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江苏省南京师范大学附属中学2013届高三数学考前指导


用汗水织就实力,用毅力成就梦想,用拼搏铸就辉煌

江苏省南京师范大学附属中学 2013 届高三数学考前指导 2013/5/29
(数学 I)
一年一度的高考即将来临,经过一年系统、全面的复习,我们已经做到胸有成竹。为了能打 好最后一场高考的胜仗,我们高三数学组老师精心选编了这份《考前指导》 ,希望能给你最后的复习备考 助一臂之力!同时也提醒

同学们要合理安排时间,注意劳逸结合,养精蓄锐,以最好的状态和精神面貌迎 接高考。

编者按

高考应试指导 ――考好数学四大“绝招”
如何在高考有限的时间内充分发挥自己的水平,减少各种失误,是每个考生在备考期间时常思考的 问题,因为它对你成绩的影响少则几分,多则十几分,甚至??,为此要注意好以下四个方面: “审题”与“解题”的关系 要在审题上多下功夫,忌匆匆一看就急于下笔(一避免题目的“条件与要求”都没有吃透,二便于看 出题中隐含的信息,启发解题思路) 。要耐心仔细地读题,准确地把握题中的关键词与量,确定解题方向。 “会做”与“得分”的关系 要将你的解题策略转化为得分点,很重要的一点是要有“必要的” “准确完整的”数学语言表述。有 不少考生心里明白,却表述不清,或答题跳步太大,没有踩到得分点上,或以图代证(尽管思路很巧妙, 但由于不善于把“图形语言”转化为“文字语言” ,得分很少) ,总之会做才能得到想得到的分。 .. “快”与“准”的关系 在目前考试题量大,运算量也大的情况下,如何才能快速地答完“会做” “能做”的题目呢?,首先 是准(审题、运算等) ,只有准才可不必花时间检查,其次才是快,快是平时训练的结果,如计算速度快, 对题目的处理反应快等。但如果“准”不能保证, “快”也失去了意义,变成了无效的劳动。 “难题”与“容易题”的关系 答题要坚持 “由前向后,先易后难”的原则,要在考试的第一时间把“会做”的题先完成,再去处 .. 理 “经过努力能做的题” ,最后再“啃”难题,需要注意的是现在的试题已转向“多题把关” (最后一题 .. 并不一定是最难的) ,以区分不同层次的考生,同学们在考试中要善加运用,力争多得分。

数学考场建议歌
做过旧题重温习,整理错误记笔记,考试之前再提醒,细节不能出问题。 一身霸气进考场,满怀信心答试题,心平气和来思考,战胜自己定胜利。 先易后难答试卷,要把生题变熟题,遇到难题要冷静,不言放弃做到底。 考试关键在审题,精神集中心要细,草读一遍别下笔,条件目标需熟悉。 解题遇阻再审题,隐含条件要注意,试卷复查审题始,再把运算看仔细。 书写表达要规范,认真分辨类型题,解后检查很必要,该得分数不丢弃。 以上建议全做到,考场发挥没问题。沉着自信心态好,大学录取必如意。
1 考前满信心,下笔如有神;休息多静心,养好精气神;思考必细心,聚精又会神。

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填空题答题策略
填空题的题型特点及应对策略
根据填空时所填写内容的形式,我们可以将填空题分成以下几种类型分类处理: 一是定量型:要求学生填写数值、数集或数量关系,如:方程、不等式的解集,线段长度,角度大小等。 二是定性型:要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质,如 09 年出现 的定性型且具有多重选择性的填空题(立体几何) ; 三是条件与结论开放型: 创新型的填空题将会不断出现,我们在备考时,要关注这此类题的训练, 做好应试的技能准备。解题时要有合理的分析和判断,推理、运算的每一步要准确无误。 四是当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯一或题设中提供的信息暗示答案是 一个定值时,可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(如特殊函数、特殊 角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理,从而得出探 求的结论,这样可大大地简化推理、论证的过程 五是当题目中有图,或可以用绘图板作出图形时,要学会量一量、猜一猜。 在解填空题时要做到: 快――运算要快,力戒小题大做; 稳――变形要稳,不可操之过急; 全――答案要全,力避残缺不齐; 活――解题要活,不要生搬硬套; 细――审题要细,不能粗心大意; 清――书写清楚,不出笔误。 合理推理、优化思路、多思少算是快速、准确的解答填空题的基本要求。求解填空题的基本策略是要 在“准”“活”“快”上下功夫。同时也要防止做得过快,也要防止在一个题上花太多的时间--避免持 、 、 久战( 我们一向提倡“不择手段”,我们坚决反对“小题大做”).

