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高三数学(文科)导数综合应用归类例析


高三数学(文科)导数综合应用归类例析
题型一:函数的切线问题
问题 1:在点处的切线,易求; 问题 2:过点作曲线的切线需四个步骤; 第一步:设切点,求斜率; 第二步:写切线(一般用点斜式) ; 第三步:根据切点既在曲线上又在切线上得到一个一元方程; 第四步:判断一元方程根的个数; 1. 已知 f ( x) ? x ? ax ? 4x ( a 为常数)在 x ? 2 时取得一个极值。
3 2

(1)确定实数 t 的取值范围,使函数 f ( x ) 在区间 [t , 2] 上是单调函数; (2)若经过点 A(2, c) ( c ? ?8 )可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求 c 的取值范围. 解: (1)∵函数 f ( x ) 在 x ? 2 时取得一个极值,且 f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 4 ,

? f ?(2) ? 12 ? 4a ? 4 ? 0 ,? a ? 2
?x ? ?

? f ?( x) ? 3x2 ? 4x ? 4 ? (3x ? 2)( x ? 2) .

2 2 2 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0, x ? ? 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0, ? ? x ? 2 时, 3 3 3

2 2 f ?( x) ? 0 , ? f ( x) 在 (??, ? ],[2, ??) 上都是增函数,在 [ ? , 2] 上是减函数. 3 3
∴使 f ( x ) 在区间 [t , 2] 上是单调函数的 t 的取值范围是 [? , 2) (2)由(1)知 f ( x) ? x3 ? 2 x2 ? 4 x .设切点为 P( x0 , y0 ) ,
2 则切线的斜率 k ? f ?( x0 ) ? 3x0 ? 4x0 ? 4 ,
3 2 2 所以切线方程为: y ? ( x0 ? 2x0 ? 4x0 ) ? (3x0 ? 4x0 ? 4)( x ? x0 ) .

2 3

3 2 将点 A(2, c) 代人上述方程,整理得: 2x0 ? 8x0 ? 8x0 ? 8 ? c ? 0 .

∵经过点 A(2, c)(c ? ?8) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线, ∴方程 2x0 ? 8x0 ? 8x0 ? 8 ? c ? 0 有三个不同的实根.
3 2 3 2 设 g ( x0 ) ? 2x0 ? 8x0 ? 8x0 ? 8 ? c , 则 g ?( x0 ) ? 6 x0 ? 16 x0 ? 8 ? 0 ? x0 ?
2

2 或x0 ? 2 , 3

2 2 g ( x0 ) 在 (??, ) 上单调递增,在 ( , 2) 上单调递减,在 (2, ??) 上单调递增, 3 3

2 ? 280 ? g极大 ? g ( ) ? 0, ? c ? ?8 . 故? 得: ? 3 27 ? g极小 ? g (2) ? 0, ?

2.函数 f ( x) ?

3bx x3 2 10 图象上斜率为 3 的两切线间的距离为 , g ( x) ? f ( x) ? 2 ? 3 . 2 a 5 a

若函数 g ( x) 在 x ? 1 处有极值,求 g ( x) 的解析式; 解:∵ f ?( x) ?

3 3 ? x 2 ,∴由 2 ? x 2 ? 3 有 x ? ? a ,即切点坐标为 ( a, a ) , (?a,?a) 2 a a

∴切线方程为 y ? a ? 3( x ? a) ,或 y ? a ? 3( x ? a) 整理得 3x ? y ? 2a ? 0 或 3x ? y ? 2a ? 0 ∴

| ?2 a ? 2 a | 3 2 ? (?1) 2

?

2 10 ,解得 a ? ?1 ,∴ f ( x) ? x 3 ,∴ g ( x) ? x 3 ? 3bx ? 3 5

∵ g ?( x) ? 3x 2 ? 3b , g ( x) 在 x ? 1 处有极值,∴ g ?(1) ? 0 ,
2 即 3 ? 1 ? 3b ? 0 ,解得 b ? 1 ,∴ g ( x) ? x 3 ? 3x ? 3

题型二:关于函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立。
此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令 f ' ( x) ? 0 得到两个根; 第二步:列表如下; 第三步:由表可知; 不等式恒成立问题的实质是函数的最值(值域)问题,常见处理方法有四种: 第一种:变更主元,题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元) ; 第二种:分离变量求最值(值域) ,参考例 5; 第三种:关于二次函数的不等式恒成立; 第四种:构造函数求最值,题型 f ( x) ? g ( x) 恒成立 ? h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 恒成立
3 2 3.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? ax ? b 的图象过点 P(0 , 2) .

