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1.1.1任意角2


第一章

三角函数

1.1

任意角和弧度制
1.1.1 任意角

问题提出

1.角是平面几何中的一个基本图形,角 是可以度量其大小的.在平面几何中,角 的取值范围如何? 2.体操是力与美的结合,也充满了角的 概念.2002年11月22日,在匈牙利德布 勒森举行的第36届世界体操锦标赛中, “李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180 度接直体前空翻转体900度”,震惊四座, 这里的转体180度、 转体900度就是一个 角的概念.

3.过去我们学习了0°~360°范围的角, 但在实际问题中还会遇到其他角.如在 体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中, 常常听到“转体10800”、“转体12600” 这样的解说.再如钟表的指针、拧动螺 丝的扳手、机器上的轮盘等,它们按照 不同方向旋转所成的角,不全是0°~ 3600范围内的角.因此,仅有0°~360° 范围内的角是不够的,我们必须将角的 概念进行推广.

知识探究(一):角的概念的推广 思考1:对于角的图形特点有如下两种认 识:①角是由平面内一点引出的两条射 线所组成的图形(如图1);②角是由平 面内一条射线绕其端点从一个位置旋转 到另一个位置所组成的图形(如图2). 你认为哪种认识更科学、合理?

图1

图2

思考2:如图,一条射线的端点是O,它 从起始位置OA旋转到终止位置OB,形成 了一个角α ,其中点O,射线OA、OB分别 叫什么名称?
B α

始边
O A

终边

顶点

思考3:在齿轮传动中,被动轮与主动轮 是按相反方向旋转的.一般地,一条射线 绕其端点旋转,既可以按逆时针方向旋 转,也可以按顺时针方向旋转.你认为将 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600 所形成的角,与按顺时针方向旋转600所 形成的角是否相等?

思考4:为了区分形成角的两种不同的旋 转方向,可以作怎样的规定?如果一条 射线没有作任何旋转,它还形成一个角 吗?

规定: 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角, 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有作任何旋转,则称它 形成了一个零角.

?

思考5:度量一个角的大小,既要考虑旋转方 向,又要考虑旋转量,通过上述规定,角的 范围就扩展到了任意大小. 对于α =210°, ? ? =-150°,=-660°,你能用图形表示这 些角吗?你能总结一下作图的要点吗? 画图表示一个大小一定的角, 先画一条射线作为角的始边, 再由角的正负确定角的旋转 γ 方向,再由角的绝对值大小 确定角的旋转量,画出角的 终边,并用带箭头的螺旋线 B1 加以标注.
B2 α O β A

思考6:如果你的手表慢了20分钟,或快 了1.25小时,你应该将分钟分别旋转多 少度才能将时间校准? -120°,450°.

思考7:任意两个角的数量大小可以相加、 相减,如 50°+80°=130°, 50° -80°=-30°,你能解释一下这两个式 子的几何意义吗? 以50°角的终边为始边,逆时针(或顺 时针)旋转80°所成的角.

思考8:一个角的始边与终边可以重合吗? 如果可以,这样的角的大小有什么特点? k· 360°(k∈Z)

知识探究(二):象限角

思考1:为了进一步研究角的需要,我们 常在直角坐标系内讨论角,并使角的顶 点与原点重合,角的始边与x轴的非负半 轴重合,那么对一个任意角,角的终边 可能落在哪些位置? y o
x

思考2:如果角的终边在第几象限,我们 就说这个角是第几象限的角;如果角的 终边在坐标轴上,就认为这个角不属于 如何象限,或称这个角为轴线角.那么下 列各角:-50°,405°,210°, -200°,-450°分别是第几象限的角?
y
x o -50° o 405°

y
210° x

y

y

y x -450° x o

x
o o -200°

思考3:锐角与第一象限的角是什么逻辑 关系?钝角与第二象限的角是什么逻辑 关系?直角与轴线角是什么逻辑关系? 思考4:第二象限的角一定比第一象限的 角大吗? 象限角只能反映角的终边所在象限,不 能反映角的大小.

思考5:在直角坐标系中,135°角的终 边在什么位置?终边在该位置的角一定 是135°吗?
y

x o

知识探究(三):终边相同的角

思考1:-32°,328°,-392°是第几 象限的角?这些角有什么内在联系?
y -392° 328° x o -32°

思考2:与-32°角终边相同的角有多少个 这些角与-32°角在数量上相差多少? 思考3:所有与-32°角终边相同的角, 连同-32°角在内,可构成一个集合S, 你能用描述法表示集合S吗? 思考4:一般地,所有与角α 终边相同的 角,连同角α 在内所构成的集合S可以怎 样表示? S={β|β=α+k· 360°,k∈Z},即任 一与α终边相同的角,都可以表示成角 α与整数个周角的和.

思考5:终边在x轴正半轴、负半轴,y轴 正半轴、负半轴上的角分别如何表示? x轴正半轴:α= k· 360°,k∈Z ; x轴负半轴:α= 180°+k· 360°,k∈Z ; y轴正半轴:α= 90°+k· 360°,k∈Z ; y轴负半轴:α= 270°+k· 360°,k∈Z . 思考6:终边在x轴、y轴上的角的集合分 别如何表示? 终边在x轴上:S={α|α=k· 180°,k∈Z} 终边在y轴上:S={α|α=90°+k· 180°, k∈Z}.

思考7:第一、二、三、四象限的角的集 合分别如何表示?

第一象限:S={α | k· 360°<α< 90°+k· 360°,k∈Z}; 第二象限:S={α | 90°+k· 360°<α< 180°+k· 360°,k∈Z}; 第三象限:S={α | 180°+k· 360°<α< 270°+k· 360°,k∈Z}; 第四象限:S={α | -90°+k· 360°< α<k· 360°,k∈Z}.

思考8:如果α 是第二象限的角,那么 2α 、α /2分别是第几象限的角?
90°+k· 360°<α<180°+k· 360° 180°+k·720°<2α<360°+k·720° 45°+k· 180°<α/2<90°+k· 180°

理论迁移
1 在0°~360°范围内,找出与 -950°12′角终边相同的角,并判定 它是第几象限角.

129°48′,第二象限角.

2 写出终边在直线y=x上的角的集 合S,并把S中适合不等式-360°≤ ? < 720°的元素写出来.
?

S={α|α=45°+k· 180°,k∈Z}. -315°,-135°,45°,225°, 405°,585°.

小结作业
1.角的概念推广后,角的大小可以任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究,对于一个 给定的角,都有唯一的一条终边与之对应, 并使得角具有代数和几何双重意义. 2.终边相同的角有无数个,在0°~360°范 围内与已知角β终边相同的角有且只有一个. 用β除以360°,若所得的商为k,余数为α (α必须是正数),则α即为所找的角.


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