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万有引力


万有引力与航天---------林淑燕
知识点一 万有引力定律的内容、公式及适用条件
m1 m2 r2
1、表达式: F ? G

2、内容:自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力的大小 与物体的质量 m1,m2 的乘积成正比,与它们之间的距离 r 的二次方成反比。 3.引力常量:G=6.67×10-11N

/m2/kg2,牛顿发现万有引力定律后的 100 多年里,卡文迪许在 实验室里用扭秤实验测出。 4、适用条件:①适用于两个质点间的万有引力大小的计算。 ②对于质量分布均匀的球体,公式中的 r 就是它们球心之间的距离。 ③一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用,其中 r 为球心到质点间的距离。 ④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时,公式也近似的适用,其 中 r 为两物体质心间的距离。 5、推导: G

mM 4? 2 R 3 GM ? m R ? ? R2 T2 T 2 4? 2

1.万有引力和重力的关系 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用,一个是重力 mg,另一个是物体 随地球自转需要的向心力 F 向,如图 4-4-1 所示,可知: (1)地面上的物体的重力随纬度的增大而增大.故重力加速度 g 从赤道到两极逐渐增加. (2)在两极:重力等于万有引力,重力加速度最大. (3)在赤道:F 万=F 向+mg 故 mg ? G

Mm ? mR ? 2 r2

(4)由于地球的自转角速度很小,地球的自转带来的影响很小,一般情况下认为:

G

Mm ? mg , 故 GM=gR2, 这是万有引力定律应用中经常用到的 “黄金代换” . 2 R R 2 ) g 其中 R 为地球半径,g 为地球表面的重力加速度. R?h

(5)距地面越高,物体的重力加速度越小,距地面高度为 h 处的重力加速度为:

g/ ? (

2.万有引力定律的基本应用 (1) 基本方法:把天体 ( 或人造卫星 ) 的运动看成是匀速圆周运动,其所需向心力由 提供.

(2)“万能”连等式

? v2 ?m ? r2 Mm ?m r? G 2 ? m gr ? m a ? ? r ?m r( 2? ) 2 ? T ? ?m v?

其中 g r 为距天体中心 r 处的重力加速度.

☆针对训练
1. 假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增加到原来的 2 倍, 仍做圆周运动, 则( )

A.根据公式 v=ω r 可知卫星运动的线速度将增大到原来的 2 倍

v2 ,可知卫星所需的向心力将减小到原来的 1/2 r Mm C.根据公式 F ? G 2 可知地球提供的向心力将减小到原来的 1/4 r
B.根据公式 F ? m D.根据上述 B 和 C 中给出的公式可知,卫星运行的线速度将减小到原来的

2 2

知识点二 人造卫星
1.应用万有引力定律分析天体运动的方法 把天体运动看成是 运动,其所需的向心力由天体间的万有引力提 供.

G

Mm ? mg r ? ma ? _____________ . r2

应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析和计算. (1)同一中心天体的环绕星体(靠万有引力提供向心力的环绕星体,必须是“飘”起来 的,赤道上的物体跟同步卫星比较不可以用此结论) R↑T↑a↓v↓ω↓ (2)超重与失重:人造卫星在发射升空时,有一段加速运动;在返回地面时,有一段减 速运动。两个过程加速度方向均向上,因为都是超重状态。人造卫星在沿圆轨道运行时,万 有引力提供向心力,所以处于完全失重状态。 特别提醒:三个近似 近地卫星贴近地球表面运行,可近似认为做匀速圆周运动的半径等于地球半径; 在地球表面随地球一起自转的物体可近似认为其重力等于地球对它的万有引力; 天体的运动轨道可近似看作圆轨道. 2.关于同步卫星的五个“一定” (1) 运行方向与地球自转方向一致(自西向东) 。 (2) 周期与地球自转周期相同,T=24 小时。 (3) 角速度等于地球自转角速度。 (4) 所有卫星都在赤道正上方,轨道平面与赤道平面共面。 (5) 高度固定不变,离地面高度 h=36000km。 (6) 三颗同步卫星作为通讯卫星,则可覆盖全球(两级有部分盲区) (7) 地球所有同步卫星,T、ω、v、h、均相同,m 可以不同。 3、扩展: (1)变轨问题:从内往外为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道,左边切点为 A 点,右 边切点为 B 点。