(1)若函数 f ( x) 在 x ? ?1 处的切线斜率为 6 ,求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)若 a ? 3 ,求函数 y ? f ( x) 的单调区间.
2 解: (1) f ?( x) ? 3x ? 2ax ? a .

由题意知 ?

? f (0) ? b ? 2 , ? f ?(?1) ? 3 ? 2a ? a ? 6

得 ?

?a ? ?3 3 2 ,∴ f ( x) ? x ? 3x ? 3x ? 2 . ?b ? 2

2 2 (2) f ?( x) ? 3x ? 2ax ? a ? 0 . ∵ a ? 3 ,∴ ? ? 4a ? 12a ? 0 .

由 f ?( x) ? 0 解得 x ?

? a ? a 2 ? 3a ? a ? a 2 ? 3a 或x ? , 3 3

? a ? a 2 ? 3a ? a ? a 2 ? 3a 由 f ?( x) ? 0 解得 . ?x? 3 3
∴ f ( x) 的单调增区间为: (??,

? a ? a 2 ? 3a ? a ? a 2 ? 3a )和( ,??) ; 3 3

? a ? a 2 ? 3a ? a ? a 2 ? 3a f ( x) 的单调减区间为: ( , ). 3 3
2 x2 , g ( x) ? ax ? 5 ? 2a(a ? 0) 。 4.设 f ( x) ? x ?1
(1)求 f ( x ) 在 x ? [0,1] 上的值域; (2)若对于任意 x1 ? [0,1] ,总存在 x0 ? [0,1] ,使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,求 a 的取值范围。 解:(1)法一:(导数法) f ?( x) ?

4 x( x ? 1) ? 2 x 2 2 x 2 ? 4 x ? ? 0 在 x ? [0,1] 上恒成立. ( x ? 1)2 ( x ? 1)2

∴ f ( x ) 在[0,1]上增,∴ f ( x ) 值域[0,1]。

?0, x ? 0 ? 2x ? ? ? 2 , x ? (0,1] , 复合函数求值域. 法二: f ( x) ? x ?1 ? 1 1 ? ? ? x x2
2

2 x 2 2( x ? 1)2 ? 4( x ? 1) ? 2 2 ? ? 2( x ? 1) ? ? 4 用双勾函数求值域. 法三: f ( x) ? x ?1 x ?1 x ?1
(2) f ( x ) 值域[0,1], g ( x) ? ax ? 5 ? 2a(a ? 0) 在 x ? [0,1] 上的值域 [5 ? 2a,5 ? a] . 由条件,只须 [0,1] ? [5 ? 2a,5 ? a] ,∴ ?

?5 ? 2a ? 0 5 ? ?a?4. 2 ?5 ? a ? 1
3

5.函数 f ( x) ? x3 ? ax2 图象上一点 P(1, b) 处切线斜率为 ?3 ,函数 g ( x) ? x ?

t ?6 2 x 2

?(t ? 1) x ? 3 ,其中 t ? 0
(1)求 a , b 的值; (2)当 x ? [?1, 4] 时,求 f ( x ) 的值域; (3)当 x ? [1, 4] 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 t 的取值范围。

? f / (1) ? ?3 ?a ? ?3 解: (1) f ( x) ? 3x ? 2ax ,∴ ? ,解得 ? ?b ? ?2 ?b ? 1 ? a
/ 2

(2)由(1)知, f ( x ) 在 [?1, 0] 上单调递增,在 [0, 2] 上单调递减,在 [2, 4] 上单调递

减,又 f (?1) ? ?4, f (0) ? 0,{ f ( x)}min ? f (2) ? ?4,{ f ( x)}max ? f (4) ? 16 , ∴ f ( x ) 的值域是 [?4,16] 。 (3)令 h( x) ? g ( x) ? f ( x) ?

