当前位置:首页 >> 学科竞赛 >> 南昌大学第五届高数竞赛经济类试题及答案

南昌大学第五届高数竞赛经济类试题及答案


南昌大学第五届高等数学竞赛(经济类)试题

序号: 专业:
题号 题分 得分 一
18

姓名: 学号:
二 18 三 6

学院:



考场

考试日期: 2008 年 9 月 21 日
十 6 十一 6 十二 7

总分 100 累 分 人 签名

四 五 六 七 八 九 6 7 6 7 6 7

注: 本卷共七页, 十二道大题, 考试时间为 8:30——11:30. 一、 填空题(每空 3 分,共 18 分)
得分 评阅人

1 ? ? ? ?(1 ? tan 2 x)1?cos x ,x ? (? , 0) ? (0, ) 1、设 f ( x) ? ? 2 2 在 x=0 连续,则常数 k=________。 ?k ,x ? 0 ?

2、设函数 f(x)在 x=e 点处有连续一阶导数, f ?(e) ? ?2e?1 , lim 且 则 3、函数 f ( x) ? e 4、 ?
??
x 2 ?1

x ?0?

d [ f (e cos x )] =________。 dx

在闭区间[-2,2]上的最大值为________。

1

dx =________。 (1 ? x )(arctan x)2
2

5、已知二元函数 u(x,y)满足条件:

?u ? x 2 ? 2 y , u( x, x2 ) ? 1 ,则 u(x,y)=________。 ?y

6、函数项级数 ? ne? nx 的收敛域为________。
n ?1

?

第 1 页 共 12 页

二、 单项选择题(每题 3 分,共 18 分)
得分 评阅人

1、下列函数中在开区间(0,1)内有界的是( A、 f ( x) ? x ln x B、 f ( x) ? ?
dt x ln(1 ? t )
1

) 。
x?3 x ? 3x ? 2
2

C、 f ( x) ?

D、 f ( x) ?

1 1 cos x x

? f ( x) ,x ? 0 ? 2、设 f(x)具有二阶导数,f(0)=0, f ??(0) ? 1,而 g ( x) ? ? x ,则 g(x)在 x=0 点 ? f ?(0) ,x ? 0 ?
处( A、间断 ) 。 B、可导且 g ?(0) ?
1 2

C、连续但不可导

D、可导且 g ?(0) ? 1
x ?0

3、 设周期函数 f(x)在 (??, ??) 内可导, 周期为 6? , 且满足条件 lim 则曲线 y=f(x)在点 (7? , f (7? )) 处的切线斜率为( A、-2
t ?t

f (? ) ? f (? ? x) ? ?1 , x

) 。 D、1

B、0
t ?x
2 2

C、-1

4、设 F (t ) ? ? dx ? 则 F ?(1) 等于( A、 f (1)

? t 2 ? x2

f ( x 2 ? y 2 )dy , t ? (0, ??) ,其中 f(u)为连续函数, f (1) ? 0 ,

) 。 B、 2 f (1)
ln n ,则级数( n

C、 2? f (1) ) 。

D、0

5、设 U n ? (?1) n
? ?

A、 ?U n 与 ? U n 2 都收敛;
n ?1 ? n ?1

B、 ?U n 与 ? U n 2 都发散;
n ?1 ? n ?1

?

?

C、 ?U n 收敛而 ? U n 2 发散;
n ?1 n ?1

?

D、 ?U n 发散而 ? U n 2 收敛。
n ?1 n ?1

?

6、考虑二元函数 f(x,y)的下面 4 条性质: ①f(x,y)在点 ( x0 , y0 ) 处连续。 ③f(x,y)在点 ( x0 , y0 ) 处可微。 ② f x? ( x, y ) , f y? ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续。 ④ f x? ( x0 , y0 ) , f y? ( x0 , y0 ) 存在 ) 。 D、③=>①=>②

若用“ P ? Q ”表示可用性质 P 推出性质 Q,则有( A、②=>③=>① B、③=>②=>① C、③=>④=>①

第 2 页 共 12 页

得分

评阅人

三、 (本题满分 6 分)

1

2

n

2n 2n 2n ? ? ... ? 设 a1 ? 1, an ? 1 n ?1 n ? 1 n? 2 n

,n ? 2,3,... ,求 lim an 。
n ??

