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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第十一章 11.3


§ 11.3

几何概型

1. 几何概型 向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点 M,若点 M 落在子区域 G1 G 的概率与 G1 G1的面积 的面积成正比,而与 G 的形状、位置无关,即 P(点 M 落在 G1)= ,则称这种模 G的面积 型为几何概型. 2. 几何概型中的 G 也可以是空间中或直线上的有限区域,相应的概率是体积之

比或长度之 比. 3.借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率.

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零. ( √ )

(2)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中 的每一点被取到的机会相等. (3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形. (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率. ( √ ( √ ( √ ) ) )

2. 一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为 40 秒,则 某人到达路口时看见的是红灯的概率是 1 A. 5 3 C. 5 答案 B 30 2 解析 以时间的长短进行度量,故 P= = . 75 5 3. 点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧 度小于 1 的概率为________. 答案 2 3 的长 2 B. 5 4 D. 5 ( )

解析 如图可设 2 则其概率是 . 3

=1,则由几何概型可知其整体事件是其周长 3,

4. 在区间[-1,2]上随机取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率为________. 答案 1 3

|CD| 1 解析 如图, 这是一个长度型的几何概型题, 所求概率 P= = . |AB| 3 5. 已知直线 y=x+b,b∈[-2,3],则直线在 y 轴上的截距大于 1 的概率是________. 答案 2 5

解析 区域 D 为区间[-2,3], d 为区间(1,3], 而两个区间的长度分别为 5,2.故所求概率 P 2 = . 5

题型一 与长度、角度有关的几何概型 例1 π 1 (1)在区间[-1,1]上随机取一个数 x,求 cos x 的值介于 0 到 之间的概率. 2 2 (2)如图所示,在△ABC 中,∠B=60° ,∠C=45° ,高 AD= 3, 在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M,求 BM<1 的概率. 思维启迪 寻找所考查对象活动的范围. 解 π 2 2 (1)由函数 y=cos x 的图像知,当-1<x<- 或 <x<1 时, 2 3 3

π 1 0<cos x< . 2 2 由概率的几何概型知: 2 3 1 π 1 cos x 的值介于 0 到 之间的概率为 = . 2 2 2 3 (2)因为∠B=60° ,∠C=45° ,所以∠BAC=75° , 在 Rt△ABD 中,AD= 3,∠B=60° , AD 所以 BD= =1,∠BAD=30° . tan 60° 记事件 N 为“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M, 使 BM<1”, 则可得∠BAM<∠BAD 时事件 N 发生. 30° 2 由几何概型的概率公式,得 P(N)= = . 75° 5

思维升华 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围.当考 查对象为点,点的活动范围在线段上时,用线段长度比计算;当考查对象为线时,一般 用角度比计算.事实上,当半径一定时,由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之 比,所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比. (1)若在例 1(2)中“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M”改为“在线段 BC 上找一点 M”则结果为________. (2)在半径为 1 的圆内一条直径上任取一点,过这个点作垂直于直径的弦,则弦长超过圆 内接等边三角形边长的概率是________. 答案 解析 (1) 3-1 1 (2) 2 2

(1)由∠B=60° ,∠C=45° ,AD= 3得,

AD BD= =1,DC=AD= 3, tan B 则 BM<1 的概率为 P= 3-1 1 = . 2 3+1

(2)记事件 A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”, 如图, 不妨在过 等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦, 当弦为 CD 时,就是等边三角形的边长(此时 F 为 OE 中点),弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF,由几何概型公式得: 1 ×2 2 1 P(A)= = . 2 2 题型二 与面积、体积有关的几何概型 例2
? ?0≤x≤2, (1)(2012· 北京)设不等式组? 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个 ?0≤y≤2 ?

点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 π A. 4 π-2 B. 2 π C. 6 4-π D. 4

(

)

(2)有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱,点 O 为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆 柱内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________. 思维启迪 平面区域内的几何概型,一般用面积求概率,空间区域内的几何概型,一般 用体积求概率. 答案 解析 2 (1)D (2) 3 (1)根据题意作出满足条件的几何图形求解.

如图所示,

正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的区域 D,且区域 D 的面 积为 4,而阴影部分表示的是区域 D 内到坐标原点的距离大于 2 的区域.易知该阴影部分的面积为 4-π.因此满足条件的概率是 4-π ,所以选 D. 4 (2)先求点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率, 圆柱的体积 V 圆柱=π×12×2=2π, 以O 1 4 2 为球心,1 为半径且在圆柱内部的半球的体积 V 半球= × π×13= π.则点 P 到点 O 的距 2 3 3 2 π 3 1 1 2 离小于或等于 1 的概率为 = ,故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 1- = . 2π 3 3 3 思维升华 求解几何概型的概率问题,一定要正确确定试验的全部结果构成的区域,从 而正确选择合理的测度,进而利用概率公式求解. (1)在区间[-π,π]内随机取出两个数分别记为 a,b,则函数 f(x)=x2+2ax -b2+π2 有零点的概率为 π A.1- 8 π C.1- 2 π B.1- 4 3π D.1- 4 ( )