t 2 x ? (t ? 1) x ? 3, x ? [1,4] 2

∴要使 f ( x) ? g ( x) 恒成立,只需 h( x) ? 0 恒成立 ? h( x) min ? 0 ,

h / ( x) ? t ( x ?
∴当 0 ? t ?

t ?1 ), t

1 t ?1 / ) ? 0 ? h( x) 单调减 ? h( x) min ? h(4) ? 4t ? 1 ? 0 , 时,h ( x) ? t ( x ? 3 t

?

1 1 ?t? ; 4 3 1 t ?1 (t ? 1) 2 1 )?? ?3? 0? ? t ? 2? 3, 时, h( x) min ? h( 3 t 2t 3

当t ?

综上: ?

1 ?t ? 2? 3。 4

特别说明:分类与整合,千万别忘了整合即最后要写“综上可知” ,分类一定要有序化。

题型三: 已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数零 点即方程根的个数问题
(1)已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种: 第一种:转化为恒成立问题即 f ( x) ? 0或f ( x) ? 0 在给定区间上恒成立,然后转为
' '

不等式恒成立问题;用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(看是否在 0 的同侧) ,如果 是同侧则不必分类讨论;若在 0 的两侧,则必须分类讨论,要注意两边同处以一个负数时不 等号的方向要改变呀!有时分离变量解不出来,则必须用另外的方法。 第二种:利用子区间(即子集思想) 。首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区 间是求的增或减区间的子集。 第三种方法: 利用二次方程根的分布, 着重考虑端点函数值与 0 的关系和对称轴相对区 间的位置。 特别说明: 做题时一定要看清楚“在区间 ( a, b) 上是减函数”与“函数的单调减区间是 ( a, b) ” ,要 弄清楚两句话的区别; (2)函数与 x 轴交点即方程根的个数问题解题步骤: 第一步:画出两个图像即“穿线图” (即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大

致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减” ; 第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组) ;主要看极大值和极小值与 0 的关系; 第三步:解不等式(组)即可。 6.已知函数 f ( x) ? ax ? 3x ? 1 ?
3 2

3 (a ? 0) 。 a

(1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若函数 y ? f ( x) 在 A, B 两点处取得极值,且线段 AB 与 x 轴有公共点,求实数 a 的 取值范围。
2 解: (1) f ?( x) ? 3ax ? 6 x, f ?( x) ? 0得x1 ? 0或x 2 ?

2 a

当 a ? 0 时, (?? ,0)递增, (0, )递减 , ( ,?? ) 递增; 当 a ? 0 时, (?? , )递减 , ( ,0)递减 , (0,?? ) 递减。

2 a

2 a

2 a

2 a

(2)当 a ? 0 时,

x
f ?( x) f ( x)

(??,0)
+ 增

0 0 极大值

2 (0, ) a
- 减

2 a
0 极小值

2 ( ,?? ) a
+ 增

此时,极大值为 f (0) ? 1 ? 当 a ? 0 时,

3 2 4 3 ,极小值为 f ( ) ? ? 2 ? 1 ? . a a a a
2 a
0 极小值

x
f ?( x) f ( x)

2 (?? , ) a
- 减

2 ( ,0) a
+ 增

0 0 极大值

(0,??)
- 减

此时,极大值为 f ( ) ? ?

2 a

4 3 3 ? 1 ? ,极小值为 f (0) ? 1 ? 2 a a a 2 a (a ? 3)(a ? 4)(a ? 1) ?0, a3

因为线段 AB 与 x 轴有公共点,所以 f (0) ? f ( ) ? 0 ,即 解得 a ?[?1,0)

[3, 4] 。

7.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 4x ? 4a ,其中 a 为实数. (1)求导数 f / ( x) ; (2)若 f / (?1) ? 0 ,求 f ( x ) 在 [?2, 2] 上的最大值和最小值; (3)若 f ( x ) 在 (??, ?2] 和 [2, ??) 上都是递增的,求 a 的取值范围。 解: (1) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4 (2)由 f ?(?1) ? 0得a ? 由 f ?( x) ? 0 得 x ?

