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江苏省连云港外国语学校2016届高三数学第三次学情调研试题


连云港外国语学校 2016 届高三第三次学情调研 数 学 试 卷
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.设全集 A={0,1,2},B={-1,0,1},则 A∪B= 2.复数 z ? (1 ? 3i)i ( i 是虚数单位),则 z 的实部是 2015.11.1 . .

3.右图是小王所做的六套数学附加题得分(满分 40

)的茎叶图则其平均得分为

.

4.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标为



5 已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数 , a3 ? 4, a6 ?

1 , 则 a4 ? a5 ? 2


6.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同. 现从中随机取出两个小球,则取出的小球上标注的数字之和为 5 或 7 的概率是 7. 右图是一个算法的伪代码,则输出的 i 的值为 .

S←9 i←1 While S≥0 S←S ? i i←i ? 1 End While Print i
(第 7 题)

8.在 ?ABC 中,若 a ? 2, b ? 2 3, B ?

?
3

,则 ?ABC 的面积为

.

9. 如图,各条棱长均为 2 的正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,M 为 A1C1 的中点,则三棱锥 M ? AB1C 的
1

体积为

. C1 M A1 B1

C A
( 第9题 )

B

10. 已 知 函 数 f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? m 在 区 间 [0, 2 ] 上 有 两 个 不 同 的 零 点 , 则 m 的 取 值 范 围 6 为 .
2 11、若直线 l : y ? x ? a 被圆 ? x ? 2 ? ? y ? 1 截得的弦长为 2,则 a= 2

?

?

. .

?x -4x+6,x≥0 ? 12.设函数 f(x)=? ?x+6,x<0 ?

2

,则不等式 f(x)>f(1)的解集是

13.在直角 ?ABC 中, AB ? 2, AC ? 2 3 ,斜边 BC 上有异于端点两点 B、C 的两点 E、F , 且 EF =1 ,则 AE ? AF 的取值范围是 14.已知 x ? 0,y ? 0 ,且满足 x ?

??? ? ??? ?

. .

y 1 8 ? ? ? 10 ,则 2 x ? y 的最大值为 2 x y

二、简答题(共 6 小题,90 分)解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 14 分) 已知在△ABC 中, sin( A ? B) ? 2sin( A ? B) . (1)若 B ?

π ,求 A ; 6

(2)若 tan A ? 2 ,求 tan B 的值.

16.(本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, O 为菱形 ABCD 对角线的交点,M 为棱 PD 的中点,MA ? MC.

2

(1)求证:PB // 平面 AMC; (2)求证:平面 PBD ? 平面 AMC. M O D A

P

C O
(第 16 题)

B

17. (本小题满分 14 分) 如图,两座建筑物 AB, CD 的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分 别是 9 cm 和 15 cm ,从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的视角 ?CAD ? 45? . (1)求 BC 的长度; (2)在线段 BC 上取一点 P ( 点 P 与点 B, C 不重合) ,从点 P 看这两座建筑物的视角分别为

?APB ? ? , ?DPC ? ? , 问点 P 在何处时, ? ? ? 最小?

D A

?
B
18、 (本小题满分 16 分)

?

P

C

1 x2 y 2 ? 3? 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且过点 A ?1, ? . 2 a b ? 2?
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 B 在椭圆上,点 D 在 y 轴上,且 BD ? 2 DA ,求直线 AB 方程.
3

??? ?

??? ?

19. (本小题满分 16 分)

ex 已知函数 f ( x) ? . x
(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为 ax ? y ? 0 ,求 x0 的值; (2)当 x ? 0 时,求证: f ( x) ? x ; (3)设函数 F ( x) ? f ( x) ? bx ,其中 b 为实常数,试讨论函数 F ( x) 的零点个数,并证明你 的结论.

