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高中数学竞赛讲义


不等式 一、基础知识 不等式的基本性质: (1)a>b ? a-b>0; (2)a>b, b>c ? a>c; (3)a>b ? a+c>b+c; (4)a>b, c>0 ? ac>bc; (5)a>b, c<0 ? ac<bc; (6)a>b>0, c>d>0 ? ac>bd; (7)a>b>0, n∈ N+ ? an>bn; (8)a>b>0, n∈ N+ ? (9)a>0, |x|<a ? -a<x<a, |x|>a ? x>a 或 x<-a; (10)a, b∈ R,则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; (11)a, b∈ R,则(a-b)2≥0 ? a2+b2≥2ab; (12)x, y, z∈ R+,则 x+y≥2 n a ?n b; xy , x+y+z ? 33 xyz. 前五条是显然的,以下从第六条开始给出证明。 (6)因为 a>b>0, c>d>0,所以 ac>bc, bc>bd,所以 ac>bd;重复利用性质(6) ,可得性质(7) ;再证 性质(8) ,用反证法,若 n n n a ? n b ,由性质(7)得 (n a ) n ? (n b ) n ,即 a≤b,与 a>b 矛盾,所以假 设不成立,所以 a ? b ;由绝对值的意义知(9)成立;-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|,所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|, 所以|a+b|≤|a|+|b|;下面再证(10)的左边,因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|,所以|a|-|b|≤|a+b|,所以(10)成立; (11) 显然成立;下证(12) ,因为 x+y-2 成立,再证另一不等式,令 3 3 xy ? ( x ? y ) 2 ≥0,所以 x+y≥ 2 xy ,当且仅当 x=y 时,等号 x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc 2 2 3 x ? a, 3 y ? b, 3 z ? c ,因为 =(a+b) +c -3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b) -(a+b)c+c ]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= 1 2 (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0,所以 a3+b3+c3≥3abc,即 x+y+z≥ 33 二、方法与例题 1.不等式证明的基本方法。 xyz ,等号当且仅当 x=y=z 时成立。 (1)比较法,在证明 A>B 或 A<B 时利用 A-B 与 0 比较大小,或把 后得出结论。 例 1 x2+y2+z2 ? c∈ R+ A (A,B>0)与 1 比较大小,最 B 意 实 数 x, y, z, 有 设 a, b, , 试 证 : 对 任 2 ? a?b abc b?c c?a ? ? xy ? yz ? xz ? ? ?. (a ? b)(b ? c)(c ? a) ? c a b ? 左边-右边= x2+y2+z2 ? 2 【证明】 ab bc xy ? 2 yz (b ? c)(c ? a) (a ? b)(c ? a) ?2 2 ca b 2 ab a c xz ? x ?2 xy ? y2 ? y2 ? (a ? b)(b ? c) b?c (b ? c)(c ? a) c?a c?a bc b 2 a 2 ca c yz ? z ? z ?2 xz ? x2 ? (a ? b)(c ? a) a?b a?b (a ?

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