1 1 ,? f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 4 x ? 2. f ?( x) ? 3x 2 ? x ? 4 , 2 2

4 4 50 9 , f (?1) ? , f (?2) ? 0, f (2) ? 0, 或 x ? ?1 ,又 f ( ) ? ? 3 3 27 2

? f ( x) 在 [?2, 2] 上最大值

50 9 ,最小值 ? 2 27

(3) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4 ,

? ? f ?(?2) ? 0, ?4a ? 8 ? 0, ? ? 由题意知 ? f ?(2) ? 0, ? ?8 ? 4a ? 0, ? ?2 ? a ? 2. ? ??6 ? a ? 6, 2a ??2 ? ? 2, ? 6 ?
3 2 2 8.已知函数 f ( x) ? kx ? 3(k ? 1) x ? 2k ? 4 ,若 f ( x ) 的单调减区间为 (0, 4) 。

(1)求 k 的值; (2)若对任意的 t ? [?1,1] ,关于 x 的方程 2 x ? 5x ? a ? f (t ) 总有实数解,求实数 a 的
2

取值范围。
2 解: (1) f ?( x) ? 3kx ? 6(k ? 1) x 又? f ?(4) ? 0,? k ? 1

(2)? f ?(t ) ? 3t 2 ? 12t

? 当 ?1 ? t ? 0 时, f / (t ) ? 0 ,当 0 ? t ? 1 时, f / (t ) ? 0 ,
且 f (?1) ? ?5, f (1) ? ?3, ? f (t ) ? ?5 ,? 2 x ? 5 x ? a ?
2

8a ? 25 , 8

?

8a ? 25 15 ? ?5 ,解得 a ? ? 。 8 8

题型四:函数导数不等式线性规划精彩交汇
9.设函数 g ( x) ? 为 f ( x) .

1 3 1 2 x ? ax ? bx(a, b ? R) ,在其图象上一点 F ( x, y) 处的切线的斜率记 3 2

(1)若方程 f ( x ) 有两个实根分别为 ?2 和 4 ,求 f ( x ) 的表达式; (2)若 g ( x) 在区间 ? ?1,3? 上是单调递减函数,求 a ? b 的最小值。
2 2

解: (1)根据导数的几何意义知 f ( x) ? g`( x) ? x2 ? ax ? b 由已知 ?2 、 4 是方程 x ? ax ? b ? 0 的两个实根,由韦达定理, ?
2

??2 ? 4 ? ?a ??2 ? 4 ? ?b

∴?

?a ? ?2 , f ( x) ? x2 ? 2x ? 8 b ? 8 ?

(2) g ( x) 在区间 ? ?1,3? 上是单调递减函数,所以在 ? ?1,3? 区间上恒有

f ( x) ? g / ( x) ? x2 ? ax ? b ? 0 ,即 f ( x) ? x2 ? ax ? b ? 0 在 ? ?1,3? 区间上恒成立
这只需满足 ?

? f (?1) ? 0 ?a ? b ? 1 即可,也即 ? ? f (3) ? 0 ?b ? 3a ? 9 ?a ? b ? 1 内的点到原点距离的平方, ?b ? 3a ? 9

而 a ? b 可视为平面区域 ?
2 2

由图知,当 ?

?a ? ?2 2 2 时, a ? b 有最小值 13 。 ?b ? 3
1 3 x ? ax 2 ? bx (a, b ? R) 3
11 ) 处的切线的斜率为 ?4 ,求 y ? f ( x) 的极大值。 3

10.已知函数 f ( x) ?

(1)若 y ? f ( x) 图象上的点 (1,?

(2)若 y ? f ( x) 在区间 [?1,2] 上是单调递减函数,求 a ? b 的最小值。 解: (1)? f ( x ) ?

1 3 x ? ax 2 ? bx 3

? f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? b

由题意得: f ?( x) ? ?4且f (1) ? ?

