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广东省广州市2014-2015学年高二下学期期末五校联考数学(理)试题


广东省广州市 2014-2015 学年高二下学学期期末
五校联考数学(理科)试题
试题说明:本试卷分选择题和非选择题两部分,满分为 150 分。考试时间为 120 分钟。 注意事项: 1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名和学号填写在第 II 卷和答题卡上,并在答题卡上用 2B 铅笔将相应的信息点涂黑。不按要求填涂的,答卷 无效。 2、 单项选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3、 非单项选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内 的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4、 考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将第 II 卷及答题卡一并交回。

第一部分

选择题(共 40 分)

一、选择题: (本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。每小题给出的四个选项中,只有一个 选项最符合题目要求。 )
2 1. 集合 A ? ?0,2, a? , B ? 1, a ,若 A ? B ? ?0,1, 2, 4,16? ,则 a 的值为(

?

?

)

A.0

B.1

C.4

D.2

2、复数 z ? 1 ? i ( i 为虚数单位) , z 为 z 的共轭复数,则下列结论正确的是 A. z 的实部为 ?1 B. z 的虚部为 1 C. z ? z ? 2

D.

z ?i z
) P

3、已知等差数列 A . 15

{an } 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1, 则a12 的值是(
B . 30 C. 31 D. 64

4.如图所示,正四棱锥 (底面是正方形,顶点在底面的射影是底面的中心)

P ? ABCD 的底面边长为6cm,侧棱长为5cm,则它的正视图的面积等于

? ??? ? 4 ??? 5.在△ABC 中, cos A ? , AB ? AC ? 8 ,则△ABC 的面积为( ). 5 6 12 A. B.3 C. D.6 5 5
6、下列命题中正确的是( ) A.若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题 B.“ a ? 0 , b ? 0 ”是“

A. 3 7

B. 6 7

C.12

D.24 A B C

D

b a ? ? 2 ”的充分必要条件 a b

2 C . 命 题 “ 若 x ? 3x ? 2 ? 0 , 则 x ? 1 或 x ? 2 ” 的 逆 否 命 题 为 “ 若 x ? 1 或 x ? 2 , 则

x 2 ? 3x ? 2 ? 0”

D.命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0
2 2

7、将编号为 1、2、3、4 的四个小球任意地放入 A、B、C、D 四个小盒中,每个盒中放球的个 数不受限制,恰好有一个盒子是空的概率为( )

? A? 9

16

?B ? 1

4

?C ? 3

4

?D ? 7

16

8. 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数 f ( x ) 的图象恰好 通过 n(n ? N ? ) 个整点,则称函数 f ( x ) 为 n 阶整点函数.有下列函数: ① f ( x) ? sin 2 x ; ② g ( x) ? x3 其中是一阶整点函数有( A.1 B.2 C.3 ) 个 D.4 ③ h( x ) ? ( ) ;
x

1 3

④ ? ( x) ? ln x ,

第二部分
(一)必做题(9~13 题) 9. 函数 f ( x) ?

非选择题(共 110 分)

二、填空题(本题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

x ?1 的定义域为___________. x?2
1 x
4

10.关于 x 的二项式 (2 x ? ) 展开式中的常数项是 11. 如右图,是一程序框图,则输出结果为 12 如果关于 x 的不等式 x ? 2 ? x ? 3 ? a 的解集为 R, 则 a 的 取值范围是 .
2

13. 设平面区域 D 是由双曲线 y ?
2

x2 ? 1 的两条渐近线和抛物 4

线 y ? ?8 x 的准线所围成的三角形(含边界与内部) .若点

( x, y) ? D ,则目标函数 z ? x ? y 的最大值为



(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分) 14. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系下,直线 ? cos( ? ?

第11题图

?
4

) ? 2 与圆 ? ? 2 的公共

点个数是________; 15 ( 几 何 证 明 选 讲 选 做 题 ) 如 图 , AB 是 圆 O 的 直 径 , AD ? DE ,

AB ? 8, BD ? 6 ,则

DE ? AC

;

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤. 16. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a sin x ? cos x 的图象经过点 ( (1)求函数 f ?x ? 的最小正周期与单调递增区间.

? ,?1) . 2

(2)若 ? ? ? 0,

? ?

??

1 ? ,且 f ?? ? ? 2 ,求 sin 2? 的值. 2?