得分

评阅人

四、 (本题满分 6 分)

求函数 y ?

ln x 的 n 阶导数 y ( n ) 。 x

第 3 页 共 12 页

得分

评阅人

五、 (本题满分 7 分)

讨论方程 xe? x ? a 有几个实根?(常数 a>0) 。.

得分

评阅人

六、 (本题满分 6 分)

x 1 t2 确定常数 a,b 使得 lim dt ? 2 。 x ?0 ax ? sin x ?0 b ? 3t

第 4 页 共 12 页

得分

评阅人

七、 (本题满分 7 分)

?z y x ?2 z 设 z ? xf ( ) ? 2 y? ( ) ,其中 f (u ) , ? (u ) 都是二阶可导的函数。⑴求 , ;⑵如果 ?x x y ?x ?y

f (u ) ? ? (u ) ,且

?2 z ?x ?y

? ?by 2 ,试求 f (u ) 。
x?a

得分

评阅人

八、 (本题满分 6 分)

计算二重积分 I ? ?? x 2 e ? y dxdy ,其中 D 是由直线 y ? x , y ? 1 以及 y 轴围成的闭区域。
2

D

第 5 页 共 12 页

得分

评阅人

九、 (本题满分 7 分)

若函数 f(x),g(x)满足条件: f ?( x) ? g ( x) , g ?( x) ? f ( x) ,且 f (0) ? 0 , g (0) ? 0 。试求: ⑴ f ( x) ; ⑵由曲线 y ?
f ( x) , ( x ? 0) 与直线 y ? 1 和 x ? 0 所围成的平面图形的面积。 g ( x)

得分

评阅人

十、 (本题满分 6 分)

? sin x ? 设 f ( x) ? ? x ?1 ?

,x ? 0 ,x ? 0

。⑴将 f(x)展开成 x 的幂级数;⑵问 ? f (2 n ) (0) 是否收敛?若收
n ?1

?

敛,是条件收敛还是绝对收敛?

第 6 页 共 12 页

得分

评阅人

十一、 (本题满分 6 分)

已 知 f ? x ? 在 ? ??, ??? 内 连 续 , f ? 0? ? ?1 , 且 对 一 切 x ? 0 , 满 足 关 系 式

?

1

0

f ? x ? ? ex ? 2 ,求 f ? x ? 。 f ? xt ?dt ? x

得分

评阅人

十二、 (本题满分 7 分)

设 f ( x) , g ( x) 都在闭区间[a,b]上单增、连续。 证明: (b ? a)? f ( x) g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? g ( x)dx 。
a a a b b b

第 7 页 共 12 页

南昌大学第五届高等数学竞赛(经济类)试题答案
一、填空题: (每题 3 分,共 18 分) 2 1、 e2 ; 2、1; 3、 e3 ; 4、 ; 5、 x2 y ? y 2 ? 2x4 ? 1; 6、 (0, ??) ? 二、选择题: (每题 3 分,共 18 分) 1、A; 2、B; 3、C ; 4、C; 5、C; 6、A
k n k n 2n 2n 三、解: ? ? an ? ? k ?1 n ? 1 k ?1 n k k n 1 2n n 1 1 lim ? ? lim ? lim ? 2 n ? ? 1? ? 2 x dx ? 0 n ?? n ?? n ? 1 n ?? n ln 2 k ?1 n ? 1 k ?1 n n k n



1 2 1 ? ? 2 x dx ? 0 n ?? ln 2 k ?1 n 1 所以由夹逼定理, lim an ? 。 n ?? ln 2 (k ? 1)! 1 k! 四、解: (ln x)( k ) ? (?1)( k ?1) , ( )( k ) ? (?1) k k ?1 , k ? 1, 2,..., n k x x x

lim ?

n 1 k y ( n ) ? ? Cn (ln x)( k ) ? ( )( n ?k ) x k ?0

? ln x ? (?1) n
n

n n! n! (k ? 1)! (n ? k )! ?? ? (?1) k ?1 ? (?1) n ?k n ?k ?1 n ?1 k x x x k ?1 k !( n ? k )!