1、直接求解法
直接从题设条件出发,用定义、性质、定理、公式等,经变形、推理、计算、判断等得到正确结论. 此类题主要分布在试卷中的第 1 至 8 题中,属基础题. 如:1.设复数 z 满足 | z |? 5 且 (3 ? 4i) z 是纯虚数, 则 z ? 4-3i 或-4+3i. 2.某地教育部门为了了解学生在数学答卷中的有关信息,从上 次考试的 10000 名考生的数学试卷中,用分层抽样的方法抽取 500 人,并根据这 500 人的数学成绩画出样本的频率分布直方图 (如图). 则这 10000 人中数学成绩在[140,150]段的约是 800 人. 解: 0.008 ? 10 ? 10000 ? 800 3.已知等差数列 {an } 满足 a1 ? ?3, 11a5 ? 13 ? 5a8 , 则数列 {an } 的前 n 项和 S n 的最小值为 ____. 解 由已知直接利用等差数列的通项公式,求得其公差 d ?

5 ,所以数列为递增数列,由 an ? 0 9 29 5 2 得 ? 3 ? (n ? 1) ? 0, n ? 6 ,所以 n ? 6 时 S n 的最小为 ? 3 9 5
法二:先可以先求 Sn,根据二次函数求最值的方法来解决(n∈N )
*)

4. 已知向量 a ? (cos? , sin ? ),b ? ( 3,1) ,则 | a ? b | 的最大值与最小值之和为____4_____ 法一 代数方法 利用向量模的坐标计算公式(平方) 法二 借助模的运算性质(不等式) | a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b | ,
2 考前满信心,下笔如有神;休息多静心,养好精气神;思考必细心,聚精又会神。

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法三

几何角度——圆

5. 已知 ?ABC 的两顶点 A、C 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点, 25 9
A

y B C x

顶点 B 在椭圆上,则

4 sin B ? sin A ? sin C 5 4 sin B ? sin A ? sin C 5

解:由题得, AB ? BC ? 10, AC ? 4 ,则

2.数形结合法:
根据题设条件的几何意义,画出辅助图形,借助图形的直观性,迅速作出判断的方法.文氏图、三角函 数线、函数图像及方程的曲线,空间图形等,都是常用的图形。 此类题带有一定的综合性,主要分布在试卷中的第 9 至 12 题中,属中档题. 如:1、关于 x 的方程 1 ? x 2 ? k ( x ? 2) 有两个不相等的实根,则实数 k 的取值范围是 .
_ 1 y _

3 解:令 y1 ? 1 ? x , y 2 ? k ( x ? 2) , 画图计算得 ? ?k ?0 3
2

2. (我校考前训练卷六第 9 题)若条件 P:x2+y2<2;条件 Q:|x|+|y|<2;则条件 P 是条件 Q 的 充分不必要 条件. (从充要,充分不必要,必要不充分,既不充分又不必要中选一个填写) 3.(2010 年江苏卷 9)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x ? y ? 4 上有且仅
2 2

x _
O _

_ 1

_ 2

有四个点到直线 12 x ? 5 y ? c ? 0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是 4 (2010 年江苏卷 10) 设定义在区间 ? 0 ,

(-13,13)

[来

? ?

??

? 上的函数 y ? 6 cos x 的图像与 y ? 5 tan x 的图像的交点为 P , 2?
2 __ 3

过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 P1 ,直线 PP 与函数 y ? sin x 的图像交于点 P ,则线段 PP 的长为___ 1 2 1 2

3.构造法:
在解题中有时需根据题目的具体情况,设计新的模式解题,这种设计方法,通常称之为构造法 1. 已知 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1 ,且 a ? b ,则 a, b 的大小关系为_____________________
b a

法一 特殊值法 法二 构造函数法 则 f ?( x ) ? ∴a ? b
/ / 2. 已知定义在 R 上的可导函数 y ? f ( x) 的导函数为 f ( x) ,满足 f ( x) ? f ( x) 且 y ? f ( x ? 1) 为偶函 x 数, f (2) ? 1 ,则不等式 f ( x) ? e 的解集为 _ (0, ??) ___.