17. (本题满分 12 分) 数列 ?bn ? n ? N ? 是递增的等比数列,且 b1 ? b3 ? 5, b1b3 ? 4 . (Ⅰ)若 an ? log2 bn ? 3 ,求证:数列 ?an ? 是等差数列; (Ⅱ)若 a1 ? a2 ? a3 ? ?? ? am ? a46 ,求 m 的最大值.
2

?

?

18、 (本题满分 14 分)某班共有学生 40 人,将一次数学考试成绩(单位:分)绘制成频率分 布直方图,如图所示. (1)请根据图中所给数据,求出 a 的值; (2)为了了解学生本次考试的失分情况,从成绩在[50,70)内的学生中随机选取 3 人的成 绩进行分析,用 X 表示所选学生成绩在[60,70)内的人数,求 X 的分布列和数学期望.

19. (本题满分 14 分)如图,已知 E , F 分别是正方形 ABCD 边 BC 、 CD 的中点, EF 与

AC 交于点 O ,PA 、NC 都垂直于平面 ABCD ,且 PA ?AB ? 4 ,NC ? 2 ,M 是线段 PA
上一动点. (Ⅰ)求证:平面 PAC ? 平面 NEF ; (Ⅱ)若 PC // 平面 MEF ,试求 PM : MA 的值; (Ⅲ)当 M 是 PA 中点时,求二面角 M ? EF ? N 的余弦值.

第 19 题图

x2 y2 20. (本题满分 14 分) 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) , 左、 右两个焦点分别为 F1 、F 2 , a b 上顶点 A(0, b) , ?AF1 F2 为正三角形且周长为 6. (1)求椭圆 C 的标准方程及离心率; (2) O 为坐标原点, P 是直线 F1 A 上的一个动点,求 | PF2 | ? | PO | 的最小值,并求出此时
点 P 的坐标.

21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? (b ? a) x (a,b 是不同时为零的常数) ,其导函数为 f ?( x ) . (1)当 a ?

1 1 时,若不等式 f ?( x) ? ? 对任意 x ? R 恒成立,求 b 的取值范围; 3 3

(2)若函数 f ( x ) 为奇函数,且在 x ? 1 处的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,关于 x 的方程

1 f ( x ) ? ? t 在 [?1, t ](t ? ?1) 上有且只有一个实数根,求实数 t 的取值范围. 4

2014-2015 学年度下学期期末模块考试
五校联考高二年级数学(理科)试题答案
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 1 2 3 4 5 题号 答案 C C A A B 6 D 7 A 8 B

二、填空题(本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ) (一)必做题(9~13 题)9.[1,2) ? (2,??) 10.24 11.

5 11

12. ?? ?,1?

13. 3;

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分) 14. 1; 15.

3 4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,要写出详细的解答过程或证明过程) 16. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a sin x ? cos x 的图象经过点 ( (1)求函数 f ?x ? 的最小正周期与单调递增区间. (2)若 ? ? ? 0,

? ,?1) . 2

? ?

??

1 ? ,且 f ?? ? ? 2 ,求 sin 2? 的值. 2?

16.解: (1)因为函数 f ( x) ? a sin x ? cos x 的图象经过点 ( 所以 f ( ) ? ?1 即 a sin

?

? ,?1) , 2
??1 分 ??2 分

?
2

2

? cos

?
2

? ?1 ,解得: a ? ?1

? f ( x) ? cos x ? sin x ? 2 cos( x ? ) ??4 分 4 2? T? ? 2? 所以函数 f ?x ? 的最小正周期为 2 ? . ??5 分 1
因为函数 y ? cos x 的单调递增区间为 [?? ? 2k? ,2k? ], k ? Z

所以 ? ? ? 2k? ? x ?

?
4

? 2k?

解得: ?

所以函数 f ?x ? 的单调递增区间为 [? (2)解法 1:∵ f ?? ? ? ∴ 2 cos ? ? ?

5? ? ? 2k? ,? ? 2k? ], k ? Z 4 4

5? ? ? 2k? ? x ? 2k? ? ??6 分 4 4
??7 分

1 , 2
∴ cos ? ? ?

? ?

??

1 ?? . 4? 2

? ?

??

2 . ?? 4? 4
2

?????9 分

? 2? 3 ?? ? ?? ? ? .????12 分 ∴ sin 2? ? ? cos ? ? 2? ? ? 1 ? 2 cos 2 ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 4 4? ? ?2 ? ? 4 ?
解法 2:∵ f ?? ? ?

