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直线与椭圆的位置关系(2课)


椭圆的简单几何性质(三)
直线与椭圆的位置关系

椭圆的简单几何性质(三)
前面我们用椭圆方程发现了一些椭圆的 几何性质 , 可以体会到坐标法研究几何图形 的重要作用 , 其实通过坐标法许多几何图形 问题都可以转化为方程知识来处理. 当然具体考虑问题,我们的思维要灵活, 用形直觉,以数解形,数形结合思维这能大大 提高分析问题、解决问题的能

力. 本节课 , 我们来学习几个有关直线与椭 圆的综合问题.

问题1:直线与圆的位置关系有哪几种?

怎么判断它们之间的位置关系? d=r 几何法: d>r 代数法:?<0 ?=0

d<r

?>0

直线与椭圆的位置关系的判定
问题2:椭圆与直线的位置关系?

Ax+By+C=0 代数法 2 2 由方程组: x y ? 2 ?1 ----求解直线与二次曲线有 2 a b 2 mx +nx+p=0(m≠ 0) 关问题的通法。

= n2-4mp
>0 =0 <0
方程组有两解 方程组有一解 方程组无解 两个交点 一个交点 无交点 相交

相切
相离

例1: 直线y=x-

1 与椭圆x2+4y2=2 2

,判断位置关系。

解:联立方程组

1 y? x? 2 x2+4y2=2

4 ? x1 ? x2 ? ? 由韦达 5 ? 定理 ? x1 ? x2 ? ? 1 5 ? 消去y 5 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ----- (1)

因为 ?>0 ,所以方程(1)有两个根, 则原方程组有两组解…. 那么,相交所得的弦的弦长是多少?
弦长公式:

| AB |? 1 ? k 2 | xA ? xB |

? 1 ? k (xA ? xB ) ? 4 xA xB
2 2

直线与二次曲线相交弦长的求法
1、直线与圆相交的弦长
2、直线与其它二次曲线相交的弦长
l 2
r d

(1)联立方程组 (2)消去一个未知数 (3)利用弦长公式:

|AB| = 通法

? 1? k 2 · x1 ? x2

? 1? k · (x1 ? x2) ? 4 x1 x2
2 2

A(x1,y1)

1 1 2 ? 1 ? 2 ? y1 ? y2 ? 1 ? 2 ? (y1 ? y2) ? 4 y1 y2 k k
k 表示弦的斜率,x1、x2、y1、y2表示弦的端点 坐标,一般由韦达定理求得 x1+ x2 与 y1+ y2
B(x2,y2)

设而不求

问:当直线斜率不存在时,弦长为?

x2 y2 例 2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 ? ? 1 的左、右 2 1 ? 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点, 4 求 △F1 AB 的面积.

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组

弦长公式:

| AB |? 1 ? k | x A ? xB |
2

? 1 ? k (xA ? xB ) ? 4 xA xB
2 2

x2 y2 ? ? 1,过点P(2,1)作一弦, 例3:已知椭圆 16 4
使弦在这点被平分,求此弦所在的直线方程。
弦中点问题的两种处理方法: (1)联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理; (2)点差法:设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率。

练习.已知椭圆5x2+9y2=45,椭圆的右焦点为F, (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长. (2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点 椭圆的弦所在的直线方程.





1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件; 2、弦长的计算方法:

(1)垂径定理:|AB|= 2 r 2 ? d 2(只适用于圆)
(2)弦长公式:(适用于任何二次曲线) |AB|=

1? k · x1 ? x2 ? 1 ? k · (x1 ? x2) ? 4 x1 x2
2 2 2

=

1 1 2 1? 2 · y1 ? y2 ? 1 ? 2 · (y1 ? y2) ? 4 y1 y2 k k

3、弦中点问题的两种处理方法: 1)联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理; 2)点差法:设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率。

例 4: 已知椭圆 x ? 8 y ? 8 , 直线 x ? y ? 4 ? 0 , 求椭圆 上的一点 P 到直线 l 的最小距离?
2 2

分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 x ? y ? 4 ? 0 的距离的表达式. x0 ? y0 ? 4 x0 2 y0 2 d ? 且 ? ?1 1 2 8

尝试遇到困难怎么办?
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.

l

l1 l2

第二课时 直线与椭圆的位置关系





1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件; 2、弦长的计算方法:

(1)垂径定理:|AB|= 2 r 2 ? d 2 (只适用于圆)
(2)弦长公式:(适用于任何二次曲线) |AB|=

1? k · x1 ? x2 ? 1 ? k · (x1 ? x2) ? 4 x1 x2
2 2 2

=

1 1 2 1? 2 · y1 ? y2 ? 1 ? 2 · (y1 ? y2) ? 4 y1 y2 k k

3、弦中点问题的两种处理方法: 1)联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理; 2)点差法:设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率。

x2 y2 ? 1 有公共点, 1.(作业本26页3题) y=kx+1与椭圆 ? 5 m 则m的范围( C )

A、(0,1)

B、(0,5 )

C、[ 1,5)∪(5,+∞)

D、(1,+ ∞)

2.
x2 y2 ? ?1 45 36

3.作业本27页9题中心在原点,一个焦点为F(0, 5 2 )的 椭圆被直线y=3x-2所截得弦的中点横坐标是1/2,求椭 圆方程。

4.已知椭圆5x2+9y2=45,椭圆的右焦点为F, (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长. (2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点 椭圆的弦所在的直线方程.

x2 y2 ? ? 1 ,求 练习:已知椭圆 16 4 (1)以P(2,-1)为中心的弦所在的直线的方程;
(2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程; (3)过Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦中点的轨 迹方程。

x2 y2 5.椭圆 ? ? 1 的两个焦点为F1 、F2 ,过左焦点 45 20

作直线与椭圆交于A,B 两点,若△ AB F2 的面积为20,

求直线的方程。

y

A (x1 , y1) o
F1 B (x2 , y2) F2
x

变题:假如直线过原点,其它条件不变,求直线方程。

6.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,直线 y=x+1与该椭圆交于点P,Q,OP ? OQ ? 0
且 PQ ?
10 , 求椭圆的方程。 2

7.若椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 交于A、B两点, M为AB中点,直线0M(0为原点)的斜率为 2 ,且 OA⊥OB,求椭圆方程。
变式

2

OA⊥OB

| AB |? 2 2

8.(2007年山东高考题)已知椭圆的中心在坐标 原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离 的最大值为3,最小值为1 (1)求椭圆C的标准方程; (2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点 (A、B不是左右顶点),且以AB为直径 的圆过椭圆C的右顶点. 求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标

9. 试 确 定 实 数 m 的 取 值 范 围 , 使 得 椭 圆 2 2 x y ? ? 1 上 存 在 关 于 直 线 y ? 2x ? m 对 称 的 4 3 点. 1 1

?

2

?m?

2

x y 思考:已知椭圆 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,在 9 5 直线 l : x ? y ? 6 ? 0 上找一点 M ,求以 F1 , F2 为 焦点,通过点 M 且长轴最短的椭圆方程. x2 y2 ? ?1 20 16 分析:∵椭圆的焦点为 (?2,0),(2,0)
关键是怎样求出椭圆的长轴大小.

2

2

思维挑战题:

x2 y2 试确定实数 m 的取值范围 , 使得椭圆 ? ?1 4 3 上存在关于直线 y ? 2 x ? m 对称的点.

1 1 ? ?m? 2 2


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