20. (本小题满分 16 分) 在数列 ?an ? ,?bn ? 中,已知 a1 ? 2 , b1 ? 4 ,且 an , ?bn , an ?1 成等差数列,bn , ? an , bn ?1
4

也成等差数列. (1)求证: ?an ? bn ? 是等比数列; (2)设 m 是不超过 100 的正整数,求使

an ? m a ?4 ? m 成立的所有数对 (m, n) . an?1 ? m am?1 ? 4

连云港外国语学校 2016 届高三第三次学情调研 数 学 试 卷 2015.11.1 一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)
5

1.设全集 A={0,1,2},B={-1,0,1},则 A∪B= 2.复数 z ? (1 ? 3i)i ( i 是虚数单位),则 z 的实部是 ▲

。 ?? 1,0,1,2? . ?3

3.右图是小王所做的六套数学附加题得分(满分 40)的茎叶图 则其平均得分为 ▲ 31

4.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标为 ▲

.(1,0)

5 已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数 , a3 ? 4, a6 ?

1 , 则 a4 ? a5 ? 2

▲ 3

6.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同. 现从中随机取出两个小球,则取出的小球上标注的数字之和为 5 或 7 的概率是 ▲ 7. 右图是一个算法的伪代码,则输出的 i 的值为 ▲ . 【答案】5 C1 M S←9 i←1 While S≥0 S←S ? i i←i ? 1 End While Print i
(第 7 题)



2 5

A1

B1

C A
( 第9题 )

B

8.在 ?ABC 中,若 a ? 2, b ? 2 3, B ?

?
3

,则 ?ABC 的面积为 ▲ . 2 3

9. 如图,各条棱长均为 2 的正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,M 为 A1C1 的中点,则三棱锥 M ? AB1C 的 体积为 ▲ .
2 3 3

10.已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? m 在区间 [0, ] 上有两个不同的零点,则 m 的取值 2 6 范围为_______. [ ,1)
6

?

?

1 2

2 11、若直线 l : y ? x ? a 被圆 ? x ? 2 ? ? y ? 1 截得的弦长为 2,则 a= ▲ 2

. -2

12. 设函数 f(x)=? 或 x>3}

?x -4x+6,x≥0 ? ? ?x+6,x<0

2

, 则不等式 f(x)>f(1)的解集是________. 13.{x|-3<x<1

13.在直角 ?ABC 中, AB ? 2, AC ? 2 3 ,斜边 BC 上有异于端点两点 B、C 的两点

??? ? ??? ? E、F ,且 EF =1 ,则 AE ? AF 的取值范围是
14.已知 x ? 0,y ? 0 ,且满足 x ?



.[

11 , 9) 4
▲ .18

y 1 8 ? ? ? 10 ,则 2 x ? y 的最大值为 2 x y

二、简答题(共 6 小题,90 分)解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 14 分) 已知在△ABC 中, sin( A ? B) ? 2sin( A ? B) . (1)若 B ?

π ,求 A ; 6

(2)若 tan A ? 2 ,求 tan B 的值.

π π 15.解:(1)由条件,得 sin( A ? ) ? 2sin( A ? ) . 6 6
? 3 1 3 1 sin A ? cos A ? 2( sin A ? cos A) . …………………………………………3 分 2 2 2 2

化简,得

sin A ? 3 cos A .

? tan A ? 3 .……………………………………………………………………………6 分

又 A ? (0, π) , ? A ?

π . ………………………………………………………………7 分 3

(2)? sin( A ? B) ? 2sin( A ? B) ,
? sin A cos B ? cos A sin B ? 2(sin A cos B ? cos A sin B) .

化简,得 又

3cos A sin B ? sin A cos B .…………………………………………………11 分 cos A cos B ? 0 ,
7

? tan A ? 3tan B .又 tan A ? 2,

? tan B ?

2 .……………………………………………………………………14 分 3

16.(本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, O 为菱形 ABCD 对角线的交点,M 为棱 PD 的中点,MA ? MC. (1)求证:PB // 平面 AMC; (2)求证:平面 PBD ? 平面 AMC. 证明: (1)连结 OM , 因为 O 为菱形 ABCD 对角线的交点, 所以 O 为 BD 的中点, 又 M 为棱 PD 的中点, 所以 OM // PB , 又 OM ? 平面 AMC, PB ? 平面 AMC, 所以 PB // 平面 AMC; (2)在菱形 ABCD 中,AC ? BD,且 O 为 AC 的中点, 又 MA ? MC,故 AC ? OM, 而 OM ? BD ? O ,OM,BD ? 平面 PBD, 所以 AC ? 平面 PBD, 又 AC ? 平面 AMC, 所以平面 PBD ? 平面 AMC. …… 14 分 …… 11 分 …… 8 分 …… 6 分 A M O D O
(第 16 题)

P

C B …… 2 分

17. (本小题满分 14 分) 如图,两座建筑物 AB, CD 的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分 别是 9 cm 和 15 cm ,从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的视角 ?CAD ? 45? .

