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福建省厦门市翔安第一中学2011~2012学年高一第一学期期中考试卷数学


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福建省厦门市翔安第一中学 2011~2012 学年高一第一学 期期中考试卷数学
本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.下列集合中表示同一集合的是 (

) A. M ? ? ? 3, 2 ?? , N ? ? ? 2 , 3 ?? C. M ? ? ? x , y ? | x ? y ? 1? , N ? ? y | x ? y ? 1? 2.下列函数中,在区间 ( 0 , ?? ) 上是增函数的是 ( A. y ? x 3.函数 y ? A. ( 0 , 3 ) B. y ? 3 ? x
3 ? x 的定义域为(

B. M ? ? 4, 5? , N ? ? 5, 4 ? D. M ? ?1, 2 ? , N ? ? ? 1, 2 ?? ) D. y ? ? x ? 4
2

C. y ? ) C. ( ?? , 3 ]
2

1 x

B. [ 0 , 3 ]
x

D. ( ?? , 3 )
? N

4.若集合 M ? { y | y ? 2 } , N ? { y | y ? x } ,则 M A. [0, ? ? )
2

等于( D. {0} )

)

B. (0, ? ? )

C. ?

5. 函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? 2 ( x ? [ ? 1, 0 ] )的最小值是 ( A.1 6.已知 f ( x ) ? ? A.-7 D.4 7. 函数 f ( x ) ? x ? A.y 轴对称 8. 设 a ? ( )
2 1
0 .3

B.2
? 2 x ? 1 ( x ? 2) ?? x ? 3 x ( x ? 2)
2

C.5

D.0 ) C.3

,则 f ( ? 1) ? f ( 4 ) 的值为( B.-8

1

的图象关于 (

) D.原点对称 )

x B. y ? x 对称 ,b ? 2
1 .5

C. x 轴对称

,c ? 3

1 .5

,则三个数的大小关系为( C. b ? c ? a

A. a ? b ? c

B. c ? b ? a

D. b ? a ? c

9.如果奇函数 f ? x ? 在区间[3,7]上是增函数且最小值为 5,那么 f ? x ? 在区间

? ? 7 , ? 3 ? 上是

(

) B. 增函

A.增函数且最小值为 ? 5
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D. 减函

数且最大值为 ? 5 C.减函数且最小值为 ? 5 数且最大值为 ? 5

10.已知全集 U ? ? x | 0 ? x ? 9 ? , A ? ? x | 1 ? x ? a ? ,若非空集合 A 取值范围是( ) B. ? a | a ? 9 ?
2

U ,则实数 a 的

A. ? a | a ? 9 ?

C. ? a | 1 ? a ? 9 ?

D. ? a | 1 ? a ? 9 ?

11.函数 f ( x ) ? x ? 2 (1 ? a ) x ? 2 在区间 ? ? ? , 4 ? 上是减函数,则实数 a 的取值范围 ( ) A. ? ? ? , ? 3 ? B. ( 5 , ?? ) C. [ 5 , ?? ) D. { 5}

12 . 若 f ( x ) 满 足 f ( ? x ) ? ? f ( x ) , 且 在 ? ? ? , 0 ? 上 是 增 函 数 , 又 f ( ? 2 ) ? 0 , 则
xf ( x ) ? 0 的解集是( )

A. ( ? 2 , 0 ) ? (0 , 2 )

B. ? ? ? , ? 2 ? ? ? 0 , 2 ? C. ? ? ? , ? 2 ? ? ? 2 , ?? ? D. ? ? 2 , 0 ? ? ? 2 , ?? ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.设集合 A ? { ? 1,1, 3} , B ? { a ? 2, a ? 4} , A ? B ? ? 3? ,则实数 a =_______.
2

??3 ( x ? 0) 14.已知函数 f ( x ) ? ? ,则方程 f ( x ) ? ? 3 的解为 2 ?1 ? x ( x ? 0 )
x



15.若 f ( x ) = ( k ? 2 ) x 2 ? ( k ? 1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x ) 的递增区间是 16.四个函数① y ?
1 x ;②y ? 2
?x



; ③ y ? ? x ④ y ? ? 3 x 中,在其定义域内既是奇函
3

数又是减函数的是 (写出所有正确命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.计算求值: (1) 0 . 064
? 1 3

? (?

