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高中数学必2课件:圆的切线方程


课题名:圆的切线方程

学 科:高 中 数 学

圆 的 切 线 方 程

一、引入 直线与圆的位置关系及判别方法
y
d

y
d r

y
d r

O

x

O

>
x

O

r

x

几何法
代数法

相交 d<r Δ>0

相切 d=r Δ=0

相离 d>r Δ<0

二、圆的切线方程的几种基本类型
(一)过圆上一点的切线方程

(二)过圆外一点的切线方程 (三)斜率已知的切线方程

例1 已知圆的方程是 x

2

? y 2 ? r 2 ,求经过圆上一点
y
M ( x0 , y0 )
O

M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。

x

解:设切线的斜率为 k, 则k ? ? ? kOM y0 ? , x0

1 kOM

.

x0 ?k ? ? . y0

y
M ( x0 , y0 )
O

经过点 M的 切 线 方 程 是 x0 y ? y0 ? ? ( x ? x0 ), y0
2 2 因为点 M在 圆 上 , 所 以 x0 ? y0 ? r2,

x

所求的切线方程是 x0 x ? y0 y ? r 2 .
当点M在坐标轴上时,可以验证,上面方程同样适用.

结论一: 过圆 x 2 ? y 2 ? r 2 上一点 M ( x0 , y0 ) 切线方程是

x0 x ? y0 y ? r .
2

y

x0 x ? y0 y ? r
M ( x0 , y0 )

2

O

x

结论二:

过 圆 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r 上一点 ( x0 , y0 ) 的切
2 2 2

线方程为:

( x0 ? a )( x ? a ) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r .
2

y
M ( x0 , y0 )
(a,b)

O

x

结论三:

过圆x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 上一点 ( x0 , y0 ) 的切
2 2

x ? x0 y ? y0 线方程为:xx0 ? yy0 ? D ?E ? F ? 0. 2 2
y
M ( x0 , y0 )
(a,b)

O

x

例2 过点P(-2 , 0)向圆 x2 ? y 2 ? 1 引切线,
求切线的方程 .
A
P(-2, 0) O

y

x

分析一 分析一(代数法)

? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 ?x ? y ? 1

? x 2 ? k 2 ( x ? 1) 2 ? 1
y

y ? k ( x ? 2)
A
P(-2, 0) O

x ? y ?1
2 2

x

分析二(几何法)
利用切线的几何性质,圆心到切线的距离d = r 来求解。

y A
P(-2, 0) O
y ? k ( x ? 2)

x
x2 ? y 2 ? 1

分析三:利用(一)的结论 y x x ? y y ? 1 0 0 A( x0 , y0 )
P(-2, 0) O

x
x2 ? y 2 ? 1

补充、过圆外一点的切线长公式:

l ? x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F

2

2

例3 已 知 直 线 l 的 斜 率 为 k , 且 与 圆 x ? y ? r 只有一个公共点 .
2 2 2

求直线l的方程 .

y

解 : 圆 心 到 直 线y ? kx ? b 的 距 离 |b| d? ? r. 1? k 2 ? b ? ?r 1 ? k .
2

y=kx+b

O

x

直 线 l 的 方 程 是 y ? kx ? r 1 ? k 2 .

已知斜率为 k的圆的切线有两条:y ? kx ? r 1 ? k 2 .

三、巩固练习及应用

已 知 圆 C: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2, P (2,?1) 是 圆 外 一点,过P 做圆的切线,切点为 A、B. ( 1) 求 直 线 PA、PB 的 方 程 ; (2) 求 ?APB的 大 小 .
C
A B

y

O
P(2,-1)

x

已知实数 x, y满 足x ? y ? 1, y?2 y 求 的取值范围。 A (1, 2) x ?1
2 2

B
O

C

x

P (x, y)

已知实数 x, y满 足x ? y ? 1, y y?2 求 的 取 值 范 围 。 A (1, 2) x ?1
2 2

B
O

k AP ? k AB
C x

P (x, y)

自点A( -3, 3)发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射, ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 其反射光线所在的直线与圆 相切。求光线 y l 所在直线的方程。
l A(-3, 3) .

- y = k(x - k(x ++ 3) 3) + -33

. (2, 2)

O

x

y = k(x + 3) + 3

l

y A(-3, 3) . . (2, 2)

O .

x

(2,- 2)

y = k(x + 3) + 3

l

y A(-3, 3) .

y = k(x + 3) -3
. (2, 2)

O

x

B(-3,- 3)

四、小
圆的切线



1、知识结构
几何法 代数法

圆上一点

圆外一点

斜率已知

结论1

结论2

结论3 应用

2、通过这节课的学习,对圆的切线有较全面的认识。 3、思维相似律在解决问题、知识创新诸方面作用巨大.

五、思考与作业
课后思考:

1、 圆 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r 上一点 ( x0 , y0 ) 的切
2 2 2 2

线方程为:( x0 ? a )( x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r .

2、若点 M ( x0 , y0 )

2 2 2 x ? y ? r 在圆 上,则

直线方程 x0 x ? y0 y ? r 表示经过点 M 的圆的切
2

线,切点为 M ( x0 , y0 ) 。
作业(一):书本第70页7、8 题,精编60(2). 作业(二):书本第70页8、12题,精编62(2).

另解

y y=kx+b

y |b |b| |2

+ b k x

2

r
b k

O

x

O

| b | b = r | b |2 + b k k

2

b=?


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