A : vⅡ ? v Ⅰ

a (内轨道加速到达外轨道) Ⅱ

?a Ⅰ (同一位置,a 相同)

B : vⅢ ? vⅡ(内轨道加速达到外轨道) aⅢ ? aⅡ(同一位置,a 相同)

Ⅱ: vA ? vB ( v近 ? v远 ) aA ? aB (离地球越近,g 越大)
Ⅰ,Ⅲ:vⅠ ? vⅢ ( v ?
GM r )a Ⅰ ? aⅢ (离地球越近,g 越大)

(2)赤道上物体与头顶同步卫星比较: a

? ? 2r

(3)对接问题:后面卫星,先减速,做向心运动,降低一定高度后,再加速,离心, 同时速度减慢,与前面卫星对接。 1.两种加速度——卫星的向心加速度和随地球自转的向心加速度的比较 卫星的向心加速度 产生 万有引力 方向 指向地心
/ 大小 a ? g ?

物体随地球自转的向心加速度 万有引力的一个分力(另一分力为重力) 垂直指向地轴

GM a(地面附近 a 近似为 g) r2

2 其中 r 为地面上某点到地 a ? ?地球 ?r ,

轴的距离 从赤道到两极逐渐减小

变化 随物体到地心距离 r 的增大而减小

2.两个半径——天体半径 R 和卫星轨道半径 r 的比较 卫星的轨道半径是天体的卫星绕天体做圆周运动的圆的半径,所以 r=R+h.当卫星贴 近天体表面运动时,h≈0,可近似认为轨道半径等于天体半径. 3.两种周期——自转周期和公转周期的比较 自转周期是天体绕自身某轴线运动一周的时间, 公转周期是卫星绕中心天体做圆周运动 一周的时间.一般情况下天体的自转周期和公转周期是不等的,如:地球自转周期为 24 小 时,公转周期为 365 天.但也有相等的,如月球,自转、公转周期都约为 27 天,所以地球 上看到的都是月球固定的一面,在应用中要注意区别.

☆针对训练
2.2009 年 2 月 11 日,俄罗斯的“宇宙 2251”卫星和美国的“铱 33”卫星在西伯利亚上空 约 805 km 处发生碰撞.这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件.碰撞过程中产生的 大量碎片可能会影响太空环境.假定有甲、乙两块碎片,绕地球运动的轨道都是圆,甲的运 动速率比乙的大,则下列说法中正确的是( ) A.甲的运动周期一定比乙的长 B.甲距地面的高度一定比乙的高 C.甲的向心力一定比乙的小 D.甲的加速度一定比乙的大 3.我国正在自主研发“北斗二号”地球卫星导航系统,此系统由中轨道、高轨道和同步卫 星等组成, 可将定位精度提高到 “厘米” 级, 会在交通、 气象、 军事等方面发挥重要作用. 已 知三种卫星中,中轨道卫星离地最近,同步卫星离地最远,则下列说法中正确的是( ) A.中轨道卫星的线速度小于高轨道卫星的线速度 B.中轨道卫星的角速度小于同步卫星的角速度 C.若一周期为 8 h 的中轨道卫星,某时刻在同步卫星的正下方,则经过 24 h 仍在该同步 卫星的正下方 D.高轨道卫星的向心加速度小于同步卫星的向心加速度

知识点三 三种宇宙速度
宇宙速度 第一宇宙速度 数值 (km/s) 7.9 意 义

这是发射绕地球做圆周运动卫星的最小发射速度, 若 7.9 km/s≤v< 11.2 km/s,物体绕 运行(环绕速度)