(2)在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 O 为底面 ABCD 的中心, 在正方体 ABCD -A1B1C1D1 内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________. 答案 解析 π (1)B (2)1- 12 (1)由函数 f(x)=x2+2ax-b2+π2 有零点,

可得 Δ=(2a)2-4(-b2+π2)≥0, 整理得 a2+b2≥π2, 如图所示,(a,b)可看成坐标平面上的点, 试验的全部结果构成的区域为 Ω={(a,b)|-π≤a≤π,-π≤b≤π}, 其面积 SΩ=(2π)2=4π2. 事件 A 表示函数 f(x)有零点, 所构成的区域为 M={(a,b)|a2+b2≥π2}, 即图中阴影部分,其面积为 SM=4π2-π3,
2 3 SM 4π -π π 故 P(A)= = 2 =1- ,所以选 B. SΩ 4π 4

1 4 2 (2)V 正=23=8,V 半球= × π×13= π, 2 3 3

V半球 2π π π = = ,∴P=1- . 12 12 V正 8×3 题型三 生活中的几何概型问题 例3 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该码头的时刻 是等可能的.如果甲船停泊时间为 1 h,乙船停泊时间为 2 h,求它们中的任意一艘都不 需要等待码头空出的概率. 思维启迪 当基本事件受两个连续变量控制时,一般是把两个连续变量分别作为一个点 的横坐标和纵坐标, 这样基本事件就构成了平面上的一个区域, 即可借助平面区域解决. 解 这是一个几何概型问题.设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为 x 与 y,A 为“两船

都不需要等待码头空出”,则 0≤x≤24,0≤y≤24,要使两船都不需要等待码头空出,当 且仅当甲比乙早到达 1 h 以上或乙比甲早到达 2 h 以上, 即 y-x≥1 或 x-y≥2.故所求事 件构成集合 A={(x,y)|y-x≥1 或 x-y≥2,x∈[0,24],y∈[0,24]}. A 为图中阴影部分, 全部结果构成集合 Ω 为边长是 24 的正方形及 其内部. A的面积 所求概率为 P(A)= = Ω的面积 = 506.5 1 013 = . 576 1 152 1 1 ?24-1?2× +?24-2?2× 2 2 2 24

思维升华 生活中的几何概型度量区域的构造方法: (1)审题:通过阅读题目,提炼相关信息. (2)建模:利用相关信息的特征,建立概率模型. (3)解模:求解建立的数学模型. (4)结论:将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论. 张先生订了一份报纸,送报人在早上 6:30-7:30 之间把报纸送到他家, 张先生离开家去上班的时间在早上 7:00-8:00 之间,则张先生在离开家之前能得到报 纸的概率是________. 答案 7 8

解析 以横坐标 x 表示报纸送到时间, 以纵坐标 y 表示张先生离家时 间,建立平面直角坐标系,因为随机试验落在方形区域内任何一点是 等可能的, 所以符合几何概型的条件. 根据题意只要点落到阴影部分, 就表示张先生在离开家前能得到报纸,即所求事件 A 发生, 1 1 1 1×1- × × 2 2 2 7 所以 P(A)= = . 8 1×1

混淆长度型与面积型几何概型致误

典例:(12 分)在长度为 1 的线段上任取两点,将线段分成三段,试求这三条线段能构成三角 形的概率. 易错分析 不能正确理解题意,无法找出准确的几何度量来计算概率. 规范解答 解 设 x、y 表示三段长度中的任意两个. 因为是长度,所以应有 0<x<1,0<y<1,0<x+y<1,即(x,y)对应着坐标系 中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点,如图所示.[4 分] x+y>1-x-y, ? ? 要形成三角形,由构成三角形的条件知?1-x-y>x-y, ? ?1-x-y>y-x, 1 1 1 所以 x< ,y< ,且 x+y> ,故图中阴影部分符合构成三角形的条件. 2 2 2 1 因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的 , 4 1 故这三条线段能构成三角形的概率为 . 4 [12 分] [8 分]

温馨提醒 解决几何概型问题时,还有以下两点容易造成失分,在备考时要高度关注: (1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误; (2)利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.