n n! 1 ? (?1) n ?1 [ln x ? ? ] x k ?1 k

五、解:作函数 f ( x) ? xe? x ? a, x ? (??, ??) ,则

f ' ( x) ? e? x (1 ? x) , 令 f ' ( x) ? 0 得驻点 x ? 1 。
x ? (??,1) 时 f ' ( x) ? 0 ; x ? (1, ??) 时 f ' ( x) ? 0 。可见 f ( x) 在 x ? (??,1] 上单增,在 [1, ??) 上单减,

f (1) ? e?1 ? a 是 f ( x) 的最大值。
ⅰ)当 a ? e?1 时, f (1) ? e?1 ? a ? 0 ,可见恒有 f ( x) ? 0 ,故 f ( x) 无零点,从而方程 xe? x ? a ? 0 无 实根。 ⅱ)当 a ? e?1 时, f (1) ? e?1 ? a ? 0 ,而 x ? 1 时,有 f ( x) ? f (1) ? 0 ,故 f ( x) 有唯一零点 x ? 1 ,即 方程 xe? x ? a ? 0 有唯一实根 x ? 1 。 ⅲ) 0 ? a ? e?1 时,f (1) ? e?1 ? a ? 0 ,lim f ( x) ? ?? ,lim f ( x) ? ?a ? 0 , 当 并且 f ( x) 分别在 (??,1)
x ??? x ???

与 (1, ??) 内单增和单减,故 f ( x) 在 (??,1) 与 (1, ??) 内分别有唯一零点,即方程 xe? x ? a ? 0 分别在
第 8 页 共 12 页

(??,1) 与 (1, ??) 内各有唯一实根。

六、解:由题意知

t2 在 t ? 0 的某邻域内有定义,所以 b ? 0 。 b ? 3t
x

t2 x2 dt ?0 b ? 3t x2 由罗必塔法则 lim ? lim b ? 3x ? lim x ?0 x ?0 a ? cos x x ?0 ( a ? cos x) b ? 3 x ax ? sin x

?0 ? ?? 2 ? b ?
据题意 a=1,且

,a ? 1 ,a ? 1

?a ? 1 2 =2,即 ? b ?b ? 1

七、解:⑴

?z y y y x ? f ( ) ? f ' ( ) ? 2? ' ( ) ?x x x x y

?2 z y y 2x x ? ? 2 f '' ( ) ? 2 ? '' ( ) ?x?y x x y y
?2 z ⑵ 由 f ? ? ,且 ?x ?y ? ?by 2 得
x?a

?
y ? u ,代入上式得 a 1 ①式中将 u 用 换之得 u

y '' y 2a '' a f ( ) ? 2 f ( ) ? ?by 2 2 a a y y



1' u 3 f '(' u ? 2 f ' ( ?) a 3b u 4 ) u 1 '' 1 1 f ( ) ? 2 f '' (u ) ? a3b 4 3 u u u

① ②

由①②解得

f '' (u ) ?

a3b 2 ( ? u) 3 u4



a3b a 3b 3 f (u ) ? 2 ? u ? c1u ? c2 9u 18

八、解:

第 9 页 共 12 页

I ? ? dy ? x 2e ? y dx
2

1

y

0

0

1 1 3 ? y2 1 1 ? y2 2 2 ?0 y e dy ? 6 ?0 e y dy 3 令t y2 = 1 1 ?? ? e ? t tdt 6 0 1 1 1 1 ? ? (te ? t ? e ? t ) ? ? 0 6 6 3e ?

九、解:⑴由题意得 f '' ( x) ? f ( x) ? 0 ,这是二阶常系数齐次线性方程, 通解为 f ( x) ? C1ex ? C2e? x 由 f (0) ? 0 , f ' (0) ? g (0) ? 0 知, C2 ? ?C1 且 C1 ? 0 故 f ( x) ? C1 (ex ? e? x ) ⑵曲线方程 y ?

f ( x) e x ? e ? x ? f ' ( x) e x ? e ? x
e x ? e? x ?1 e x ? e? x

因为 x ? 0 时,

所以平面图形的面积:
e x ? e? x S ? ? (1 ? x ? x )dx 0 e ?e t t e x ? e? x ? lim ? (1 ? x ? x ) dx ? lim[ x ? ln(e x ? e ? x )] t ??? 0 t ??? 0 e ?e t ?t ? lim[t ? ln(e ? e ) ? ln 2] ? lim[ln 2 ? ln(1 ? e ?2t )]
?? t ??? t ???