第二宇宙速度

11.2

这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度, 若 11.2 km/s≤v<16.7 km/s,物体绕 运行(脱离速度) 这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度,若 v≥16.7 km/s,物 体将脱离 在宇宙空间运行(逃逸速度)

第三宇宙速度

16.7

特别提醒(1)三种宇宙速度均指的是发射速度,不能理解为环绕速度. (2)第一宇宙速度既是最小发射速度,又是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度

☆要点深化
1.如何推导出第一宇宙速度? 由于在人造卫星的发射过程中, 火箭要克服地球的引力做功, 所以将卫星发射到离地球 越远的轨道, 在地面上所需的发射速度就越大, 故人造卫星的最小发射速度对应将卫星发射 到近地表面运行,此时发射时的动能全部转化为绕行的动能而不需要转化为重力势能. 根据论述可推导如下:

G

v12 Mm GM ? m , v1 ? ? 7.9km / s 2 R R R

v12 或mg ? m , v1 ? gR ? 7.9km / s R
2.两种速度——环绕速度与发射速度的比较 (1)不同高度处的人造卫星在圆轨道上运行速度即环绕速度 v环绕 ?

GM v 环绕,其大小随 r

半径的增大而减小.但是,由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功,增大 势能,所以将卫星发射到离地球越远的轨道,在地面上所需的发射速度就越大,此时 v 发射>v 环绕. (2)人造地球卫星的最小发射速度应是卫星发射到近地表面运行,此时发射动能全部作 为绕行的动能而不需要转化为重力势能.此速度即为第一宇宙速度,此时 v 发射=v 环绕.

☆针对训练
4.世界首个用于探测太阳系外类地行星的“开普勒”号太空望远镜发射升空,在银河僻远 处寻找宇宙生命.假设该望远镜沿半径为 R 的圆轨道环绕太阳运行,运行的周期为 T,万有 引力恒量为 G.仅由这些信息可知( ) A. “开普勒”号太空望远镜的发射速度要大于第三宇宙速度 B. “开普勒”号太空望远镜的发射速度要大于第二宇宙速度 C.太阳的平均密度 D. “开普勒”号太空望远镜的质量 5.已知地球半径为 R,地球表面重力加速度为 g,不考虑地球自转的影响. (1)推导第一宇宙速度 v1 的表达式; (2)若卫星绕地球做匀速圆周运动,运行轨道距离地面高度为 h,求卫星的运行周期 T

万有引力常考题型剖析
一、v、ω、T、an 与运行半径 r 关系问题

例 1 一个近地卫星的线速度、角速度、周期和向心加速度分别为 v0、ω0、T0 和 g0,通 过对卫星点火加速,卫星到达了离地球表面为 R 的轨道上,求卫星这时的线速度 v、角速度 ω、周期 T 和向心加速度的大小。 解析:当卫星绕地球做近轨道做圆周运动时,其轨道半径为 R,加速后卫星的新轨道的 半径为 2R。

由 ∝

,得

,由



,得





,得

, 由



,得



点拨:用万有引力处理天体问题的基本方法是:把天体的运动看成圆周运动,其做圆周 运动的向心力由万有引力提供。

应用时可以根据实际情况选用适当的公式进行计算。 二、求天体的质量与密度问题 例 2 (05 广东)已知万有引力常量 G,地球半径 R,月球和地球之间的距离 r,同步 卫星距地面的高度 h,月球绕地球的运转周期 T1,地球的自转周期 T2,地球表面的重力加速 度 g。某同学根据以上条件,提出一种估算地球质量 M 的方法:

同步卫星绕地球作圆周运动,由



(1)请判断上面的结果是否正确,并说明理由。如不正确,请给出正确的解法和结果。 (2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。 解析:(1)上面结果是错误的,地球的半径 R 在计算过程中不能忽略。