1 ,∴ 2

?? 1 ? 2 cos ? ? ? ? ? 4? 2 ?
∴ cos ? ? sin ? ?
2

∴ 2 ? cos ? cos

? ?

?
4

? sin ? sin
2

??

1 ?? . 4? 2

1 . ?????9 分 2
?????11 分 ?????12 分

两边平方得 cos ? ? 2 cos ? sin ? ? sin ? ? ∴ sin 2? ? 17. (本题满分 12 分) 数列 ?bn ? n ? N

1 . 4

3 . 4

?

?

? 是递增的等比数列,且 b ? b
1

3

? 5, b1b3 ? 4 .

(Ⅰ)若 an ? log2 bn ? 3 ,求证数列 ?an ? 是等差数列; (Ⅱ)若 a1 ? a2 ? a3 ? ?? ? am ? a46 ,求 m 的最大值. 17. 本题满分 12 分 解 :( Ⅰ ) 由
2

?b1b3 ? 4 2 知 b1 , b3 是 方 程 x ? 5x ? 4 ? 0 的 两 根 , 注 意 到 bn?1 ? bn 得 ? b ? b ? 5 ?1 3
??????2 分

b1 ? 1, b3 ? 4 .
2

? b2 ? b1b3 ? 4 得 b2 ? 2 . ? b1 ? 1, b2 ? 2, b3 ? 4 b ? 等比数列. ?bn ?的公比为 2 ? 2 ,? bn ? b1q n?1 ? 2 n?1 ??4 分 b1

an ? log2 bn ? 3 ? log2 2n?1 ? 3 ? n ? 1 ? 3 ? n ? 2. ??5 分 ? an?1 ? an ? ??n ? 1? ? 2? ? ?n ? 2? ? 1 ??6 分 ? 数列 ?an ? 是首项为 3,公差为 1 的等差数列. ??7 分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知数列 ?an ? 是首项为 3,公差为 1 的等差数列,有

a1 ? a2 ? a3 ? ?? ? am = a1 ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? ? am ? a1

2

2

m?m ? 1? m2 ? m ? 1 ? 3 ? 6 ? 3m ? ??9 分 2 2 ∵ a46 ? 46 ? 2 ? 48
=3 ? m?3?
2

? 6 ? 3m ?

? m的最大值是 7. ??12 分

m2 ? m ? 48 ,整理得 m 2 ? 5m ? 84 ? 0 ,解得 ? 12 ? m ? 7 . ??11 分 2

18(本小题满分 14 分)某班共有学生 40 人,将一次数学考试成绩(单位:分)绘制成频率 分布直方图,如图所示. (1)请根据图中所给数据,求出 a 的值; (2)为了了解学生本次考试的失分情况,从成绩在[50,70)内的学生中随机选取 3 人的成 绩进行分析,用 X 表示所选学生成绩在[60,70)内的人数,求 X 的分布列和数学期望.

解: (1)根据频率分布直方图中的数据,可得

1 ? (0.005 ? 0.0075 ? 0.0225 ? 0.035) ?10 ? 0.1 ? 0.07 ? 0.03 , 10 所以 a ? 0.03 . ???????2 分 a?
(2) 学生成绩在 [50,60) 内的共有 40×0.05=2 人, 在 [60,70) 内的共有 40×0.225=9 人, 成绩在 [50,70) 内的学生共有 11 人. 依题意, X 的可能取值是 1,2,3.
2 2 1 9

?????4 分 ??????5 分

P( X ? 1) ?

CC 3 ; ? 3 C11 55

??????7 分

P( X ? 2) ?

1 2 C2 C9 24 ; ??????9 分 ? 3 C11 55

C 3 28 28 P ( XP? 3) ? P9 (A )? (A )? ? 3 55 C11 55

???11 分

X
P

所以 X 的分布列为 1

2

3

24 55 3 24 28 27 EX ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 55 55 55 11

3 55

28 55
???????14 分

19.如图,已知 E , F 分别是正方形 ABCD 边 BC 、 CD 的中点, EF 与 AC 交于点

O , PA 、 NC 都垂直于平面 ABCD ,且 PA ? AB ? 4 ,

NC ? 2 , M 是线段 PA 上一动点. (Ⅰ)求证:平面 PAC ? 平面 NEF ; (Ⅱ)若 PC // 平面 MEF ,试求 PM : MA 的值; (Ⅲ)当 M 是 PA 中点时, 求二面角 M ? EF ? N 的余弦值.

