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高中数学必修5期中学业水平测试卷


高中数学必修 5 期中学业水平测试卷 命题人:李俊
一选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1.函数 y ? x 2 ? 4 的定义域是( )

(A)(-2,2) (B)(-∞,-2)∪(2,+∞) (C)[-2,2] (D)(-∞,-2]∪[2,+∞) 2.设 a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( ) (A)a-b<0 (C) ab <

(B)0<
a <1 b

a?b 2

(D)ab>a+b

? x ? 1, ? 3.设不等式组 ? y ? 0, 所表示的平面区域是 W,则下列各点中,在区域 W 内的点是( ? x ? y ?0 ?
1 1 (A) ( , ) 2 3 1 1 (B) (? , ) 2 3 1 1 (D) ( ,? ) 2 3

)

1 1 (C) (? ,? ) 2 3

4.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则下列不等式中一定成立的是( ) (A)a1+a3>0 (B)a1a3>0 (C)S1+S3<0 (D)S1S3<0 5.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 A∶B∶C=1∶2∶3,则 a∶ b∶c 等于( ) (A)1∶ 3 ∶2 (B)1∶2∶3 (C)2∶ 3 ∶1 (D)3∶2∶1

6.已知等差数列{an}的前 20 项和 S20=340,则 a6+a9+a11+a16 等于( ) (A)31 (B)34 (C)68 (D)70 7.已知正数 x、y 满足 x+y=4,则 log2x+log2y 的最大值是( ) (A)-4 (B)4 (C)-2 (D)2 8.如图,在限速为 90km/h 的公路 AB 旁有一测速站 P,已知点 P 距测速区起点 A 的距离为 0.08 km,距测速区终点 B 的距离为 0.05 km,且∠APB=60°.现测得某辆汽车从 A 点 行驶到 B 点所用的时间为 3s,则此车的速度介于( )

(A)60~70km/h (C)80~90km/h 9. ?ABC 中, cos
2

(B)70~80km/h (D)90~100km/h

A b?c ? ,则 ?ABC 形状是( 2 2c



A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三 角形 10.已知正数 x、y 满足 x+y=4,则 log2x+log2y 的最大值是( ) (A)-4 (B)4 (C)-2 (D)2 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 11.不等式 x(x-1)<2 的解集为________. 12.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 成等差数列,则 cos(A+C)的值为________. 13.已知{an}是公差为-2 的等差数列,其前 5 项的和 S5=0,那么 a1 等于________. 14.在△ABC 中,BC=1,角 C=120°,cosA=

2 ,则 AB=________. 3

三、解答题(15、16、17、18 每题 12 分,19、20 每题 14 分) 15.已知函数 f(x)=x2+ax+6. (1)当 a=5 时,解不等式 f(x)<0; (2)若不等式 f(x)>0 的解集为 R,求实数 a 的取值范围.

16.已知{an}是等差数列,a2=5,a5=14. (1)求{an}的通项公式; (2)设{an}的前 n 项和 Sn=155,求 n 的值.

17. 在△ABC 中, b, 分别是角 A, C 的对边, B 是锐角, a, c B, A, c=10, 且 (1)证明角 C=90°; (2)求△ABC 的面积.

cs A b 4 o ? ? . cs B a 3 o

18.某厂生产甲、乙两种产品,生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如 下表所示.若每天配给该厂的煤至多 56 吨,供电至多 45 千瓦,问该厂如何安排生产, 使得该厂日产值最大? 用煤(吨) 甲种产品 乙种产品 7 3 用电(千瓦) 2 5 产值(万元) 8 11

1 19.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 cosA= . 3

(1)求 sin 2

B?C ? cos 2 A 的值; 2

(2)若 a= 3 ,求 bc 的最大值.

20.数列{an}的前 n 项和是 Sn,a1=5,且 an=Sn-1(n=2,3,4,…). (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 3 (2)求证: ? ? ??? ? ? a1 a 2 a3 an 5

高中数学必修 5 学业水平测试卷答案
一、选择题 1.D 2.C 9、B 10 D 二、填空题 11.{x|-1<x<2} 3.A 4.B 5.A 6.C 7.D 8.C

12. ?

1 2

13.4

14.

3 15 10

三、解答题 15.解:(1)当 a=5 时,f(x)=x2+5x+6. f(x)<0 ? x2+5x+6<0 ? (x+2)(x+3)<0 ? -3<x<-2. (2)若不等式 f(x)>0 的解集为 R,则 a2-4×6<0 ? ?2 6 ? a ? 2 6 , 即实数 a 的取值范围是 (?2 6 ,2 6 ) . 16.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 a1+d=5,a1+4d=14,解得 a1=2,d=3. 所以数列{an}的通项为 an=a1+(n-1)d=3n-1. (2)数列{an}的前 n 项和 Sn= 由

n(a1 ? an ) 3 2 1 ? n ? n. 2 2 2

3 2 1 n ? n ? 155 ,化简得 3n2+n-310=0, 2 2
cos A sin B , ? cos B sin A

即(3n+31)(n-10)=0,所以 n=10. 17.证明:(1)根据正弦定理得

整理为 sinAcosA=sinBcosB,即 sin2A=sin2B. ∵0<2A,2B<π ,∴2A=2B,或 2A+2B=π . ∵

π b 4 ? ,∴A+B= ,即∠C=90° a 3 2 1 ab=24. 2

(2)因为△ABC 是以角 C 为直角的直角三角形,且 c=10,易求得 a=6,b=8. ∴△ABC 的面积 S=

18.略解:设每天生产甲种产品 x 吨,乙种产品 y 吨,

?7 x ? 3 y ? 56, ? 则 ?2 x ? 5 y ? 45, 目标函数 z=8x+11y,作出线性约束条件所表示的平面区域, ? x ? 0, y ? 0. ?
可求得鲞 x=5,y=7 时,z 取最大值 117 万元. 所以,每天生产甲种产品 5 吨,乙种产品 7 吨,日产值到达最大值 117 万元. 19.略解:(1) sin 2
1?

B?C A 1 ? cos A ? cos 2 A ? cos2 ? 2 cos2 A ? 1 ? ? 2 cos2 A ? 1 2 2 2

?

1 3 ? 2 ? 1 ?1 ? ? 1 . 2 9 9

(2)∵cosA=

b2 ? c2 ? a2 1 ? , 2bc 3

9 2 ∴ bc ? b 2 ? c 2 ? 3 ? 2bc ? 3 ,整理得 bc≤ . 3 4
当且仅当 b=c=

3 9 时,bc 取得最大值 . 2 4

?an?1 ? S n , 20.(1)解:依题意得 ? 两式相减得: ?an ? S n?1 , (n ? 2,3,4, ?)

an an+1-an=an,即 a ?1 ? 2 (n=2,3,4,…). n
∴a2,a3,a4,…构成首项为 a2,公比为 2 的等比数列. - ∵a2=S1=a1=5,∴an=5·2n 2(n≥2). ∴ an ? ?

?5, ?5 ? 2
n?2

(n ? 1) . (n ? 2,3,4, ?)

(2)证明:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ??? 2 a1 a2 a3 an 5 5 5 ? 2 5 ? 2 5 ? 2 n?2
1 1 ? ( ) n?1 2 1 1? 2

1 1 1 1 1 1 1 ? ? (1 ? ? ? ? ? n?2 ) ? ? ? 5 5 2 4 5 5 2

?

1 2 1 1 2 3 ? [1 ? ( ) n?1 ] ? ? ? . 5 5 2 5 5 5


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