正确的解法和结果是:由



(2)方法一:对月球绕地球作圆周运动,由



方法二:在地面重力近似等于万有引力,由 点拨:(1)天体的运动认为是匀速圆周运动。



(2)这里提供了一种测天体质量的方法:找一个绕行体,只要知道绕行体的线速度、

角速度、周期中的一个量及其轨道半径,即可求中心天体的质量



(3)求解天体的密度:求出天体质量后,再求出天体的体积,

当卫星环绕天体表面做圆周运动时,





三、飞船的变轨的问题 例 3 (05 江苏)某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆。由于阻力作 用,人造卫星到地心的距离从 r1 慢慢变到 r2,用 EKl、EK2 分别表示卫星在这两个轨道上的动 能,则 (A)r1<r2,EK1<EK2 (B)r1>r2,EK1<EK2 < (C)r1<r2,EK1>EK2 (D)r1>r2,EK1>EK2

误区警示:本题中由于阻力作用会误因为 加深“越高越慢”的印象,才能走出误区。

,错选 D。深刻理解速度是由高度决定的,

解析:由于阻力使卫星高度降低,故 r1>r2,由 故 B 正确。

知变轨后卫星速度变大,动能变

大 EK1<EK2,也可理解为卫星在做向心运动时引力做功大于克服阻力做功,故动能增加大, 点拨:人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。当天体做变轨运动时关键看轨道半

径的变化,然后根据公式 期的变化。 四、同步卫星问题 例 4 同步卫星是指相对于地面不动的人造卫星( )

判断线速度、角速度和周

A.它可以在地面上任一点的正上方,且离地心的距离可按需要选择不同的值 B.它可以在地面上任一点的正下方,但离地心的距离是一定的 C.它只能在赤道的正上方,但离地心的距离可按需要选择不同的值 D.它只能在赤道的正上方,切离地心的距离是一定的 解析: 非同步的人造卫星其轨道平面可与地轴间有任意夹角, 但同步卫星的轨道平面一 定与地轴垂直, 当卫星绕地轴转动的角速度与地球自转的角速度相同时, 卫星即相对地面不 动,而与地轴垂直的平面又有无限多个,由于卫星受地球的引力指向地心,在地球引力的作 用下同步卫星就不可能停留在与赤道平面平行的其他平面上, 因此, 同步卫星的轨道平面一 定与赤道共面,卫星位于赤道的正上方。设地球自转的角速度为 ω,同步卫星离地心的距离

为 r,由牛顿第二定律有 一定的,且线速度

,则 也是一定的。答案:D

。可见,同步卫星离地心的距离是

点拨: 地球的同步卫星 (质量可以不同) 都只能在赤道平面内距地面高度为 3. 6 104km 的同一轨道上以 3.1 km/s 的速度运行。即同步卫星有四个一定:位置一定,周期一定, 高度一定,速度一定。 五、 双星问题

例 1 两个靠得很近的恒星称为双星, 这两颗星必定以一定角速度绕二者连线上的某一 点转动才不至于由于万有引力的作用而吸引在一起,已知两颗星的质量分别为 距为 L,试求:(1)两颗星转动中心的位置;(2)这两颗星转动的周期。 解析:此题中两星球间距为 L,设两星球做圆周运动的轨道半径分别是 转动周期 T 相同,如图 1。 、 ,它们 ,相













由①②得

,又因为





由③代如①可得:

点拨:对于双星问题,关键抓住四个相等,即向心力、角速度、周期相等,轨道半径之 和等于两星间距,然后运用万有引力求解。

题型 1 万有引力定律在天体运动中的应用
【例 1】 “嫦娥一号”于 2009 年 3 月 1 日下午 4 时 13 分成功撞月,从发射到撞月历时 433 天,标志我国一期探月工程圆满结束.其中,卫星发射过程先在近地圆轨道绕行 3 周,再长 途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行.若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的 1/6, 月球半径为地球半径的 1/4,根据以上信息得( ) A.绕月与绕地飞行周期之比为 B.绕月与绕地飞行周期之比为 C.绕月与绕地飞行向心加速度之比为 1∶6 D.月球与地球质量之比为 1∶96 以题说法 1.两条线索 (1)万有引力提供向心力 F 引=F 向. (2)重力近似等于万有引力提供向心力. 2.两组公式

