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8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图-学生


§ 8.1

空间几何体的结构、三视图和直观图

1.几何体作为线面关系的载体,其结构特征是必考内容;2.考查三视图、直观图及其应用. 1.重点掌握以三视图为命题背景,研究空间几何体的结构特征的题型;2.熟悉一些典型的几何体模型,如三 棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图.

1. 多面体的结构特征 (1)棱柱的上

下底面平行,侧棱都平行且长度相等,上底面和下底面是全等的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上下底面的两个多边形相似. 2. 旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到. (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到,也可由平行于圆 锥底面的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆或圆绕其直径旋转得到. 3. 空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到,这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的 形状和大小是完全相同的,三视图包括正视图、侧视图、俯视图. 4. 空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用斜二测画法,基本步骤: (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴,两轴相交于点 O,画直观图时,把它们画成对应的 x′轴、 y′轴,两轴相交于点 O′,且使∠x′O′y′=45° (或 135° ). (2)已知图形中平行于 x 轴、y 轴的线段,在直观图中分别平行于 x′轴、y′轴. (3)已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中长度保持不变,平行于 y 轴的线段,长度变为原来的一 半. (4)在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面, 在直观图中对应的 z′轴也垂直于 x′O′y′平面, 已 知图形中平行于 z 轴的线段,在直观图中仍平行于 z′轴且长度不变.

[难点正本 疑点清源] 1.正棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之,正棱柱的底 面是正多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形. 2.正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地,各棱 均相等的正三棱锥叫正四面体.反过来,正棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面正多边 形的中心. 3.三视图的长度特征:“长对正、宽相等,高平齐”,即正视图和侧视图一样高,正视图和俯视图一样长, 侧视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要注意 实、虚线的画法.

1. 利用斜二测画法得到的以下结论,正确的是__________.(写出所有正确的序号) ①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;③正方形的直观图是正方形;④ 圆的直观图是椭圆;⑤菱形的直观图是菱形. 2. 一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几 何体前的编号). ①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆柱. 3. 用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是 A.圆柱 C.球体 B.圆锥 D.圆柱、圆锥、球体的组合体 ) ( )

4.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能 是( ...

5.

如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边边长分别为 3 和 4,过 直角顶点的侧棱长为 4,且垂直于底面,该三棱锥的正视图是 ( )

题型一 空间几何体的结构特征 例1 设有以下四个命题: ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; ②底面是矩形的平行六面体是长方体; ③直四棱柱是直平行六面体; ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点. 其中真命题的序号是________. 思维启迪:利用有关几何体的概念判断所给命题的真假. 探究提高 解决该类题目需准确理解几何体的定义,要真正把握几何体的结构特征,并且学会通过反

例对概念进行辨析,即要说明一个命题是错误的,设法举出一个反例即可. 以下命题: ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )

题型二 几何体的三视图 例2 1 如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 ,则该几何体的俯视图可以是 2 ( )

思维启迪:对于三视图的有关问题,一定要抓住“投影”这个关键词,把握几何体的形状. 探究提高 对于几何体的三视图,要注意以下几点: ①三视图的排放位置. 正视图、侧视图分别放在左、右两边,俯视图放在正视图的下边. ②注意实虚线的区别. ③画三视图的规则:长对正,宽平齐,高相等. 一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示,则该几何体

的俯视图为

(

)

题型三 空间几何体的直观图 例3 已知△ABC 的直观图 A′B′C′是边长为 a 的正三角形,求原△ABC 的面积.

探究提高 对于直观图,除了了解斜二测画法的规则外,还要了解原图形面积 S 与其直观图面积 S′之 间的关系 S′= 2 S,并能进行相关问题的计算. 4

正三角形 AOB 的边长为 a,建立如图所示的直角坐标 系 xOy,则它的直观图的面积是________.

三视图识图不准确致误

典例:(5 分)一个空间几何体的三视图,如图所示,则这个空间几何体的表面积是________.

温馨提醒

在由三视图还原为空间几何体的实际形状时,要从三个视图综合考虑,根据三视图的规则,空

间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状 时,一般是以正视图和俯视图为主,结合侧视图进行综合考虑.

方法与技巧 1. 棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征,计算问题往往转化到一个三角形中进行解决. 2. 旋转体要抓住“旋转”特点,弄清底面、侧面及展开图形状. 3. 三视图画法:(1)实虚线的画法:分界线和可见轮廓线用实线,看不见的轮廓线用虚线; (2)理解“长对正、宽平齐、高相等”. 4. 直观图画法:平行性、长度两个要素. 失误与防范 1.台体可以看成是由锥体截得的,但一定强调截面与底面平行. 2.注意空间几何体的不同放置对三视图的影响. 3.能够由空间几何体的三视图得到它的直观图;也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图,提升空间 想象能力.

A 组 专项基础训练

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 给出四个命题: ①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱;②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体;③有两 侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱;④长方体一定是正四棱柱. 其中正确的命题个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )

2. 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 ( A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 ) )

3.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为 (

4. 如图是一个物体的三视图,则此三视图所描述物体的直观图是

(

)

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 一个三角形在其直观图中对应一个边长为 1 的正三角形,原三角形的面积为________. 6. 如图所示,E、F 分别为正方体 ABCD—A1B1C1D1 的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正方体的面 DCC1D1 上的投 影是________.(填序号)

7. 图中的三个直角三角形是一个体积为 20 cm3 的几何体的三视图,则 h=________cm.

三、解答题(共 22 分) 8. 一个几何体的三视图及其相关数据如图所示,求这个几何体的表面积.

9. (12 分)已知一个正三棱台的两底面边长分别为 30 cm 和 20 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱 台的高.

B 组 专项能力提升

一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. (2011· 山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形,给定下列三个命题:①存 在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;②存在四棱柱,其正(主)视图、 俯视图如右图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图.其中真命题的 个数是 A.3 2. B.2 C.1 D.0 ) ( )

一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图为(

3. 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,过对角线 BD1 的一个平面交 AA1 于 E,交 CC1 于 F,得四边 形 BFD1E,给出下列结论: ①四边形 BFD1E 有可能为梯形; ②四边形 BFD1E 有可能为菱形; ③四边形 BFD1E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形; ④四边形 BFD1E 有可能垂直于平面 BB1D1D; ⑤四边形 BFD1E 面积的最小值为 其中正确的是 A.①②③④ C.①③④⑤ 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. 在如图所示的直观图中,四边形 O′A′B′C′为菱形且边长为 2 cm, 则在 xOy 坐标系中,四边形 ABCO 为________,面积为________ cm2. 5. 用半径为 r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒的高是________. 6. 如图,点 O 为正方体 ABCD—A′B′C′D′的中心,点 E 为面 B′BCC′的中心,点 F 为 B′C′的中点,则空间四边形 D′OEF 在 该正方体的各个面上的投影可能是________(填出所有可能的序号). B.②③④⑤ D.①②④⑤ 6 . 2 ( )

三、解答题 7. (13 分)已知正三棱锥 V—ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示.

(1)画出该三棱锥的直观图; (2)求出侧视图的面积.


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