a b ? b a 等价于 b ln a ? a ln b ,即

ln a ln b ln x ? ,设函数 f ( x) ? , x a b

1 ? ln x ,∵ x ? 0 ,∴ x ? e 时 f (x) 为减函数, 0 ? x ? e 时 f (x) 为增函数, x

思路:着眼于题中的条件 f ( x) ? f ( x) ,构造函数 g ( x ) ?
/

f ( x) ,再对其求导. ex

3 考前满信心,下笔如有神;休息多静心,养好精气神;思考必细心,聚精又会神。

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4、转化法:
有的题目可以将命题转化,使问题化繁为简,化陌生的问题为熟悉的问题,从而将问题解决的方法。 1.已知关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 0 在(0,1]上有解,则实数 a 的取值范围是__________
2

解法一 分类讨论(略) 解法二 ∵ x ? (0,1] ,∴原方程可以转化为 a ?

? x2 ,其中 x ? (0,1] 1? x

即a ?

?1 ?1 1 1 1 2 1 1 ? ,又 ? 1 , ( ? ) ? ≥2,∴ a ? [? ,0) 1 1 1 1 2 1 x x 2 4 2 ? ( ? ) ? 2 x x 2 4 x

注 本题采用分离参数、转化的方法,将方程有解的问题转化为函数的值域问题来解决,避免了分类 讨论,过程简捷. 变式:若存在 a ? [1,3] ,使得不等式 ax2 ? (a ? 2) x ? 2 ? 0 成立,则实数 x 的取值范围是 x ? ?1 或

x?
2. 已知

2 . 3

解:把 a 看作主元,则 x ? x ? 2 ? 0 或 3x ? x ? 2 ? 0 ,则求得 x 的范围
2 2

a, b, c ? R, a ? b ? c ? 1, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1,则 a 的最小值为____________
(b ? c) 2 , b ? c ? 1 ? a, b ? c ? 1 ? a ,联想到 b ? c ? 2
2 2 2
2 2

思路一 由已知得

∴1 ? a ?
2

1 1 (1 ? a) 2 ,解得 ? ? a ? 1,所以 a 的最小值为 ? 3 3 2
2 2 2

思路二

将上面的 b ? c ? 1 ? a, 两边平方得, b ? c ? 2bc ? 1 ? 2a ? a ,

∴ bc ? ?a ? a ,
2

从而有 b, c 分别为方程 x 2 ? (1 ? a) x ? a 2 ? a ? 0 的两个根, 由 ? ? (1 ? a) ? 4(a ? a) ? 0 可得 ?
2 2

1 1 ? a ? 1,所以 a 的最小值为 ? 3 3

1 3、已知函数 f (x)=mx2+lnx-2x 在定义域内不是单调函数,则实数 m 的取值范围是 m< . 2 解法一:转化为 f ' ( x) ? 2m x ?

1 2m x2 ? 2 x ? 1 ?2? 在定义域 x>0 上有正有负. x x

即 g (x)=2mx2-2x+1 在定义域 x>0 上有正有负. 当 m=0 时,满足; 当 m>0 时,对称轴 x ?

1 1 ? 0 ,所以只需△>0,∴ 0 ? m ? , 2m 2
1 2

当 m<0 时,开口向下的抛物线且经过点(0,1),满足。综上所述, m ?

解法二 先求“ 当函数 f (x)=mx2+lnx-2x 在定义域内是单调函数,实数 m 的取值范围”――即转化 为问题的对立事件
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说明:1.通过转化,将陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题来解决是我们解决此类问题的一种策略 2.再处理综合性较强的填空题时,有时要多种方法配合使用,如: 2011 年 江 苏 卷 14. 设 集 合

m 2 y A ? ?( x, y) | ? ( x ? 2 ) ? 2 2

? , x, y ? R? , m2
▲ .

若 B ? ?( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1 ,x, y ? R? , A ? B ? ? , 则实数 m 的取值范围是

此题可借助数形结合,转化为两个“区域”有公共点的问题来处理,再通过代数方法――直接法来计算, 当然题目中 A ? B ? ? 的 “隐含条件”要注意“推敲”.

5.特殊化求解法:
当填空题结论唯一或其值为定值时,我们只须把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数 列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替之,即可得到结论 1.(江西卷)若函数 f ? x ? ? log a x ?

?

x 2 ? 2a 2 是奇函数,则 a=

?



