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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1【配套备课资源】2.2.1椭圆的标准方程(二)


2.2.1
一、基础过关

椭圆的标准方程(二)
)

1.设 F1,F2 为定点,|F1F2|=10,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=8,则动点 M 的轨迹是( A.线段 B.椭圆 C.圆 D.不存在 2.椭圆 25x2+16y2=1 的焦点坐标为 A.(± 3,0) 3 C.?± ,0? ? 20 ? 1 B.

?± ,0? ? 3 ? 3 D.?0,± ? 20? ? ( )

x2 3.椭圆 +y2=1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交点 4 为 P,则|PF2|等于 A. 3 2 B. 3 7 C. D.4 2 ( )

x2 y2 4.已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0),M 为椭圆上一动点,F1 为椭圆的左焦点,则线段 MF1 的中 a b 点 P 的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线 x2 y2 x2 y2 5.曲线 + =1 与 + =1 (0<k<9)的关系是 25 9 9-k 25-k A.有相等的焦距,相同的焦点 B.有相等的焦距,不同的焦点 C.有不相等的焦距,不同的焦点 D.以上都不对 x2 y2 4 6.椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆 C 上,且 PF1⊥F1F2,|PF1|= , a b 3 |PF2|= 14 .求椭圆 C 的方程. 3 ( ) ( )

二、能力提升 x2 y2 → → → 7.设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,若点 P 在椭圆上,且PF1· 2=0,则|PF1 PF 16 7 → +PF2|=________. 1 1 8.已知 A?-2,0?,B 是圆 F:?x-2?2+y2=4(F 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂直平分线 ? ? ? ? 交 BF 于 P,则动点 P 的轨迹方程为______________. x2 → → 9.设 F1,F2 分别为椭圆 +y2=1 的左,右焦点,点 A,B 在椭圆上.若F1A=5F2B,则点 3 A 的坐标是__________.

10.△ABC 的三边 a,b,c 成等差数列,且 a>b>c,A,C 的坐标分别为(-1,0),(1,0),求 顶点 B 的轨迹方程. x2 y2 → 11. 是椭圆 2+ 2 =1 (a>b>0)上的任意一点, 1,F2 是它的两个焦点, 为坐标原点, P F O OQ a b → → =PF1+PF2,求动点 Q 的轨迹方程. 三、探究与拓展 1 12. 在面积为 1 的△PMN 中, tan∠PMN= , tan∠MNP=-2, 建立适当的平面直角坐标系, 2 求以 M,N 为焦点,且经过点 P 的椭圆的方程.

答案
1.D 2.D 3.C 4.B 5.B 6.解 因为点 P 在椭圆 C 上, 所以 2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3. 在 Rt△PF1F2 中,|F1F2|= |PF2|2-|PF1|2=2 5, 故椭圆的半焦距 c= 5,从而 b2=a2-c2=4, x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 9 4 7.6 4 8.x2+ y2=1 3 9.(0,1)或(0,-1) 10.解 由已知得 b=2,又 a,b,c 成等差数列, ∴a+c=2b=4,即|AB|+|BC|=4, ∴点 B 到定点 A、C 的距离之和为定值 4,由椭圆定义知 B 点的轨迹为椭圆的一部分, 其中 a′=2,c′=1. ∴b′2=3.又 a>b>c, x2 y2 ∴顶点 B 的轨迹方程为 + =1 (-2<x<0). 4 3 → → → 11.解 由OQ=PF1+PF2, → → → → 又PF1+PF2=2PO=-2OP,设 Q(x,y), x y 1→ 1 → 则OP=- OQ=- (x,y)=?-2,-2?, ? ? 2 2 x y 即 P 点坐标为?-2,-2?,又 P 点在椭圆上, ? ?



?-x?2 ?-y?2 ? 2? ? 2?
a
2



b

2

x2 y2 =1,即 2+ 2=1, 4a 4b

x2 y2 ∴Q 的轨迹方程为 2+ 2=1 (a>b>0). 4a 4b 12.解 如图所示,以 MN 所在的直线为 x 轴,线段 MN 的垂直平分线 为 y 轴,建立平面直角坐标系. x2 y2 设椭圆的方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b M(-c,0),N(c,0),P(x0,y0). 1 由 tan∠PMN= ,tan∠PNx=tan(π-∠MNP)=2, 2

1 得直线 PM,PN 的方程分别是 y= (x+c),y=2(x-c). 2

?x =3c, 联立解得? 4 ?y =3c,
5
0 0

5 4 即点 P?3c,3c?. ? ?

1 1 4 4 又∵S△PMN= |MN|· 0|= ×2c× c= c2, |y 2 2 3 3 4 3 ∴ c2=1,即 c= , 3 2 ∴点 M?-

?

3 ? ? 3 ?,P?5 3 2 3?. ,0 ,N 2 ? ? 2 ,0? ? 6 , 3 ?

∴2a=|PM|+|PN|= 即 a=

?5 3+ 3?2+?2 3?2+ 2? ? 3 ? ? 6

?5 3- 3?2+?2 3?2 = 15, 2? ? 3 ? ? 6

15 15 3 .∴b2=a2-c2= - =3. 2 4 4

x2 y2 ∴所求椭圆的方程为 + =1. 15 3 4


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