19. (本题满分 14 分) 解:法 1: (Ⅰ)连结 BD , ∵ PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,∴ PA ? BD , 又∵ BD ? AC , AC ? PA ? A , ∴ BD ? 平面 PAC , 又∵ E , F 分别是 BC 、 CD 的中点,∴ EF // BD , ∴ EF ? 平面 PAC ,又 EF ? 平面 NEF , ∴平面 PAC ? 平面 NEF ; ---------------4 分 (Ⅱ)连结 OM , ∵ PC // 平面 MEF ,平面 PAC ? 平面 MEF ? OM , ∴ PC // OM , ∴
PM OC 1 ? ? ,故 PM : MA ? 1: 3 PA AC 4

-----------------8 分

(Ⅲ)∵ EF ? 平面 PAC , OM ? 平面 PAC ,∴ EF ? OM , 在等腰三角形 NEF 中,点 O 为 EF 的中点,∴ NO ? EF , ∴ ?MON 为所求二面角 M ? EF ? N 的平面角, ∵点 M 是 PA 的中点,∴ AM ? NC ? 2 , ---------10 分

所以在矩形 MNCA 中,可求得 MN ? AC ? 4 2 , NO ? 6 , MO ? 22 , --------12 分 在 ?MON 中,由余弦定理可求得 cos ?MON ?
33 . 33

MO 2 ? ON 2 ? MN 2 33 ?? , 2 ? MO ? ON 33

∴二面角 M ? EF ? N 的余弦值为 ? 法 2: (Ⅰ)同法 1;

--------------14 分

(Ⅱ)建立如图所示的直角坐标系,则 P(0, 0, 4) ,C (4, 4, 0) , E (4, 2, 0) ,F (2, 4,0) ,

??? ? ??? ? ∴ PC ? (4,4, ?4) , EF ? (?2, 2,0) , ???? ? 设点 M 的坐标为 (0,0, m) ,平面 MEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ME ? (4, 2, ?m) ,
? ???? ? ?4 x ? 2 y ? mz ? 0 6 ?n ? ME ? 0 所以 ? ? ??? ,即 ? ,令 x ? 1 ,则 y ? 1 , z ? , ? m ??2 x ? 2 y ? 0 ? ?n ? EF ? 0
6 ? 故 n ? (1,1, ) , m

??? ? ? 24 ? 0 ,解得 m ? 3 , ∵ PC // 平面 MEF ,∴ PC ? n ? 0 ,即 4 ? 4 ? m 故 AM ? 3 ,即点 M 为线段 PA 上靠近 P 的四等分点;故 PM : MA ? 1: 3 -------8 分 ??? ? ?? (Ⅲ) N (4, 4, 2) ,则 EN ? (0, 2, 2) ,设平面 NEF 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,
?? ???? ? ?2 y ? 2 z ? 0 ?m ? EN ? 0 则 ? ?? ??? ,即 ? ,令 x ? 1 , ? ??2 x ? 2 y ? 0 ? ?m ? EF ? 0 ?? 则 y ? 1 , z ? ?1 ,即 m ? (1,1, ?1) ,
? 当 M 是 PA 中点时, m ? 2 ,则 n ? (1,1,3) ,

?? ? 1?1? 3 33 ∴ cos ? m, n ?? , ?? 33 3 ? 11
∴二面角 M ? EF ? N 的余弦值为 ?
33 -----14 分 33

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) ,左、右两个焦点分别为 F1 、 F 2 ,上顶 a2 b2 点 A(0, b) , ?AF1 F2 为正三角形且周长为 6.(1)求椭圆 C 的标准方程及离心率; (2) O 为 坐标原点, P 是直线 F1 A 上的一个动点,求 | PF2 | ? | PO | 的最小值,并求出此时点 P 的坐
20. (14 分)已知椭圆 C : 标.
? a ? 2c 20.解: (1)解:由题设得 ?a ? a ? 2c ? 6 ? ? a2 ? b2 ? c2 ?
2 2 故 C 的方程为 x ? y ? 1 . ?? 4 分 4 3

? 2 分 解得: a ? 2, b ?

3 , c ? 1 ?? 3 分

离心率 e ?