【解析】对于奇函数 f(x),我们有 f(?x)=?f(x),用这个性质来解决此题固然是可以的,但作为一道填空 题来讲,这样做的计算量就偏大了.在这里,我们先考虑一个特殊的函数值(函数 f (x) 的定义域为 R),就是 f(0), f(0)=0,所以在本题中,我们就有 f ?0 ? ? log a

2a 2 ? 0 ,也就是 2a2=1,解得

a??
2.

2 (舍负).这里我们用到的就是解填空题常用的特殊值法. 2
cos A ? cos C ? _____ 1 ? cos A cos C

在三角形 ABC 中, A、 C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a, b, c 成等差数列, 角 B、 则 答案:

4 ,考虑特殊情形,令 a ? 3, b ? 4, c ? 5 来计算(或 a ? b ? c ? 1 ) 5

当某些问题常规方法一时难以解决时,可以采取的一种避重就轻的解题策略 当然有时,采用特殊法不一定严谨,也不一定正确,但这样处理是一种灵活机智的表现,它即可以帮 我们“猜到”答案,也可以帮我们简化解题过程,如复习讲义――回归教材,第 3 页平面向量的例 2(2011 苏锡常镇二模试题又见 38 套) ,此题的常规解法是建立直角坐标系,转化为函数问题(求导)来解决。

题型示例
1、若 ?a ? 3i ?i ? b ? i ,其中 a, b ? R , i 是虚数单位,则 a ? b ? 4 {0,1,2} 2、已知集合 A ? x x 2 ? 4 x ? 0, x ? Z , B ? ?y y ? log2 ?x ? 1?, x ? A?,则 A ? B ?

?

?

3、右面茎叶图表示的是甲,乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损, 则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为__________________。 4/5

4、若某算法流程图如右图所示,则输出的 n 值是 5、计算:2sin20?+cos10?+tan20??sin10?=

。45 . 3 提示:切化弦,再通分

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? ?an+1,an<3, 6、已知以 1 为首项的数列{an}满足:an+1=?an ,则 a20= ? ,an≥3 ?3

.2

提示:挖掘周期性

8.已知{an}是等差数列,若 a1 +a5 ≤10,则 a5+a6+?+a9 的最大值是 提示:可令 a1=x,a5=y, 则原题化归为若 x +y ≤10,求 a5+a6+?+a9 =
2 2

2

2

.25

15 y ? 5 x 的最大值 2

9.已知一个底面为正方形的长方体容器,若下底面和四个侧面的面积和 27,则当容器的容积最大时,底面 边长的值为____________. 3 ? 2 2 2 10.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l:x-y+3=0 与圆 O:x +y =r (r>0)相交于 A,B 两点.若 OA + ? ? 2 OB = 3 OC ,且点 C 也在圆 O 上,则圆 O 的半径 r= .3 2 ? ? ? 提示:对 OA +2 OB = 3 OC 两边平方,先求出∠AOB=120°,再求圆心 O 到直线 l 的距离 11. 如图, F1 , F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, a2 b2 过 F1 的直线 l 与双曲线 C 的两支分别交于点 A , B ,若 ?ABF2 为
B

y

A

等边三角形,则双曲线的离心率为 . 7 12.已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的 x∈(0,+∞), 3 都有 f[f(x)-x ]=2,则过点(1,2)且与曲线 y=f(x)相切的直线方程 是_____________. 3x-y-1=0 (注意 满足题意的只有一解) 提示:令 f(x)-x =a .......得 f(x)=x +1
3 3

F1

O

F2

x

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13

14.记集合 P = { 0,2,4,6,8 },Q = { m | m = 100a1 ?10a2 ? a3,且 a1,a2,a3?P },将集合 Q 中的所 有元素排成一个递增的数列,则此数列的第 68 项是_______. 464 15. 如图,在直角坐标系 xOy 中,锐角△ABC 内接于圆 x ? y ? 1. 已知 BC 平行于 x 轴,AB 所在直线方程 为 y ? kx ? m(k ? 0) ,记角 A、B、C 所对的边分别是 a,b,c。
2 2

(1)若 3k ?