7 8

3

1

1

) ? 16
0

4

? 0 . 25

2

(2) 若 x 2 ? x

?

1 2

?

5 , 求x ? x

?1

的值

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18. 已知函数

f ( x ) ? x ? 2 x ? 1 的图像,并写出该函数的单调区间与值域。
2

(1)利用绝对值及分段函数知识,将函数 f ( x ) 的解析式写成分段函数; (2)在给出的坐标系中画出 f ( x ) 的图象,并根据图象写出函数 f ( x ) 的单调区间和值 域.

19. 已知集合 A ? { x | ( x ? 1)(5 ? x ) ? 0, x ? R } , B ? { x | x ? 2 x ? m ? 0} .
2

(1)当 m ? 3 时,求 A ? ( C R B ) ; (2)若 A ? B ? { x | ? 1 ? x ? 4} ,求实数 m 的值.

20. 函数 f ( x ) 是 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时,函数的解析式为 f ( x ) ? (1)求 f ( ? 1) 的值; (2)用定义证明 f ( x ) 在 (0, ? ? ) 上是减函数;
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2 x

?1

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(3)求当 x ? 0 时,函数的解析式;

21.某公司试销一种成本单价为 500 元/件的新产品,规定试销时销售单价不低于成本 单价,又不高于 800 元/件,经试销调查,发现销售量 y(件)与销售单价 x (元/件) ,可 近似看做一次函数 y ? kx ? b 的关系(如下图所示). (1)根据图象,求一次函数 y ? kx ? b 的表达式; (2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为 S 元, ①求 S 关于 x 的函数表达式; ②求该公司可获得的最大毛利润,并求出相应的销售单价. y 4 00 3

00 2 00 1 00 o 00
ax ? b x ?1
2

2 00

4 6 7 00 00 00
1 2 5

8

x

22. 函数 f ( x ) ?

是定义在 ( ? ? , ? ? ) 上的奇函数,且 f ( ) ?
2

.

(1)求实数 a , b 的值.(2)用定义证明 f ( x ) 在 ( ? 1,1) 上是增函数; (3)写出 f ( x ) 的单调减区间,并判断 f ( x ) 有无最大值或最小值?如有,写出最 大值或最小值(无需说明理由).

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翔安一中 2011~2012 学年上学期高一数学(上)期中考答案 1~5 BACAB 6~10 CDBBD 11~12 CA 13. 1 14. 1或 ? 2 15. ( ? ? , 0 ) 16. ③④

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)原式=(0.4 ) =0.4
?1

3

?

1 3 4

3 2

1

? 1 ? ( 2 ) 4 ? (0 .5 ) 2 -1 分

?1 ? 8 ?

1 2
? 5 2

-------------------------2 分
?7? 1 2

-----------4 分

=10.
1

----------------6 分
? 1 2
1

(2) ∵ x 2 ? x ∴x? x
?1

?

5

∴(x 2 ? x

?

1 2

) ? 5
2

? 3 --------------12 分

18. (本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x ) ? x ? 2 x ? 1 ? ?
2

? x ? 2 x ? 1, x ? 0
2

? x ? 2 x ? 1, x ? 0
2

------3 分

(2)图象如右图所示 单调增区间为 ( ? 1, 0 ), (1, ? ? )

--------------6 分

单调减区间为 ( ? ? , ? 1), (0,1) --------------9 分 值域为: [ ? 2 , ? ? ) 19. (本小题满分 12 分) 解:由 ( x ? 1)(5 ? x ) ? 0, 得 ? 1 ? x ? 5 ? A ? { x | ? 1 ? x ? 5} ,………………2 分 (1)当 m=3 时, B ? { x | ? 1 ? x ? 3} ,则 C R B ? { x | x ? ? 1或 x ? 3} ……………4 分
? A ? ( C R B ) ? { x | 3 ? x ? 5} ………………6 分