方法与技巧 1.区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个. 2.转化思想的应用 对一个具体问题,可以将其几何化,如建立坐标系将试验结果和点对应,然后利用几何概 型概率公式. (1)一般地,一个连续变量可建立与长度有关的几何概型,只需把这个变量放在坐标轴上 即可; (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述,则可用这两个变量的有序实数对来表示它的 基本事件,然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型; (3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述,则可用这三个变量组成的有序数组来表

示基本事件,利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型. 失误与防范 1. 准确把握几何概型的“测度”是解题关键; 2. 几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟) 一、选择题 1. “抖空竹”是中国的传统杂技, 表演者在两根直径约 8~12 毫米的杆上系一根长度为 1 m 的绳子,并在绳子上放一空竹,则空竹与两端距离都大于 0.2 m 的概率为 1 A. 2 答案 B 解析 与两端都大于 0.2 m 即空竹的运行范围为(1-0.2-0.2)m=0.6 m, 记“空竹与两端 1-0.2-0.2 3 距离都大于 0.2 m”为事件 A,则所求概率满足几何概型,即 P(A)= = . 1 5 2. (2012· 辽宁)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C,现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积大于 20 cm2 的概率为 1 A. 6 答案 C 解析 根据题意求出矩形面积为 20 cm2 时的各边长,再求概率.设 AC=x,则 BC=12 -x,所以 x(12-x)=20, 12-2-2 2 解得 x=2 或 x=10.故 P= = . 12 3 3.如图,M 是半径为 R 的圆周上一个定点,在圆周上等可能的任取一点 N, 连接 MN,则弦 MN 的长度超过 2R 的概率是 1 A. 5 1 C. 3 答案 D π 解析 由题意知,当 MN= 2R 时,∠MON= , 2 1 B. 4 1 D. 2 ( ) 1 B. 3 2 C. 3 4 D. 5 ( ) 3 B. 5 2 C. 5 2 D. 3 ( )

π 2× 2 1 所以所求概率为 = . 2×π 2 4. 已知△ABC 中,∠ABC=60° ,AB=2,BC=6,在 BC 上任取一点 D,则使△ABD 为钝 角三角形的概率为 1 A. 6 1 C. 2 答案 C 解析 如图,当 BE=1 时,∠AEB 为直角,则点 D 在线段 BE(不包 含 B、E 点)上时,△ABD 为钝角三角形;当 BF=4 时,∠BAF 为直 角, 则点 D 在线段 CF(不包含 C、 F 点)上时, △ABD 为钝角三角形. 所 1+2 1 以△ABD 为钝角三角形的概率为 = . 6 2 5. (2012· 湖北)如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为 直径作两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的 概率是 2 A.1- π 2 C. π 答案 A 解析 设分别以 OA, OB 为直径的两个半圆交于点 C, OA 的中点为 D, 如图,连接 OC,DC. 不妨令 OA=OB=2, 则 OD=DA=DC=1. π 1 在以 OA 为直径的半圆中,空白部分面积 S1= + ×1×1- 4 2 1 1 B. - 2 π 1 D. π ( ) 1 B. 3 2 D. 3 ( )

?π-1×1×1?=1, ?4 2 ?
所以整体图形中空白部分面积 S2=2. 1 又因为 S 扇形 OAB= ×π×22=π, 4 所以阴影部分面积为 S3=π-2. π-2 2 所以 P= =1- . π π 二、填空题 6. 在长为 10 cm 的线段 AB 上任取一点 G,以 AG 为半径作圆,则圆的面积介于 36π cm2 到

64π cm2 的概率是________. 答案 1 5

解析 如图,以 AG 为半径作圆,圆面积介于 36π~64π cm2,则 AG 的长度应介于 6~8 cm 之间. 2 1 ∴所求概率 P(A)= = . 10 5 5 7.(2013· 湖北)在区间[-2,4]上随机地取一个数 x, 若 x 满足|x|≤m 的概率为 , 则 m=________. 6 答案 3 解析 由|x|≤m,得-m≤x≤m. 2m 5 当 m≤2 时,由题意得 = ,解得 m=2.5,矛盾,舍去. 6 6 m-?-2? 5 当 2<m<4 时,由题意得 = ,解得 m=3. 6 6 即 m 的值为 3. x2 y2 8. 在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数,记为 m 和 n,则方程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上 m n 的椭圆的概率是________. 答案 1 2

x2 y2 解析 ∵方程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,∴m>n. m n 如图,由题意知,在矩形 ABCD 内任取一点 Q(m,n),点 Q 落在阴 影部分的概率即为所求的概率,易知直线 m=n 恰好将矩形平分, 1 ∴所求的概率为 P= . 2 9. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心 1 1 的距离大于 ,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 ,则去打篮球;否则,在家 2 4 看书.则小波周末不 在家看书的概率为________. . 13 答案 16 1 π×12-π×? ?2 2 3 解析 ∵去看电影的概率 P1= = , 2 4 π×1 1 π×? ?2 4 1 去打篮球的概率 P2= 2 = , 16 π×1 3 1 13 ∴不在家看书的概率为 P= + = . 4 16 16