8

(1)求 BC 的长度; (2) 在线段 BC 上取一点 P ( 点 P 与点 B, C 不重合) , 从点 P 看这两座建筑物的视角分别为

D A

?APB ? ? , ?DPC ? ? , 问 点 P 在 何 处 时 ,

? ? ? 最小?
2 14 17.解: (1)由题意得 M , , 3 9
又因为 y? ? ?2 x , 所以直线 l 的斜率 k ? ? 故直线 l 的方程为 y ? 即 y??

? ?

?
B
4 , 3

?

P

C

14 4 2 ?? x? , 9 3 3 4 22 . x? 3 9

? ?

(2)由(1)易知 l : y ? (2 ? t 2 ) ? ?2t ( x ? t ) ,即 y ? ?2tx ? t 2 ? 2 . 令y?0得x?

1 2 t ? ,令 x ? 0 得 y ? t 2 ? 2 . 2 t

? ?

2 ?1 ? t ? ≤2, 由题意 ? 2 解得 2 ? 2 ≤ t ≤1 . t 2 ? t ? 2 ≤ 3 ?

? ?

1 1 2 1 4 ? S?ODN ? ? t ? ? t 2 ? 2? ? t 3 ? 4t ? . 2 2 t 4 t
2 2 1 2 4 3t 4 ? 4t 2 ? 4 ? t ? 2 ?? 3t ? 2 ? 1 3 4 ? ? 令 g ? t ? ? t ? 4t ? ,则 g ? t ? ? 3t ? 4 ? 2 ? . 4t 2 4 t 4 t 4t 2

? ?

?

?

? ? 6 6 ? 0 ;当 t ? ? 2 ? 当t ? 时, g ? ? 3 3 ? ?

?

2,

6 6 ? 0; 时, g ? 3 3

?

? ?

∴所求面积的最大值为 6-

8 6. 9

9

18、 (本小题满分 16 分)

1 x2 y 2 ? 3? 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且过点 A ?1, ? . 2 a b ? 2?
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 B 在椭圆上,点 D 在 y 轴上,且 BD ? 2 DA ,求直线 AB 方程. 18、解: (1)? e ?

??? ?

??? ?

c 1 ? ? a ? 2c …………………………………………………(2 分) a 2

?b2 ? a 2 ? c 2 ? 3c 2
设椭圆方程为:

1 3 x2 y2 ? ? 1 ,? 2 ? 2 ? 1? c ? 1 2 2 4c 4c 4c 3c

x2 y 2 ? ? 1 …………………………………………………………(7 分) 设椭圆方程为: 4 3
(2)设 B( x0 , y0 ),D(0,m),则 BD ? (?x0 , m ? y0 ) , DA ? (1,

??? ?

??? ?

3 ? m) 2

?- x0 ? 2, m ? y0 ? 3 ? 2m 即 x0 ? ?2, y0 ? 3m ? 3 代入椭圆方程得 m=1? D(0,1) …(14 分)
1 x ? 1 ………………………………………………………………………(16 分) 2

? l AB : y ?

10

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

ex . x

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为 ax ? y ? 0 ,求 x0 的值; (2)当 x ? 0 时,求证: f ( x) ? x ; (3)设函数 F ( x) ? f ( x) ? bx ,其中 b 为实常数,试讨论函数 F ( x) 的零点个数,并证明你 的结论.

19. (1)解: f '( x) ?

ex x ? ex . 因为切线 ax ? y ? 0 过原点 (0, 0) , x2

e x0 e x0 x0 ? e x0 x 所以 ? 0 ,解得: x0 ? 2 . 2 x0 x0
(2)证明:设 g ( x) ? 令 g '( x) ?

e x ( x 2 ? 2 x) f ( x) e x ? 2 ( x ? 0) ,则 g '( x) ? . x4 x x e x ( x 2 ? 2 x) ? 0 ,解得 x ? 2 . x4

x 在 (0, ??) 上变化时, g '( x), g ( x) 的变化情况如下表

所以 当 x ? 2 时, g ( x) 取得最小值 所以 当 x ? 0 时, g ( x) ?