(2)若 k ? 2, 记?xOA ? ? (0 ? ? ? ? ), ?xOB ? ? (? ? ? ? 3? ), 求 sin(? ? ? ) 的值。 2 2 sin B 2ac 1 解(1)k=tanB,故由已知可得: 3 ? 2 , 解得 sin B ? , 2 2 cos B a ? c ? b 3 原式 ? sin 2 B ? sin 2 B ? 1 ? cos B ? 2 sin B cos B ? 9 ? 2 2 ; ?7 分 (2)解法一:∠AOB= ? ? ? ,作 OD⊥AB 于 D, ? ?? ? ? ? ? ?? 1 1 ? ?xOD ? ? ? ? ,? tan ? kOD ? ? ? ? , ???11 分
2
sin(? ? ? ) ? 2 tan 1 ? tan

2ac A?C , 求 cos 2 ? sin 2 B 的值; 2 2 2 a ?c ?b
2

2

2

18

2 ? ??
2

2

k

2

2 ? ? ?

4 ?? . 5

??? 14 分

2

? x2 ? y 2 ? 1 解法二 :? , 5 x 2 ? 4mx ? m 2 ? 1 ? 0 y ? 2x ? m ? 4m m2 ? 1 设A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 5 5 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? y1 x2 ? x1 y2 ? (2 x1 ? m) x2 ? x1 (2 x2 ? m) 4 ? 4 x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? ? ????14分 5

16、如图,在三棱锥 P ? ABC 中,PC⊥平面 ABC,△ABC 为正三角形, D,E,F 分别是 BC,PB,CA 的中点.
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(1)证明平面 PBF⊥ 平面 PAC; (2)判断 AE 是否平行平面 PFD?并说明理由; (3)若 PC = AB = 2,求三棱锥 P ? DEF 的体积. 立体几何答题注意点:紧扣定理,规范答题,条件不多不少,辅助线注意虚实 解: (1)∵PC⊥ 平面 ABC,BF ? 平面 ABC,∴PC⊥ BF. ∵△ABC 为正三角形,F 是 CA 的中点 ∴BF⊥AC.又∵PC∩AC ? C. ∴BF⊥ 平面 PAC. ∵BF ? 平面 PBF,∴平面 PBF⊥ 平面 PAC. (2)AE 不平行平面 PFD. A 反证法:假设 AE∥平面 PFD.∵AB∥FD,FD ? 平面 PFD,AB ? 平面 PFD ∴AB∥平面 PFD.∵AE、AB 是平面 ABE 内两条相交直线, ∴平面 ABE∥平面 PFD. 而∵P∈平面 ABE,P∈平面 PFD,矛盾. 则假设不成立.即 AE 不平行平面 PFD. (3)∵D,E,F 分别是 BC,PB,CA 的中点,PC⊥ 平面 ABC,∴VP ? DEF ? VB ? DEF . 则 VP ? DEF ?

P

E C D B

F

1 1 1 1 1 1 VP ? BDF = × × S△ABC ×PC= × × 2 2 4 2 3 3

3 3 1 ? 4? 2? × . 4 12 4

17.

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x2 18、 【解析几何】已知椭圆 C1: +y2=1 的左顶点和下顶点分别为 A,B,圆 C2:x2+y2=1,且 F 是椭圆 C1 的 2 1 2 右焦点.(1) 若点 P 是曲线 C2 上位于第二象限的一点,且△APF 的面积为 + ,求证:AP⊥OP; 2 4 (2) 点 M 和 N 分别是椭圆 C1 和圆 C2 上位于 y 轴右侧的动点,且直线 BN 的斜率是直线 BM 斜率的 2 倍, 求证:直线 MN 恒过定点. 解 : (1) 设 曲 线 C1 上 的 点 P(x0,y0) , 且 x0<0,y0>0 , 由 题 意 1 2 A(? 2 ,0),F(1,0).∵△APF 的面积为 + , 2 4 1 1 1 2 2 2 ∴S△APF= · y= (1+ 2 )y0= + ,解得 y0= ,x0=? , AF· 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 → → ,? ),∴AP错误!未指定书签。· OP=( , )· (? , )=0, 2 2 2 2 2 2 ∴AP⊥OP. 即 P( y

P A

N O B F M x

(2)设直线 BM 的斜率为 k,则直线 BN 的斜率为 2k, 又两直线都过点 B(0,?1), ∴直线 BM 的方程为 y=kx?1, 直线 BN 的方程为 y=2kx?1.
?y=kx?1 由? 2 2 ?x +2y =2

4k 4k 2k2?1 4k 2k2?1 得(1+2k )x ?4kx=0,解得 xM= 2 ,yM=k· 2 ?1= 2 ,即 M( 2 , 2 ). 2k +1 2k +1 2k +1 2k +1 2k +1
2 2