G

Mm v2 2? ? m ? m? 2 r ? m( ) 2 r 2 r T r

v2 2? m gr ? m ? m? 2 r ? m( ) 2 r (g r 为轨道所在处重力加速度) r T
3.应用实例

(1)天体质量 M、密度ρ 的估算 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径 r 和周期 T, 由G

Mm 2? 2 M M 3?r 3 4? 2 r 3 ? m ( ) r ? ? ? ? M ? 得 , , R 为天体的半径. 4 3 GT 2 R 3 T r2 V GT 2 ?R 3

当卫星沿天体表面绕天体运行时,r=R,则 ? ?

3? GT 2

(2)卫星的绕行速度、角速度、周期与半径 R 的关系

Mm v2 GM ①由 G 2 ? m 得v ? 知:r 越大,v 越小. r r r
②由 G

Mm GM ? m? 2 r 得 ? ? 知:r 越大,ω 越小. 2 r r3 Mm 2? ? m( ) 2 r 得 T ? 2 T r

③由 G

4? 2 r 3 知:r 越大,T 越大. GM
1 1 和 ,地球表面的重力加速度为 g,则火星 10 2

题型 2 天体表面重力加速度
【例 2】 火星的质量和半径分别约为地球的

表面的重力加速度约为( ) A.0.2g B.0.4g C.2.5g D.5g 以题说法 星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法 设天体表面的重力加速度为 g,天体半径为 R,则

mg ? G

Mm GM (或GM ? gR 2) ,即 g ? 2 2 R R

若物体距星体表面高度为 h,则

Mm GM R 2 / mg / ? G ,即 g ? ?( ) g 2 2 (R ? h) R?h ( R ? h)

题型 3 宇宙速度问题的分析
【例 3】 我国成功发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号” .设该卫星的轨道是圆形的, 且贴近月球表面.已知月球的质量约为地球质量的

1 1 ,月球的半径约为地球半径的 ,地 4 81

球上的第一宇宙速度约为 7.9 km/s,则该探月卫星绕月运行的速率约为( ) A.0.4 km/s B.1.8 km/s C.11 km/s D.36 km/s 以题说法 (1)解决此类题的关键:要明确卫星的第一宇宙速度等于最大环绕速度. (2)解决万有引力定律的应用问题,尽管题目很多,但其基本方法是不变的,即把天体的 运动看成圆周运动,万有引力提供向心力.