e2 . 4

e2 4

1 ,即 f ( x) ? x . ex ? b ? 0 .注意 x ? 0 . x2

(3)解: F ( x) ? 0 等价于 f ( x) ? bx ? 0 ,等价于

11

令 H ( x) ?

ex e x ( x ? 2) ? ,所以 ? b H ( x ) ? ( x ? 0) . x2 x3

(I)当 b ? 0 时, H ( x) ? 0 ,所以 H ( x ) 无零点,即 F(x)定义域内无零点. (II)当 b ? 0 时, (i)当 x ? 0 时, H ?( x) ? 0 , H ( x ) 单调递增;

因为 H ( x ) 在 ( ??, 0) 上单调递增,而 H (?

1 ) ? be b

?

1 b

?b ? b?

1? e e
1 b

1 b



又e

1 b

? 1 ,所以 H (?

1 ) ? 0. b
1 nb

? 1 又因为 H (? ) ? nbe nb

?b ? b?
1 nb

n?e e
1 nb

1 nb

, 其中 n ? N , 取 n ? ? ? ? 3 ,? ? 表 b b

?

?1? ? ?

?1? ? ?

1 示 的整数部分.所以 1 ? e b

? e , n ? 3 ,由此 H (?

1 ) ? 0. nb

由零点存在定理知, H ( x ) 在 ( ??, 0) 上存在唯一零点. (ii)当 0 ? x ? 2 时, H ?( x) ? 0 , H ( x ) 单调递减; 当 x ? 2 时, H ?( x) ? 0 , H ( x ) 单调递增. 所以当 x ? 2 时, H ( x ) 有极小值也是最小值, H (2) ? ①当 H (2) ? ②当 H (2) ? 分 ③ 当

e2 ?b. 4

e2 e2 ? b ? 0 ,即 0 ? b ? 时, H ( x ) 在 (0, ??) 上不存在零点; 4 4 e2 e2 ? b ? 0 ,即 b ? 时, H ( x ) 在 (0, ??) 上存在惟一零点 2;………12 4 4
1 b

H (2) ?
1 b

e2 ?b ? 0 4
1 b





b?

e2 4







e

?1



1 H ( ) ? be b

? b ? b(e

? 1) ? 0 ,

而 H (2) ? 0 ,所以 H ( x ) 在 (0, 2) 上存在惟一零点;

e 2b e2b ? 4b3 ?b ? 又因为 2b ? 3 , H (2b) ? . 4b 2 4b 2
12

令 h(t ) ? e ?
t

1 3 3 2 t t , 其中 t ? 2b ? 2 ,h?(t ) ? e ? t ,h??(t ) ? et ? 3t ,h???(t ) ? et ? 3 , 2 2
2

所 以 h???( t ) ?

e ? ? 3

, 0 因 此 h??(t ) 在 (2, ??) 上 单 调 递 增 , 从 而

h??(t ) ? h(2) ? e2 ? 6 ? 0 ,
所以 h?(t ) 在 (2, ??) 上单调递增,因此 h?(t ) ? h?(2) ? e2 ? 6 ? 0 , 故 h(t ) 在 (2, ??) 上单调递增,所以 h(t ) ? h(2) ? e2 ? 4 ? 0 .

H ( x ) 在 (2, 2b) 上存在惟一零点, 由上得 H (2b) ? 0 , 由零点存在定理知, 即在 (2, ??)
上存在唯一零点. 综上所述:当 b ? 0 时,函数 F(x)的零点个数为 0;

e2 当0 ? b ? 时,函数 F(x)的零点个数为 1; 4 e2 当b ? 时,函数 F(x)的零点个数为 2; 4 e2 当b ? 时,函数 F(x)的零点个数为 3. 4
20. (本小题满分 16 分) 在数列 ?an ? ,?bn ? 中,已知 a1 ? 2 , b1 ? 4 ,且 an , ?bn , an ?1 成等差数列,bn , ? an , bn ?1 也成等差数列. (1)求证: ?an ? bn ? 是等比数列; (2)设 m 是不超过 100 的正整数,求使

an ? m a ?4 ? m 成立的所有数对 (m, n) . an?1 ? m am?1 ? 4

20. (1)由 a n , ?bn , an ?1 成等差数列可得, ?2bn ? an ? an ?1 ,① 由 bn , ? an , bn ?1 成等差数列可得, ?2an ? bn ? bn ?1 , ① ? ②得, an?1 ? bn ?1 ? ?3(an ? bn ) , 所以 ?an ? bn ? 是以 6 为首项、 ?3 为公比的等比数列.………………………………………6 分
13