4k 4k 4k2?1 4k 4k2?1 ?y=2kx?1 由? 2 得(1+4k2)x2?4kx=0,解得 xN= 2 ,yN=2k· 2 ?1= 2 ,即 N( 2 , 2 ) 2 ?x +2y =2 4k +1 4k +1 4k +1 4k +1 4k +1 4k2?1 2k2?1 ? 4k2+1 2k2+1 (4k2?1)(2k2+1)?(4k2+1)(2k2?1) 1 ∴直线 MN 的斜率 kMN= = =? 错误!未指定书签。 4k 4k 4k(2k2+1)?4k(4k2+1) 2k ? 2 4k2 +1 2k +1 2k2?1 1 4k 1 ∴直线 MN 的方程为 y? 2 =? (x? 2 ).整理得 y=? +1.∴直线 MN 恒过定点(0,1). 2k +1 2k 2k +1 2k y2 另附 18.(我校最后一次周练)如图,椭圆 C:x2+ =1 短轴的左右两个端点分别为 A、B, 4 直线 l:y=kx+1 与 x 轴、y 轴分别交于两点 E、F,与椭圆交于两点 C、D. → → (Ⅰ)若CE=FD,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设直线 AD、CB 的斜率分别为 k1、k2,k1∶k2=2∶1,求 k 的值. 19.

9 考前满信心,下笔如有神;休息多静心,养好精气神;思考必细心,聚精又会神。

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【备用】已知数列{xn}和{yn}的通项公式分别为 xn=an 和 yn=(a+1)n+b, n∈N*. (1)当 a=3, b=5 时,①试问:x2, x4 分别是数列{yn}中的第几项? ②记 cn=xn2,若 ck 是{yn}中的第 m 项(k, m∈N*),试问:ck+1 是数列{yn}中的第几项?请说明理由. (2)对给定自然数 a≥2,试问:是否存在 b∈{1, 2},使得数列{xn}和{yn}有公共项? 若存在,求出 b 的值及相应的公共项组成的数列{zn},若不存在,请说明理由. 答案: (1) x2 是数列{yn}中的第 1 项. x4 是数列{yn}中的第 19 项. ② ck ?1 是数列{yn}中的第 9m ? 10 项. (2)存在 b∈{1, 2},使得数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列 {zn } , 且当 b ? 1 时,数列 zn ? a 2n (n ? N ) ;当 b ? a ? 2 时,数列 zn ? 22 n ?1 (n ? N ) .
? ?

20.已知错误!未找到引用源。是由满足下述条件的函数构成的集合:对任意错误!未找到引用源。, ① 方程错误!未找到引用源。有实数根;② 函数错误!未找到引用源。的导数错误!未找到引用源。满足
10 考前满信心,下笔如有神;休息多静心,养好精气神;思考必细心,聚精又会神。

用汗水织就实力,用毅力成就梦想,用拼搏铸就辉煌

错误!未找到引用源。.

【详细解析】 (Ⅰ)因为①当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,所以方程错误!未找到引用
源。有实数根 0;

②错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。,满足条件错误!未找到引用源。;

11 考前满信心,下笔如有神;休息多静心,养好精气神;思考必细心,聚精又会神。

用汗水织就实力,用毅力成就梦想,用拼搏铸就辉煌

江苏省南京师范大学附属中学 2013 届高三数学考前指导 2013-5-29
(数学 II
一、选做题 1、 【矩阵】已知矩阵 M ? ?

加试卷)

?2 a ? ? ,其中 a ? R ,若点 P(1, ?2) 在矩阵 M 的变换下得到点 P?(?4, 0) (1) ?2 1 ? 求实数 a 的值; (2)求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量. ? 2 a ? ? 1 ? ? ?4 ? 解: (1)由 ? = , ∴ 2 ? 2a ? ?4 ? a ? 3 . 2 1 ? ? ?2 ? ? 0 ? ? ?? ? ? ? 2 3? ? ? 2 ?3 ? 2 (2) M ? ? ? ,则 M 的特征多项式为 f (? ) ? ?2 ? ? 1 ? (? ? 2)(? ? 1) ? 6 ? ? ? 3? ? 4 , ? 2 1? 令 f (? ) ? 0 ,得矩阵 M 的特征值为 ?1 与 4. ?(? ? 2) x ? 3 y ? 0 ?1? 当 ? ? ?1 时, ? ? x ? y ? 0 ∴矩阵 M 的属于特征值 ?1 的一个特征向量为 ? ? ; ??2 x ? (? ? 1) y ? 0 ? ?1? ?(? ? 2) x ? 3 y ? 0 ?3? 当 ? ? 4 时, ? ? 2 x ? 3 y ? 0 ∴矩阵 M 的属于特征值 4 的一个特征向量为 ? ? . ??2 x ? (? ? 1) y ? 0 ?2?
2、 【极坐标与参数方程】自极点 O 作射线与直线 ? cos ? ? 4 相交于点 M,在 OM 上取一点 P,使得
???? ??? ? ? OM ? OP ? 12 ,求点 P 的轨迹的极坐标方程.