三、解答题 10.已知向量 a=(-2,1),b=(x,y). (1)若 x,y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后 抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足 a· b=-1 的概率; (2)若 x,y 在连续区间[1,6]上取值,求满足 a· b<0 的概率. 解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件总数为 6×6=

36(个); 由 a· b=-1 有-2x+y=-1, 所以满足 a· b=-1 的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5),共 3 个; 3 1 故满足 a· b=-1 的概率为 = . 36 12 (2)若 x,y 在连续区间[1,6]上取值,则全部基本事件的结果为 Ω= {(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6}; 满足 a· b<0 的基本事件的结果为 A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6 且-2x+y<0}; 画出图形如图, 矩形的面积为 S 矩形=25, 1 阴影部分的面积为 S 阴影=25- ×2×4=21, 2 21 故满足 a· b<0 的概率为 . 25 B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1. 在区间[-1,1]上随机取一个数 x,则 sin 1 A. 4 答案 D π πx π 解析 ∵-1≤x≤1,∴- ≤ ≤ . 4 4 4 1 πx 2 π πx π 由- ≤sin ≤ ,得- ≤ ≤ , 2 4 2 6 4 4 2 1+ 3 5 2 即- ≤x≤1.故所求事件的概率为 = . 3 2 6 2. 如图,矩形长为 6,宽为 4,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在椭 圆外的黄豆数为 96,则以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为 ( ) 1 B. 3 2 C. 3 πx 1 2 的值介于- 与 之间的概率为 4 2 2 5 D. 6 ( )

A.7.68 答案 B 解析

B.16.32

C.17.32

D.8.68

根据几何概型的概率公式得黄豆落在椭圆内的概率 P=

S椭圆 300-96 ,而 P= = 300 S矩形

0.68,S 矩形=24, 故 S 椭圆=P· S 矩形=0.68×24=16.32. 3. 已知点 A 在坐标原点,点 B 在直线 y=1 上,点 C(3,4),若 AB≤ 10, 则△ABC 的面积大于 5 的概率是 19 A. 24 5 C. 24 答案 C 3 解析 设 B(x,1),根据题意知点 D( ,1), 4 1 5 7 若△ABC 的面积小于或等于 5, 则 ×DB×4≤5, 即 DB≤ , 所以点 B 的横坐标 x∈[- , 2 2 4 13 ],而 AB≤ 10, 4 7 3-?- ? 4 所以点 B 的横坐标 x∈[-3,3], 所以△ABC 的面积小于或等于 5 的概率为 P= = 6 19 , 24 5 所以△ABC 的面积大于 5 的概率是 1-P= . 24 S 4. 在面积为 S 的△ABC 内部任取一点 P,△PBC 的面积大于 的概率为________. 4 答案 9 16 1 B. 3 5 D. 27 ( )

解析 如图,假设当点 P 落在 EF 上时(EF∥BC),恰好满足△PBC 的 S PG 1 面积等于 ,作 PG⊥BC,AH⊥BC,则易知 = .符合要求的点 P 可 4 AH 4 S△AEF 9 以落在△AEF 内的任一部分,其概率为 P= = . S△ABC 16 5. 平面内有一组平行线,且相邻平行线间的距离为 3 cm,把一枚半径为 1 cm 的硬币任意 投掷在这个平面内,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________. 答案 1 3

解析 如图所示,当硬币中心落在阴影区域时,硬币不与任何一条平行线相碰,故所求

1 概率为 . 3

6. 在区间[0,2]上任取两个实数 a,b,求函数 f(x)=x3+ax-b 在区间[-1,1]上有且仅有一个 零点的概率. 解 因为 f′(x)=3x2+a,由于 a≥0,故 f′(x)≥0 恒成立,

故函数 f(x)在[-1,1]上单调递增, 故函数 f(x)在区间[-1,1]上有且只
?f?-1?≤0, ?a+b+1≥0, ? ? 有一个零点的充要条件是? 即? ?f?1?≥0, ? ? ?a-b+1≥0. ?0≤a≤2, ? 设点(a,b),则基本事件所在的区域是? 画出平面区域, ? ?0≤b≤2,

如图所示,根据几何概型的意义,所求的概率等于以图中阴影部分的面积与以 2 为边长 7 的正方形的面积的比值,这个比值是 . 8 7. 身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前约定分别乘 A、B 两列火车在郑州火车站会 面,并约定先到者等待时间不超过 10 分钟.当天 A、B 两列火车正点到站的时间是上午 9 点,每列火车到站的时间误差为± 15 分钟,不考虑其他因素,求姐弟俩在郑州火车站 会面的概率. 解 设姐姐到的时间为 x,弟弟到的时间为 y,建立坐标系如图,由

1 1 题意可知,当 y≤x± 时,姐弟俩会面,又正方形的面积为 ,阴影部 6 4 5 36 5 5 分的面积为 ,所求概率 P= = . 36 1 9 4


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