--------------12 分

(2)? A ? { x | ? 1 ? x ? 5} , A ? B ? { x | ? 1 ? x ? 4} ,
? 4 是方程 x ? 2 x ? m ? 0 的一个根………………8 分
2

即 4 ? 2 ? 4 ? m ? 0, 解 得 m ? 8
2

………………11 分

此时 B ? { x | ? 2 ? x ? 4 } ,符合题意,故实数 m 的值为 8.………………12 分
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20. (本小题满分 12 分) 解: (1)因为 f ( x ) 是偶函数,所以 f ( ? 1) ? f (1) ? 2 ? 1 ? 1 --------4 分 (2)设 x ? 0 则 ? x ? 0 ,所以 f ( ? x ) ? 所以 f ( x ) ? f ( ? x ) ?
2 ?x ?1.
2 ?x ? 1 ,又 f ( x ) 为偶函数,

--------------8 分

(3) 设 x 1 , x 2 是 (0, ? ? ) 上的两个任意实数,且 x1 ? x 2 ,
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ( 1 x1 ? 2) ? ( 1 x2 ? 2) ? 1 x1 ? 1 x2 ? x 2 ? x1 x1 x 2

.

因为 0 ? x1 ? x 2 所以 x 2 ? x1 ? 0, x1 x 2 ? 0 , 所以 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 因此 f ( x ) ?
2 x ? 1 是 (0, ? ? ) 上的减函数. ------------12 分.

21.(本小题满分 12 分) 解: (1)由图象知,当 x=600 时,y=400,当 x=700 时,y=300,代入 y ? kx ? b 中,得
? 400=600k ? b ? k ? ?1 ,解得 ? . ? ?300 ? 700k ? b ?b ? 1000

∴ y ? ? x ? 1 0 0 0 (5 0 0 ? x ? 8 0 0 )

------------4 分

(2)依题意得, S ? xy ? 5 0 0 y ? x ( ? x ? 1 0 0 0 ) ? 5 0 0 ( ? x ? 1 0 0 0 )
? ? ( x ? 7 5 0 ) ? 6 2 5 0 0 (5 0 0 ? x ? 8 0 0 ) .------------10 分
2

∴当 x ? 7 5 0 时, y m ax ? 6 2 5 0 0

------------12 分

答:该公司可获得的最大毛利润是 62500 元,相应的销售单价为 750 元. 22. (本小题满分 14 分) 解: (1)∵ f ( x ) ? ∴
? ax ? b x ?1
2

ax ? b x ?1
2

是奇函数,∴

f (? x) ? ? f ( x)

? ?

ax ? b x ?1
2



b ? 0 ---------------------------------------------3 分

故 f (x) ? ∴

ax x ?1
2

又 ∵f( )?
2

1

2 5

, ∴

a ?1

-------------------5 分
f (x) ? x x ?1
2

------------------------------------------------------------------6 分 (2)任取 ? 1 ? x1 ? x 2 ? 1 ,
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,

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

x1 x1 ? 1
2

?

x2 x2 ? 1
2

?

( x1 ? x 2 )(1 ? x1 x 2 ) ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)
2 2

∵ ? 1 ? x1 ? x 2 ? 1
2 2

∴ ? 1 ? x1 x 2 ? 1 , x1 ? x 2 ? 0 , 1 ? x1 x 2 ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) -------------------10 分

x1 ? 1 ? 0 , x 2 ? 1 ? 0

∴ f ( x ) 在 ( ? 1,1) 上是增函数. (3)单调减区间为 ( ? ? , ? 1), (1, ? ? ) ; 当 x ? ? 1 时, y m i n ? ? 分
1 2

;当 x ? 1 时, y m a x ?

1 2

.

-------------------14

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