解:以极点为坐标原点建立直角坐标系, 将直线方程 ? cos ? ? 4 化为 x ? 4 , ???? ??? ? ? 设 P ( x, y ) ,M (4, y0 ) , OM ? OP ? ( x, y) ? (4, y0 ) ? 12, 4 x ? yy0 ? 12 , 又 MPO 三点共线, xy0 ? 4 y , x2 ? y 2 ? 3x ? 0 二、必做题
2 1、 【曲线与方程】已知抛物线 L 的方程为 x ? 2 py( p ? 0) ,直线 y ? x 截抛物线 L 所得弦 AB ? 4 2 .

转化为极坐标方程: ? ? 3cos ? .

(1) 求 p 的值; (2) 抛物线 L 上是否存在异于点 A 、 B 的点 C ,使得经过 A 、 B 、 C 三点的圆和抛物线 L 在点 C 处有 相同的切线.若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1) 由 ?

?y ? x
2

? x ? 2 py 2 (2) 由(1)得 x ? 4 y , A(0,0), B(4, 4) ,

解得 A(0,0), B(2 p, 2 p) , 所以 4 2 ? AB ?

4 p 2 ? 4 p 2 ? 2 2 p ,所以 p ? 2 .

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假设抛物线 L 上存在异于点 A 、 B 的点 C (t , 线 L 在点 C 处有相同的切线.

t2 )(t ? 0, t ? 4) ,使得经过 A 、 B 、 C 三点的圆和抛物 4

?a 2 ? b2 ? (a ? 4)2 ? (b ? 4)2 ? NA ? NB ? 令圆的圆心为 N (a, b) ,则由 ? 得? t2 2 2 2 2 ? NA ? NC ?a ? b ? (a ? t ) ? (b ? ) ? 4 2 ? t ? 4t ?a ? b ? 4 ?a ? ? 8 ? ? 得? , 1 3?? 4a ? tb ? 2t ? t t 2 ? 4t ? 32 ? ?b ? 8 ? ? 8 ? t 因为抛物线 L 在点 C 处的切线斜率 k ? y ' |x ?t ? (t ? 0) , 2 2 t b? 4 . t ? ?1 ? 2a ? bt ? 2t ? 1 t 3 ? 0 又该切线与 NC 垂直,所以 a ?t 2 4 2 2 t ? 4t t ? 4t ? 32 1 )?t ? 2t ? t 3 ? 0 ? t 3 ? 2t 2 ? 8t ? 0 所以 2(? 8 8 4 因为 t ? 0, t ? 4 ,所以 t ? ?2 . 故存在点 C 且坐标为 (?2,1) .
2、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过 y 轴正方向上一点 C(0,c)任作一直线,与抛物线 y=x2 相交于 AB 两点,一条垂直于 x 轴的直线,分别与线段 AB 和直线 l : y ? ?c 交于 P,Q。 (1)若 OA ? OB ? 2 ,求 c 的值; (2)若 P 为线段 AB 的中点,求证:QA 为此抛物线的切线; (3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由。 分) (4 解 (1) 设直线 AB 的方程为 y=kx+c, 将该方程代入 y=x2 得 x2-kx-c=0 令 A(a,a2) ,B(b,b2) ,则 ab=﹣c 因为 OA? ? ab ? a b ? c ? c ? 2 ,解得 c=2,或 c=﹣1(舍去) OB

??? ???

?? ?? ? ?

2 2

2

(2)由题意得 Q ?