(2)由(1)知, an ? bn ? 6 ? (?3)n?1 ,③ ③ ? ④得, an ? 分 代入

① ? ②得, an?1 ? bn?1 ? an ? bn ? ?2 ,④

6 ? (?3)n ?1 ? 2 ? 3 ? ( ?3)n ?1 ? 1 , …………………………………………… 8 2

an ? m a ?4 3 ? (?3) n ?1 ? 1 ? m 3 ? (?3) m ?1 ? 3 ? m ? ,得 , an ?1 ? m am ?1 ? 4 3 ? (?3) n ? 1 ? m 3 ? (?3) m ? 3

所以 [3 ? (?3)n?1 ? 1 ? m][3 ? (?3)m ? 3] ? [3 ? (?3)n ? 1 ? m][3 ? (?3)m?1 ? 3] , 整理得, (m ? 1)(?3)m ? 3? (? 3)n ? 0,所以 m ? 1 ? (?3)n?m?1 ,……………………………10 分 由 m 是不超过 100 的正整数,可得 2 ≤ (?3)n?m?1 ≤101,所以 n ? m ? 1 ? 2 或 4 , 当 n ? m ? 1 ? 2 时, m ? 1 ? 9 ,此时 m ? 8 ,则 n ? 9 ,符合题意; 当 n ? m ? 1 ? 4 时, m ? 1 ? 81 ,此时 m ? 80 ,则 n ? 83 ,符合题意. 故使 分

an ? m a ?4 ? m 成立的所有数对 ( m, n ) 为 (8,9) , (80,83) .………………………16 an ?1 ? m am ?1 ? 4

14

连云港外国语学校 2016 届高三第三次学情调研 数学试卷(附加题) 2015.11.1 21B. (本小题满分 10 分)选修 4—2:矩阵与变换 ?0 1? 在直角坐标系 xOy 中,点(2,﹣2)在矩阵 M ? ? , ? 对应变换作用下得到点(﹣2,4) ?a 0? 曲线 C : x2 ? y 2 ? 1 在矩阵 M 对应变换作用下得到曲线 C ' ,求曲线 C ' 的方程.

21C.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,圆 C 的方程为 ? ? 2 2 sin(? ? ) ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半 轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? 置关系. \

?

? x4 ? t,

? y ? 1 ? 2t

( t 为参数) ,判断直线 l 和圆 C 的位

22. [必做题] (本小题满分 10 分) 在十字路口的路边,有人在促销木糖醇口香糖,只听喇叭里喊道:木糖醇口香糖,10 元钱 三瓶,有 8 种口味供你选择(其中有一种为草莓口味) 。小明一看,只见一大堆瓶装口香糖堆在 一起(假设各种口味的口香糖均超过 3 瓶,且每瓶价值均相同) . (1)小明花 10 元钱买三瓶,请问小明共有多少种选择的可能性? (2)小明花 10 元钱买三瓶,售货员随便拿三瓶给小明,请列出有小明喜欢的草莓味口香糖瓶数
15

? 的分布列,并计算其数学期望.

23. [必做题] (本小题满分 10 分) 已知 ( x ? 1) n ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) 2 ? a3 ( x ? 1)3 ? ? ? an ( x ? 1) n , (其中 n ? N? )

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an .
(1)求 S n ; (2)求证:当 n ≥ 4 时, S n ? (n ? 2)2n ? 2n 2 .

