 论,再用分析法证明. ?a-b?2 a+b ?a-b?2 ?a-b?2 [解答] 欲证 < - ab< ,只需证 8a 2 8b 8a ? a- b? ?a-b?2 ?2 <? < . ? 8b 2 ? ? ? a-b a- b a-b a+ b ∵a>b>0,∴只需证 < < ,即 2 2a 2 2 2b 2 a a+ b <1< . 2 b

第69讲 │ 要点探究
a+ b 欲证 <1, 2 a 只需证 a+ b<2 a,即 b< a.该式显然成立. a+ b 欲证 1< , 2 b 只需证 2 b< a+ b,即 b< a.该式显然成立. a+ b a+ b ∴ <1< 成立,且以上各步均可逆. 2 a 2 b ?a-b?2 a+b ?a-b?2 ∴ < - ab< 成立. 8a 2 8b

第69讲 │ 要点探究

[点评]当要证明的不等式较复杂,两端的差异难以 消除或者已知条件信息太小不知如何下手时,适时运用 分析法会使问题容易获得解决.在用分析法证题时,要 正确使用连接有关步骤的关键词,如“为了证明”、 “只需证明”等.分析法是步步寻求结论成立的充分条 件,有时与综合法混合使用,也叫分析综合法.

第70讲 │ 要点探究
若 a>b>c>d>0 且 a+d=b+c,求证: d+ a < b+ c.

[思路] 用直接法不易入手,采用分析法求证. [解答] 要证 d+ a< b+ c,只需证( d+ a)2<( b + c)2,即 a+d+2 ad<b+c+2 bc,因 a+d=b+c,只 需证 ad< bc,即 ad<bc, 设 a+d=b+c=t, 则 a+d+b+c=2t,∴c+d<t, 所以 ad-bc=(t-d)d-(t-c)c=(c-d)(c+d-t)<0, ∴ad<bc 成立,从而 d+ a< b+ c成立.

第69讲 │ 要点探究
? 探究点3 反证法

例3 设数列{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前 n项和,证明:数列{Sn}不是等比数列.
例 3 [思路] “正难则反”,选择反证法,利用 q≠0 寻找矛盾. [解答] 设{Sn}是等比数列,则 S2=S1S3,即 a2(1+q)2= 2 1 a1·1(1+q+q2). a ∵a1≠0,∴(1+q)2=1+q+q2,即 q=0, 这与 q≠0 矛盾. 故{Sn}不是等比数列.

[点评]否定性命题从正面突破往往比较困难,故用 反证法比较好.

第70讲 │ 要点探究
x-2 已知 f(x)=a + (a>1),证明:方程 f(x)=0 x+1
x

没有负数根.

[思路] “正难则反”,选择反证法,因涉及方程的根, 可从范围方面寻找矛盾. [解答] 假设 x0 是 f(x)=0 的负数根,则 x0<0 且 x0≠- x0-2 1 且 ax0=- , x0+1 x0-2 ∴0<ax0<1?0<- <1, x0+1 1 解得 <x0<2,这与 x0<0 矛盾, 2 故方程 f(x)=0 没有负数根.

第69讲 │ 要点探究

?

探究点4

综合运用

ax2ex 例 4 求证:当 a≥1 时,不等式 ex-x-1≤ 对于 x 2 ∈[0,+∞)恒成立.
[思路] 利用分析法寻找解题思路,用综合法加以证明: 构造函数,判定函数在 x∈[0,+∞)上的单调性.

第69讲 │ 要点探究
ax2ex [解答] 要证 ex-x-1≤ 成立, 2 ax2ex x 只需证 e ≤ +x+1, 2 a 2 x+1 即只需证明: x + x ≥1.① 2 e 1·x-?x+1?ex e a 2 x+1 令 f(x)= x + x ,求导得 f′(x)=ax+ 2 e ?ex?2 -x 1 =ax+ x =xa- x. e e ∵a≥1,x∈[0,+∞),∴f′(x)≥0,∴f(x)是增函数. 故 f(x)≥f(0)=1,从而①式得证. ax2ex ∴当 a≥1 时, 不等式 ex-x-1≤ 对于 x∈[0, +∞) 2 恒成立.