? ln 2

十、解:⑴ 因为 sin x ? ? (?1)n
n ?0

?

1 x 2 n?1 , x ? (??, ??) (2n ? 1)!

所以 x ? 0 时, f ( x) ? ? (?1) n
n ?0

?

1 x2n (2n ? 1)!

显然上式对 x ? 0 也成立,故
f ( x) ? ? (?1) n
n ?0 ?

1 x 2 n , x ? (??, ??) (2n ? 1)!

⑵ 先求 f (2n) (0) 方法一:由幂级数展开式的唯一性知

第 10 页 共 12 页

f (2 n ) (0) ? (2n)!(?1)n

1 (?1)n ? (2n ? 1)! 2n ? 1

n ?1 , 2 , . . .

方法二:因为 f ( x) ? 1 ?

1 2 1 4 1 1 x ? x ? ... ? (?1) n x 2 n ? (?1) n ?1 x 2 n ?2 ? ... 3! 5! (2n ? 1)! (2n ? 3)!

所以由幂级数的和函数的性质: x ? (??, ??) 时
f ' ( x) ? ? 2 4 2n 2n ? 2 2 n ?1 x ? x3 ? ... ? (?1) n x 2 n ?1 ? (?1) n ?1 x ? ... 3! 5! (2n ? 1)! (2n ? 3)! 2 4?3 2 2n ? (2n ? 1) 2 n ?2 (2n ? 2)(2n ? 1) 2 n ? x ? ... ? (?1) n x ? (?1) n ?1 x ? ... 3! 5! (2n ? 1)! (2n ? 3)!

f '' ( x) ? ?

???
f (2 n?1) ( x) ? (?1) n (2n)! (2n ? 2)! 3 x ? (?1) n ?1 x ? ... (2n ? 1)! (2n ? 3)!3!

f (2 n ) ( x) ? (?1)n

(2n)! (2n ? 2)! 1 2 ? (?1)n ?1 x ? ... (2n ? 1)! (2n ? 3)! 2

? 故 f (2 n ) (0) ? (?1) n ?
?

1 , n ? 1, 2,... 2n ? 1

于是 ? f (2 n ) (0) ?? (?1)n ?
n ?1 n ?1

?

1 2n ? 1



①是交错级数,因为

1 1 ?0 单调减少,且 lim n ?? 2 n ? 1 2n ? 1
? ? 1 1 发散,故级数①是 ?? 2n ? 1 n?1 2n ? 1

所以由莱布尼兹定理知,级数①是收敛的。但由于 ? (?1)n ?
n ?1

条件收敛 十一、解:对一切 x ? ? ??, ?? ? 有

x? f ? xt ?dt ? f ? x ? ? e x ? 2 ,
1 0



? f ?t ?dt ? f ? x ? ? e
x 0

x

?2,

显然 f ? x ? 可导,上式两边求导得 f ? x ? ? f ? ? x ? ? e x , 即 f ? ? x ? ? f ? x ? ? ex , 解得

第 11 页 共 12 页

f ? x ? ? e x ? ? e xe? x dx ? c ? = e x ? x ? c ? ? ?
由 f ? 0? ? ?1得 c ? ?1 , 故 f ? x ? ? e x ? x ? 1? 。 十二、 证法一:设 F ( x) ? ( x ? a) ? f (t ) g (t )dt ? ? f (t )dt ? g (t )dt
a a a x x x

则 F ( x) 在[a,b]上可导,且 x ? (a, b) 时,

F ' ( x) ? ? [ f ( x) ? f (t )][ g ( x) ? g (t )]dt
a

x

因为 t ? (a, x) 时 [ f ( x) ? f (t )][ g ( x) ? g (t )] ? 0 所以 F ' ( x) ? 0 ,故 F ( x) 在[a,b]上单增,从而
F (b) ? F (a) 即 (b ? a)? f ( x) g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? g ( x)dx ? 0
a a a b b b

证法二:令 D ? ( x, y ) a ? x ? b, a ? y ? b? , F ( x, y) ? [ f ( x) ? f ( y)][ g ( x) ? g ( y)] 则 F ( x, y) 在 D 上非负连续,且 F ( x, y) 不恒为零。故 ?? F ( x, y)dxdy ? 0
D

?