? a ? b , ?c ? ,直线 AQ 的斜率为 k ? a ? c ? a ? ab ? 2a ? AQ a?b a ?b ? 2 ? a?
2 2

2

2

又 r=x2 的导数为 r′=2x,所以点 A 处切线的斜率为 2a, 因此,AQ 为该抛物线的切线 (3) (2)的逆命题成立,证明如下: 设 Q(x0,﹣c)若 AQ 为该抛物线的切线,则 kAQ=2a, 又直线 AQ 的斜率为 k AQ ?
a ?c a ? x0
2

?

a ? ab a ? x0

2

,所以

a ? ab a ? x0

? 2a

13 考前满信心,下笔如有神;休息多静心,养好精气神;思考必细心,聚精又会神。

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得 2ax0=a2+ab,因 a≠0,有 x0 ?

a?b 2

, ∴ P 为线段 AB 的中点

3、 【概率】如图,在某城市中, M , N 两地之间有整齐的方格形道路网, 其中 A1 、 A2 、 A3 、 A4 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今 在道路网 M , N 处的甲、乙两人分别要到 N , M 处,他们分别随机地选择 一条沿街的最短路径,以相同的速度同时出发,直到到达 N , M 为止. (1)求甲经过 A2 到达 N 的方法数; (2)求甲、乙两人在 A2 处相遇的概率; (3)求甲、乙两人相遇的概率.
1 1 N 的方法数为 C3 种;所以甲经过 A2 到达 N 的方法数为 (C3 )2 ? 9 种.

A1 A2 A3
M

N

A4

1 解: (1)甲经过 A2 到达 N ,可分为两步:第一步,甲从 M 到 A2 的方法数为 C3 种; 第二步,甲从 A2 到

1 1 (2)由(1)知,甲经过 A2 的方法数为 (C3 ) 2 种;乙经过 A2 的方法数也为 (C3 ) 2 种.
1 (C3 ) 4 81 . ? 3 3 C6 C6 400 (3)甲、乙两人沿最短路径行走,只可能在 A1 、 A2 、 A3 、 A4 处相遇,他们在 Ai (i ? 1,2,3,4) 相遇的走

故甲、乙两人在 A2 处相遇的概率为 P ?

i 0 1 2 3 法有 (C3?1 ) 4 种方法;所以甲、乙两人相遇的走法有 (C3 ) 4 ? (C3 ) 4 ? (C3 ) 4 ? (C3 ) 4 =164 种,

故甲、乙两人相遇的概率 P ?

164 41 ? . 400 100

答: (1)方法数 9 种; (2)相遇的概率为

81 ; 。。 (3)。 400

4、 空间向量与立体几何】 【 如图, 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=CD, E 是 PC 的中点。(1)证明:PA∥平面 BDE; (2)求二面角 B-DE-C 的平面角的余弦值; (3)在棱 PB 上是否存在点 F, 使 PB⊥平面 DEF? 证明你的结论。 解:(1) 以 D 为坐标原点,分别以 DA、DC、DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 设 PD=CD=2,则 A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1),B(2,2,0), → → → PA =(2,0,-2), DE =(0,1,1), DB =(2,2,0)。 → 设 n =(x,y,z)是平面 BDE 的一个法向量, → ?→·DE =0 ? n1 → ?y +z=0 则由?→ → ,得 ?2x+2y=0;取 y=-1,n1 =(1,-1,1), ? ? ? n ·DB =0 →→ → → ∵ PA · 1 =2-2=0,∴ PA ⊥n1 ,又 PA?平面 BDE,∴PA∥平面 BDE。 n → → → (2) 由(1)知n1 =(1,-1,1)是平面 BDE 的一个法向量, 又n2 = DA =(2,0,0)是平面 DEC 的一个法向量。 →→ 设二面角 B-DE-C 的平面角为 θ,由图可知 θ=<n1 ,n2 >, →→ →→ n1 · 2 n 2 3 3 ∴ cosθ=cos<n1 ,n2 >= = = ,故二面角 B-DE-C 余弦值为 。 → → 3 3 3× 2 |n1 |· 2 | |n → → →→ (3)∵ PB =(2,2,-2), DE =(0,1,1),∴ PB · =0+2-2=0,∴PB⊥DE。 DE → → 假设棱 PB 上存在点 F,使 PB ? 平面 DEF,设 PF =λ PB (0<λ<1), → → → → →→ 则 PF =(2λ, 2λ,-2λ), DF = DP + PF =(2λ, 2λ,2-2λ), 由 PF · =0 得 4λ2 +4λ2-2λ(2-2λ)=0, DF 1 1 1 ∴ λ= ∈(0,1),此时 PF= PB, 即在棱 PB 上存在点 F,PF= PB,使得 PB⊥平面 DEF 3 3 3

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