16

21B. (本小题满分 10 分)选修 4—2:矩阵与变换
?0 1? 在直角坐标系 xOy 中,点(2,﹣2)在矩阵 M ? ? , ? 对应变换作用下得到点(﹣2,4) ?a 0? 曲线 C : x2 ? y 2 ? 1 在矩阵 M 对应变换作用下得到曲线 C ' ,求曲线 C ' 的方程. 1 2 1B . 得 a = 2 (3 分)设点列式(3 分)得 x2 ? y 2 ? 1 (4 分) 4

21C.选修 4—4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,圆 C 的方程为 ? ? 2 2 sin(? ? ) ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建 4 ? x ? t, l 立平面直角坐标系,直线 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,判断直线 l 和圆 C 的位置关系. ? y ? 1 ? 2t C.消去参数 t ,得直线 l 的直角坐标方程为 y ? 2 x ? 1 ;…………… 2 分

?

? ? ? 2 2(sin? ? ) 即 ? ? 2(sin ? ? cos? ) ,
两边同乘以 ? 得 ? 2 ? 2( ? sin ? ? ? cos? ) , 得⊙ C 的直角坐标方程为: ( x ? 1)2 ? ( x ? 1)2 ? 2 , …………………… 6 分 圆心 C 到直线 l 的距离 d ? 所以直线 l 和⊙ C 相交.

4

| 2 ? 1 ? 1| 22 ? 12

?

2 5 ? 2, 5

…………………………………………………… 10 分

22. [必做题] (本小题满分 10 分) 在十字路口的路边,有人在促销木糖醇口香糖,只听喇叭里喊道:木糖醇口香糖,10 元钱 三瓶,有 8 种口味供你选择(其中有一种为草莓口味) 。小明一看,只见一大堆瓶装口香糖堆在 一起(假设各种口味的口香糖均超过 3 瓶,且每瓶价值均相同) . (1)小明花 10 元钱买三瓶,请问小明共有多少种选择的可能性? (2)小明花 10 元钱买三瓶,售货员随便拿三瓶给小明,请列出有小明喜欢的草莓味口香糖瓶数

? 的分布列,并计算其数学期望.
3 1 1 (1)若 8 种口味均不一样,有 C8 ? 56 种;若其中两瓶口味一样,有 C8 C 7 ? 56 种;

若三瓶口味一样,有 8 种。所以小明共有 56 ? 56 ? 8 ? 120 种选择。 …………………4 分 (2) ? 的取值为 0,1,2,3.
3 1 C7 ? C7 ? 6 ? 7 84 C 72 ? 7 28 7 7 P(? ? 0) ? ; P (? ? 1) ? ; ? ? ? ? 120 120 120 10 120 30

17

P(? ? 2) ?

7 1 ; P (? ? 3) ? . 120 120

所以 ? 的分布列为…………………………………………………………………………8 分

?

0

1

2

3

P

7 10

7 30

7 120

1 120

其数学期望 E? ? 0 ?

7 7 7 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? .………………………………10 分 10 30 120 120 8

23. [必做题] (本小题满分 10 分) 已知 ( x ? 1) n ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) 2 ? a3 ( x ? 1)3 ? ? ? an ( x ? 1) n , (其中 n ? N? )

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an .
(1)求 S n ; (2)求证:当 n ≥ 4 时, S n ? (n ? 2)2n ? 2n 2 . 23.[必做题] (1)取 x ? 1 ,则 a0 ? 2n ;取 x ? 2 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 3n , ∴ Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 3n ? 2n ; …………………………………………4 分

(2)要证 Sn ? (n ? 2)2n ? 2n 2 ,只需证 3n ? (n ? 1)2n ? 2n 2 , 当 n ? 4 时, 81 ? 80 ; 假设当 n ? k (k ? 4) 时,结论成立,即 3k ? (k ? 1)2k ? 2k 2 ,
k 2 k ?1 2 k 2 两边同乘以 3 得: 3k ?1 ? 3 ? ?(k ? 1)2 ? 2k ? ? ? k 2 ? 2(k ? 1) ? [(k ? 3)2 ? 4k ? 4k ? 2]

而 (k ? 3)2k ? 4k 2 ? 4k ? 2 ? (k ? 3)2 k ? 4( k 2 ? k ? 2) ? 6 ? ( k ? 3)2 k ? 4( k ? 2)( k ? 1) ? 6 ? 0 ∴ 3k ?1 ? ((k ? 1) ? 1)2k ?1 ? 2(k ? 1) 2 ,即 n ? k ? 1 时结论也成立, ∴当 n ? 4 时, 3n ? (n ? 1)2n ? 2n 2 成立. 综上原不等式获证. ……………………………………………………………………10 分

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