万有引力与航天单元测试题
一、选择题

1.关于日心说被人们接受的原因是 ( ) A.太阳总是从东面升起,从西面落下 B.若以地球为中心来研究的运动有很多无法解决的问题 C.若以太阳为中心许多问题都可以解决,对行星的描述也变得简单 D.地球是围绕太阳运转的 2.有关开普勒关于行星运动的描述,下列说法中正确的是( ) A.所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上 B.所有的行星绕太阳运动的轨道都是圆,太阳处在圆心上 C.所有的行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 D.不同的行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的 3.关于万有引力定律的适用范围,下列说法中正确的是( ) A.只适用于天体,不适用于地面物体 B.只适用于球形物体,不适用于其他形状的物体 C.只适用于质点,不适用于实际物体 D.适用于自然界中任意两个物体之间 4.已知万有引力常量 G,要计算地球的质量还需要知道某些数据,现在给出下列各组数据, 可以计算出地球质量的是() A.地球公转的周期及半径 B.月球绕地球运行的周期和运行的半径 C.人造卫星绕地球运行的周期和速率 D.地球半径和同步卫星离地面的高度 5.人造地球卫星由于受大气阻力,轨道半径逐渐变小,则线速度和周期变化情况是( ) A.速度减小,周期增大,动能减小 B.速度减小,周期减小,动能减小 C.速度增大,周期增大,动能增大 D.速度增大,周期减小,动能增大 6.一个行星,其半径比地球的半径大 2 倍,质量是地球的 25 倍,则它表面的重力加速度是 地球表面重力加速度的( ) A.6 倍 B.4 倍 C.25/9 倍 D.12 倍 7.假如一个做圆周运动的人造卫星的轨道半径增大到原来的 2 倍仍做圆周运动,则( ) A.根据公式 v=ωr 可知,卫星运动的线速度将增加到原来的 2 倍 B.根据公式 F=mv2/r 可知,卫星所需向心力减小到原来的 1/2 C.根据公式 F=GMm/r2 可知,地球提供的向心力将减小到原来的 1/4 D.根据上述 B 和 C 中给出的公式,可知卫星运动的线速度将减小到原来的 2 /2 8.假设在质量与地球质量相同,半径为地球半径两倍的天体上进行运动比赛,那么与在地 球上的比赛成绩相比,下列说法正确的是( ) A.跳高运动员的成绩会更好 B.用弹簧秤称体重时,体重数值变得更大 C.从相同高度由静止降落的棒球落地的时间会更短些 D.用手投出的篮球,水平方向的 分速度变化更慢 9.在地球大气层外有很多太空垃圾绕地球做匀速圆周运动,每到太阳活动期,由于受太阳 的影响,地球大气层的厚度开始增加,使得部分垃圾进入大气层.开始做靠近地球的近心运 动,产生这一结果的初始原因是( ) A.由于太空垃圾受到地球引力减小而导致做近心运动 B.由于太空垃圾受到地球引力增大而导致做近心运动 C.由于太空垃圾受到空气阻力而导致做近心运动 D.地球引力提供了太空垃圾做匀速圆周运动所需的向心力,故产生向心运动的结果与空气 阻力无关 10. “东方一号”人造地球卫星 A 和“华卫二号”人造卫星 B,它们的质量之比为 mA:mB=1: 2,它们的轨道半径之比为 2:1,则下面的结论中正确的是( ) A. 它们受到地球的引力之比为 FA: FB=1: 1 B. 它们的运行速度大小之比为 vA: vB=1: 2

C.它们的运行周期之比为 TA:TB= 2 2 :1 D.它们的运行角速度之比为 ? A:? B= 3 2 :1 11.西昌卫星发射中心的火箭发射架上,有一待发射的卫星,它随地球自转的线速度为 v1、 加速度为 a1;发射升空后在近地轨道上做匀速圆周运动,线速度为 v2、加速度为 a2;实施 变轨后,使其在同步卫星轨道上做匀速圆周运动,运动的线速度为 v3、加速度为 a3。则 v1、 v2、v3 的大小关系和 a1、a2、a3 的大小关系是( ) A.v2>v3>v1;a2<a3<a1 B.v2>v3< v1;a2>a3>a1 C.v2>v3>v1;a2>a3>a1 D.v3> v2>v1;a2>a3>a1 12.发射地球同步卫星要经过三个阶段:先将卫星发射至近地圆轨道 1,然后使其沿椭圆轨 道 2 运行,最后将卫星送入同步圆轨道 3.轨道 1、2 相切于 Q 点,轨道 2、3 相切于 P 点, 如图 1 所示.当卫星分别在 1、2、3 轨道上正常运行时,以下说法正确的是( ) A.卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的加速度等于它在轨道 2 上经过 Q 点时的加速度 B.卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的动能等于它在轨道 2 上经过 Q 点时的动能 C.卫星在轨道 3 上的动能小于它在轨道 1 上的动能 D.卫星在轨道 3 上的引力势能小于它在轨道 1 上的引力势能 二、填空题 13.地球绕太阳运行的轨道半长轴为 1.50×1011m,周期为 365 天;月球绕地球运行的轨道半 长轴为 3.8×l08m,周期为 27.3 天;则对于绕太阳运动的行星 R3/T2 的值为________,对于 绕地球运动的卫星 R3/T2 的值为________。 14.木星到太阳的距离约等于地球到太阳距离的 5.2 倍,如果地球在轨道上的公转速度为 30km/s,则木星在其轨道上公转的速度等于________。 15.如图 2,有 A、B 两颗行星绕同一恒星 O 做圆周运动,旋转方向相同,A 行星的周期为 T1,B 行星的周期为 T2,在某一时刻两行星第一次相遇(即两颗行星相距最近),则经过时间 t1=_______时两行星第二次相遇,经过时间 t2=_______时两行星第一次相距最远。 16.把火星和地球视为质量均匀分布的球,它们绕太阳做圆周运动,已知火星和地球绕太 阳运动的周期之比为 T1/T2,火星和地球各自表面处的重力加速度之比为 gl/g2,火星和地 球半径之比为 rl/r2。 则火星和地球绕太阳运动的动能之比为 E1/E2= 。 (动能公式

