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人教a版高考数学(理)一轮课件:3.4定积分与微积分基本定理


第 4 讲 定积分与微积分基本定理 考纲展示 1.了解定积分的实 际背景 ,了 解定积 分的基 本思 想 ,了 解定积分的概念. 2.了解微积分基本 定理的含义. 考纲解读 定积分与微积分基本定理这部分知识在高考命题中常以 选择题和填空题为主要题型, 试题以低、 中档为主, 主要考 查定积分的运算、定积分的几何意义, 但近年来定积分的 知识有和其他知识如几何概型等综合考查的

趋势. 1. 定积分 (1) 定积分的定义及相关概念 如果函数 f ( x) 在区间[ a, b] 上连续, 用分点 a=x0 <x1 <…<xi-1 <xi<…<xn =b将 区间[ a, b] 等分成 n 个小区间, 在每个小区间[ xi-1 , xi] 上任取一点 ξi( i=1 , 2, …, n ), 作和式∑ f(ξi) Δx= ∑ =1 - f(ξi), 当 n→∞ 时, 上述和式无限接近某个常数, 这个常 =1 数叫做函数 f ( x) 在区间[ a, b] 上的定积分, 记作 f(x)dx, 即 f(x)dx= lim ∑ - f(ξi), 其中 f( x) 叫做被积函数, a 叫积分下限, b叫积分上 →∞ =1 限, f( x)dx叫做被积式, 此时称函数 f ( x) 在区间[ a, b] 上可积. (2) 定积分的几何意义 如果在区间[ a, b] 上函数 f( x) 连续且恒有 f ( x) ≥0 , 那么定积分 f(x)dx表 示由直线 x=a , x=b( a ≠b), y=0 和曲线 y=f (x) 所围成的曲边梯形( 如图中的阴影 部分) 的面积. 几种典型的曲边梯形面积的计算方法: (1 ) 由三条直线 x=a , x=b( a<b) , x轴, 一条曲线 y=f(x)( f(x) ≥0 ) 围成的曲边 梯形的面积: S= f(x)dx( 如图). (2)由三条直线 x=a , x=b( a<b) , x轴, 一条曲线 y=f(x)( f(x) ≤0 ) 围成的曲边 梯形的面积: S= (x)d =- f(x)dx( 如图). (3 ) 由两条直线 x=a , x=b( a<b) , 两条曲线 y=f(x), y=g ( x) 〔f(x) ≥g ( x) 〕围成 的平面图形的面积: S= [f ( x) - g(x)]dx(如图 ). (4 ) 如图所示, 若当 a≤x≤c时 , f(x)<0 ; 当 c≤x≤b时 , f(x)>0 , 则 S= () d + f(x)dx= - f ( x)dx+ f(x)dx. (3) 定积分的性质 ① ② ③ kf (x)dx=k f(x)dx(k为常数) ; [f x)± f x) ]dx= 1( 2( f( x)dx= f1 ( x)dx± f2(x)dx; f( x)dx+ f( x)dx( 其中 a<c<b). 2. 微积分基本定理 一般地, 如果 f( x) 是区间[ a, b] 上的连续函数, 并且 F ' (x)=f (x), 那么 f(x)dx=F (b)-F (a). 这个结论叫做微积分基本定理, 又叫做牛顿—莱布尼 茨公式, 其中 F ( x) 叫做 f (x) 的一个原函数. 微积分基本定理还可以写成形 式 : f ( x) dx=F (x) | b)-F ( a).

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