第69讲 │ 要点探究

[点评]有些数学证明题,单独运用一种证明方法很 难或无法完成,此时要善于将多种证明方法混合使用, 常常用分析法寻找解题思路,用综合法加以证明.本题 通过对原不等式进行等价变形,找到了便于证明的不等 式, 然后构造函数证明不等式, 综合运用了分析法、 综合法和构造法.

第69讲 │ 规律总结 规律总结
1.综合法证题的一般规律 用综合法证明命题时,必须首先找到正确的出发点, 也就是能想到从哪里起步,我们一般的处理方法是广泛地 联想已知条件所具备的各种性质,逐层推进,从而由已知 逐渐引出结论. 2.分析法证题的一般规律 分析法的思路是逆向思维,用分析法证题必须从结论 出发,倒着分析,寻找结论成立的充分条件.应用分析法 证明问题时要严格按分析法的语言表达,下一步是上一步 的充分条件.

第69讲 │ 规律总结

3.反证法证题的一般规律 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证 法的主要依据是逻辑中的排中律,排中律的一般形式是: 或者是A,或者是非A,即在同一讨论过程中,A和非A有 且仅有一个是正确的,不能有第三种情况出现.

第70讲 │ 数学归纳法

第70讲 数学归纳法

第70讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.数学归纳法的概念 设命题p(n)是与正整数n有关的命题,如果满足: (1)?n0∈N*,命题p(n0)成立; (2)当假设命题p(k)(k∈N*k≥n0)成立时,可以推出命题p(k +1)也成立. 那么,可以断定命题p(n)对一切正整数n≥n0成立. 2.数学归纳法的适用对象 正整数n 数学归纳法是用来证明关于与________有关命题的一种 最小正 方法,若n0是起始值,则n0是使命题成立的________整数.

第70讲 │ 知识梳理

3.数学归纳法证明的步骤 n=n0 (1)归纳奠基:证明当n取第一个值__________时,命题 成立; n=k(k≥n0,k∈N*) (2)归纳递推:假设___________________时,命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立. (n≥n0,且n∈N*) (3)归纳总结:根据(1)(2)可知,当________________时, 命题成立.

第70讲 │ 要点探究

要点探究
? 探究点1 利用数学归纳法证明等式

1 1 1 例 1 设 f(n)=1+ + +?+n(n∈N*), 2 3 求证:f(1)+f(2)+?+f(n-1)=n· [f(n)-1](n≥2,n∈N*).

第69讲 │ 要点探究

例1

[思路] ①归纳奠基:验证当 n=2 时结论成立;

②归纳递推:假设当 n=k(n≥2,n∈N*)时成立,推出当 n =k+1 时结论也成立;③归纳总结:根据(1)(2)可知对任意 的 n≥2,n∈N*等式成立. 1 [解答] (1)当 n=2 时,左边=f(1)=1,右边=2[1+ - 2 1]=1,左边=右边,等式成立.

第69讲 │ 要点探究
(2)假设 n=k 时,结论成立,即 f(1)+f(2)+?+f(k-1)=k[f(k)-1], 那么,当 n=k+1 时, f(1)+f(2)+?+f(k-1)+f(k)=k[f(k)-1]+f(k) =(k+1)f(k)-k 1 =(k+1)[f(k+1)- ]-k k+1 =(k+1)f(k+1)-(k+1) =(k+1)[f(k+1)-1], ∴当 n=k+1 时结论仍然成立. 根 据 (1)(2) 得 , f(1) + f(2) + ? + f(n - 1) = n[f(n) - 1](n≥2,n∈N*).

第69讲 │ 要点探究

[点评]用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式 时,关键在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等 式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关, 由n=k到n=k+1时等式的两边变化的项,然后正确写 出归纳证明的步骤,使问题得以证明.数学归纳法的证 明过程中,要把握好两个关键之处:一是f(n)与n的关系; 二是f(k)与f(k+1)的关系.

第70讲 │ 要点探究

1 3an 在数列{an}中,a1= ,an+1= ,求数列{an}的 2 an+3 通项公式.
[思路] 本题有多种求法, “归纳——猜想——证明”是 其中之一.