?A ? B

图2

1 2 为:E= mv ) 2
三、计算题 17.太阳系中除了有九大行星外,还有许多围绕太阳运行的小行星,其中一颗名叫 “谷神” 的小行星,质量为 1.00×1021kg,它运行的轨道半径是地球的 2.77 倍,试求出它绕太阳一周 所需要的时间是多少年?

18.某星球的质量约为地球的 9 倍,半径为地球的一半,若从地球上高 h 处平抛一物体,射 程为 60m,则在该星球上以同样高度、以同样初速度平抛同一物体,射程为多少?

19.“伽利略”号木星探测器从 1989 年 10 月进入太空起,历经 6 年,行程 37 亿千米,终于 到达木星周围,此后要在 2 年内绕木星运行 11 圈,对木星及其卫星进行考察,最后进入木 星大气层烧毁.设这 11 圈都是绕木星在同一个圆周上运行,试求探测器绕木星运行的轨道

半径和速率(已知木星质量为 1.9×1027kg)

20.宇宙飞船在一颗直径 2.2km,平均密度 2.2 ? 103 kg/m3 的小行星上着路,这颗小行星在 缓慢地自转,宇航员计划用 2.0 小时的时间在这颗小行星表面沿着赤道步行一圈,通过计算 说明这计划是否能够实现?(引力常量 G ? 6.7 ? 10?11 N ? m 2 /kg2)

21.用不同的方法估算银河系的质量,所得结果也不相同。以下是诸多估算方法中的一种。 根据观测结果估计,从银河系中心到距离为 R=3×109R0(R0 表示地球轨道半径)的范围内 集中了质量 M1=1.5×1011M0(M0 表示太阳的质量)。在上面所指的范围内星体运转的周期为 T=3.75×108 年。求银河系“隐藏”的质量,即在半径为 R 的球体内未被观察到的物质的质 量,计算中可以认为银河系的质量都集中在其中心。

22. A、 B 两颗人造卫星绕地球做圆周运动, 它们的圆轨道在同一平面内, 周期之比是 T1 ? 3 3 。
T2 2 2

若两颗卫星最近距离等于地球半径 R, 求这两颗卫星的周期各是多少?从两颗卫星相距最近 开始计时到两颗卫星相距最远至少经过多少时间?已知在地面附近绕地球做圆周运动的卫 星的周期为 T0。 新课标高中物理必修二万有引力与航天单元测试题【参考答案】 一、选择题 1.C 2.ACD 3.D 4.BC 5.D 6.C 7.CD 8.A 9.C 10.BC 11.C 12.AC 二、填空题 13.3.4×1018;1.0×1013 14.13km/s

? 2? R木 ? ? v ? R v R T v2 R木 提示:由开普勒第三定律 ? ? ? 木 ? ? ( 木 地 )2 得 地 ? ? 5.2 2 ? 2? R地 ? R地v木 v木 R地 R T ? v ? ? 地 ?
3 木 3 地 2 木 2 地

解得 v木 ?13km/s 13km / s 15.