1 2

??5 分

(2)直线 F1 A 的方程为 y ? 3( x ? 1) ,?? 6 分 设点 O 关于直线 F1 A 对称的点为 M ( x0 , y0 ) ,则

3 ? y0 ? ? 3 ? ?1 x0 ? ? ? ? 2 ? x0 ? ?? ? ? y 0 ? 3 ( x0 ? 1) ? y ? 3 0 ? ? 2 ? 2 ?2

所以点 M 的坐标为

3 3 (? , ) ??? 9 分 2 2

∵ PO ? PM , PF2 ? PO ? PF2 ? PM ? MF2 ,?? 10 分

3 3 | PF2 | ? | PO | 的最小值为 | MF2 |? (? ? 1) 2 ? ( ? 0) 2 ? 7 2 2
3 ?0 3 ( x ? 1) 直线 MF2 的方程为 y ? 2 ( x ? 1) 即 y ? ? 3 5 ? ?1 2

????? 11 分

????? 12 分

2 ? ? x ? ? 3 ( x ? 1) ? 2 3 3 ?y ? ? ? ) ?? 14 分 由? ,所以此时点 P 的坐标为 (? , ?? 5 3 3 3 ? y ? 3 ( x ? 1) ?y ? ? ? 3 ?
21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? (b ? a) x (a,b 是不同时为零的常数) ,其导函数为 f ?( x ) . (1)当 a ?

1 1 时,若不等式 f ?( x) ? ? 对任意 x ? R 恒成立,求 b 的取值范围; 3 3

(2)若函数 f ( x ) 为奇函数,且在 x ? 1 处的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,关于 x 的方程

1 f ( x ) ? ? t 在 [?1, t ](t ? ?1) 上有且只有一个实数根,求实数 t 的取值范围. 4 1 1 2 21 解: (1)当 a ? 时, f ?( x) ? x ? 2bx ? b ? ,………1分 3 3 1 1 2 依题意 f ?( x) ? x ? 2bx ? b ? ? ? 即 x 2 ? 2bx ? b ? 0 恒成立 3 3

?? ? 4b2 ? 4b ? 0 ,解得

0 ? b ? 1 所以 b 的取值范围是 (0,1) ………3 分

( 2 ) 因 为 f ( x) ? ax ? bx ? (b ? a) x 为 奇 函 数 , 所 以 b ? 0 , 所 以 f ( x) ? ax ? ax ,
3 2
3

f ?( x) ? 3ax2 ? a . 又 f ( x) 在 x ? 1 处 的 切 线 垂 直 于 直 线 x ? 2 y ? 3 ? 0 , 所 以 a ? 1 , 即 f ( x) ? x3 ? x .……………5 分

? ? ? 3 ? ? ? ? f ( x) 在 ? ??, ? 3 ? , 在 ? ? 3 , 3 ? 上是单调递减函数, , ?? ? ? ? 上是单调递增函数, ? ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 3 ? ?

由 f ( x) ? 0 解得 x ? ?1 , x ? 0 ,……………………………6 分
如图所示,作 y ? f ( x ) 与 y ? ?

y

t 的图像,若只有一个交点,则 4

-1 O

x

1

①当 ?1 ? t ? ?

1 3 时, f (t ) ? ? t ? 0 , 4 3
y
f (t )
t y??4

t 3 3 即 t ? t ? ? ,解得 ? ;…………8 分 ?t ?? 4 2 3
3

1 3 ? t ? 0 时, f (t ) ? ? t ? 0 , ②当 ? 4 3
解得 ?

-1 t O ①

x

y

3 ? t ? 0 ;…………9 分 3

f (t )

-1
?
3 3

t y??4

O

x

③当 t ? 0 时,不成立;…………10 分

1 3 ④当 0 ? t ? 时, f (t ) ? ? t ? 0 , 4 3
-1 ?
3 3



y
t
f (t )
t y??4

x

y
3 3

④ t

即t ?t ? ?
3

t 3 ,解得 0 ? t ? ;…………11 分 4 3

O
f (t )

1 3 ⑤当 1 ? t ? 时, f (t ) ? ? t ? 0 4 3
解得

t y??4

x

3 3 ?t ? ;…………12 分 3 2
3? 8 3 . y ? ? t ….13 分 ⑥当 t ? 1 时,1 ? t ? f ? 4 ? ? ? ??t ? 4 ? 3 ? 9

y

O

t

x

3 综上 t 的取值范围是 ? 3 ? t ? 0 或 0 ? t ? 或 t ? 8 3 .…………………14分 2 2 9

t y??4

t y??4

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