4 11 ? ? 1 ? 2a ? 4 ? ? 11 ? a ? ?1, b ? 3 ? ?1 3 ? ?a ?b ? ? 3 ?3

? f ( x) ?
由此可知

1 3 x ? x 2 ? 3x 3

f ?( x) ? ( x ? 1)(x ? 3) ,令 f ?( x) ? 0得x1 ? ?1, x2 ? 3 ,

x
f ?( x ) f ( x)

(??,?1)
+ ↗

-1 0 极大值

(?1,3)


3 0 极小值-9

(3,??)
+ ↗

5 3



?当x ? ?1 时, f ( x) 取得极大值

5 3
P

y

(2)? y ? f ( x)在[?1,2] 上是减函数,

? f ?( x) ? x ? 2ax ? b ? 0在[?1,2] 上恒成立
2

1 O 1 x

? f ?(?1) ? 0 ?1 ? 2a ? b ? 0 ? 2a ? b ? 1 ? 0 ?? ?? 即? ? f ?(2) ? 0 ?4 ? 4a ? b ? 0 ?4a ? b ? 4 ? 0
作出不等式组表示的平面区域如图: 当直线 z ? a ? b 经过点 P(?

1 3 ,2) 时 z ? a ? b 取最小值 2 2

题型五:函数导数数列的精彩交汇
11.已知函数 f ( x ) ?

x (a, b 为常数且 a ? 0) ,满足 f (2) ? 1 ,且 f ( x) ? x 有唯一解。 ax ? b

(1)求 f ( x) 的表达式; (2)记 xn ? f ( xn?1 )(n ? N且n ? 1) ,且 x1 = f (1) ,求数列 {xn } 的通项公式。 (3)记 yn ? xn xn ?1 ,数列 { yn } 的前 n 项和为 S n ,求证 S n ? 解:(1)由 f ? x ? ? 又 f ? 2? ?

4 3

x ? x 即 ax2 ? ?b ?1? x ? 0 有唯一解? b ? 1 ax ? b
?a ? 1 2

2 ?1 ax ? 1
2

? f ? x? ?

x 1 x ?1 2

?

2x x?2

(2)由 xn ? f ? xn?1 ? ?

xn?1 1 xn?1 ? 1 2

?

1 1 1 ? ? , xn xn ?1 2

又 x1 ? f ?1? ?

2 1 3 ? ? 3 x1 2

?1? 3 1 ? 数列 ? ? 是首项为 ,公差为 的等差数列, 2 2 ? xn ?
?
2 1 3 1 n?2 ? ? (n ? 1) ? ,? xn ? n?2 xn 2 2 2
(3)由 y n ? x n ? x n ?1 ?

2 2 1 1 ? ? 4( ? ) n?2 n?3 n?2 n?3

? Sn ? y1 ? y2 ? y3 ?

? yn ? x1x2 ? x2 x3 ? x3 x4 ?

? xn xn?1

1 ? 4 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 ? 1 ? 4 ?? ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ?? ?? ? 4 ? ? ?3 n?3? 3 ? n ? 2 n ? 3 ?? ?? 3 4 ? ? 4 5 ?
1 (an ? 2 ? an ?1 ) x 3 ? (3an ?1 ? 4an ) x (n ? N ? ) 3

12. 数列 ?an ? 中, 且函数 f ( x) ? a1 ? 2, a2 ? 8 ,

在 x ? 1 处取得极值。求数列 ?an ? 的通项 an 。学科网 解:∵ f / (1) ? 0 ,∴ (an?2 ? an?1 ) ? (3an?1 ? 4an ) ? 0 即 an?2 ? 2an?1 ? 2(an?1 ? 2an ) ,又 a2 ? 2a1 ? 4 , ∴数列 {an?1 ? 2an } 是以 2 为公比,以 4 为首项的等比数列。 ∴ an?1 ? 2an ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,∴ ∴数列 { ∴

an ?1 an a ? n ? 1 ,且 1 ? 1 n ?1 2 2 2

an } 是首项为1 ,公差为 1 的等差数列, 2n

an a1 ? ? n ? 1 ? n ,? an ? n ? 2 n 2n 2

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