T1T2 T1 ? T2

T1T2 2(T1 ? T2 )
t , T

提示:经过一段时间两行星再次相遇,则两行星转过的角度之差应该是 2Kπ ;当两行星相 距最远时,则两行星转过的角度之差应该是(2K+1)π ,而行星转过的角度为θ =2π 由此列式即可求得。 16.

E1 r12 g1 T2 2 3 ? ( ) E 2 r22 g 2 T1

解析: 设火星、 地球和太阳的质量分别为 m1 、m2 和 M, 火星和地球到太阳的距离分别为 R1 和 R2 ,火星和地球绕太阳运动的速度分别为 V1 和 V2 ,根据万有引力定律和牛顿定律可知

G

m1 ? g1 , ① r12

G

m2 ? g2 r22



G

m1 M V12 2? ? m ? m1 R1 ( ) 2 1 2 R1 T1 R1 m2 M V22 2? ? m ? m2 R2 ( ) 2 2 2 R2 T2 R2




G

联立上式解得,动能之比: 三、计算题 17.4.60 年

E1 r12 g1 T2 2 3 ? ( ) E 2 r22 g 2 T1

3 R0 T02 解:设地球公转半径为 R0,周期为 T0,由开普勒第三定律 3 ? 2 R T



R0 1 ? R 2.77



T0=1 年 ③ 联立①、②、③三式解得 T=4.60 年 18.10m 解 : 物 体 做 平 抛 运 动 , 水 平 位 移 x=v0t , 竖 直 位 移 y ?

1 2 gt , 重 力 等 于 万 有 引 力 , 2

mg ? G

Mm 2hR 2 ,解得 x ? v 0 R2 GM

其中 h、v0、G 相同,所以

x星 ? x地

2 M R星 1 1 1 1 10m ? 地 ? ( ) 2 ? ( ) ? , x星 ? x地 ?10m 2 6 R地 M星 2 9 6

19.r=4.7×109m,v=5.2×103m/s 解:由题意可知探测器运行周期为 T ?

2 ? 365 ? 24 ? 3600 s s 11
2



GMT 2 M ? 2? ? 3 万有引力提供向心力,即 G 2 ? r ? ? ,整理得 r ? 4? 2 r ? T ?
其中 M 为木星质量,两式联立,解得 r=4.7×109m.又由 v ?



2? r 解得 v=5.2×103m/s T

20.该计划不能实现。 解: 若飞船绕行星表面旋转时的周期为 T,则有:

GMm 4? 2 ? m R R2 T2
M ? 4 3 ?R ? ? 3




由①②得: T ?

3? ? 2.22 h G?

宇航员行走一圈所用时间比绕行星表面旋转一周时间还要长,所以该计划不能实现。

21.解析:对于地球绕太阳转动有: G

M 0m R0
2

? m(

2? 2 ) R0 T0



即 M0=

4? 2 R0 GT0
2

3



设题述银河系的半径为 R 的范围内的总质量为 M,则同上应有 M ?

4? 2 R 3 GT 2




由②、③两式可解得: M ?

R 3T0 R0 T
3

2 2

M 0 ? 1.9 ?1011 M 0
△m=M-M1=4×1010M0

可见银河系“隐藏”的质量为:

22.解:设 B 卫星轨道半径为 r2,则 A 卫星轨道半径为 r1=r2+R

T1 (r2 ? R) 3 3 ? ? 3 T2 2 2 r2 2
解得 r2=2R,r1=3R
3

3 2



可得:

T1 r1 2 ? 3 ?3 3 T0 R2 T1 ? 3 3T0 , T2? 2 2 T0 3 T2 r2 2 ? 3 ?2 2 T0 R2

设 A、B 两卫星从相距最近开始经过时间 t 第一次达到相距最远,有 解得时间 t ?

? 2? 2? ? ? ? ?t ? ? ? T2 T1 ?

3 6T0 (或=3.1T0) 3 3 ?2 2


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