第70讲 │ 要点探究
1 3 3 3 3 3 [解答] 由 a1= = ,a2= ,a3= ,a4= ,猜想 an= . 2 6 7 8 9 n+5 3 1 下面用数学归纳法证明:(1)当 n=1 时,a1= = ,猜 1+5 2 想成立; (2)假设当 n=k 时猜想成立, 3 3· k+5 3ak 3 则 ak+1= = = , 3 ak+3 ?k+1?+5 +3 k+5 即当 n=k+1 时猜想也成立. 3 * 综合(1)(2),对 n∈N 猜想都成立,∴an= . n+5

第69讲 │ 要点探究
? 探究点2 用数学归纳法证明不等式

例 2 用数学归纳法证明: ? 1 ? 1 ? ? 1 ?? 1 ? ? ? ? ?1+ ??1+ ??1+ ???1+ 1?? 3?? 5? ? 2n-1?> 2n+1(n≥2,n∈N). ? ?
例2 [解答] (1) 当 n=2
? 1 ?? 1 ? 8 时, 左式=?1+1??1+3?= = ? ?? ? 3

64 , 9

右式= 5. 64 64 ∵ >5,∴ > 5, 9 9 即 n=2 时,原不等式成立.

第69讲 │ 要点探究
(2)假设
? 1? n=k(k≥2,k∈N)时,不等式成立,即 ?1+1? ? ?

? 1 ? 1 ?? 1 ? ? ? ? ?1+ ??1+ ???1+ 3?? 5? ? 2k-1?> ? ?

2k+1,

则 n=k+1

? 1 ?? 1 ?? 1 ? 时,左边=?1+1??1+3??1+5?? ? ?? ?? ?

? 1 ?? 1 ? ? ?? ? 1+ 1+ ? 2k-1?? 2k+1? ? ?? ?

>

? 1 ? ? 2k+1?1+2k+1?= ? ? ?

2k+2 , 2k+1

右边= 2k+3,要证左边>右边,

第69讲 │ 要点探究

2k+2 只要证 > 2k+3, 2k+1 即证 2k+2> ?2k+3??2k+1?, 只要证 4k2+8k+4>4k2+8k+3, 只要证 4>3. 而上式显然成立,所以原不等式成立,即 n=k+1 时, 左式>右式. 由(1),(2)可知,原不等式对 n≥2,n∈N 均成立.

第69讲 │ 要点探究

[点评] 用数学归纳法证明不等式时,应分析 f(k)与 f(k +1)的两个不等式, 找出证明的关键点(一般要利用不等式的 传递性),然后再综合运用不等式证明的方法.本题关键是 2k+2 证明不等式 > 2k+3.除了分析法,还可以用比较法 2k+1 和放缩法来解决.

第70讲 │ 要点探究

1 [2010· 昆明模拟] 已知数列{an}满足 a1=- ,a2 + n 2 (an+1+2)an+2an+1+1=0,求证:-1<an<0.
[解答] 已知条件可化为(an+1+an)(an+2)+1=0,即 an+1 1 =-an- . an+2 ①当 n=1 时已成立; ②假设当 n=k 时结论成立,即-1<ak<0,

第70讲 │ 要点探究

1 那么当 n=k+1 时,ak+1=-(ak+2)- +2. ak+2 1 ∵1<ak+2<2,又 y=t+ t 在 t∈(1,2)内为增函数, ? 5? 1 ∴ak+2+ ∈?2,2?, ak+2 ? ? ? 1 ? ∴ak+1∈?-2,0?,则-1<ak+1<0, ? ? ∴当 n=k+1 时结论成立. 由①②知,对一切 n∈N*均有-1<an<0.

第69讲 │ 要点探究
探究点3 用数学归纳法证明与正整数有关的综合性问题 例 3 如图 70-1 所示,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、?、Pn(xn, yn)(0<y1<y2<?<yn)是曲线 C:y2=3x(y≥0)上的 n 个点,点 Ai(ai,0)(i=1,2,3,?,n)在 x 轴的正半轴上,且△Ai-1AiPi 是 正三角形(A0 是坐标原点). (1)写出 a1、a2、a3; (2)求出点 An(an,0)(n∈N*)的横坐标 an 关于 n 的表达式. ?