因为

?? F ( x, y)dxdy ? ?
D b a

b

a

dy ? f ( x) g ( x)dx ? ? f ( y )dy ? g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? g ( y)dy ? ? dx ? f ( y ) g ( y )dy
a a a a a a a b b a a

b

b

b

b

b

b

b

? 2(b ? a) ? f ( x) g ( x)dx ? 2? f ( x)dx ? g ( x)dx
所以 (b ? a)? f ( x) g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? g ( x)dx
a a a b b b

注:其它证法参照给分

第 12 页 共 12 页


更多相关文档:

南昌大学第五届高数竞赛经济类试题及答案

南昌大学第五届高数竞赛经济类试题及答案 隐藏>> 南昌大学第五届高等数学竞赛(经济类)试题 序号: 专业:题号 题分 得分 一 18 姓名: 学号:二 18 三 6 学院...

南昌大学第五届高数竞赛文科类试题及答案

南昌大学第五届高数竞赛文科类试题及答案 隐藏>> 南昌大学第五届高等数学(文科类)竞赛试题 序号 专业题号 题分 得分 一 15 二 15 三 10 姓名 学号四 10 五...

第五届高数竞赛经济类试题

第五届高数竞赛经济类试题_理学_高等教育_教育专区。南昌大学数学竞赛试题南昌大学第五届高等数学竞赛(经济类) 南昌大学第五届高等数学竞赛(经济类)试题 序号: 序号...

南昌大学第五届高数竞赛医学类试题及答案

南昌大学第五届高等数学竞赛(医学类)试题及答案序号: 专业: 姓名: 学号: 学院: 考试日期: 2008 年 9 月 21 日 题号 题分 得分 一 二 三 四五六七八九...

第十一届高数竞赛经济类试题答案

第十一届高数竞赛经济类试题答案_学科竞赛_小学教育_教育专区。南昌大学第十一届高等数学竞赛(经济类)试题答案一、填空题 1、 a ? 2; 2、 1; 3、 (10,20)...

第十届高数竞赛(经济类)试题答案

南昌大学、经济学类高等数学竞赛。南昌大学、经济学类高等数学竞赛。隐藏>> 南昌大学第届高等数学竞赛(经济类)试题答案一、填空题 1、1 2、 ? 1 4 ln(1 ...

第四届高数竞赛(经济类)试题答案

南昌大学第届高等数学竞赛(经济类)试题答案一,填空题: (每题 3 分,共 18...(2)解得 及 ,故所求的直线方程为 y 0 = 3 y0 = 1 2 2 y + 3 =...

第十一届高数竞赛经济类试题

第十一届高数竞赛经济类试题_经济学_高等教育_教育专区。南昌大学第十一届高等数学竞赛(经济类)试题序号: 班级:题号 题分 得分 一 15 二 15 三 6 四 7 姓名...

南昌大学第七届高等数学竞赛(经济类)试题答案

南昌大学第届高等数学竞赛(经济类)试题答案_理学_高等教育_教育专区。南昌大学高数竞赛第七届,试题答案,完整版 南昌大学第届高等数学竞赛(经济类 试题答案 ...

南昌大学第五届高数竞赛理工类

高数竞赛高数竞赛隐藏>> 南昌大学第五届高等数学竞赛(理工类) 南昌大学第五届高等数学竞赛(理工类)试题一、 填空题(每空 3 分,共 15 分) e x sin x 1 ...
更多相关标签:
函授高数试题及答案 | 高数试题及答案 | 专升本高数试题及答案 | 大学高数试题及答案 | 成考高数二试题及答案 | 南昌市第五届引航杯 | 经济类图书 | 经济类职称分类 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com