第69讲 │ 要点探究
例3 [解答] (1)设 P1(x1,y1),A1(a1,0), a1 则 x1= ,即 a1=2x1. 2 由 y2=3x,得 y1= 3x1. 由|A0P1|=|OA1|得, a2 3 1 2 x2+y2=a1,即 + a1=a1. 1 1 4 2 又 a1>0,∴a1=2. 同理可得 a2=6,a3=12. an-1+an an-an-1 (2)依题意,得 xn= ,yn= 3· , 2 2 ? an-an-1?2 3 ? ? 2 又 yn=3xn 得? 3· ? =2(an-1+an), 2 ? ? 即(an-an-1)2=2(an-1+an). 由(1)可猜想:an=n(n+1)(n∈N*).

第69讲 │ 要点探究
下面用数学归纳法予以证明: ①当 n=1 时,命题显然成立; ②假设当 n=k 时命题成立,即有 ak=k(k+1), 则当 n=k+1 时, 由归纳假设及(ak+1-ak)2=2(ak+ak+1)得 [ak+1-k(k+1)]2=2[k(k+1)+ak+1], 2 即 ak+1-2(k2+k+1)ak+1+[k(k-1)]· [(k+1)(k+2)]=0, 解得 ak+1=(k+1)(k+2) 或 ak+1=k(k-1)<ak(此式不合题意,舍去), 即当 n=k+1 时,命题成立. 由①②知,原命题成立.

第70讲 │ 要点探究

[2010· 湖南卷] 数列{an}(n∈N*)中,a1 =0,an + 1 1 3 1 是函数 fn(x)= x - (3an+n2)x2+3n2anx 的极小值点,求通 3 2 项 an.
[思路] 先求导,再分类讨论求出 an+1 的关系式,最后运用 “归纳——猜想——证明”的思想求通项 an.

第70讲 │ 要点探究
[解答] 易知 f′n(x)=x2-(3an+n2)x+3n2an =(x-3an)(x-n2). 令 f′n(x)=0,得 x1=3an,x2=n2. (1)若 3an<n2, 当 x<3an 时,fn(x)>0,fn(x)单调递增; 当 3an<x<n2 时,fn(x)<0,fn(x)单调递减; 当 x>n2 时,fn(x)>0,fn(x)单调递增; 故 fn(x)在 x=n2 时,取得极小值. (2)若 3an>n2,仿(1)可得,fn(x)在 x=3an 取得极小值.

第70讲 │ 要点探究

(3)若 3an=n2,fn(x)≥0,fn(x)无极值. 因为 a1=0,则 3a1<12,由(1)知,a2=11=1; 因为 3a2=3<22,由(1)知,a3=22=4; 因为 3a3=12>32,由(2)知,a4=3a3=3×4; 因为 3a4=36>32,由(2)知,a5=3a4=32×4. 由此猜想:当 n≥3 时,an=4×3n 3, 下面先用数学归纳法证明:当 n≥3 时,3an>n2. 事实上,当 n=3 时,由前面的讨论知结论成立.


第70讲 │ 要点探究

假设当 n=k(k≥3)时, k>k2 成立, 3a 则由(2)知 ak+1=3ak>k2, 从而 3ak+1-(k+1)2>3k2-(k+1)2=2k(k-2)+2k-1>0, 所以 3ak
+1

>(k+1)2. 故当 n≥3 时,an=4×3n 3,于是由(2)知,当 n≥3 时,an


+1

=3an,而 a3=4,因此 an=4×3n 3. ?0?n=1?, ? 综上所述,an=?1?n=2?, ?4×3n-3?n≥3?. ?



第70讲 │ 规律总结

规律总结
用数学归纳法证明数学命题时,首先要明确首取值n0并 验证真假(必不可少),然后“假设n=k时命题正确”并写出命 题形式,再分析“n=k+1时”命题是什么,并找出与“n=k” 时命题形式的差别,找准变形目标.掌握变形的常用方法: 因式分解、添拆项、配方、放缩等.用数学归纳法证题可 明确为“两个步骤、一个结论”,即递推基础不可少,归纳 假设要用到,结论写明莫忘掉.

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